（暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型）-2026年数学七升八暑期进阶全攻略（北师大版）

2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一整式的乘除 1 考点二相交线与平行线 2 考点三概率初步 3 考点四三角形 3 考点五图形的轴对称 4 考点六变量之间的关系 5 考点一整式的乘除 1．若，， _________． 2．若，则的值是________． 3．若与的乘积中，不含的一次项，则常数的值是_____． 4．如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为_______． 5．某科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：shu li shi jie 密码 考点二相交线与平行线 6．如图，为直线上一点，平分，，若，则的度数是_______． 7．数学课上，老师将一个量角器的中心与直线，的交点重合（如图），表示的外圈刻度线在直线上，表示的内圈刻度线在直线上，对于的度数，让大家进行讨论，小刚认为：越小，的度数就越小，你认为他的说法______（填“正确”或“错误”）． 8．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 9．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 10．如图①是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图②是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整后臂杆之间的夹角，则所在直线与形成的锐角的度数为_______度． 考点三概率初步 11．一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是________． 12．小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 13．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 14．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 15．2026年是中国航天事业创建70周年．为普及航天知识，山西省实验中学科技节举办“航天知识大闯关”活动．在其中一个抽奖环节中，一个不透明的抽奖箱里装有10个印有“神舟飞船”标志的红球和若干个印有“天宫空间站”标志的白球．这些球除颜色和标志外完全相同．参与者随机摸出一个球、如果摸到红球，即可获得一份纪念品．已知每位参与者获得纪念品的概率为，则抽奖箱中白球的数量为____个． 考点四三角形 16．已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 17．如图，，边与边、边与边分别是对应边．如果，那么_______． 18．如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 19．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 20．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 考点五图形的轴对称 21．如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为__________． 22．平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 23．如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 24．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 25．如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则_____． 考点六变量之间的关系 26．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 27．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 28．2026年春节档电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》分列档期票房前三名．根据以往统计数据显示，一线城市在春节档电影票房中占比约为，若春节档总票房为a元，一线城市的春节档电影票房为b元，则b与a的关系式为______． 29．如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 30．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． （1）这一变化过程中，自变量是_______； （2）晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一整式的乘除 1 考点二相交线与平行线 3 考点三概率初步 5 考点四三角形 7 考点五图形的轴对称 11 考点六变量之间的关系 14 考点一整式的乘除 1．若，， _________． 【答案】 【分析】先求出的值，再根据列式计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 2．若，则的值是________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘以多项式法则将式子变形为含的形式，最后整体代入已知条件求值即可． 【解答】解：∵， ∴ ． 3．若与的乘积中，不含的一次项，则常数的值是_____． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算两个多项式的乘积，再令乘积中的一次项系数为，求解即可得到常数的值． 【解答】解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 4．如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】首先用含有，的式子表示阴影部分的面积，通过配方法，整理为含有，的式子，代入求解即可得到阴影部分的面积． 【解答】解： ， 把，代入上式，原式． 5．某科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：shu li shi jie 密码 【答案】 【分析】根据题意可知其密码由最终表达式中x，y，z的指数依次拼接而成的，再根据幂的乘方，及单项式除以单项式进行运算，然后根据指数得出答案． 【解答】解：由，， ∴密码是由表达式中x，y，z的指数依次拼接而成的， ∴． 考点二相交线与平行线 6．如图，为直线上一点，平分，，若，则的度数是_______． 【答案】 【解答】解：平分，， ， ， ， . 7．数学课上，老师将一个量角器的中心与直线，的交点重合（如图），表示的外圈刻度线在直线上，表示的内圈刻度线在直线上，对于的度数，让大家进行讨论，小刚认为：越小，的度数就越小，你认为他的说法______（填“正确”或“错误”）． 【答案】错误 【分析】利用量角器表示出，再判断与的关系． 【解答】解：由题意可知，的对顶角为， ∴， ∴越小，的度数就越大，故小刚的说法错误． 8．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【解答】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 9．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【解答】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 10．如图①是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图②是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整后臂杆之间的夹角，则所在直线与形成的锐角的度数为_______度． 【答案】85 【分析】由平行线的性质求出的度数，再由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴所在直线与形成的锐角的度数为． 考点三概率初步 11．一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解题的关键． 由于从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则盒子里面红球的个数小于黄球的个数，据此即可解答． 【解答】解：∵从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性， ∴盒子里面红球的个数小于黄球的个数， ∴． 故答案为：． 12．小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【解答】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 13．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【解答】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 14．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【解答】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 15．2026年是中国航天事业创建70周年．为普及航天知识，山西省实验中学科技节举办“航天知识大闯关”活动．在其中一个抽奖环节中，一个不透明的抽奖箱里装有10个印有“神舟飞船”标志的红球和若干个印有“天宫空间站”标志的白球．这些球除颜色和标志外完全相同．参与者随机摸出一个球、如果摸到红球，即可获得一份纪念品．已知每位参与者获得纪念品的概率为，则抽奖箱中白球的数量为____个． 【答案】20 【分析】设出白球数量，根据摸到红球的概率等于红球个数除以总球数，列出一元一次方程求解即可． 【解答】解；设抽奖箱中白球的数量为个， 根据题意可得， 解得， ∴抽奖箱中白球的数量为20个． 考点四三角形 16．已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【解答】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 17．如图，，边与边、边与边分别是对应边．如果，那么_______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据角度转换即可解答． 【解答】解：， ， ，即． 18．如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 19．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 【答案】 【解答】解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 【答案】①或②或③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，已知和对顶角，若要证明，还需一组对应边相等，分别验证各条件能否推出边相等或直接构成全等条件． 【解答】解：∵，且（对顶角相等）， 若添加条件①， 在和中，， ， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件①符合； 若添加条件②， 在和中，， ，故条件②符合； 若添加条件③， 在和中，， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件③符合； 若添加条件④， 此时只有三个角对应相等，没有边相等的条件，无法证明三角形全等，故条件④不符合； 综上所述，符合条件的序号是①或②或③． 考点五图形的轴对称 21．如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为__________． 【答案】 【分析】由尺规作图痕迹可知为的角平分线，根据平行线的性质可得，进而求出的度数，最后利用平行线的性质即可求出的大小 ． 【解答】解：由题意可得，为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 22．平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和垂线段最短进行求解即可． 【解答】解：∵平分，于A，且， ∴ 点P到的距离为6（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 点Q在射线上运动，当Q为点P到的垂足时，取最小值6； 当Q远离垂足时，无限增大， ∴的取值范围是． 故答案为：． 23．如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；过点作，则，又根据，即可求得的长． 【解答】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即：， 故答案为：． 24．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【解答】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 25．如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则_____． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得，，由此证明，结合，可得，进而求出． 【解答】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴，即， ∵四边形的面积是， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点六变量之间的关系 26．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数． 【解答】解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变． ②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量． ③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量． ④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量． 综上，变量共有3个， 故答案为3个． 27．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【解答】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 28．2026年春节档电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》分列档期票房前三名．根据以往统计数据显示，一线城市在春节档电影票房中占比约为，若春节档总票房为a元，一线城市的春节档电影票房为b元，则b与a的关系式为______． 【答案】 【分析】利用一线城市票房等于总票房乘以一线城市票房占比，即可得到与的关系式． 【解答】解∶根据题意可知，一线城市票房占总票房的，总票房为元，一线城市票房为元，因此可得 29．如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 30．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． （1）这一变化过程中，自变量是_______； （2）晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】（1）时间 （2）80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【解答】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 学科网（北京）股份有限公司 $