2027届高考数学易错易混考前100问 知识清单-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学易错易混考前100问 1.研究集合问题时，一定要抓住集合的代表元. 例如：,,分别表示什么集合？ 设A={直线}，B={圆}，问A∩B中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？ 再如：已知集合，，则的元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合：. 3.若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集） 4.是的子集，若，要注意的情况. 例如：已知集合，，满足，则实数的取值范围是 ________. 5.全称量词与全称命题 全称命题p：， 它的否定：， 特称命题p： 特称命题p的否定p：； 例 若命题p：，，则命题p的否定为 ． 6.注意集合中的元素具有无序性和互异性. 例如：集合隐含条件，集合不能直接化成. 7.求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把直接转化为，而忽视. 例如：不等式的解集为__________. 8.已知"命题为假命题"求参数范围时，先求"命题为真命题"时参数的范围，再取其补集. 例如：命题：“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是_____ . 9.函数的定义域、不等式的解集都要写成集合形式 例如：若函数对任意的实数都满足，且当时，，则不等式的解集是________. 10.函数和的运算、积的运算中定义域关注了吗？ 例如：已知，，则函数的解析式为_____________ 定义域为___________. 11.函数单调区间不能用集合或不等式表示，要写成区间形式,如果有多个增(减)区间用"逗号"隔开. 例如：函数的单调递增区间是___________ 12.求解与函数有关问题时易忽略定义域优先原则. （1）求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？ 例如：求函数的单调增区间？ 再如：设定义在区间上的函数（其中）是偶函数，则函数的单调减区间为__________. （2）判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称） 若（其中）是偶函数，则实数 . 常见奇偶性函数模型 下列函数为奇函数： ①函数或函数． 可以写成或函数． 为奇函数 为奇函数 函数y＝＋和y＝－为奇函数 ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 下列函数为偶函数： ①函数．②(且). ③函数类型的一切函数． 熟悉下列函数的对称性 关于点对称，关于点对称， 13.求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值. 14.解对数函数问题时注意到底数、真数的限制条件了吗？ 例如：方程的解集为. 再如：不等式的解集为__________. 15.函数的对称性你分清楚了吗？ 函数的对称性，周期性 (1) 函数关于__________ 对称 (2) 函数关于__________对称 (3)，则； ，或，,； ，则的周期; 函数关于直线对称 ，关于直线对称，； 函数关于对称，关于对称，4. (4)函数与关于轴对称； 函数与关于轴对称. (5)若函数连续且可导，函数关于直线对称关于对称; 若函数连续且可导，函数关于对称关于对称. 区别:若,则图像关于直线__________对称（自对称）; 两函数与的图像关于直线__________对称（互对称）； 两函数与关于直线__________对称（互对称）. 再如：形如的图像是双曲线，对称中心是点__________. 16.错判幂函数的性质致错 （多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是 A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 17.忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错 利用零点存在性定理解题时要牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能反推端点异号； 例如：已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 18.导数定义，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应； 例如．已知函数，则（    ） A． B． C．-6e D． 【详解】由题意得， 则. 19.注意两种切线方程的异同点，一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程. 例如：已知曲线. (1)求曲线在处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 20.“函数在某点取得极值”不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的，注意检验. 例如．已知函数 在时有极值，则 21.注意是变量，是常量. 例如：已知函数，则＝ . 例如：若在处的切线方程是 22.三次多项式的图形和它的性质要熟悉. 例如1：对于三次函数（），给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算 ． 例2：已知函数在上的最大值为，最小值为，则 （ ） A．5 B．10 C. 1 D．0 23.淆极值点与导数等于零的点的区别致错 导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反 例如若是函数的极小值点，则的极大值为 A． B． C． D． 24．导数中利用数形结合解决零点问题 1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： 方法1：直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． 方法3：数形结合法：对解析式变形，在平面直角坐标系中画函数图象，数形结合求解． 例如．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25导数中求参数的最值（范围）问题 例如．已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例如．函数的最小值为（   ） A．-1 B．1 C． D． 例如．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 切线不等式： 1.； 2 ；3 ； 4 ； 5 6. 8. 9. 10. 11. 泰勒公式时的麦克劳林公式： 26.若角与的终边相同，则 若角与的终边共线，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于原点对称，则： 若角与的终边关于直线对称，则： 27.利用终边上一点的坐标，求角时注意先定象限，再定角. 例如:角的终边过点，则最小正角 . 28.任意角三角函数的定义要看清是否为其终边和单位圆的交点. 例1．将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么　　 A． B． C． D． 解：由点在单位圆上，则，解得，由锐角， 即，则，故， ．故选：． 例2．已知是角的终边上一点，则　　 A． B． C． D． 选：． 29.角度与弧度互化：1°＝ 弧度，1弧度= ° 30.（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 （2）二倍角公式: = = （3）降幂公式: （4）万能公式: （5）半角公式： （6）之间关系： , ， （7）常见结论： _____ _______ (18) 特殊角函数值 , , , 31. 正弦平方差公式： cos()cos()==。 32.正弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则： 变形1：，，；，，； 变形2： 33余弦定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则： ；；． 变形：；；． 面积公式1： 面积2：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 34.三角形内向量形式： 若，则. 35射影定理： 在中，,, 三角形中若sinA=sinB，可推出什么？答：A=B 或 A+B=π（三角形中只能A=B） 36 中线长： 37.辅助角公式: 角可由确定 38.利用与之间的关系，可以将函数转化为熟知函数. 例: 求函数的最大、最小值． 当时最大为 ， 当时最小为. 39.函数图象的对称中心是点，不能写成. 40.会根据图象求参数、的值,注意：的值可能是负数. 例1：函数的部分图象如图所示，则函数表达式为. 例2：如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：之间的关系为，则其中，，，的值分别为 A． ，，3， B．，，3， C．3，，， D．3，，， 41.会求形如，的最小正周期. 例：在函数、、、，中，最小正周期为的函数的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 42.三角函数图像横轴方向的平移、伸缩变换要牢记针对本身而言. 例：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A． B． C． D． 43 .弧长公式和扇形面积公式: . 例如：若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 . 44.（1）三角形内角和定理的使用： ,, （2）三角形中用正弦定理可得角平分线定理： 在中，的内角平分线交于，则. （3）用正弦定理、余弦定理可以实现边角互化. 例1：在中，若，则△ABC的形状是 ( D ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例2：的内角的对边分别为，已知. (1)求；（2）若，的面积为，求的周长． （4）已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，注意可能有两解. 例:在中，，若解此三角形时，仅有一个解，则的取值范围（ ） A． B． C． D．或 (5)解三角形时,注意条件中锐(钝)角三角形对三角形的边或角的限定. 特别地，中,为锐角 例：设中的三个内角的对边分别为，, 且.若角为锐角，求的取值范围. （ ） 45.向量数量积不满足结合律，消去律. 例如：下列各题正确的是__________. （1）若·0，则，中至少有一个为零向量； （2）若，··，则； （3）对任意向量，有； （4）对任意向量，，，有（·）··（·）； 46.在方向上的投影向量的应用. 例1．锐角三角形中，是边上的高，若，则可表示为　　 A．B．C．D． 例2．已知平面向量，且，则在方向上的投影向量的坐标A． B． C． D． 例3：在 ABC中，若对任意的，都有，则 （ ） A.一定为锐角三角形 B.一定为钝角三角形 C.一定为直角三角形 D.可以为任意三角形 47. 向量、共起点求夹角._________ 例如：已知为正三角形且边长为，则__________. 48.当时，则与的夹角为锐角或同向共线； 当时, 则与的夹角为钝角或反向共线. 49.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c (1)是的重心 (2)为的垂心 (3)为的内心 (4)为的外心 (5)已知△ABC，O为其外心，H为其垂心，则 50.已知求，由求数列通项时忽视的讨论致错. 51.从函数角度判断数列的单调性时忽视数列中的致误.（从定义入手更不容易出错） 例如:若是递增数列，求的取值范围. 从定义，对恒成立，即对恒成立，得______ 52.利用定义法，分析数列的单调性. 例如 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 53.斐波那契数列中与求和有关的结论： ① ② ③ ④ 例如：意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足： ，，若 ，则（ ）． A．2020 B．2021 C．59 D．60 54.等比数列的单调性由首项与公比决定. 例如:设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 55.忽略了等比数列中相隔一项的两项符号必定相同而致误. 例如： 若，，，四个实数成等差数列，且，，，，五个实数成等比数列，则＝（ ） A．8 B．－8 C．±8 D． 56.用等比数列求前项和时，没有讨论是否为1而致误. 例如:求和： 57.不等式基本性质 （1）同向可加性：______________． （2）同向可积性：_______________． （3）乘方法则：_____________（，）． （4）开方法则：_____________（，）． 例如：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 答案：3a－2b=（a＋b）+（a-b），故-2≤3a－2b≤10 58.基本不等式 （1）在利用基本不等式求最值时，要满足“一正、二定、三相等”的条件． 例如：下列函数中，最小值为4的个数为(D) ① ② ③ ④ A．4 B．3 C．2 D．1 （2）和为定值，积有最_大_值；积为定值，和有最__小_值； 59.常用的不等式 1对数平均不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： 60.忽视直线斜率是否存在（或者为零）或者忽视两直线是否重合. 例:（1）____； （2） 61.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零； 直线在两轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点； 直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 62.审题时注意区分圆的一般方程和普通方程； 注意圆的一般方程中的隐含条件（）. 例：（1）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准 方程为__________. （2）过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是（ ） A. B. C.或 D.以上皆不对 63.两圆相交圆心距满足；两圆相切注意区分内切和外切. 例：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是_______或___________. 64.将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围导致出错. 例：若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是( ) A. B. C. D. 65.短轴与短半轴，长轴与长半轴、焦距与半焦距混用致错. 例：椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是( ) 66.审题不认真，混淆双曲线标准方程中的和题目中方程的的意义. 例：若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ） A . B. C. D. 67.忽视讨论焦点位置致错. 例：已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 68.忽视隐含信息盲目分类作. 例：若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ） A．或 B． C． D．或 69.作图草率导致分析有误求错曲线方程. 例：已知点是圆心为的圆上的动点，点， 为坐标原点，线段的垂直平分线交于点.求动点的轨迹的方程. 70.审题时将点在渐近线上错当成点在双曲线上计算. 例：设是双曲线（）的左右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则离心率为 ( ) 71.注意识别抛物线的标准方程，焦点所在的坐标轴. 例：抛物线的的准线方程为____________. 72.直线与圆锥曲线的方程联立消元后未考虑判别式而失分；曲线与曲线的方程联立消元后未考虑方程中隐含的范围而理解错题意. 例：已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点关于直线对称,则抛物线的方程为__________. 73. 立体几何审题时注意关键字：“体积、表面积、侧面积、轴截面面积”等 74.立体几何解答题中的辅助线、坐标轴要在答题卡上明确画出. （注意：先证垂直后建系，建系解题时几何关系分析到位有时可简化运算量） 75.注意各类角的范围： （1）异面直线所成的角范围： （2）直线与平面所成的角范围：__________ （3）二面角的平面角范围： （4）平面与平面的夹角范围：__________ 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则__________ 76.用空间向量研究距离 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为__________. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. 注意:线面、面面平行及垂直的判定定理和性质定理以及定义要准确记忆. （证明过程紧扣定理、定义，避免用二级结论） 77. 翻折问题要注意翻折、展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”. 例如：如图，已知四边形是底角为的等腰梯形，且，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（    ） A． B． C．D． 78. 三棱锥中: 侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心; 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心; 斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心; 例如：已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，， 是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积 为 　　． 79.立体几何动态轨迹最值问题可以建立空间直角坐标系，利用向量方法研究空间中的线面位置关系 例如：已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则 C．若，则线段的最大值为 D．当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分 80.立体几何中常用一些结论： （1）棱长为的正四面体的高为，体积为; 其外接球半径，内切球半径（）； （2）若四面体的体积为，表面积为，则可用求该四面体的内切球半径. （3）长方体的外接球的直径是其体对角线. （4）当多面体存在内切球时，多面体的内切球半径. 81.立体几何中注意回顾柱体、锥体的外接球问题定球心或者半径的一般方法： ①定义法； ②补形为长方体.共斜边的直角三角形拼接模型，墙角模型，对棱相等. 82.三余弦定理:和平面所成角是：,在平面内射影为,在平面内, 设,则：. 83.排列数公式 ；. 84.排列恒等式：（1） 85.组合数： 排列数和组合数的关系： ； 86.组合数性质： ,,. （1） 87.二项式定理：， 通项公式 各二项式系数和： 奇(偶)二项式系数和相等： ， 奇(偶)次项系数和 奇(偶)次项系数和. 注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行. 88．（1）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别. 例如：求第5项的二项式系数是 5 ；第5项展开式系数是 10 . 求的二项式系数和 32 ；展开式系数和 243 . （2）二项式展开式的通项中和的顺序不能颠倒！ 例如：第项的二项式系数为. （3）审题时明确求项还是求项的系数. 的展开式中，项是；项的系数是10． （4）展开式中最大（或最小）项利用数列单调性或来确定. 例：求的展开式中系数最大的项是． （5）会利用二项式定理求近似值和余数 例 用二项式定理计算，精确到1的近似值为（ C ） A 99000… B.99002 C 99004 D 99005 例2：除以所得余数为（ C） A． B． C． D． 89.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；均值为，方差为，用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，均值为，方差为 总体平均数为，样本平均数为.样本方差为，则＝，＝， 在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 90．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 91.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有 ，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 全概率公式与随机游走 虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者 （）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用. 92.概率的计算公式： (1)等可能事件的概率计算公式：； (2)互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； (3)对立事件的概率计算公式是：P()=1－P(A)； (4)独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)； (5)独立事件重复试验的概率计算公式是：(是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项). （6）离散型随机变量的分布列的两个性质 ;（2） （7）数学期望： （8）方差： 标准差：= （9） 期望与方差的性质： E(a 93 三种分布 （1）二项分布（独立重复试验）： （1）若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。 （2）超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 超几何分布的期望～ ， ， （3）正态分布： ⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 标准正态分布密度函数： 正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称； ③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1； ①当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；②当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。 注：P=0.6826； P=0.9544 P=0.9974 94.总体百分位数估计 1.根据样本数据估计总体百分位数 计算一组个数据的第百分位数的一般步骤 第1步，按照从小到大排列原始数据． 第2步，计算＝*%. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项和第(＋1)项数据的平均数． 95.总体集中趋势的估计 表达集中趋势的特征数 众数：一组数据中重复出现次数最多的数． 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在最中间位置(或最中间两个数据的平均数)的数叫做这组数据的中位数． 平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数： ①在频率分布直方图中，将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值为频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。 96.总体离散程度的估计 方差、标准差 1.一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为 2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝ 3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称 s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 4.标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 例：已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 97. 样本相关系数 当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 98.一元线性回归模型的参数的公式能相互转化. 73.刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好． 99.①独立性检验一定要有零假设 ②等高条形图 （1）绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色． （2）等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(与(或与)相差很大)，就判断两个分类变量之间有关系． （3）通过等高条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度． 例：观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ） A． B．C．D． 【答案】D 观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．D 5．独立性检验（分类变量关系）： 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 总计 a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 联表 （1）当时，没有充分的证据判断变量A,B没有关联时， 有的把握判断变量A,B有关联时，有的把握判断变量A,B有关联 有的把握判断变量A,B有关联 100.常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 例：四种统计图：①条形图；②扇形图；③折线图；④直方图．四个特点：易于比较数据之间的差异；易于显示各组之间的频数的差别；易于显示数据的变化趋势；易于显示每组数据相对于总数所占的比例．统计图与特点选配方案分别是：①与；②与；③与；④与，其中选配方案正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 故选:B. 例 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】 例 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为， 其中第二组的频数为． （1）求该校报考飞行员的总人数； （2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望． 同学们，在你们即将步入2027年高考考场之际，陪伴了三年的老师们向你们送去最真诚的祝福：祝愿同学们旗开得胜，一路绿灯，完美收官。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学易错易混考前100问 1.研究集合问题时，一定要抓住集合的代表元. 例如：,,分别表示什么集合？ 设A={直线}，B={圆}，问A∩B中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？ 再如：已知集合，，则的元素的个数为（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合：. 3.若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集） 4.是的子集，若，要注意的情况. 例如：已知集合，，满足，则实数的取值范围是. 5.全称量词与全称命题 全称命题p：， 它的否定：， 特称命题p： 特称命题p的否定p：； 例 若命题p：，，则命题p的否定为 ． 6.注意集合中的元素具有无序性和互异性. 例如：集合隐含条件，集合不能直接化成. 7.求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把直接转化为，而忽视. 例如：不等式的解集为. 8.已知"命题为假命题"求参数范围时，先求"命题为真命题"时参数的范围，再取其补集. 例如：命题：“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是 . 9.函数的定义域、不等式的解集都要写成集合形式 例如：若函数对任意的实数都满足，且当时，，则不等式的解集是 （或写成）. 10.函数和的运算、积的运算中定义域关注了吗？ 例如：已知，，则函数的解析式为 ，定义域为. 11.函数单调区间不能用集合或不等式表示，要写成区间形式,如果有多个增(减)区间用"逗号"隔开. 例如：函数的单调递增区间是（或写成和） 12.求解与函数有关问题时易忽略定义域优先原则. （1）求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？ 例如：求函数的单调增区间？ 再如：设定义在区间上的函数（其中）是偶函数，则函数的单调减区间为. （2）判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称） 若（其中）是偶函数，则实数 .2 常见奇偶性函数模型 下列函数为奇函数： ①函数或函数． 可以写成或函数． 为奇函数 为奇函数 函数y＝＋和y＝－为奇函数 ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 下列函数为偶函数： ①函数．②(且). ③函数类型的一切函数． 熟悉下列函数的对称性 关于点对称，关于点对称， 13.求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值. 14.解对数函数问题时注意到底数、真数的限制条件了吗？ 例如：方程的解集为. 再如：不等式的解集为. 15.函数的对称性你分清楚了吗？ 函数的对称性，周期性 (1) 函数关于 对称 (2) 函数关于对称 (3)，则； ，或，,； ，则的周期; 函数关于直线对称 ，关于直线对称，； 函数关于对称，关于对称，4. (4)函数与关于轴对称； 函数与关于轴对称. (5)若函数连续且可导，函数关于直线对称关于对称; 若函数连续且可导，函数关于对称关于对称. 区别:若,则图像关于直线对称（自对称）; 两函数与的图像关于直线对称（互对称）； 两函数与关于直线对称（互对称）. 再如：形如的图像是双曲线，对称中心是点. 16.错判幂函数的性质致错 （多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是 A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 17.忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错 利用零点存在性定理解题时要牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能反推端点异号； 例如：已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 【答案】D 18.导数定义，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应； 例如．已知函数，则（    ） A． B． C．-6e D． 【答案】B 【详解】由题意得， 则. 19.注意两种切线方程的异同点，一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程. 例如：已知曲线. (1)求曲线在处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 答案：或 20.“函数在某点取得极值”不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的，注意检验. 例如．已知函数 在时有极值，则 答案 21.注意是变量，是常量. 例如：已知函数，则＝ . 答案：0 例如：若在处的切线方程是 答案： 22.三次多项式的图形和它的性质要熟悉. 例如1：对于三次函数（），给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算 ． 答案：2016例2：已知函数在上的最大值为，最小值为，则 （ ） A．5 B．10 C. 1 D．0 答案：10 23.淆极值点与导数等于零的点的区别致错 导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反 例如若是函数的极小值点，则的极大值为 A． B． C． D． 【答案】D 24．导数中利用数形结合解决零点问题 1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： 方法1：直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． 方法3：数形结合法：对解析式变形，在平面直角坐标系中画函数图象，数形结合求解． 例如．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】设，，则，当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 当时，，当x趋近于时，趋近于0，， 直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则 ，解得，故选：D． 25导数中求参数的最值（范围）问题 例如．已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】因为，即，即在上恒成立，设，则，易知时，， 所以恒成立，即，令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以实数a的取值范围是.故选：B. 例如．函数的最小值为（   ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【解】证明：令，所以，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即，即，当且仅当时等号成立. ， 由（当且仅当时等号成立）， （令，则在上单调递增，又因为，，所以在上有唯一解.）所以的最小值为1.故选：. 例如．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【解】令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，，设， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，解得，所以的最大值为.故答案为： 切线不等式： 1.； 2 ；3 ； 4 ； 5 6. 8. 9. 10. 11. 泰勒公式时的麦克劳林公式： 26.若角与的终边相同，则 若角与的终边共线，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于原点对称，则： 若角与的终边关于直线对称，则： 27.利用终边上一点的坐标，求角时注意先定象限，再定角. 例如:角的终边过点，则最小正角 . 28.任意角三角函数的定义要看清是否为其终边和单位圆的交点. 例1．将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么　　 A． B． C． D． 解：由点在单位圆上，则，解得，由锐角， 即，则，故， ．故选：． 例2．已知是角的终边上一点，则　　 A． B． C． D． 选：． 29.角度与弧度互化：1°＝ 弧度，1弧度= ° 30.（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 （2）二倍角公式: = = （3）降幂公式: （4）万能公式: （5）半角公式： （6）之间关系： , ， （7）常见结论： _____ _______ (18) 特殊角函数值 , , , 31. 正弦平方差公式： cos()cos()==。 32.正弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则： 变形1：，，；，，； 变形2： 33余弦定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则： ；；． 变形：；；． 面积公式1： 面积2：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 34.三角形内向量形式： 若，则. 35射影定理： 在中，,, 三角形中若sinA=sinB，可推出什么？答：A=B 或 A+B=π（三角形中只能A=B） 36 中线长： 37.辅助角公式: 角可由确定 38.利用与之间的关系，可以将函数转化为熟知函数. 例: 求函数的最大、最小值． 当时最大为 ， 当时最小为. 39.函数图象的对称中心是点，不能写成. 40.会根据图象求参数、的值,注意：的值可能是负数. 例1：函数的部分图象如图所示，则函数表达式为. 例2：如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：之间的关系为，则其中，，，的值分别为 A． ，，3， B．，，3， C．3，，， D．3，，， 解：由题意可知的最大值为，最小值为， 所以，，得，，因为筒车每分钟转2圈，所以函数的周期为，故，即，所以，由题，时，，由，即，因为，．选． 41.会求形如，的最小正周期. 例：在函数、、、，中，最小正周期为的函数的个数为（ C ） A．个 B．个 C．个 D．个 42.三角函数图像横轴方向的平移、伸缩变换要牢记针对本身而言. 例：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ C ） A． B． C． D． 43 .弧长公式和扇形面积公式: . 例如：若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 . 44.（1）三角形内角和定理的使用： ,, （2）三角形中用正弦定理可得角平分线定理： 在中，的内角平分线交于，则. （3）用正弦定理、余弦定理可以实现边角互化. 例1：在中，若，则△ABC的形状是 ( D ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例2：的内角的对边分别为，已知. (1)求；（2）若，的面积为，求的周长． （ ;） （4）已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，注意可能有两解. 例:在中，，若解此三角形时，仅有一个解，则的取值范围（ D ） A． B． C． D．或 (5)解三角形时,注意条件中锐(钝)角三角形对三角形的边或角的限定. 特别地，中,为锐角 例：设中的三个内角的对边分别为，, 且.若角为锐角，求的取值范围. （ ） 45.向量数量积不满足结合律，消去律. 例如：下列各题正确的是（3）. （1）若·0，则，中至少有一个为零向量； （2）若，··，则； （3）对任意向量，有； （4）对任意向量，，，有（·）··（·）； 46. 在方向上的投影向量的应用. 例1．锐角三角形中，是边上的高，若，则可表示为　　 A．B．C．D． 解：锐角三角形中，是边上的高，若， 则在方向上的投影向量可表示为．故选：． 例2．已知平面向量，且，则在方向上的投影向量的坐标A． B． C． D． 解：已知，由于，所以，解得， 所以，得，则， 故在方向上的投影为， 得在方向上的投影向量为．故选：． 例3：在 ABC中，若对任意的，都有，则 （ ） A.一定为锐角三角形 B.一定为钝角三角形 C.一定为直角三角形 D.可以为任意三角形 答案：C 解析1：代数法：设AB=c,AC=b,BC=a，将两边平方得即关于λ的不等式在R上恒成立，因此△≤0，整理为，再由正弦定理得， 则角C为直角. 解析二 几何法：根据平面向量减法的几何意义，当时，不等式成立，可得 则角C为直角. 47. 向量、共起点求夹角. 例如：已知为正三角形且边长为，则. 48.当时，则与的夹角为锐角或同向共线； 当时, 则与的夹角为钝角或反向共线. 49.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c (1)是的重心 (2)为的垂心 (3)为的内心 (4)为的外心 (5)已知△ABC，O为其外心，H为其垂心，则 50.已知求，由求数列通项时忽视的讨论致错. 例如：， 答案： 51.从函数角度判断数列的单调性时忽视数列中的致误.（从定义入手更不容易出错） 例如:若是递增数列，求的取值范围. 答案：从函数角度,由对称轴 得， 从定义，对恒成立，即对恒成立，得 52.利用定义法，分析数列的单调性. 例如 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 答案：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，． 由题知，，其中，2，…，24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由，得．所以，当时，递减． 又，所以，当时， 所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 53.斐波那契数列中与求和有关的结论： ① ② ③ ④ 例如：意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足： ，，若 ，则（ ）． A．2020 B．2021 C．59 D．60 答案： 54.等比数列的单调性由首项与公比决定. 例如:设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当且，时或且，数列是递增数列；所以“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C. 55.忽略了等比数列中相隔一项的两项符号必定相同而致误. 例如： 若，，，四个实数成等差数列，且，，，，五个实数成等比数列，则＝（ ） A．8 B．－8 C．±8 D． 答案：B 56.用等比数列求前项和时，没有讨论是否为1而致误. 例如:求和： 答案： 57.不等式基本性质 （1）同向可加性：______________． （2）同向可积性：_______________． （3）乘方法则：_____________（，）． （4）开方法则：_____________（，）． 例如：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 答案：3a－2b=（a＋b）+（a-b），故-2≤3a－2b≤10 58.基本不等式 （1）在利用基本不等式求最值时，要满足“一正、二定、三相等”的条件． 例如：下列函数中，最小值为4的个数为(D) ① ② ③ ④ A．4 B．3 C．2 D．1 （2）和为定值，积有最_大_值；积为定值，和有最__小_值； 59.常用的不等式 1对数平均不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： 60.忽视直线斜率是否存在（或者为零）或者忽视两直线是否重合. 例:（1）； （2） 方程为. 61.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零； 直线在两轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点； 直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 62.审题时注意区分圆的一般方程和普通方程； 注意圆的一般方程中的隐含条件（）. 例：（1）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准 方程为. （2）过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是（ D ） A. B. C.或 D.以上皆不对 63.两圆相交圆心距满足；两圆相切注意区分内切和外切. 例：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是或. 64.将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围导致出错. 例：若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是( C ) A. B. C. D. 65.短轴与短半轴，长轴与长半轴、焦距与半焦距混用致错. 例：椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是( ) 66.审题不认真，混淆双曲线标准方程中的和题目中方程的的意义. 例：若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（ C ） A . B. C. D. 67.忽视讨论焦点位置致错. 例：已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是（ C ） A. B. C. D. 68.忽视隐含信息盲目分类作. 例：若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的标准方程为（ C ） A．或 B． C． D．或 69.作图草率导致分析有误求错曲线方程. 例：已知点是圆心为的圆上的动点，点， 为坐标原点，线段的垂直平分线交于点.求动点的轨迹的方程. 解：由于点在线段的垂直平分线上，故， 因此，故点轨迹为椭圆， 其中， ，因此点的轨迹的方程为. 70.审题时将点在渐近线上错当成点在双曲线上计算. 例：设是双曲线（）的左右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则离心率为 ( ) 71.注意识别抛物线的标准方程，焦点所在的坐标轴. 例：抛物线的的准线方程为. 72.直线与圆锥曲线的方程联立消元后未考虑判别式而失分；曲线与曲线的方程联立消元后未考虑方程中隐含的范围而理解错题意. 例：已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点关于直线对称,则抛物线的方程为. 73. 立体几何审题时注意关键字：“体积、表面积、侧面积、轴截面面积”等 74.立体几何解答题中的辅助线、坐标轴要在答题卡上明确画出. （注意：先证垂直后建系，建系解题时几何关系分析到位有时可简化运算量） 75.注意各类角的范围： （1）异面直线所成的角范围： （2）直线与平面所成的角范围： （3）二面角的平面角范围： （4）平面与平面的夹角范围： 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 76.用空间向量研究距离 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. 注意:线面、面面平行及垂直的判定定理和性质定理以及定义要准确记忆. （证明过程紧扣定理、定义，避免用二级结论） 77. 翻折问题要注意翻折、展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”. 例如：如图，已知四边形是底角为的等腰梯形，且，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（    ） A． B． C．D． 【答案】B 解：设的中点为点，连接交于点，在底面内，过点、分别作、，垂足分别为点、， 设，由四边形为底角为的等腰梯形，且，可得，， ，为的中点，则且， 四边形为菱形，所以为线段的垂直平分线， 则，，，平面， 在翻折的过程中，点在底面内的投影在线段上， 所以，为二面角的平面角，即， 当点在底面内的投影在线段上时，， 而，所以此时； 当点在底面内的投影在线段上时，则，，， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以此时． 综上所述，.故选：B． 78. 三棱锥中: 侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心; 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心; 斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心; 例如：已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，， 是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积 为 　　． 答案：． 79.立体几何动态轨迹最值问题可以建立空间直角坐标系，利用向量方法研究空间中的线面位置关系 例如：已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则 C．若，则线段的最大值为 D．当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分 【详解】因为为侧面的中心，所以为的中点， 又为棱的中点，所以， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半， 设，所以点到直线的距离为， 所以点到直线的距离为，所以的面积， 又，，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的体积，A正确； 如图以点为原点，为的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以向量为平面的一个法向量， 设，， 所以， 因为平面，所以， 所以，所以，所以，B错误； 设，则，又， 因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以当时，线段取最大值，最大值为；C正确； 因为，，又与的所成角为，所以，化简可得，且， 所以点的轨迹为抛物线的一部分，D错误；故选：AC. 80.立体几何中常用一些结论： （1）棱长为的正四面体的高为，体积为; 其外接球半径，内切球半径（）； （2）若四面体的体积为，表面积为，则可用求该四面体的内切球半径. （3）长方体的外接球的直径是其体对角线. （4）当多面体存在内切球时，多面体的内切球半径. 81.立体几何中注意回顾柱体、锥体的外接球问题定球心或者半径的一般方法： ①定义法； ②补形为长方体.共斜边的直角三角形拼接模型，墙角模型，对棱相等. 82.三余弦定理:和平面所成角是：,在平面内射影为,在平面内, 设,则：. 83.排列数公式 ；. 84.排列恒等式：（1） 85.组合数： 排列数和组合数的关系： ； 86.组合数性质： ,,. （1） 87.二项式定理：， 通项公式 各二项式系数和： 奇(偶)二项式系数和相等： ， 奇(偶)次项系数和 奇(偶)次项系数和. 注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行. 88．（1）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别. 例如：求第5项的二项式系数是 5 ；第5项展开式系数是 10 . 求的二项式系数和 32 ；展开式系数和 243 . （2）二项式展开式的通项中和的顺序不能颠倒！ 例如：第项的二项式系数为. （3）审题时明确求项还是求项的系数. 的展开式中，项是；项的系数是10． （4）展开式中最大（或最小）项利用数列单调性或来确定. 例：求的展开式中系数最大的项是． （5）会利用二项式定理求近似值和余数 例 用二项式定理计算，精确到1的近似值为（ C ） A 99000… B.99002 C 99004 D 99005 例2：除以所得余数为（ C） A． B． C． D． 89.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；均值为，方差为，用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，均值为，方差为 总体平均数为，样本平均数为.样本方差为，则＝，＝， 在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 90．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 91.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有 ，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 全概率公式与随机游走 虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者 （）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用. 92.概率的计算公式： (1)等可能事件的概率计算公式：； (2)互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； (3)对立事件的概率计算公式是：P()=1－P(A)； (4)独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)； (5)独立事件重复试验的概率计算公式是：(是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项). （6）离散型随机变量的分布列的两个性质 ;（2） （7）数学期望： （8）方差： 标准差：= （9） 期望与方差的性质： E(a 93 三种分布 （1）二项分布（独立重复试验）： （1）若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。 （2）超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 超几何分布的期望～ ， ， （3）正态分布： ⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 标准正态分布密度函数： 正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称； ③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1； ①当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；②当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。 注：P=0.6826； P=0.9544 P=0.9974 94.总体百分位数估计 1.根据样本数据估计总体百分位数 计算一组个数据的第百分位数的一般步骤 第1步，按照从小到大排列原始数据． 第2步，计算＝*%. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项和第(＋1)项数据的平均数． 95.总体集中趋势的估计 表达集中趋势的特征数 众数：一组数据中重复出现次数最多的数． 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在最中间位置(或最中间两个数据的平均数)的数叫做这组数据的中位数． 平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数： ①在频率分布直方图中，将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值为频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。 96.总体离散程度的估计 方差、标准差 1.一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为 2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝ 3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称 s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 4.标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 例：已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由方差的计算公式可得， 可得平均数，对于数据有．故选：C． 97. 样本相关系数 当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 98.一元线性回归模型的参数的公式能相互转化. 73.刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好． 99.①独立性检验一定要有零假设 ②等高条形图 （1）绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色． （2）等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(与(或与)相差很大)，就判断两个分类变量之间有关系． （3）通过等高条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度． 例：观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ） A． B．C．D． 【答案】D 观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．D 5．独立性检验（分类变量关系）： 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 总计 a b a+b c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 联表 （1）当时，没有充分的证据判断变量A,B没有关联时， 有的把握判断变量A,B有关联时，有的把握判断变量A,B有关联 有的把握判断变量A,B有关联 100.常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 例：四种统计图：①条形图；②扇形图；③折线图；④直方图．四个特点：易于比较数据之间的差异；易于显示各组之间的频数的差别；易于显示数据的变化趋势；易于显示每组数据相对于总数所占的比例．统计图与特点选配方案分别是：①与；②与；③与；④与，其中选配方案正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 故选:B. 例 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，则，故选：C. 例 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为， 其中第二组的频数为． （1）求该校报考飞行员的总人数； （2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望． 答案:（1）． （2） 由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率 ，故服从二项分布， ． 易错：以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，全省的学生很多，是二项分布，不是超几何分布 同学们，在你们即将步入2026年高考考场之际，陪伴了三年的老师们向你们送去最真诚的祝福：祝愿同学们旗开得胜，一路绿灯，完美收官。 1 学科网（北京）股份有限公司 $