专题05 直线和圆的方程、立体几何、概率与统计初步-湖北省技能高考（2021-2025）《数学真题分类汇编》（原卷版+解析版）

**基本信息** 汇编2022-2026年湖北中职高考数学真题，聚焦直线与圆、立体几何、概率三大专题，以赵州桥模型、3D打印等真实情境承载核心素养，适配中职高考应用能力考查需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题|直线与圆的圆心半径、位置关系、方程求解（如赵州桥圆弧方程）|结合文化遗产（赵州桥）、光线反射等情境，考查综合应用能力| |填空题|4题|球表面积体积（如球表面积求体积）、古典概型（如四大名著抽书）|立足基础公式，融入生活场景（打靶、抽扑克牌）| |选择题|6题|组合体体积（如螺母、谷仓）、概率计算（如素数和）|关联工业生产（六角螺母）、农业场景（谷仓容积），突出实践导向|

专题05 直线和圆的方程、立体几何、概率与统计初步 直线与圆的方程 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标及其夹角； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的方程； 8.理解直线和圆的位置关系。 立体几何 1.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征； 2.了解柱、锥、球及其简单组合体的面积、体积的计算及面积、体积的计算。 概率与统计初步 1.理解.随机事件（不可能事件、必然事件等）； 2.理解古典概型的概率计算； 3.理解互斥事件的概率加法公式。 考点01 直线与圆的综合应用 1.（2026·湖北·真题）已知圆 ，直线 过原点，且圆心 到直线 距离为 . （1）求圆 的圆心坐标和半径； （2）判断直线 与圆 的位置关系，并求直线 的方程. 【答案】（1）圆心为，半径为 （2）相切； 或 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程确定圆心和半径即可. （2）由圆心到直线的距离和半径作比较确定直线和圆的位置关系，再分别讨论直线的斜率存在不存在两种情况，并由点到直线的距离公式求值即可. 【小问1详解】 由圆的方程， 配方得， 所以圆心为，半径 . 【小问2详解】 圆心到直线距离 ，故直线与圆相切. 当直线斜率不存在时，方程为 ，圆心到直线距离为 ，符合条件， 当直线斜率存在，设，即 ， 由点到直线距离公式，得， 平方化简得，解得 ， 直线方程：，即 . 综上所述，直线 的方程为 或 . 2.（2025·湖北·真题）已知点，圆方程为，直线过点与圆相交于两点. （1）求点与圆的位置关系； （2）求弦长的最大值和最小值，并写出最大、最小时直线的一般式方程. 【答案】（1）点在圆内. （2）弦长的最大值为，直线方程为； 弦长的最小值为，直线的方程为. 【解析】 【分析】（）根据圆的标准方程求出圆心坐标与半径，结合两点间距离公式求出点到圆心的距离即可得解. （）根据圆的性质得出直线过圆心时，弦长最大及时，弦长最小，结合两条直线垂直斜率的关系及直线的点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 圆：，圆心，半径， 计算点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内. 【小问2详解】 当直线过圆心时，弦长最大，最大值为圆的直径，即， 此时直线过和，斜率， 直线方程用点斜式：，整理得， 当时，弦长最小，， 由垂径定理， 又，则直线的斜率， 直线方程用点斜式：，整理得. 综上所述，弦长的最大值为，此时直线的一般式方程为； 弦长的最小值为，此时直线的一般式方程为. 3.（2024·湖北·真题）赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥.树人职校综合实践小组拟用打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、 一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. （1）如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度|AB|=80cm，圆拱高|OP|=20cm， 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系.试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； （2）若制作的小船模型的宽为60cm，高为9cm，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥.请说明理由. 【答案】（1）. （2）能通过，理由见详解. 【解析】 【分析】（）根据题意结合坐标系可写出各点坐标并设出圆心坐标，由两点间的距离公式表示出，可得出圆心坐标和半径长，即可得出圆的方程. （）根据题意将问题转化到平面直角坐标系中，通过解方程可得小船可通过石拱桥的最大高度为，而小船的高为，所以小船可以通过. 【小问1详解】 由题意可知，，， 设圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则，， 所以， 解得，所以，， 所以圆弧所在圆的圆心为，半径为， 所以圆弧所在圆的方程为. 【小问2详解】 设小船模型的下底边为，则，， 将代入圆的方程中得， 解得或（舍）， 因为小船模型的高为，， 所以该小船能通过（1）中的石拱桥. 4.（2023·湖北·真题）已知圆：，直线过点，且圆心到直线的距离为1． （1）求出圆的圆心和半径，并判断直线和圆的位置关系； （2）求直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为；半径为；直线和圆相交 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，将圆的一般方程转化为标准方程，即可求出圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断直线和圆的位置关系； （2）根据题意，分类讨论直线斜率是否存在两种情况，结合圆心到直线距离，即可求得直线的方程. 【小问1详解】 因为圆：， 化成标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为； 因为圆心到直线的距离为1，又， 所以直线和圆相交； 小问2详解】 当该直线l的斜率不存在时， 过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k， 过点且斜率k的直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 两边平方得，即，解得， 所以直线l的方程为，即； 综上所述，直线l的方程为或. 5.（2022·湖北·真题）如图，光线从点射到轴上点处，然后被轴反射，记反射光线所在直线为． （1）求的方程； （2）求以线段为直径的圆的方程，并判断该圆与的位置关系． 【答案】（1） （2），相切 【解析】 【分析】（1）根据反射光线与入射光线的关系，即可求解. （2）求出圆的标准方程，根据圆心到直线l的距离与半径的关系，即可求解. 【小问1详解】 设直线AB的倾斜角为， 则斜率， 所以， 因为直线l是直线AB的反射光线， 所以直线l的倾斜角为，斜率， 又因为直线l过点， 所以直线l的方程为. 【小问2详解】 线段AB的中点坐标为， ， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 圆的方程为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆相切.. 考点02 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 6.（2026·湖北·真题）若一个球的表面积为，则它的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用球的表面积公式求出半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】设球半径为， 则，解得， 则球的体积为. 故答案为：. 7.（2025·湖北·真题）如图所示：一个容器由棱锥和棱柱两部分组成，其中四棱锥的底面是一个边长为20的正方形，棱锥和棱柱的高均为9，则该几何体的体积为_________. 【答案】4800 【解析】 【分析】根据题意结合棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】四棱锥的底面是一个边长为20的正方形，棱锥和棱柱的高均为9， 则四棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为， 故答案为：. 8.（2024·湖北·真题）立德职校的学生到工厂实习加工制作铁制六角螺母.如图，该螺母是在一个正六棱柱 中间挖去一个圆柱的组合体，其中正六棱柱的底面边长为12mm， 圆柱的直径为10mm，组合体的高为10mm. 已知铁的密度是7.9g/cm³，则该螺母的质量约为（参考数据：）（ ） A. 11g B. 23g C. 35g D. 47g 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出正六棱柱与圆柱的体积，即可求出螺母的体积，根据铁的密度即可求出质量. 【详解】由题意可知正六棱柱的底面边长为12mm，组合体的高为10mm， 正六棱柱底面积为， 正六棱柱的体积为， 因为圆柱直径为，所以圆柱的体积为，， 所以螺母的体积为， 所以质量， 故选：. 9.（2023·湖北·真题） 一个谷仓下方为圆柱，上方为圆锥，下方圆柱高为，底面直径为，上方圆锥高为，则此谷仓的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式求值即可. 【详解】由题意可知，圆柱高为，底面直径为， 则底面半径为，所以圆柱的体积为， 圆锥高为，底面半径同为， 所以圆锥的体积为， 所以此谷仓的容积为， 故选：B. 10.（2022·湖北·真题）把一个高为的圆锥形容器装满水，然后将水全部倒入一个与它同底等高，且底面水平放置的圆柱形容器中，则圆柱形容器中水面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式列方程求解即可. 【详解】已知圆锥的高为，设圆柱与圆锥的底均为， 则由圆锥体积公式知水的总体积， 又由圆柱体积公式，解得， 故选：C. 考点03 概率 11.（2026·湖北·真题打靶命中10环的概率为，命中9环的概率为，则命中环数超过8环的概率___. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式即可求解. 【详解】由题意得：“命中10环” 和 “命中9环” 这两个事件是互斥事件，即不可能同时发生. “命中环数超过8环” 包含命中 9 环、10 环的两个互斥事件， 所以根据互斥事件的概率加法公式得， 即命中环数超过8环的概率为. 故答案为：. 12.（2025·湖北·真题）“四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产，按照成书先后依次为《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》，现从四本书中随机挑选3本，则《西游记》被抽中的概率是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据组合数和古典概型概率公式计算即可. 【详解】记事件A为《西游记》被抽中， 从四本书中随机挑选3本的方法数为（种）， 事件A的方法数为（种）， ∴， ∴《西游记》被抽中的概率是. 故答案为：. 13.（2024·湖北·真题）中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的常见表述为“任一大于2的偶数都可以表示为两个素数的和” ，如，，，，，现从，，，这四个素数中 （1）随机取一个数，这个数大于6的概率是________ （2）随机取两个不同的数，这两数的和不等于18的概率是________ 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】（1）先求共有几种选择，求出大于有几种选择，然后根据概率公式可求； （2）先求取两个不同的数有几种选择，求出两数的和不等于18有几种选择，然后根据概率公式可求. 详解】（1），，，这四个素数中选一个数共有种选择， 其中大于6的有，，，有种选择， 则大于6的概率是； （2）随机取两个不同的数可能是和；和；和；和；和；和，共种， 两数的和不等于18，，，，，共有4种， 则这两数的和不等于18的概率是. 故答案为：；. 14.（2023·湖北·真题）射击比赛中，射中9环的概率为，小于9环的概率为， ①低于环的概率为_____； ②射中环的概率为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】①根据互斥事件的概念公式求值即可，②根据对立事件的概率公式求值即可. 【详解】已知射中9环的概率为，小于9环的概率为， 则低于环的概率为. 因为射中环的事件与低于环的事件为对立事件， 所以射中环的概率为. 故答案为：，. 15.（2022·湖北·真题）从一副不包含大王、小王，且黑桃、红桃、方块、梅花四种花色齐全52张扑克牌中随机抽取一张，则； （1）抽到黑桃牌的概率为___________； （2）抽到黑桃牌或红桃牌的概率为___________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. ##0.5 【解析】 【分析】4种花色抽到黑桃或红桃的概率都为，结合古典概型的计算即可. 【详解】（1）从一副不包含大王、小王，且黑桃、红桃、方块、梅花四种花色齐全的52张扑克牌中随机抽取一张， 则抽到黑桃牌的概率 ， （2）从一副不包含大王、小王，且黑桃、红桃、方块、梅花四种花色齐全的52张扑克牌中随机抽取一张， 则抽到红桃牌的概率， 所以抽到黑桃牌和红桃牌的概率：. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线和圆的方程、立体几何、概率与统计初步 直线与圆的方程 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标及其夹角； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的方程； 8.理解直线和圆的位置关系。 立体几何 1.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征； 2.了解柱、锥、球及其简单组合体的面积、体积的计算及面积、体积的计算。 概率与统计初步 1.理解.随机事件（不可能事件、必然事件等）； 2.理解古典概型的概率计算； 3.理解互斥事件的概率加法公式。 考点01 直线与圆的综合应用 1.（2026·湖北·真题）已知圆 ，直线 过原点，且圆心 到直线 距离为 . （1）求圆 的圆心坐标和半径； （2）判断直线 与圆 的位置关系，并求直线 的方程. 2.（2025·湖北·真题）已知点，圆方程为，直线过点与圆相交于两点. （1）求点与圆的位置关系； （2）求弦长的最大值和最小值，并写出最大、最小时直线的一般式方程. 3.（2024·湖北·真题）赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥.树人职校综合实践小组拟用打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、 一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. （1）如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度|AB|=80cm，圆拱高|OP|=20cm， 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系.试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； （2）若制作的小船模型的宽为60cm，高为9cm，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥.请说明理由. 4.（2023·湖北·真题）已知圆：，直线过点，且圆心到直线的距离为1． （1）求出圆的圆心和半径，并判断直线和圆的位置关系； （2）求直线的方程． 5.（2022·湖北·真题）如图，光线从点射到轴上点处，然后被轴反射，记反射光线所在直线为． （1）求的方程； （2）求以线段为直径的圆的方程，并判断该圆与的位置关系． 考点02 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 6.（2026·湖北·真题）若一个球的表面积为，则它的体积为________. 7.（2025·湖北·真题）如图所示：一个容器由棱锥和棱柱两部分组成，其中四棱锥的底面是一个边长为20的正方形，棱锥和棱柱的高均为9，则该几何体的体积为_________. 8.（2024·湖北·真题）立德职校的学生到工厂实习加工制作铁制六角螺母.如图，该螺母是在一个正六棱柱 中间挖去一个圆柱的组合体，其中正六棱柱的底面边长为12mm， 圆柱的直径为10mm，组合体的高为10mm. 已知铁的密度是7.9g/cm³，则该螺母的质量约为（参考数据：）（ ） A. 11g B. 23g C. 35g D. 47g 9.（2023·湖北·真题） 一个谷仓下方为圆柱，上方为圆锥，下方圆柱高为，底面直径为，上方圆锥高为，则此谷仓的容积为（ ） A. B. C. D. 10.（2022·湖北·真题）把一个高为的圆锥形容器装满水，然后将水全部倒入一个与它同底等高，且底面水平放置的圆柱形容器中，则圆柱形容器中水面的高度为（ ） A. B. C. D. 考点03 概率 11.（2026·湖北·真题打靶命中10环的概率为，命中9环的概率为，则命中环数超过8环的概率___. 12.（2025·湖北·真题）“四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产，按照成书先后依次为《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》，现从四本书中随机挑选3本，则《西游记》被抽中的概率是_________. 13.（2024·湖北·真题）中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的常见表述为“任一大于2的偶数都可以表示为两个素数的和” ，如，，，，，现从，，，这四个素数中 （1）随机取一个数，这个数大于6的概率是________ （2）随机取两个不同的数，这两数的和不等于18的概率是________ 14.（2023·湖北·真题）射击比赛中，射中9环的概率为，小于9环的概率为， ①低于环的概率为_____； ②射中环的概率为_____． 15.（2022·湖北·真题）从一副不包含大王、小王，且黑桃、红桃、方块、梅花四种花色齐全52张扑克牌中随机抽取一张，则； （1）抽到黑桃牌的概率为___________； （2）抽到黑桃牌或红桃牌的概率为___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $