专题05图形的变化（5年汇编）（重庆专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 重庆中考数学5年真题1年模拟汇编，聚焦图形变化专题，涵盖三视图、轴对称、相似三角形等6大高频考点，真题与模拟题结合，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15题（60分）|三视图（正方体组合体）、轴对称（冬奥标识/化学仪器）、相似性质（位似比与周长比）|基础题固定位置考查，跨学科素材占比提升| |解答题|15题（138分）|尺规作图（平行四边形/角平分线）、解直角三角形（景区游览/海岛航行）|“作图+证明填空”固定形式，生活化情境贴合本地实际|

专题05 图形的变化 5年真题1年模拟 考点分类 重庆考情（2022-2026） 命题规律 考点01三视图 2026重庆卷 2023重庆卷 均以选择题第 2 题左右的基础位置考查，分值稳定4 分。命题以相同小正方体搭建的组合几何体为固定素材，统一给出立体直观图，要求判断对应方向的视图。核心围绕三视图的基础概念展开，重点考查主视图的形状识别，同时常设 “从正面看到的视图” 类直观判断考题。整体难度极低，属于固定送分题型，近三年命题素材高度统一，均为4个正方体的简单组合体，无复杂嵌套与隐藏面辨析，纯概念识别类设问占比 100%。 考点02 轴对称图形的识别 2025重庆卷 2024重庆卷 2022重庆卷 均以选择题第 2 题卷首基础题形式考查，分值稳定4分。命题采用多元跨学科情境化设计，冬奥运动标识、化学仪器示意图、标点符号、几何图案等素材轮换出现，均为平面图形识别场景。核心围绕轴对称图形的定义展开，重点考查对称轴的直观判断、轴对称与中心对称的基础区分，同时常设 “下列图形是轴对称图形的是” 辨析类考题。整体难度极低，属于典型送分题，近五年命题素材逐年贴近生活与跨学科场景，纯几何图案占比下降，生活化、跨学科素材占比提升，核心判断标准保持不变。 考点03 相似三角形的性质 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 多以选择题第 4-5 题基础题型考查，分值稳定 4 分，常结合位似图形命题。命题以位似三角形、一般相似三角形为核心载体，多直接给出相似比或位似比，考查性质的直接套用。核心围绕相似三角形的基本性质展开，重点考查相似比与周长比、面积比的对应关系，以及位似图形的相似性特征，同时常设周长、面积比值计算类考题。整体难度偏低，以性质直接应用为主，近五年考查频率稳定，位似图形是高频命题载体，不涉及复杂相似证明与多步推导，侧重基础概念的精准对应。 考点04 三角形相似综合题 2026重庆卷 主要以选择题第9题固定中档题形式考查，分值4分，同时作为核心解题工具贯穿几何压轴解答题。命题普遍以正方形为核心载体，结合角平分线、旋转、垂线等条件设计问题，常伴随线段比例、面积比值类设问。核心围绕相似三角形的判定与性质综合应用展开，重点考查 “一线三垂直”“八字型”“A 型” 相似模型的识别与应用，侧重通过相似转化线段比例、推导面积关系，同时常设面积比、线段长求解类考题。整体难度中档偏上，是选择题中段的核心区分题，近五年命题始终绑定正方形背景考查，模型特征明显，对图形识别与比例运算能力的要求稳步提升，纯证明类设问较少，侧重计算导向的综合应用。 考点05 尺规作图问题 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题前中段固定题型考查，分值 8 分左右，统一采用 “尺规作图 + 几何证明填空” 的命题形式。命题以矩形、平行四边形、角平分线、垂直平分线为核心素材，要求先完成指定尺规作图（保留作图痕迹），再补全全等证明的空缺步骤。核心围绕基本尺规作图方法与全等三角形证明逻辑展开，重点考查作垂线、作角平分线、作垂直平分线三类基本作图，以及全等判定定理的规范应用，同时常设证明步骤补全类考题。整体难度中等偏易，属于固定套路题型，近五年命题形式高度稳定，作图要求简单规范，证明填空均围绕全等三角形展开，侧重作图规范性与几何逻辑严谨性，作图痕迹与步骤书写为固定得分点。 考点06 解直角三角形问题 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题中段固定应用大题形式考查，分值稳定 10 分，设置 2 个小问分层设问。命题采用生活化实践场景设计，人行步道修建、湖面救援、长跑线路勘测、海岛航行、景区游览路线等贴近生活与生产的素材频繁出现，均以方位角、方向角为核心条件，结合直角三角形边角关系求解。核心围绕解直角三角形的实际应用展开，重点考查构造直角三角形、利用 30°、45°、60° 特殊角三角函数求解线段长度、路线长度比较与方案选择，同时常设距离计算、路径择优类考题。整体难度中等，是应用题的核心题型之一，近五年命题始终围绕特殊角的直角三角形展开，参考数据固定给出，侧重建模能力与计算准确性，情境素材逐年贴合本地生活与城市建设场景，解题核心方法高度稳定。 考点01 三视图 1．（2026·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（    ） A． B． C． D． 考点02 轴对称图形的识别 1．（2025·重庆·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·重庆·中考真题）下列图形是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（2022·重庆·中考真题）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 考点03 相似三角形的性质 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆·中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆·中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 5．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 6．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（    ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9 考点04 三角形相似综合题 1．（2026·重庆·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 考点05 尺规作图问题 1．（2026·重庆·中考真题）综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 2．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 3．（2024·重庆·中考真题）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 4．（2023·重庆·中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）    已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 5．（2022·重庆·中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）． 在和中， ∵， ∴． 又， ∴__________________① ∵， ∴__________________② 又__________________③ ∴． 同理可得__________________④ ∴． 6．（2022·重庆·中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴______①____． ∵， ∴______②_____． 又∵____③______． ∴（）． 同理可得：_____④______． ． 考点06 解直角三角形问题 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·中考真题）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． (1)求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； (2)现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 3．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 4．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 5．（2024·重庆·中考真题）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）    (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 6．（2023·重庆·中考真题）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：    (1)求AD的长度．（结果精确到1千米） (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 7．（2023·重庆·中考真题）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．    (1)求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）； (2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，） 8．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东． (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 9．（2022·重庆·中考真题）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处． (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 1．（2026·重庆江津·三模）某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的主视图是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 3．（2026·重庆·二模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·二模）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·二模）请选出下列不同学科的图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·二模）如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆巴南·模拟预测）下面是不同学科的图形，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·二模）为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了、、、、五个服务点，分别是社区服务中心，健身广场，便民菜站，快递驿站和儿童游乐区．如图，在的正东方向，在的东北方向米处，在的正西方向，在的南偏西方向，在的南偏东方向，且在的西南方向．（参考数据：，） (1)求健身广场和便民菜站之间的距离（结果保留根号）； (2)某日，小聪从社区服务中心出发，沿路线去便民菜站买菜；同时，小明从儿童游乐区出发沿路线去快递驿站取快递．已知小明的速度是小聪的倍，当小明到的距离恰好是小聪到的距离的倍时，求小聪到的距离（结果保留一位小数）． 9．（2026·重庆·二模）在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： (1)构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 10．（2026·重庆·三模）如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） (1)求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） (2)游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 11．（2026·重庆巴南·模拟预测）为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： (1)尺规作图：在上取一点D，使得，连接，作的角平分线分别与相交于点E，F；（不写作图，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，已知，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵F是中点 ∴①______ ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴ ∵且平分 ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是③______， 又∵ ∴四边形是矩形． 12．（2026·重庆·三模）学习了等腰三角形的性质后，小南进行了拓展性研究，他发现等腰三角形两个底角的角平分线相等．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：确定条件并构造角平分线． 在中，已知，小南作的角平分线交AC于点D．请你利用尺规作图，作的角平分线交于点E（不写作法，保留作图痕迹） (2)第二步：利用全等三角形证明． 证明： 平分 ，平分 ， 在 和 中： 13．（2026·重庆渝中·三模）如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的变化 5年真题1年模拟 考点分类 重庆考情（2022-2026） 命题规律 考点01三视图 2026重庆卷 2023重庆卷 均以选择题第 2 题左右的基础位置考查，分值稳定4 分。命题以相同小正方体搭建的组合几何体为固定素材，统一给出立体直观图，要求判断对应方向的视图。核心围绕三视图的基础概念展开，重点考查主视图的形状识别，同时常设 “从正面看到的视图” 类直观判断考题。整体难度极低，属于固定送分题型，近三年命题素材高度统一，均为4个正方体的简单组合体，无复杂嵌套与隐藏面辨析，纯概念识别类设问占比 100%。 考点02 轴对称图形的识别 2025重庆卷 2024重庆卷 2022重庆卷 均以选择题第 2 题卷首基础题形式考查，分值稳定4分。命题采用多元跨学科情境化设计，冬奥运动标识、化学仪器示意图、标点符号、几何图案等素材轮换出现，均为平面图形识别场景。核心围绕轴对称图形的定义展开，重点考查对称轴的直观判断、轴对称与中心对称的基础区分，同时常设 “下列图形是轴对称图形的是” 辨析类考题。整体难度极低，属于典型送分题，近五年命题素材逐年贴近生活与跨学科场景，纯几何图案占比下降，生活化、跨学科素材占比提升，核心判断标准保持不变。 考点03 相似三角形的性质 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 多以选择题第 4-5 题基础题型考查，分值稳定 4 分，常结合位似图形命题。命题以位似三角形、一般相似三角形为核心载体，多直接给出相似比或位似比，考查性质的直接套用。核心围绕相似三角形的基本性质展开，重点考查相似比与周长比、面积比的对应关系，以及位似图形的相似性特征，同时常设周长、面积比值计算类考题。整体难度偏低，以性质直接应用为主，近五年考查频率稳定，位似图形是高频命题载体，不涉及复杂相似证明与多步推导，侧重基础概念的精准对应。 考点04 三角形相似综合题 2026重庆卷 主要以选择题第9题固定中档题形式考查，分值4分，同时作为核心解题工具贯穿几何压轴解答题。命题普遍以正方形为核心载体，结合角平分线、旋转、垂线等条件设计问题，常伴随线段比例、面积比值类设问。核心围绕相似三角形的判定与性质综合应用展开，重点考查 “一线三垂直”“八字型”“A 型” 相似模型的识别与应用，侧重通过相似转化线段比例、推导面积关系，同时常设面积比、线段长求解类考题。整体难度中档偏上，是选择题中段的核心区分题，近五年命题始终绑定正方形背景考查，模型特征明显，对图形识别与比例运算能力的要求稳步提升，纯证明类设问较少，侧重计算导向的综合应用。 考点05 尺规作图问题 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题前中段固定题型考查，分值 8 分左右，统一采用 “尺规作图 + 几何证明填空” 的命题形式。命题以矩形、平行四边形、角平分线、垂直平分线为核心素材，要求先完成指定尺规作图（保留作图痕迹），再补全全等证明的空缺步骤。核心围绕基本尺规作图方法与全等三角形证明逻辑展开，重点考查作垂线、作角平分线、作垂直平分线三类基本作图，以及全等判定定理的规范应用，同时常设证明步骤补全类考题。整体难度中等偏易，属于固定套路题型，近五年命题形式高度稳定，作图要求简单规范，证明填空均围绕全等三角形展开，侧重作图规范性与几何逻辑严谨性，作图痕迹与步骤书写为固定得分点。 考点06 解直角三角形问题 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题中段固定应用大题形式考查，分值稳定 10 分，设置 2 个小问分层设问。命题采用生活化实践场景设计，人行步道修建、湖面救援、长跑线路勘测、海岛航行、景区游览路线等贴近生活与生产的素材频繁出现，均以方位角、方向角为核心条件，结合直角三角形边角关系求解。核心围绕解直角三角形的实际应用展开，重点考查构造直角三角形、利用 30°、45°、60° 特殊角三角函数求解线段长度、路线长度比较与方案选择，同时常设距离计算、路径择优类考题。整体难度中等，是应用题的核心题型之一，近五年命题始终围绕特殊角的直角三角形展开，参考数据固定给出，侧重建模能力与计算准确性，情境素材逐年贴合本地生活与城市建设场景，解题核心方法高度稳定。 考点01 三视图 1．（2026·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是2，1，1，据此判断即可． 【详解】解：观察几何体，从正面看： 第一列（左）有2层，看到2个正方形， 第二列（中）有1层，看到1个正方形， 第三列（右）有1层，看到1个正方形， 从正面看到的视图如下 2．（2023·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形， 故选：D． 【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3．（2023·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可. 【详解】解：从正面看到的视图是： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了几何体的视图，明确从正面看到的视图是解题关键. 考点02 轴对称图形的识别 1．（2025·重庆·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 2．（2024·重庆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（2022·重庆·中考真题）下列图形是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 5．（2022·重庆·中考真题）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】A.不是轴对称图形，故A错误； B.不是轴对称图形，故B错误； C.是轴对称图形，故C正确； D.不是轴对称图形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 考点03 相似三角形的性质 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是， 故选：D． 2．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 3．（2023·重庆·中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴相似三角形的对应边比为， 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4．（2023·重庆·中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键. 5．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴4：x=2：3， 解得：x=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 6．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（    ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9 【答案】A 【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与位似 ∴ ∵与的位似比是1:2 ∴与的相似比是1:2 ∴与的周长比是1:2 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质． 考点04 三角形相似综合题 1．（2026·重庆·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，先得出，则可得的长，再过点作于点，作于点，得出，，求出的长，进而求出与的面积即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 如图，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴与的面积之比为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形． 考点05 尺规作图问题 1．（2026·重庆·中考真题）综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】(1)解：作图如下： (2)证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 2．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步： 作图如下： AI； 第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】略 3．（2024·重庆·中考真题）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2)①；②；③；④四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2023·重庆·中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）    已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 【答案】 如图，即为所求；    ①；②；③；④被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分 【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． 【详解】解：图略； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ． ∵垂直平分， ∴． 又 ． ∴． ∴． 故答案为：；；； 由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分， 故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 5．（2022·重庆·中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）． 在和中， ∵， ∴． 又， ∴__________________① ∵， ∴__________________② 又__________________③ ∴． 同理可得__________________④ ∴． 【答案】、、、 【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解． 【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）． 如图所示， 在和中， ∵， ∴． 又， ∴① ∵， ∴② 又③ ∴． 同理可得④ ∴． 故答案为：、、、 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键． 6．（2022·重庆·中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴______①____． ∵， ∴______②_____． 又∵____③______． ∴（）． 同理可得：_____④______． ． 【答案】图见解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE 【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC=∠F，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到结论． 【详解】解：如图，AD即为所求， 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴∠ADC=∠F． ∵， ∴∠1=∠2． 又∵AC=AC． ∴（）． 同理可得：△ABD≌△BAE． ． 故答案为：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键． 考点06 解直角三角形问题 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 2．（2026·重庆·中考真题）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门，猴山，古塔，游乐场为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处，位于的正南方向且位于的南偏西方向，位于的南偏东方向且位于的南偏东方向． (1)求的长度（参考数据：，，，，结果保留小数点后一位）； (2)现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离处多少千米？ 【答案】(1)7.4千米 (2)千米或4千米 【分析】（1）过点B作于点E，由含30度直角三角形的性质求得，，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得； （2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作于点H，由速度关系得路程关系，设千米，则千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得，再由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 由题意得， ∴千米， ∵，， ∴， ∴千米， 由勾股定理得千米， ∵， ∴， ∴千米， 由勾股定理得（千米）． 答：的长度为7.4千米． （2）解：假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，即千米， 如图，过点F作于点H， ∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍， ∴乙的路程是甲的路程的2倍， 即， 设千米，则千米，千米， ∵，， ∴千米， 由勾股定理得千米，千米， 在中，由勾股定理得， 整理得， 解得， 则（千米），或（千米）． 答：甲离处千米或4千米． 3．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离海里； (2)甲货轮先到达港． 【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴，两港之间的距离海里； （2）由（）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 5．（2024·重庆·中考真题）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）    (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)千米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米； （2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点C作于D，    在中，千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米，千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 6．（2023·重庆·中考真题）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据：    (1)求AD的长度．（结果精确到1千米） (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】(1)AD的长度约为千米 (2)小明应该选择路线①， 由题意可得：，， ∴路线①的路程为：（千米）， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，， 所以路线②的路程为：千米， ∴路线①的路程路线②的路程， 故小明应该选择路线①． 【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，    由题意可得：四边形是矩形， ∴千米， ∵点D在点A的北偏东方向， ∴， ∴千米， 答：AD的长度约为千米； （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． 7．（2023·重庆·中考真题）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．    (1)求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）； (2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：，） 【答案】(1)2545米 (2)能， 米， 米， 则甲组到达处所需时间为（分钟）分钟， 所以甲组能在9分钟内到达处． 【分析】（1）过点作于点，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得； （2）先解直角三角形求出的长，从而可得的长，再根据时间等于路程除以速度即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，    由题意得：， ， 米， 米， 答：养殖场与灯塔的距离为2545米． （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 8．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东． (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 【答案】(1)283米 (2)经过点到达点较近 【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足为， ∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°， ∴四边形ACHE是矩形， ∴米， 根据题意得：∠D=45°， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∴DH=EH=200米， ∴（米）； （2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°， 在中， ∴米， ∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米， ∴（米）， ∴（米）， ∴经过点到达点，总路程为， ∴经过点到达点较近． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 9．（2022·重庆·中考真题）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处． (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【答案】(1)湖岸A与码头C的距离为1559米 (2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船 【分析】（1）过点作垂线，交延长线于点，设，则，，，在中，，即可求出，根据中，即可求出湖岸与码头的距离； （2）设快艇将游客送上救援船时间为分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= ，列出方程，求出时间，再和5分钟进行比较即可求解． 【详解】（1）解：过点作垂线，交延长线于点，如图所示， 由题意可得：，，米，则， 设，则，，， 在中，， ∴，解得， 在中，， ∴（米）， ∴湖岸与码头的距离为1559米； （2）解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟， 由题意可得：， ， ∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键． 1．（2026·重庆江津·三模）某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主视图是从前向后看得到的视图，结合选项即可做出判断． 【详解】解：从前向后看得到的视图是梯形，桶垃圾的上边沿是矩形． 2．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 3．（2026·重庆·二模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 4．（2026·重庆·二模）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 5．（2026·重庆·二模）请选出下列不同学科的图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 6．（2026·重庆·二模）如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，位似图形一定是相似图形，且相似多边形的周长比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比也等于相似比，据此即可求解． 【详解】四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形， 四边形与四边形的周长之比为， 四边形与四边形的相似比为， 位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比， ． 7．（2026·重庆巴南·模拟预测）下面是不同学科的图形，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 8．（2026·重庆·二模）为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了、、、、五个服务点，分别是社区服务中心，健身广场，便民菜站，快递驿站和儿童游乐区．如图，在的正东方向，在的东北方向米处，在的正西方向，在的南偏西方向，在的南偏东方向，且在的西南方向．（参考数据：，） (1)求健身广场和便民菜站之间的距离（结果保留根号）； (2)某日，小聪从社区服务中心出发，沿路线去便民菜站买菜；同时，小明从儿童游乐区出发沿路线去快递驿站取快递．已知小明的速度是小聪的倍，当小明到的距离恰好是小聪到的距离的倍时，求小聪到的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米 (2)112.4米 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，利用45°锐角三角函数值解直角三角形求出长，利用60°锐角三角函数值解直角三角形求出长，根据求出结果； （2）根据速度关系，设，则，，过点作于点，利用45°、60°锐角三角函数值解直角三角形求出、、的长，根据勾股定理列方程求出x的值，进而求出结果． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点． 由题意得：，，； 在中，，， ∴， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：健身广场和便民菜站之间的距离为米． （2）解：设小聪走到点，小明走到点，连接， 小明的速度是小聪的倍， 设，则，， 过点作于点，     在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： ， （舍）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴ (米）， 答：小聪到的距离为112.4米． 9．（2026·重庆·二模）在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： (1)构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)①；②；③；④． 【分析】（1）根据尺规作图垂线的方法即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）证明：为的角平分线 在和中 是等腰三角形． 10．（2026·重庆·三模）如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） (1)求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） (2)游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米． (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决. （1）明四边形是平行四边形，可得米，过点C作，垂足为H，把分成两个直角三角形，再解三角形即可求出、，由即可求解； （2）游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，构造，利用勾股定理表示甲乙两人之间的距离，再根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H， ∵景点在观景中心的北偏东方向，休息站在景点的南偏西， ∴，，即， ∴， 由题意可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴米， 由景点在的东南方向米处，可得，米， ∴（米）， （米） ∴（米）， ∴米． （2）解：如图，游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，设甲离开观景中心距离为米时，即米，由题意可得米， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴， ∵甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍，即， ∴ ∴， 解得：，（负数根不符合题意已经舍去）， 答：甲离开观景中心米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍． 11．（2026·重庆巴南·模拟预测）为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： (1)尺规作图：在上取一点D，使得，连接，作的角平分线分别与相交于点E，F；（不写作图，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，已知，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵F是中点 ∴①______ ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴ ∵且平分 ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是③______， 又∵ ∴四边形是矩形． 【答案】(1) (2)①，②，③平行四边形 【分析】（1）以为圆心，为半径，作弧与交于，连接，，再由角平分线的作法作图即可； （2）先利用中点性质和两直线平行的内错角相等，证明，再依据等腰三角形的三线合一性质得到，进而推出四边形是平行四边形，最后证得四边形是矩形． 【详解】（1）略； （2）略． 12．（2026·重庆·三模）学习了等腰三角形的性质后，小南进行了拓展性研究，他发现等腰三角形两个底角的角平分线相等．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：确定条件并构造角平分线． 在中，已知，小南作的角平分线交AC于点D．请你利用尺规作图，作的角平分线交于点E（不写作法，保留作图痕迹） (2)第二步：利用全等三角形证明． 证明： 平分 ，平分 ， 在 和 中： 【答案】(1) (2)①；②；③；④． 【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法即可解答； （2）首先由得出；接着根据角平分线性质得到；进而通过等量代换证得，结合已知条件，为后续利用ASA证明提供了关键依据． 【详解】（1）如图，先以点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交于点，交于点，再分别以点、点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，使其与相交于点，则射线即为的角平分线． （2）略． 13．（2026·重庆渝中·三模）如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 【答案】(1) (2)； ； 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，解答即可；用圆规采用画弧法截取即可； （2）根据角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可； 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ，， ， ∴， ； 为的中点， ∴， ． 在与中， ， ． ． ． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $