5.2 分式的运算暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 八年级数学分式运算暑期同步练习，分层覆盖基础运算到创新应用，梯度合理，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式化简、基本计算|单选1-8、填空11-13巩固运算法则，培养运算能力| |中档|概念辨析、混合运算|单选9-10、解答16-18强化推理意识，纠错题型提升严谨性| |提升|新定义、实际应用|解答19-20结合单位分数证明、饮水机温度模型，发展创新与模型意识|

5.2 分式的运算 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．化简的结果是(     ) A． B． C． D． 2．计算：（    ）． A．1 B． C．2 D． 3．化简等于（    ） A． B． C． D． 4．下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（     ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 10．给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．如果，那么________，________． 12．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 13．已知，且．则的值为_____． 14．若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则________；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则________． 15．已知，则_______． 三、解答题 16．下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 (1)任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； (2)任务二：请写出正确的解答过程． 17．科学表明，健康饮水的适宜温度是（含和）．如图是某品牌饮水机的相关信息： (1)若在温水出口接水6秒、开水出口接水2秒，则开水和温水混合后的温度为 ； (2)若用甲杯在温水出口接水秒、开水出口接水秒，用乙杯在温水出口接水秒、开水出口接水秒（）．用含和的代数式分别表示甲杯、乙杯中水的温度，并比较两杯水的温度的大小，说明理由； (3)若接水总时间为15秒，使得水温在健康饮水的适宜温度内，则在开水出口接水时间（秒）的范围 ． 18．计算： (1)； (2) (3) (4) 19．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”． 古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：，因此单位分数也称为“埃及分数”． (1)求证：(为正整数，)可以分解为单位分数，的和； (2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程： 第1个：， 第2个：， 第3个：， …… 用上述式子反映的规律，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明； (3)借助（1）（2）的结果，试将(为正整数，)分解成不超过3个不同单位分数之和的形式． 20．对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C B C A D C 1．B 【详解】解： 2．B 【详解】解：． 3．B 【分析】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．分式乘除运算时，除法需转化为乘法并注意约分，根据分式的乘除运算依次计算判断即可． 【详解】解：对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确； 故选：D． 5．C 【详解】解：． 6．B 【分析】先利用平方差公式分解多项式，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果． 【详解】解：∵， ∴ 原式 ， 约去分子分母的公因式和，得原式 ． 7．C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 8．A 【详解】解： ． 9．D 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵最简公分母是系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意实数都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 10．C 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键． 序列定义为周期函数，周期为，计算前几项可得模式；结论①直接计算验证；结论②利用周期性和乘积性质，每项，求和得；结论③化简表达式为多项式与分式，要求分式为整数，需为的约数，但排除后仅得个整数，与结论声称个不符. 【详解】解：∵ ，， ∴ ； ； ； ；故结论①正确， ，即， ，即， 故序列周期为6，即， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，，，， ∴， 要求值为整数，则需为的约数，即，，，，，， 得，，，，，，，，，，，， 由于， 故有个整数，与结论中个不符，故③错误； 综上，正确结论为①和②，共个， 故选C． 11． 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 12． 【详解】解： 13． 【分析】先对已知等式通分整理，得到，再将其代入所求分式化简，即可得到结果． 【详解】解：已知， ∴， 整理得，， 将代入所求分式，得， ∵， ∴， ∴． 14． 【分析】本题考查了新定义的分式运算． 根据“梦幻数”的定义取符合条件的最小的数求出是，代入计算即可；根据“梦幻数”的定义得到，，可得，由E是整数可知为2的倍数且为5的因数，即可得到，计算即可． 【详解】解：∵是最小的“梦幻数”， 百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1， ∴是， ∴； ∵是“梦幻数”， 且满足的千位数字为，十位数字为8， ∴是即（）， ∴， ∵是“梦幻数”， 的百位数字为6，十位数字是， ∴是即（或）， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴为2的倍数且为5的因数（c、a均为正整数且，或） 当为5的因数时，或或， ∵为2的倍数，且取最大值，，或， 当时，，当时，； 当时，，当时，； 当时，，当时，； 综上所述，当时，取最大值， ∴，， ∴． 故答案为：；． 15． 【分析】利用已知条件，对后两个分式进行变形，将三个分式化为同分母分式，再合并化简即可得到结果； 【详解】解：， ， 将代入第三个分式变形得：，原式 ； 16．(1)三 ，括号前面是负号去括号没变号 (2) ． 【分析】（1）根据小红的运算过程分析即可得出结果； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由小红的运算过程可得：小红的解答从第三步开始出现错误，这一步的错误原因是括号前面是负号去括号没变号； （2）略． 17．(1) (2)解：甲水杯水的温度高，理由如下： 甲水杯温度：∵温水出口接水秒、开水出口接水秒， ∴温水体积为，开水体积为， ； 乙水杯温度：∵温水出口接水秒、开水出口接水秒， ∴温水体积为，开水体积为， ； ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， 甲水杯水的温度高； (3) 【分析】（1）根据题意，算出温水体积，开水体积，再代入混合温度的计算公式即可求解； （2）根据题中公式，可求得，，再利用作差法比较大小即可； （3）由开水出口接水时间为秒，可知温水接水时间为秒，开水体积为，温水体积为，根据健康饮水的适宜温度是（含和），可得到不等式组，化简计算得到，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵温水体积，开水体积， ∴混合温度为； （2）略 （3）解：∵开水出口接水时间为秒，则温水接水时间为秒，开水体积为，温水体积为， 又∵健康饮水的适宜温度是（含和）， ∴， 化简得， 解得， ∵，即， 综上可知，的取值范围是． 18．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)见解析 【分析】本题考查分式的加法运算与分式的基本性质，核心知识点为分式的通分与约分，关键是通过观察规律推导分解形式，并利用分式运算验证等式． （1）要证明可分解为两个指定单位分数的和，只需将右边的两个分式通分相加，约分后验证是否等于左边的； （2）先观察已知等式的规律，总结出第个真分数的形式及对应的分解结果，再通过通分相加验证等式成立； （3）解题思路：分三种情况讨论的取值(的倍数、非3倍数的偶数、非3倍数的奇数)，结合（1）和（2）的结论，将拆分为不超过3个不同的单位分数之和． 【详解】（1）证明：即证， ∵右边， ∴左边=右边， 故成立； （2）解：观察已知等式，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式为：． 证明：∵右边， ∴左边=右边， 故成立； （3）解：分三种情况讨论： 当是3的倍数时，设(为正整数，)，则， 结合（1），； 当不是3的倍数且为偶数时，设(为正整数，)， 则； 当不是3的倍数且为奇数时，是正整数， 结合（2），， ∴； 综上，的分解形式为： 若是3的倍数，； 若不是3的倍数且为偶数，； 若不是3的倍数且为奇数，． 20．(1) (2)①；②当时，；当时，； (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $