2027新高考数学一轮复习·立体几何与空间向量-第3册-外接球内切球与翻折展开篇（含详细解析）

**基本信息** 聚焦外接球四大方法、内切球等体积法及翻折展开体系，通过分层训练构建从基础到压轴的完整解题能力链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |外接球与内切球|10题（含三侧棱两两垂直型、正四面体R与r）|补形法（长方体）、截面法（外心垂线）、公式法（正棱锥R=(h²+r₀²)/(2h)）、等体积法（r=3V/S全）|从几何体特征到方法选择，通过补形/截面构建球心模型，结合公式推导与体积计算形成闭环| |翻折与展开|10题（含矩形翻折距离、圆锥展开圆心角）|不变量分析（同侧量不变）、坐标旋转变换、展开图还原（最短路径）|以翻折线为轴，区分同侧/跨折线量，通过展开图将空间问题转化为平面几何，培养转化思想|

新高考数学一轮复习·立体几何与空间向量（套装）·第3册：外接球内切球与翻折展开篇 — 新高考数学一轮复习·立体几何与空间向量 — 第 3 册 外接球内切球与翻折展开篇 （外接球四大方法 + 内切球等体积法 + 翻折不变量分析 + 展开图还原） ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 适用对象：2027届新高三师生（一轮复习·综合提升阶段） 覆盖模块：外接球四大方法（补形法/截面法/公式法/坐标法）+ 内切球等体积法 + 翻折不变量分析 + 展开图还原 题量结构：20题（基础8 + 中档8 + 压轴4），含详细五模块解析 命题导向：球模型系统化 + 翻折展开方法体系，与第1、2册形成完整三册能力体系 目 录 目 录 2 本册导读 5 一、本册知识模块结构 5 二、难度分布 5 三、题型分布 5 四、本册知识结构 6 五、本册学习目标 6 第一章 知识梳理 7 1.1 本册知识框架 7 1.2 外接球与内切球核心公式速查 7 1.3 翻折与展开核心方法 8 1.4 核心方法详解 8 1.5 易错点警示 9 第二章 分层训练 10 第一节 基础巩固（6分/题） 10 第1题 （6分）[基础] [选择题] 三侧棱两两垂直型外接球 10 第2题 （6分）[基础] [多选题] 外接球与内切球概念辨析 10 第3题 （6分）[基础] [填空题] 正四面体R与r 11 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正三棱柱外接球+内切球存在性 11 第5题 （6分）[基础] [选择题] 矩形翻折·空间距离 11 第6题 （6分）[基础] [多选题] 翻折不变量概念辨析 11 第7题 （6分）[基础] [填空题] 圆锥展开·扇形圆心角 11 第8题 （6分）[基础] [解答题] 正方形翻折成锥·线面垂直+体积 12 第二节 中档提升（8分/题） 12 第9题 （8分）[中档] [选择题] 线面垂直型外接球 12 第10题 （8分）[中档] [多选题] 多种几何体外接球判断 12 第11题 （8分）[中档] [填空题] 等体积法求内切球 12 第12题 （8分）[中档] [解答题] 正三棱锥R与r综合 12 第13题 （8分）[中档] [选择题] 等边三角形翻折·点到线距离 13 第14题 （8分）[中档] [多选题] 展开图概念与计算 13 第15题 （8分）[中档] [填空题] 正方形沿对角线翻折·距离 13 第16题 （8分）[中档] [解答题] 等腰直角三角形翻折·距离+线面角 13 第三节 压轴挑战（10分/题） 13 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 正四棱锥R+r+球冠面积 13 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 补形法+截面法+等体积法综合 14 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 正方形翻折+外接球综合 14 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 正四面体表面最短路径+空间距离 14 第三章 详细解析 14 第四章 图表汇编 60 一、外接球求法 60 二、内切球与翻折 62 三、公式总结与知识结构 64 附录 66 附录一 答案速查表 66 附录二 本册知识点检测清单 67 第1题 （6分）[基础] [选择题] 三侧棱两两垂直型外接球 15 第2题 （6分）[基础] [多选题] 外接球与内切球概念辨析 18 第3题 （6分）[基础] [填空题] 正四面体R与r 22 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正三棱柱外接球+内切球存在性 25 第5题 （6分）[基础] [选择题] 矩形翻折·空间距离 37 第6题 （6分）[基础] [多选题] 翻折不变量概念辨析 41 第7题 （6分）[基础] [填空题] 圆锥展开·扇形圆心角 44 第8题 （6分）[基础] [解答题] 正方形翻折成锥·线面垂直+体积 47 第9题 （8分）[中档] [选择题] 线面垂直型外接球 16 第10题 （8分）[中档] [多选题] 多种几何体外接球判断 20 第11题 （8分）[中档] [填空题] 等体积法求内切球 23 第12题 （8分）[中档] [解答题] 正三棱锥R与r综合 27 第13题 （8分）[中档] [选择题] 等边三角形翻折·点到线距离 39 第14题 （8分）[中档] [多选题] 展开图概念与计算 42 第15题 （8分）[中档] [填空题] 正方形沿对角线翻折·距离 45 第16题 （8分）[中档] [解答题] 等腰直角三角形翻折·距离+线面角 50 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 正四棱锥R+r+球冠面积 30 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 补形法+截面法+等体积法综合 33 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 正方形翻折+外接球综合 52 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 正四面体表面最短路径+空间距离 55 （在Word中按 Ctrl+A 全选后按 F9 可更新目录页码） 本册导读 本册为立体几何与空间向量套装的第3册，聚焦球模型与翻折展开两大综合专题，覆盖外接球四大方法、内切球等体积法、翻折不变量分析、展开图还原四大知识模块。全部20题均含五模块解析，与第1册（纯几何法）和第2册（坐标法）形成完整的三册能力体系。 一、本册知识模块结构 模块 模块名称 题量 核心能力 模块一 外接球与内切球 10 补形法·截面法·公式法·等体积法 模块二 翻折与展开 10 不变量分析·展开图还原·最短路径 合计 — 20 — 二、难度分布 难度等级 题量 占比 分值 题号 基础 8 40% 6分/题 第1~8题 中档 8 40% 8分/题 第9~16题 压轴 4 20% 10分/题 第17~20题 合计 20 100% — — 三、题型分布 题型 题量 题号 选择题 4 第1、5、9、13题 多选题 4 第2、6、10、14题 填空题 4 第3、7、11、15题 解答题 8 第4、8、12、16~20题 四、本册知识结构 图 本册知识结构思维导图 五、本册学习目标 【外接球补形法】掌握三直角四面体补成长方体的方法，R = / 2。 【外接球截面法】理解球心在"过底面外心垂直于底面"的直线上，能通过截面圆建立方程求解。 【外接球公式法】掌握正棱锥外接球公式 R = (h² + r₀²) / (2h)，理解各参数含义。 【内切球等体积法】能用 V = (1/3) × r × S全 求内切球半径 r = 3V / S全。 【翻折不变量】理解翻折是刚性变换，同侧线段长度、角度、面积不变，跨翻折线量需重新计算。 【展开图还原】能将立体几何体的表面展开为平面图，利用平面几何知识求最短路径。 【最短路径】能在展开图上用两点间线段最短原理求表面上两点的最短距离。 【三册综合】能将第1册纯几何法、第2册坐标法、第3册球模型与翻折方法综合运用。 第一章 知识梳理 1.1 本册知识框架 本册覆盖外接球、内切球、翻折与展开两大综合专题，与第1册（纯几何法）和第2册（坐标法）形成完整三册能力体系： • 外接球四大方法：补形法（三直角四面体→长方体）、截面法（球心在过底面外心垂直于底面的直线上）、公式法（正棱锥）、坐标法（球心到顶点距离=半径列方程）。关键是根据几何体特征选择最优方法。 • 内切球等体积法：利用，由体积和全面积求内切球半径。适用于正多面体和特殊棱锥。 • 翻折不变量分析：翻折是刚性变换，翻折线将平面分为两个半平面，每个半平面作为刚体绕翻折线旋转。同侧量（线段长度、角度、面积）不变，跨翻折线量（两点距离、线线角、体积）需重新计算。 • 展开图还原：将立体几何体表面展开为平面图，利用平面几何知识求最短路径。关键是正确展开、保持对应关系。 1.2 外接球与内切球核心公式速查 方法 公式 适用条件 本册应用 补形法 R = / 2 三直角四面体（三条棱两两垂直） 第1、18题 截面法（正棱锥） 正棱锥，为底面外接圆半径 第4、9、12、17题 截面法（一般棱锥） 球心在过底面外心底面的直线上 一般棱锥，需列方程求解 第9题 公式法（正四面体） R = a / 4 正四面体棱长a 第2、3、10题 内切球等体积法 r = 3V / S 有内切球的几何体 第11、12、17题 正四面体内切球 r = a / 12 正四面体棱长a 第2、3题 球冠面积 S = 2Rh 球面被平面截得的部分 第17题 1.3 翻折与展开核心方法 方法 核心原理 适用场景 本册应用 不变量分析法 同侧量不变（长度、角度、面积），跨翻折线量需重算 所有翻折问题 第5、6、8、13、15、16、19、20题 坐标法（旋转变换） 建系后用旋转向量计算翻折后坐标 需精确计算距离/角度 第5、15、16、19题 展开图还原 将立体表面展开为平面图 求表面最短路径 第7、14、20题 最短路径法 展开图上两点间线段最短 表面上两点最短距离 第20题 1.4 核心方法详解 【补形法求外接球】 当三棱锥有三条棱从同一顶点出发且两两垂直时，可补形为长方体。长方体的外接球球心在对角线中点，半径等于对角线的一半：R = / 2。三棱等长时补形为正方体，R = a / 2。 【截面法求外接球】 球心在"过底面外心垂直于底面"的直线上。设底面外接圆半径为 ，棱锥高为 h，球心到地面距离为 y，则 ，解得 ，。正棱锥的底面外心即底面中心。 【等体积法求内切球】 几何体体积 V = (1/3) r S全，其中 r 为内切球半径，S全 为全面积。 由 r = 3V / S全 求解。正四面体内切球半径 r = a / 12， 外接球半径 R = a / 4，R = 3r。 【翻折不变量分析】 翻折线将平面分为两个半平面。每个半平面作为刚体绕翻折线旋转，故同一半平面内的线段长度、角度、面积均不变。跨翻折线的两点距离一般改变，需通过坐标法或余弦定理重新计算。分析步骤：①确定翻折线 ②区分同侧/跨翻折线量 ③同侧量直接用 ④跨翻折线量重新计算。 【展开图还原法】 将立体几何体的表面展开为平面图。展开时注意：①正确切割（沿棱展开） ②保持面对应关系 ③展开后利用平面几何知识（两点间线段最短、勾股定理等）求解。常见展开：正方体6种展开图、圆锥侧面展开为扇形（圆心角 = 2r/l）、正四面体展开为一个大三角形。 【方法选择策略】 外接球：三直角补形法；正棱锥截面法/公式法；一般棱锥坐标法。内切球：优先等体积法。翻折：先分析不变量，再决定是否用坐标法。展开：求最短路径必展开。 1.5 易错点警示 ▶ 补形法仅适用于三直角四面体——三条棱不两两垂直时不能直接补形。 ▶ 截面法中底面外心位置——正三角形外心=重心=内心=垂心；一般三角形外心需用外接圆半径公式。 ▶ 内切球等体积法中S全是全面积——不能只算侧面积，必须加上底面积。 ▶ 正四面体R = 3r——外接球半径是内切球半径的3倍，不可混淆。 ▶ 翻折不变量仅限同一半平面——跨翻折线的线段长度一定改变。 ▶ 翻折后角度计算——不能直接用翻折前的角度，需重新计算跨翻折线的角。 ▶ 圆锥展开图圆心角公式 = 2r/l——r为底面半径，l为母线长，不可混淆。 ▶ 最短路径需展开到同一平面——展开方式可能不唯一，需选择使两点在同一平面上的展开。 第二章 分层训练 本章按难度分三组编排：基础巩固（6分/题）、中档提升（8分/题）、压轴挑战（10分/题）。每题标注分值和难度，建议按顺序练习，循序渐进。 第一节 基础巩固（6分/题） 第1题 （6分）[基础] [选择题] 三侧棱两两垂直型外接球 在三棱锥 S-ABC 中，SA、SB、SC 两两垂直且 SA = SB = SC = 2，则该三棱锥外接球的表面积为 A. 8 　B. 12 　C. 16 　D. 24 答：___________________________________________ 第2题 （6分）[基础] [多选题] 外接球与内切球概念辨析 关于多面体的外接球与内切球，下列说法正确的是 A. 正四面体的外接球半径与内切球半径之比为 3:1 B. 任意四面体都有唯一的外接球 C. 棱长为 a 的正方体的内切球半径为 (a)/(2) D. 若三棱锥的四个面都是直角三角形，则其外接球球心一定在该三棱锥内部 答：___________________________________________ 第3题 （6分）[基础] [填空题] 正四面体R与r 已知正四面体 S-ABC 的棱长为 2，则其外接球半径 R = ____________________________________，内切球半径 r = ____________________________________。 答：___________________________________________ 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正三棱柱外接球+内切球存在性 答：___________________________________________ 第5题 （6分）[基础] [选择题] 矩形翻折·空间距离 在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 4，E 为 BC 的中点。沿 AE 翻折，使点 B 翻折到点 B'，且二面角 B'-AE-D = 90，则 B'D 的长为 A. 2 　B. 2 　C. 4 　D. 3 答：___________________________________________ 第6题 （6分）[基础] [多选题] 翻折不变量概念辨析 在平面图形中，沿一条直线 l 翻折后形成立体图形。关于翻折前后的不变量，下列说法正确的是 A. 翻折线 l 同侧任意两点间的距离保持不变 B. 翻折线 l 两侧各取一点，它们之间的距离保持不变 C. 翻折线 l 同侧、有公共端点的两条线段的夹角保持不变 D. 翻折线 l 同侧的任意三角形的面积保持不变 答：___________________________________________ 第7题 （6分）[基础] [填空题] 圆锥展开·扇形圆心角 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆锥侧面展开所得扇形的圆心角为 ____________________________________ 度。 答：___________________________________________ 第8题 （6分）[基础] [解答题] 正方形翻折成锥·线面垂直+体积 答：___________________________________________ 第二节 中档提升（8分/题） 第9题 （8分）[中档] [选择题] 线面垂直型外接球 在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC， ABC 是边长为 2 的正三角形，PA = 2，则该三棱锥外接球的表面积为 A. 12 　B. (28)/(3) 　C. 16 　D. (32)/(3) 答：___________________________________________ 第10题 （8分）[中档] [多选题] 多种几何体外接球判断 关于以下几何体的外接球，说法正确的是 A. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度均为 a，则其外接球半径为 (a)/(2) B. 棱长为 a 的正四面体的外接球半径与内切球半径之和为 (a)/(3) C. 长方体的外接球半径等于其体对角线长度的一半 D. 棱长为 a 的正四面体的内切球半径为 (a)/(4) 答：___________________________________________ 第11题 （8分）[中档] [填空题] 等体积法求内切球 在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC，PA = 3， ABC 为正三角形且边长为 2，则该三棱锥内切球半径 r = ____________________________________。 答：___________________________________________ 第12题 （8分）[中档] [解答题] 正三棱锥R与r综合 答：___________________________________________ 第13题 （8分）[中档] [选择题] 等边三角形翻折·点到线距离 在等边三角形 ABC 中，边长为 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点。沿 DE 翻折，使二面角 A'-DE-BC = 60，则翻折后点 A' 到直线 BC 的距离为 A. ()/(4) 　B. ()/(3) 　C. ()/(2) 　D. 答：___________________________________________ 第14题 （8分）[中档] [多选题] 展开图概念与计算 关于几何体的展开图，下列说法正确的是 A. 正方体共有 11 种不同的展开图 B. 底面半径为 r、母线长为 l 的圆锥，其侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为 (2 r)/(l) 弧度 C. 棱长为 a 的正四面体可以展开为一个边长为 2a 的大等边三角形 D. 底面半径为 r、高为 h 的圆柱，其侧面展开图为矩形，该矩形的面积为 h 答：___________________________________________ 第15题 （8分）[中档] [填空题] 正方形沿对角线翻折·距离 在正方形 ABCD 中，边长为 2，沿对角线 AC 翻折，使二面角 B'-AC-D = 60，则翻折后 B'D 的长为 ____________________________________。 答：___________________________________________ 第16题 （8分）[中档] [解答题] 等腰直角三角形翻折·距离+线面角 答：___________________________________________ 第三节 压轴挑战（10分/题） 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 正四棱锥R+r+球冠面积 答：___________________________________________ 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 补形法+截面法+等体积法综合 答：___________________________________________ 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 正方形翻折+外接球综合 答：___________________________________________ 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 正四面体表面最短路径+空间距离 答：___________________________________________ 第三章 详细解析 本章对全部20道试题进行详细解析，每题包含【命题意图】【解题思路】【详细过程】【易错点提示】【知识链接】五大模块，各模块用不同底色样式区分，帮助学生深入理解证明原理、掌握纯几何推理方法、避免常见错误。 路径 起始面 到达面 穿过棱 ① ABC BCD BC ② ABD BCD BD ③ ABC ACD AC ④ ABD ACD AD 第1题 （6分）[基础] [选择题] 三侧棱两两垂直型外接球 在三棱锥 S-ABC 中，SA、SB、SC 两两垂直且 SA = SB = SC = 2，则该三棱锥外接球的表面积为 A. 8 　B. 12 　C. 16 　D. 24 【参考答案】 B 【命题意图】 本题考查"三侧棱两两垂直"型三棱锥的外接球求法，核心是补形法——将三棱锥补形为长方体（正方体），利用长方体外接球公式直接求解。这是外接球问题中最基础的模型，要求学生掌握补形的思想并熟练运用公式 R = ()/(2)。 【解题思路】 SA、SB、SC 两两垂直且共顶点 S，可将三棱锥补形为一个以 SA、SB、SC 为三条棱的长方体（本题中为正方体）。三棱锥的四个顶点 S、A、B、C 均为长方体的顶点，故三棱锥的外接球即为长方体的外接球。长方体的外接球半径等于体对角线的一半。 【详细过程】 第一步：补形。 以 S 为原点，SA、SB、SC 所在直线分别为 x、y、z 轴，则： S(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) 补形为棱长为 2 的正方体，其体对角线长为 = 2。 第二步：求外接球半径。 正方体外接球半径 R 等于体对角线的一半： R = (2)/(2) = 第三步：求表面积。 S = 4 = 4 3 = 12 故选B。 【易错点提示】 - 补形认知错误：部分学生不意识到"三侧棱两两垂直"可以补形为长方体，转而用截面法逐步求解，计算量大幅增加且容易出错。识别"两两垂直"模型并直接补形是本题的关键。 - 公式记忆错误：长方体外接球半径 R = ()/(2)（体对角线的一半），部分学生误记为 R = （忘了除以 2）或 R = (a+b+c)/(2)。 - 混淆外接球与内切球：题目求的是外接球（过所有顶点的球），不是内切球（与所有面相切的球）。 【知识链接】 - 补形法核心原理：若三棱锥的三条侧棱从同一顶点出发且两两垂直，棱长分别为 a、b、c，则可补形为长方体，外接球半径 R = ()/(2)。这是因为三棱锥的四个顶点恰好是长方体的四个顶点（一个顶点和与之相邻的三个顶点），它们到长方体中心（即体对角线中点）的距离相等。 - 长方体外接球：长方体的外接球球心在其体对角线的交点（即中心），半径等于体对角线的一半。正方体（a=b=c）的外接球半径 R = (a)/(2)。 - 补形法的适用条件：三棱锥有三条棱从同一顶点出发且两两垂直。这是判断能否使用补形法的充分条件。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第2题 （6分）[基础] [多选题] 外接球与内切球概念辨析 关于多面体的外接球与内切球，下列说法正确的是 A. 正四面体的外接球半径与内切球半径之比为 3:1 B. 任意四面体都有唯一的外接球 C. 棱长为 a 的正方体的内切球半径为 (a)/(2) D. 若三棱锥的四个面都是直角三角形，则其外接球球心一定在该三棱锥内部 【参考答案】 ABC 【命题意图】 本题考查外接球与内切球的基本概念和性质。要求学生理解外接球、内切球的存在条件，掌握正四面体、正方体等基本几何体的球半径公式，并能判断球心位置。多选题形式增加了辨析的广度和区分度。 【解题思路】 逐项分析：A 利用正四面体 R = (a)/(4)、r = (a)/(12) 验证；B 回忆"不共面四点确定一个球"；C 正方体内切球与各面相切，半径为棱长一半；D 举反例判断球心是否一定在内部。 【详细过程】 - 选项A：正四面体棱长 a，外接球半径 R = (a)/(4)，内切球半径 r = (a)/(12)。 (R)/(r) = ((a)/(4))/((a)/(12)) = (12)/(4) = 3 即 R:r = 3:1。A正确。 - 选项B：四面体的四个顶点不共面（不共面是四面体的定义），而不共面的四个点确定唯一一个球（类比不共线三点确定一个圆）。因此任意四面体都有唯一的外接球。B正确。 - 选项C：正方体棱长 a，内切球与六个面都相切。球心在正方体中心，到每个面的距离为 (a)/(2)（半棱长），故内切球半径 r = (a)/(2)。C正确。 - 选项D：取三直角四面体 S-ABC，其中 SA SB，SA SC，SB SC，SA = SB = SC = 1。该四面体四个面均为直角三角形（ SAB、 SAC、 SBC 各有一个直角， ABC 中 AB = AC = BC = ，满足 A + A = B，也是直角三角形）。 补形为正方体后，外接球球心在正方体中心 (0.5, 0.5, 0.5)。四面体区域为 x 0，y 0，z 0，x + y + z 1。在球心处 x + y + z = 1.5 > 1，球心在四面体外部。D错误。 故选ABC。 【易错点提示】 - 误选D：直觉上"四个面都是直角三角形"的四面体似乎很"规则"，球心应该在内部。但三直角四面体（从正方体一个顶点切出的角）的球心在正方体中心，恰在四面体外部。判断球心位置不能靠直觉，需具体计算。 - 漏选B：部分学生认为"不是所有四面体都有外接球"，实际上不共面四点必确定一个球（类似于不共线三点确定一个圆），这是外接球存在性的理论基础。 - 正四面体公式记忆：R = (a)/(4)，r = (a)/(12)，R = 3r。三个公式记住一个即可推出其余两个。 【知识链接】 - 外接球存在性：任意四面体（四个不共面的点）都有唯一的外接球。这是因为不共面四点不共球面的情况不存在——空间中到四点等距的点有且仅有一个（球心），到四点距离相等即为半径。 - 内切球存在性：并非所有多面体都有内切球。正多面体（正四面体、正方体、正八面体等）一定有内切球。一般多面体需检验是否存在到所有面等距的点。 - 正四面体公式：棱长 a，外接球半径 R = (a)/(4)，内切球半径 r = (a)/(12)，R:r = 3:1。内切球与外接球球心重合（正多面体的对称性保证）。 - 正方体内切球：棱长 a，内切球半径 r = (a)/(2)（球心到每个面的距离 = 半棱长）。正方体的外接球半径 R = (a)/(2)，R:r = :1。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第3题 （6分）[基础] [填空题] 正四面体R与r 已知正四面体 S-ABC 的棱长为 2，则其外接球半径 R = ____________________________________，内切球半径 r = ____________________________________。 【参考答案】 3；1 【命题意图】 本题考查正四面体外接球与内切球半径公式的直接应用。要求学生熟记 R = (a)/(4) 和 r = (a)/(12) 两个核心公式，并能在给定棱长时快速计算。本题数值设计使结果为整数，降低运算负荷，聚焦公式掌握。 【解题思路】 直接代入正四面体外接球半径公式 R = (a)/(4) 和内切球半径公式 r = (a)/(12) = (R)/(3)。 【详细过程】 第一空：外接球半径。 R = (a)/(4) = (2 )/(4) = (2 6)/(4) = (12)/(4) = 3 第二空：内切球半径。 r = (a)/(12) = (2 )/(12) = (12)/(12) = 1 （或由 r = (R)/(3) = (3)/(3) = 1。） 验证： R:r = 3:1 ✓，R + r = 4 ✓。 【易错点提示】 - 公式混淆：R = (a)/(4)（外接球，分母 4）与 r = (a)/(12)（内切球，分母 12）极易混记。可借助"r 在内部更小 分母更大"帮助记忆。 - 计算错误：2 = 2 6 = 12（不是 2 = 12，虽然结果相同但理解不同）。注意 = 6，不是 。 - 验证手段：正四面体 R = 3r，若算出的 R 和 r 不满足 3 倍关系，则必有计算错误。 【知识链接】 - 正四面体公式推导：正四面体棱长 a，高 h = (a)/(3)（由底面外接圆半径 = (a)/() 和侧棱 a 求得 h = = = (a)/(3)）。外接球球心在高线上，利用 R = ( + )/(2h) = ((2)/(3) + ()/(3))/((2a)/(3)) = ()/((2a)/(3)) = (3a)/(2) = (a)/(4)。 - R = 3r 的几何意义：正四面体外接球与内切球球心重合，外接球半径是内切球半径的 3 倍。球心将高分成了 3:1 的两段（从顶点算起 3/4 处为球心）。 - 正多面体的一般性质：所有正多面体（正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）的外接球和内切球球心都重合，这是正多面体高对称性的体现。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正三棱柱外接球+内切球存在性 【命题意图】 本题第(1)问考查正棱柱外接球的截面法求解——球心在两底面外心连线的中点（由对称性），利用勾股定理求半径。第(2)问考查内切球的存在性判断——正棱柱有内切球的充要条件是底面内切圆半径等于半棱长。全题将外接球与内切球结合考查，帮助学生建立完整的球模型认知。 【解题思路】 第(1)问：正三棱柱的球心在两底面外心连线的中点（由上下对称性确定）。 = + ((h)/(2)，其中 为底面外接圆半径，h 为侧棱长。 第(2)问：正棱柱有内切球的充要条件是底面内切圆半径 r_(内) = (h)/(2)（球心到两底面距离 = h/2，到侧面距离 = r_(内)，两者相等才能保证球同时与所有面相切）。 【详细过程】 (1) 求外接球半径和表面积 底面外接圆半径： 正三角形边长 a = 2，外接圆半径： = (a)/() = (2)/() = 2 球心位置： 正三棱柱上下底面全等且平行，由对称性，外接球球心在两底面外心连线的中点处。设球心到任一底面的距离为 (h)/(2) = (2)/(2) = 1。 求半径： 球心到任一底面顶点的距离即为外接球半径。底面顶点到外心的水平距离为 = 2，球心到地面的竖直距离为 1： =+ ((h)/(2) = + = 4 + 1 = 5 R = 表面积： S = 4 = 4 5 = 20 (2) 判断内切球是否存在并求半径 底面内切圆半径： 正三角形边长 a = 2，内切圆半径： r内 = (a)/(2) = (2)/(2) = 1 内切球存在性判断： 正棱柱的内切球球心在棱柱中心（上下底面中点连线的中点），到两底面的距离为 (h)/(2) = 1，到各侧面的距离为底面内切圆半径 r内 = 1。 当 (h)/(2) = r内时，球心到所有面等距，内切球存在。 本题中 (h)/(2) = 1 = r内，故内切球存在。 内切球半径： r = (h)/(2) =r内 = 1 【易错点提示】 - 球心位置：正棱柱的外接球球心在两底面外心连线的中点（不是某个底面的外心处）。球心在棱柱"中间高度"位置，到两底面等距。 - 外接圆半径公式：正三角形边长 a，外接圆半径 = (a)/() = (a)/(3)，内切圆半径 r内 = (a)/(2) = (a)/(6)。注意 = 2 r内（外接圆半径是内切圆半径的 2 倍）。 - 内切球存在条件：正棱柱有内切球 底面内切圆半径 = 半侧棱长。不是所有正棱柱都有内切球。例如底面边长 2、侧棱长 3 的正三棱柱，r内= ()/(3) (3)/(2)，无内切球。 - 内切球半径的确定：当内切球存在时，r = (h)/(2) = r内（两者必须相等才能存在）。不能取 min((h)/(2),r内)——那不是与所有面相切的球。 【知识链接】 - 正棱柱外接球公式：底面外接圆半径 ，侧棱长 h， = + ((h)/(2)。球心在两底面外心连线的中点。这一公式适用于所有正棱柱（正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱等）。 - 正棱柱内切球充要条件：r内 = (h)/(2)，即底面内切圆半径等于半侧棱长。此时内切球同时与两底面和所有侧面相切，r =r内 = (h)/(2)。 - 正三角形两个半径：外接圆半径 = (a)/()，内切圆半径 r内= (a)/(2)， = 2 r内。正三角形的内心、外心、重心重合（三心合一）。 - 与第2册的关联：第2册第18题用坐标法处理正三棱柱的异面直线角和二面角，本册则用截面法处理同一几何体的外接球和内切球。同一几何体可以从不同角度命题，体现了立体几何考查的多样性。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第5题 （6分）[基础] [选择题] 矩形翻折·空间距离 在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 4，E 为 BC 的中点。沿 AE 翻折，使点 B 翻折到点 B'，且二面角 B'-AE-D = 90，则 B'D 的长为 A. 2 　B. 2 　C. 4 　D. 3 【参考答案】 B 【命题意图】 本题考查矩形翻折中的基本不变量分析和空间距离计算。沿斜线翻折是翻折问题中最常见的类型，要求学生理解"翻折线上方各点绕翻折线旋转"的本质，能正确确定翻折后点的坐标，并计算空间两点间距离。本题数值设计使中间步骤简洁，聚焦于翻折概念的理解。 【解题思路】 翻折的核心不变量：翻折前后的两个半面分别保持刚性，同一侧的线段长度、角度不变。B 在 AE 的一侧，D 在另一侧。保持 D 所在一侧不动，将 B 所在一侧旋转 90（因为二面角从 180 变为 90，旋转角为 90）。关键步骤：求 B 到 AE 的垂足及垂距，旋转后确定 B' 的坐标，再求 B'D。 【详细过程】 第一步：建立坐标系。 以 A 为原点，AB 方向为 x 轴，AD 方向为 y 轴： A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,4,0), D(0,4,0), E(2,2,0) AE 方向向量 (2,2,0)，即 (1,1,0) 方向，AE 所在直线方程 x - y = 0。 第二步：求 B 到 AE 的垂足与垂距。 B(2,0,0)，AE 方向 (1,1,0)，B 到 AE 的垂足 H_B： H_B = A + (AB AE)/(|AE|^2) AE = (0,0,0) + ((2,0,0)(2,2,0))/(8)(2,2,0) = (0,0,0) + (4)/(8)(2,2,0) = (1,1,0) H_BB = (2-1, 0-1, 0) = (1,-1,0)，|H_BB| = 。 同理，D(0,4,0) 到 AE 的垂足： H_D = A + ((0,4,0)(2,2,0))/(8)(2,2,0) = (0,0,0) + (8)/(8)(2,2,0) = (2,2,0) = E D 到 AE 的垂足恰好为 E，|H_DD| = |(0-2, 4-2, 0)| = |(-2, 2, 0)| = 2。 第三步：确定 B' 的坐标。 保持 D 一侧不动（xy 平面），将 B 一侧绕 AE 旋转 90。 AE 方向单位向量 u = ((1,1,0))/()，B 一侧在平面内的垂直方向 v = ((1,-1,0))/()，面外方向 w = u v = (0,0,-1)。 旋转 90 后，B 相对垂足的偏移从 v 变为 w = (0,0,-1)（取 z 轴正向则 w = (0,0,1)）： B' = H_B + (0,0,1) = (1, 1, ) 第四步：求 B'D。 B'D = = = = 2 故选B。 【易错点提示】 - 旋转角度与二面角的关系：二面角从 180（平展）变为 90，旋转角度为 180 - 90 = 90。部分学生误将二面角直接当作旋转角。 - 垂足计算：B 到 AE 的垂足不是 A 或 E，而是 AE 上的点 H_B = (1,1,0)（AE 的中点）。需要用投影公式准确求出。 - 坐标方向：旋转后 B' 的 z 坐标取正或负均可（对应两个翻折方向），不影响 B'D 的值。 【知识链接】 - 翻折不变量：翻折是一种刚性变换，翻折线同一侧的图形保持形状和大小不变。具体地：同侧两点间距离不变、同侧线段长度不变、同侧角度不变、同侧面积不变。跨翻折线的距离和角度一般会改变。 - 二面角与旋转角：翻折前二面角为 180（平展），翻折后二面角为 ，则旋转角 = 180 - 。例如二面角变为 60 时旋转角为 120，二面角变为 90 时旋转角为 90。 - 翻折后坐标确定法：①求翻折前点到翻折线的垂足 H 及垂距 d；②确定旋转角度 ；③翻折后点 P' = H + dcos v + dsin w（v 为面内垂直方向，w 为面外方向）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第6题 （6分）[基础] [多选题] 翻折不变量概念辨析 在平面图形中，沿一条直线 l 翻折后形成立体图形。关于翻折前后的不变量，下列说法正确的是 A. 翻折线 l 同侧任意两点间的距离保持不变 B. 翻折线 l 两侧各取一点，它们之间的距离保持不变 C. 翻折线 l 同侧、有公共端点的两条线段的夹角保持不变 D. 翻折线 l 同侧的任意三角形的面积保持不变 【参考答案】 ACD 【命题意图】 本题考查翻折不变量的概念辨析，是理解翻折问题的基础。翻折的本质是刚性变换——翻折线同一侧的图形作为一个整体旋转，形状和大小完全不变。要求学生准确理解"什么变、什么不变"，这是分析所有翻折问题的出发点。 【解题思路】 逐项分析。翻折是一种刚性变换，翻折线同侧的图形保持刚性（形状、大小不变），跨翻折线的量一般会改变。A、C、D 均涉及同侧的量，应保持不变；B 涉及跨翻折线的距离，一般会改变。 【详细过程】 - 选项A：翻折线 l 同侧的两点随同侧半面一起刚性旋转，两点间的距离是刚性不变量，保持不变。A正确。 - 选项B：取翻折线 l 两侧各一点 P、Q。翻折前 PQ 在同一平面内，翻折后 P 和 Q 分别在两个半平面内，它们之间的空间距离一般不等于原来的平面距离。例如，矩形沿中线翻折 90，原矩形的对角线长在翻折后变短。B错误。 - 选项C：同侧有公共端点的两条线段，随同侧半面刚性旋转，夹角保持不变。刚性变换保持同侧一切角度关系。C正确。 - 选项D：同侧三角形随半面刚性旋转，形状和大小完全不变，面积自然保持不变。D正确。 故选ACD。 【易错点提示】 - 误选B：部分学生认为"翻折不改变距离"，实际上这只对同侧成立。跨翻折线的距离在翻折前后一般不同——翻折改变了两侧的空间关系。 - 漏选C：翻折保持同侧角度不变，这是因为刚性变换等距，等距变换保持角度。有公共端点且在同侧的角，其两边在同侧，整个角随半面旋转，大小不变。 - 漏选D：面积不变是刚性变换的直接推论。同侧三角形不变形，面积自然不变。 【知识链接】 - 翻折的刚性原理：翻折是一种刚性变换（等距变换），翻折线将平面分为两个半平面，每个半平面作为一个刚体绕翻折线旋转。同侧图形的长度、角度、面积等一切度量性质不变。 - 翻折中的变量与不变量： - 不变量（同侧）：线段长度、角度、面积、形状。 - 变量（跨翻折线）：两点间距离、线线角、线面角、二面角、体积。 - 翻折分析的核心策略：先确定翻折线，再区分同侧和跨翻折线的量。同侧量直接利用不变性，跨翻折线的量需通过坐标法或几何关系重新计算。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第7题 （6分）[基础] [填空题] 圆锥展开·扇形圆心角 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆锥侧面展开所得扇形的圆心角为 ____________________________________ 度。 【参考答案】 180 【命题意图】 本题考查圆锥侧面展开图的基本计算。圆锥展开为扇形是展开图最基础的模型，核心公式为扇形弧长 = 底面周长，由此求扇形圆心角。本题数值设计使答案为特殊角 180，降低运算负荷，聚焦公式理解。 【解题思路】 圆锥展开为扇形，扇形半径 = 母线 l = 2，扇形弧长 = 底面周长 2 r = 2。由弧长 = l （ 为弧度），求 再转为度数。 【详细过程】 扇形弧长 = 底面圆周长： L = 2 r = 2 1 = 2 扇形半径 = 母线 l = 2。由弧长公式 L = l（ 为弧度）： = (L)/(l) = (2)/(2) = (弧度) = 180 （展开图是一个半圆。） 【易错点提示】 - 公式混淆：扇形弧长 L = l（l 为扇形半径 = 圆锥母线），不是 L = r（r 为圆锥底面半径）。这里的两个"半径"不同：扇形半径是母线长，圆锥底面半径决定弧长。 - 弧度与度数的转换： 弧度 = 180。若题目要求度数，需从弧度转换。 - 展开图形态判断： = 180 说明展开图恰好为半圆。当母线 l = 2r 时，展开图总是半圆。 【知识链接】 - 圆锥展开图公式体系：设圆锥底面半径 r，母线 l，高 h，则： - 展开扇形半径 = l - 展开扇形弧长 = 2 r - 展开扇形圆心角 = (2 r)/(l)（弧度）= (360r)/(l)（度） - 侧面积 S_(侧) = rl（扇形面积 = (1)/(2) = (1)/(2)l 2 r = rl） - 圆锥关系： = + - 特殊情形：l = 2r = 180（半圆）；l = r = 360（整圆，退化为平面）；l = nr = (360)/(n)。 - 展开图还原：给定扇形半径和圆心角，可还原圆锥：l = 扇形半径，r = (l)/(2)（弧长除以 2），h = 。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第8题 （6分）[基础] [解答题] 正方形翻折成锥·线面垂直+体积 【命题意图】 本题考查翻折后线面垂直的证明和体积计算。核心巧思在于翻折后利用勾股定理逆定理证明 PE PD 和 PE PC，进而得出 PE 平面 PCD。第(2)问以 PCD 为底面、PE 为高，利用第(1)问的结论直接求体积，体现"证明为计算服务"的命题理念。全题计算量小、思维密度高，是翻折基础题的典型。 【解题思路】 第(1)问：翻折保持同侧线段长度不变，故 PE = AE = 1，PD = AD = 2，PC = BC = 2。在原正方形中 EAD = 90，故 D = A + A = 1 + 4 = 5。在折叠后的 PDE 中，P + P = 1 + 4 = 5 = D，由勾股定理逆定理得 EPD = 90，即 PE PD。同理 PE PC。由线面垂直判定定理得 PE 平面 PCD。 第(2)问：以 PCD 为底面，PE 为高，V = (1)/(3)S_(PCD) PE。PC = PD = CD = 2（CD = AB = 2）， PCD 为等边三角形，S = ，V = ()/(3)。 【详细过程】 (1) 证明 PE 平面 PCD 翻折不变量分析。 A 沿 DE 翻折到 P，翻折线 DE 同侧（A 所在一侧）的线段长度不变： PE = AE = 1, PD = AD = 2 B 沿 CE 翻折到 P，翻折线 CE 同侧（B 所在一侧）的线段长度不变： PE = BE = 1 (与上面一致), PC = BC = 2 （E 为 AB 中点，AE = BE = 1，保证两翻折一致。） 证明 PE PD。 在原正方形中， EAD = 90（E 在 AB 上，AD AB），由勾股定理： D = A + A = + = 5 在翻折后的 PDE 中，PE = 1，PD = 2，DE = （DE 在翻折线上，长度不变）： P + P = 1 + 4 = 5 = D 由勾股定理逆定理， EPD = 90，即 PE PD。 证明 PE PC。 同理，在原正方形中 EBC = 90： C = B + B = 1 + 4 = 5 在 PCE 中，PE = 1，PC = 2，CE = ： P + P = 1 + 4 = 5 = C 由勾股定理逆定理， EPC = 90，即 PE PC。 结论。 PE PD，PE PC，PD PC = P，PD 平面 PCD，PC 平面 PCD。 由线面垂直判定定理：PE 平面 PCD。 ■ (2) 求三棱锥 P-CDE 的体积 计算 PCD 的面积。 PC = 2, PD = 2, CD = AB = 2 PCD 为边长 2 的等边三角形： S_( PCD) = ()/(4) = 以 PCD 为底面、PE 为高求体积。 由第(1)问，PE 平面 PCD，PE = 1 为三棱锥 E-PCD（即 P-CDE）的高： V = (1)/(3) S_( PCD) PE = (1)/(3) 1 = ()/(3) 【易错点提示】 - 翻折一致性：E 必须是 AB 的中点（AE = BE），才能保证 A 和 B 翻折到同一点 P。若 E 不是中点，AE BE，两翻折不可能使 A、B 重合。 - 勾股定理逆定理的使用：关键在于 D = A + A（原正方形中的勾股关系）在翻折后转化为 D = P + P（翻折后的勾股关系），从而证明 EPD = 90。这一步的巧思在于"翻折前线段关系 翻折后线段关系"的转化。 - 体积公式的选择：直接以 CDE 为底面求体积需要先求 P 到平面 CDE 的距离（较复杂）。利用第(1)问结论以 PCD 为底面、PE 为高，则一步完成。这体现了"先证后算"的解题策略。 - PCD 的形状判断：PC = PD = 2（来自翻折不变量），CD = 2（正方形边长），三边相等，为等边三角形。不要误认为只是等腰三角形。 【知识链接】 - 翻折成锥的条件：将平面图形沿两条相交直线翻折使两点重合，需要满足：①两点到翻折线交点的距离在两翻折中一致；②两点到各自翻折线的距离使翻折后的位置重合。本题中 E 为 AB 中点保证 AE = BE，从而使 A、B 翻折到同一点。 - 勾股定理逆定理证垂直：若 ABC 中 A + B = A，则 ABC = 90。在翻折问题中，原平面图形中的直角关系通过翻折不变量转化为折叠后三角形的边长关系，再用逆定理证明垂直，是翻折证明的核心方法。 - 等体积法与换底法：三棱锥的体积 V = (1)/(3)Sh 对任何底面都成立。选择不同的底面，高也不同。当某个面有已知垂直关系时，以该面为底面可直接求高，简化计算。本题以 PCD 为底面，PE 为高，避免了求 P 到 CDE 距离的复杂计算。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第9题 （8分）[中档] [选择题] 线面垂直型外接球 在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC， ABC 是边长为 2 的正三角形，PA = 2，则该三棱锥外接球的表面积为 A. 12 　B. (28)/(3) 　C. 16 　D. (32)/(3) 【参考答案】 B 【命题意图】 本题考查"线面垂直型"外接球问题。顶点 P 在底面顶点 A 的正上方（非外心正上方），需要利用截面法确定球心位置：球心在底面外接圆外心的正上方垂线上，再利用到顶点和底面顶点等距建立方程。本题考验学生对截面法的灵活运用，是外接球中档题的典型代表。 【解题思路】 球心 O 必在底面 ABC 外接圆圆心 的正上方垂线上（因为球心到 A、B、C 三点等距，故在底面的射影为底面外心）。设球心到地面的距离为 y，利用球心到 A（底面顶点）和 P（上方顶点）等距建立方程求解 y，进而求 R。 【详细过程】 第一步：确定底面外接圆半径。 ABC 为边长 2 的正三角形，外接圆半径： = (2)/() = (2)/(3) 第二步：确定球心位置。 设底面外心为 。球心 O 在 正上方，设 O = y（即球心到地面距离为 y）。 注意：A 是底面顶点，A 到外心 的距离为 ；P 在 A 正上方，PA = 2，P 到 的水平距离也为 ，P 到地面距离为 PA = 2。 第三步：建立等距方程。 球心 O 到 A 的距离 = 球心 O 到 P 的距离 = R。 - O 到 A 的距离：A 在地面上，水平距离 ，竖直距离 y，故 = + 。 - O 到 P 的距离：P 在 A 正上方，高度 PA = 2，水平距离仍为 ，竖直距离 |2 - y|，故 = + (2-y。 由两式相等： + =+ (2-y = 4 - 4y + 4y = 4 y = 1 第四步：求外接球半径与表面积。 = + = (4)/(3) + 1 = (7)/(3) S = 4 = 4 (7)/(3) = (28)/(3) 故选B。 【易错点提示】 - 球心位置误判：部分学生认为 PA 底面时球心在 PA 的中点上，这是错误的。球心在底面外心 的正上方（不是 A 的正上方），因为球心到 A、B、C 等距，其在底面的射影必须是外心。 - P 到球心的水平距离：P 在 A 正上方，A 到外心 的水平距离为 ，故 P 到 的水平距离也为 （不是 0）。若 P 在外心 正上方，则水平距离为 0， 此时 R = ( + )/(2h)。 - 公式 = + (h/2 的适用条件：当顶点在底面某顶点正上方时， = + ((h)/(2)。当顶点在外心正上方时，R= ( +)/(2h)。两者不同，不可混淆。 【知识链接】 - 截面法通用原理：球心到球面上任意两点等距。对于棱锥，球心到所有底面顶点等距 球心在底面的射影为底面外心 球心在"过外心垂直于底面"的直线上。再利用球心到顶点的距离 = 球心到底面顶点的距离，建立方程求解。 - 顶点在底面顶点正上方的公式：当 PA 底面且 A 为底面顶点（非外心）时， =+ ((PA)/(2)。这是因为 P 和 A 的水平距离相同（均为 ），竖直距离差 PA，球心在高度 PA/2 处使两者等距。 - 顶点在外心正上方的公式：当顶点 P 在外心 正上方时，P 到球心水平距离为 0，R = |h - y|，底面顶点到球心距离 = R，解得 R = ( + )/(2h)。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第10题 （8分）[中档] [多选题] 多种几何体外接球判断 关于以下几何体的外接球，说法正确的是 A. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度均为 a，则其外接球半径为 (a)/(2) B. 棱长为 a 的正四面体的外接球半径与内切球半径之和为 (a)/(3) C. 长方体的外接球半径等于其体对角线长度的一半 D. 棱长为 a 的正四面体的内切球半径为 (a)/(4) 【参考答案】 ABC 【命题意图】 本题综合考查多种几何体外接球与内切球半径的计算和辨析。要求学生熟练运用补形法（选项A）、正四面体公式（选项B、D）、长方体外接球公式（选项C），并准确区分外接球与内切球半径的不同公式。多选题形式有效检测学生对公式的掌握精度。 【解题思路】 逐项计算验证。A 用补形法；B 用正四面体 R 和 r 的公式求和；C 回忆长方体外接球半径 = 体对角线/2；D 注意内切球半径公式与外接球半径公式的区别。 【详细过程】 - 选项A：三侧棱两两垂直且等长 a，补形为棱长 a 的正方体。外接球半径： R = ()/(2) = (a)/(2) A正确。 - 选项B：正四面体棱长 a，外接球半径 R = (a)/(4)，内切球半径 r = (a)/(12)。 R + r = (a)/(4) + (a)/(12) = (3a)/(12) + (a)/(12) = (4a)/(12) = (a)/(3) B正确。 - 选项C：长方体棱长 a、b、c，体对角线长 。外接球球心在体对角线交点（中心），半径 = 体对角线的一半： R = ()/(2) C正确。 - 选项D：正四面体棱长 a，内切球半径 r = (a)/(12)（不是 (a)/(4)）。(a)/(4) 是外接球半径 R。内切球半径是外接球半径的 (1)/(3)。D错误。 故选ABC。 【易错点提示】 - 误选D：混淆正四面体外接球半径 R = (a)/(4) 与内切球半径 r = (a)/(12)。两者公式仅分母不同（4 与 12），极易混淆。记忆方法：内切球半径更小（球在内部），分母更大（12 > 4），r = R/3。 - 漏选B：R + r 的计算需要通分，部分学生计算 (a)/(4) + (a)/(12) 时出错。通分后为 (3a + a)/(12) = (4a)/(12) = (a)/(3)。 - 选项A的补形：三侧棱等长且两两垂直，补形为正方体（不是一般长方体）。若三侧棱不等长（a、b、c），补形为长方体，R = ()/(2)。 【知识链接】 - 补形法公式：三侧棱两两垂直，长 a、b、c，R = ()/(2)。当 a = b = c 时退化为 R = (a)/(2)。 - 正四面体公式体系：棱长 a，高 h = (a)/(3)，外接球半径 R = (a)/(4)，内切球半径 r = (a)/(12)，R = 3r，R + r = (a)/(3)，R - r = (a)/(6)。这些公式可由 R 和 r = R/3 统一推导。 - 长方体外接球：R = ()/(2)（体对角线一半）。这是最基本的外接球公式，补形法的本质就是将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第11题 （8分）[中档] [填空题] 等体积法求内切球 在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC，PA = 3， ABC 为正三角形且边长为 2，则该三棱锥内切球半径 r = ____________________________________。 【参考答案】 2 - 3 【命题意图】 本题考查等体积法求内切球半径。等体积法是求内切球半径的通用方法：r = (3V)/S总)，其中 V 为体积，S总 为全面积。本题要求学生正确计算三棱锥的体积和四个面的面积，并运用公式求解。计算涉及根式运算，对运算能力有较高要求。 【解题思路】 利用 PA 底面计算体积 V = (1)/(3) PA S△ABC)，再分别计算四个面的面积求全面积 S总，最后代入 r = (3V)/S总。 【详细过程】 第一步：计算底面面积。 ABC 为边长 2 的正三角形： S△ABC = ()/(4) = 第二步：计算体积。 V = (1)/(3) PA S△ABC= (1)/(3) 3 = 第三步：计算三个侧面面积。 由 PA 底面，PA AB，PA AC。 - PAB：直角三角形，PA = 3，AB = 2。 S△PAB = (1)/(2) 3 2 = 3 - PAC：直角三角形，PA = 3，AC = 2。 S△PAB = (1)/(2) 3 2 = 3 - PBC：需先求 PB、PC。 PB = = = PC = = = PBC 中，PB = PC = （等腰），BC = 2。取 BC 中点 D，PD = = = = 2。 S_( PBC) = (1)/(2) BC PD = (1)/(2) 2 2 = 2 第四步：计算全面积和内切球半径。 S总 = S△ABC + S△PAB + S△PAC+ S△PBC = + 3 + 3 + 2 = 6 + 3 = 3(2 + ) r = (3V)/(S总) = (3)/(3(2 + )) = ()/(2 + ) 第五步：分母有理化。 r = ()/(2 + ) (2 - )/(2 - ) = ((2 - ))/(4 - 3) = (2 - 3)/(1) = 2 - 3 【易错点提示】 - 侧面面积计算： PBC 不是直角三角形（除非 PA 底面且 BAC = 90），需通过 PB、PC 用等腰三角形面积公式或海伦公式计算。本题中 PB = PC = ， PBC 为等腰三角形，用底乘高除二最简便。 - PB 的计算：PA AB（因 PA 底面），故 PAB 为直角三角形，PB = 。注意 PB 不是 PA + AB。 - 等体积法公式：r = (3V)/(S总)（不是 (V)/(S总)）。 推导：V = (1)/(3) r + (1)/(3) r + s = (1)/(3) r S总， 故 r = (3V)/(S总)。 - 分母有理化：()/(2+) 有理化时，分子分母同乘 2 - （不是 - 2，虽然结果绝对值相同但符号不同）。 【知识链接】 - 等体积法求内切球半径：对任意多面体，若存在内切球（与所有面相切），则 V = (1)/(3) r S_(总)（将多面体分割为以球心为顶点、各面为底面的若干小棱锥，每个小棱锥高为 r）。故 r = (3V)/(S_(总))。这是求内切球半径最通用的方法。 - 等体积法的适用条件：多面体必须存在内切球（即存在到所有面等距的点）。并非所有多面体都有内切球。若用等体积法算出的 r > 0 且验证球心在多面体内部，则内切球存在。 - 与外接球方法的对比：外接球的核心是"球心到顶点等距"，方法有补形法、截面法等；内切球的核心是"球心到面等距"，主要方法为等体积法。两者的球心一般不重合（正多面体除外）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第12题 （8分）[中档] [解答题] 正三棱锥R与r综合 【命题意图】 本题综合考查正三棱锥外接球（截面法）与内切球（等体积法）的求解。第(1)问需先由侧棱和底面边长求高，再利用截面法公式 R = ( + )/(2h)（顶点在外心正上方）；第(2)问需计算全面积和体积，代入 r = (3V)/(S总)。全题将两大球模型方法在一道题中完整呈现，是外接球与内切球综合应用的中档典型题。 【解题思路】 第(1)问：正三棱锥顶点在底面外心正上方。先求底面外接圆半径 和高 h， 代入 R = (+)/(2h)。 第(2)问：计算底面积、侧面积（需先求斜高即侧面等腰三角形的高）、全面积和体积，代入 r = (3V)/(S总)。 【详细过程】 (1) 求外接球半径 R 底面外接圆半径： 正三角形边长 a = 2，外接圆半径： = (a)/() = (2)/() = 2 求棱锥的高 h： 正三棱锥顶点 P 在底面外心 O 正上方，高 PO = h。在直角三角形 POA 中： h = = = = = 2 求外接球半径： 球心在 PO 所在直线上。设球心到地面距离为 y，由球心到顶点 P 和底面顶点 A 等距： R = h - y, = + 消去 R：(h-y = + ，展开得 - 2hy = ，故： y = ( - )/(2h) = (4 - 4)/(4) = 0 球心恰好在底面上（y = 0），即球心与底面外心 O 重合。 R = h - y = 2 - 0 = 2 （或直接用公式 R = ( + )/(2h) = (4+4)/(4) = 2。） 验证： 球心在底面外心 O 处，OA = = 2 = R ✓，OP = h = 2 = R ✓。 (2) 求内切球半径 r 底面面积： S底 = ()/(4) (2 = ()/(4) 12 = 3 侧面面积： 侧面 PAB 中，PA = PB = 2，AB = 2。取 AB 中点 D，PD 为侧面高（斜高）： PD = = = S△PAB = (1)/(2) AB PD = (1)/(2) 2 = 三个侧面全等： S侧= 3 全面积： S总 = S底 + S侧= 3 + 3 = 3( + ) 体积： V = (1)/(3) S底 h = (1)/(3) 3 2 = 2 内切球半径： r = (3V)/(S总 ) = (6)/(3( + )) = (2)/( + ) 分母有理化： r = (2)/(+) (-)/(-) = (2(-))/(15-3) = (2(-))/(12) = ((-))/(6) = ( - )/(6) = (3 - 3)/(6) = (3(-1))/(6) = (-1)/(2) 即内切球半径 r = (-1)/(2)。 【易错点提示】 - 球心位置特殊情况：本题 h = = 2，恰好使 y = 0（球心在底面上）。这说明当 h = 时，外接球球心恰在底面外心处。这是特殊情况，一般情况球心在底面上方或下方。 - 斜高与高的区别：h = 2 是棱锥的高（顶点到底面的距离），PD = 是斜高（顶点到底面边的距离）。两者不可混淆。斜高用于求侧面面积，高用于求体积。 - 侧面面积计算：正三棱锥的侧面是等腰三角形（不是正三角形，除非是正四面体），需用 (1)/(2) 底 高 求面积。斜高 PD = 。 - 有理化运算：(2)/(+) 有理化时乘以 -（分母有理化后为 15-3=12）。注意 = = 3（不是 = 3）。 【知识链接】 - 截面法公式 R = (+)/(2h)：正棱锥顶点在外心正上方，球心在高线上。由球心到顶点距离 = 球心到底面顶点距离 = R 推出。当 h = 时，y = 0，球心在底面外心处；当 h > 时，球心在底面上方；当 h < 时，球心在底面下方。 - 等体积法求内切球：r = (3V)/(S总)，适用于任何有内切球的多面体。正棱锥一定有内切球（由对称性，内心在高线上，到各面等距）。 - (-1)/(2) 的特殊意义：这是黄金比例 varphi = (1+)/(2) 的倒数 (1)/(varphi) = (-1)/(2) ≈ 0.618。本题的数据设计使内切球半径恰好为黄金比例倒数，体现了数学之美。 - 正三棱锥与正四面体：正四面体是正三棱锥的特殊情况（侧棱 = 底面边长）。正三棱锥不一定是正四面体，但两者的外接球和内切球球心都在高线上（由对称性保证）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第13题 （8分）[中档] [选择题] 等边三角形翻折·点到线距离 在等边三角形 ABC 中，边长为 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点。沿 DE 翻折，使二面角 A'-DE-BC = 60，则翻折后点 A' 到直线 BC 的距离为 A. ()/(4) 　B. ()/(3) 　C. ()/(2) 　D. 【参考答案】 C 【命题意图】 本题考查等边三角形沿中位线翻折后空间距离的计算。DE 为中位线，平行于 BC，翻折后 A' 在空间中，需计算其到直线 BC 的距离。本题考查旋转变换法确定翻折后坐标以及空间点到直线的距离公式，是翻折中档题的典型。 【解题思路】 DE 是 ABC 的中位线，A 到 DE 的距离等于 ABC 高的一半。翻折后 A 绕 DE 旋转 120（二面角 60 旋转角 120），A' 的 y、z 坐标发生变化。BC 在翻折线 DE 下方，不动。利用 A' 的坐标和 BC 的位置求空间点到直线的距离。 【详细过程】 第一步：建立坐标系。 BC 在 x 轴上，B(-1,0,0)，C(1,0,0)，A(0,,0)。 D 为 AB 中点：D(-(1)/(2),()/(2),0)，E 为 AC 中点：E((1)/(2),()/(2),0)。 DE 为水平线段，从 (-(1)/(2),()/(2),0) 到 ((1)/(2),()/(2),0)，沿 x 轴方向。 第二步：确定 A 相对 DE 的位置。 A(0,,0)，DE 在 y = ()/(2) 处。A 到 DE 的垂直距离 = - ()/(2) = ()/(2)。 A 在 DE 上的垂足为 H_A = (0,()/(2),0)（DE 的中点）。 H_AA = (0,()/(2),0)，方向沿 y 轴正方向。 第三步：旋转 120 求 A' 坐标。 DE 方向沿 x 轴，旋转轴为 x 轴。A 相对 H_A 的偏移 (0,()/(2),0) 旋转 120： (0, ()/(2)cos120, ()/(2)sin120) = (0, -()/(4), (3)/(4)) A' = H_A + (0, -()/(4), (3)/(4)) = (0, ()/(2) - ()/(4), (3)/(4)) = (0, ()/(4), (3)/(4)) 第四步：求 A' 到直线 BC 的距离。 BC 为 x 轴（y = 0，z = 0）。A'(0,()/(4),(3)/(4)) 到 x 轴的距离： d = = = = ()/(2) （A' 在 x = 0 处，BC 上最近点为原点 (0,0,0)，即 BC 中点，在 BC 线段上。） 故选C。 【易错点提示】 - 旋转角度：二面角 A'-DE-BC = 60，旋转角 = 180 - 60 = 120，不是 60。若误用 60 旋转，A' = (0, ()/(4), ( )/(4)) = (0, ()/(4), (3)/(4))... 实际上 cos60 = (1)/(2)，sin60 = ()/(2)，则 A' 的 z 坐标 = ()/(2) ()/(2) = (3)/(4)，y 坐标 = ()/(2) (1)/(2) = ()/(4)，与 120 旋转相比 y 坐标不同。 - 点到直线的距离：A' 到 BC（x 轴）的距离只需 ，不需要用点到直线的通用距离公式。 - A' 在 BC 上的投影点是否在线段上：A' 的 x 坐标为 0，BC 从 x = -1 到 x = 1，0 在线段内，故最近点在线段上。 【知识链接】 - 中位线翻折的特点：中位线 DE BC，A 到 DE 的垂足恰为 DE 的中点（由等腰对称性）。A 到 DE 的距离 = (h)/(2)（h 为三角形高），BC 到 DE 的距离也 = (h)/(2)。 - 旋转后点到直线的距离：若直线 BC 在翻折线 DE 的不动侧，且 BC DE，则 A' 到 BC 的距离可分解为：沿 DE 方向的距离（不变）+ 垂直于 DE 方向的距离（旋转后改变）。本题中 A' 在 DE 中点正上方旋转，故沿 DE 方向偏移为 0，距离仅由旋转后的 y、z 分量决定。 - 空间点到直线的距离：点 P(, , ) 到 x 轴的距离 = （最简形式）。一般直线需用叉积法：d = (|MP d|)/(|d|)。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第14题 （8分）[中档] [多选题] 展开图概念与计算 关于几何体的展开图，下列说法正确的是 A. 正方体共有 11 种不同的展开图 B. 底面半径为 r、母线长为 l 的圆锥，其侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为 (2 r)/(l) 弧度 C. 棱长为 a 的正四面体可以展开为一个边长为 2a 的大等边三角形 D. 底面半径为 r、高为 h 的圆柱，其侧面展开图为矩形，该矩形的面积为 h 【参考答案】 ABC 【命题意图】 本题综合考查展开图相关概念与计算，涵盖正方体展开图计数、圆锥展开图扇形角公式、正四面体展开图形态、圆柱侧面展开图面积四个知识点。多选题形式有效检验学生对展开图知识的全面掌握程度和辨析能力。 【解题思路】 逐项分析。A 回忆正方体展开图计数结论；B 用弧长公式 l = 2 r 求扇形角；C 分析正四面体展开为四个小等边三角形的拼合形态；D 计算圆柱侧面展开矩形的面积，判断是否等于 h。 【详细过程】 - 选项A：正方体的展开图共有 11 种不同形态（这是经典的组合几何结论，通过穷举正方体所有可能的剪棱方式并去除等价形态得到）。A正确。 - 选项B：圆锥侧面展开为扇形，扇形半径 = 母线长 l，扇形弧长 = 底面圆周长 2 r。由弧长公式 L = l（L 为弧长，l 为半径， 为圆心角弧度）： = (L)/(l) = (2 r)/(l) B正确。 - 选项C：棱长 a 的正四面体有 4 个面，每个面是边长 a 的等边三角形。沿一个顶点的三条棱剪开，展开后四个等边三角形拼合成一个大等边三角形。大等边三角形的边长为 2a（每条边由两个小等边三角形的边首尾相接组成）。C正确。 - 选项D：圆柱侧面展开为矩形，矩形的一边 = 底面圆周长 2 r，另一边 = 圆柱高 h。展开图面积 = 2 r h = 2 rh，这是圆柱的侧面积公式。而 h 是圆柱的体积公式（底面积 高），不是侧面积。D错误。 故选ABC。 【易错点提示】 - 误选D：混淆圆柱侧面积 2 rh 与体积 h。展开矩形的面积 = 侧面积 = 周长 高 = 2 rh，不是 h。 - 漏选C：正四面体的展开图有多种形态，其中最经典的是沿一个顶点剪开三棱，得到大等边三角形。另外还有平行四边形等其他展开形态。 - 圆锥展开角公式： = (2 r)/(l)（弧度），当 l = 2r 时 = （半圆），当 l = r 时 = 2（整圆，退化为平面）。 【知识链接】 - 正方体的 11 种展开图：分为四类：①"一四一"型（6 种），②"二三一"型（3 种），③"二二二"型（1 种），④"三三"型（1 种）。这是组合几何的经典结论。 - 圆锥展开图：圆锥侧面展开为扇形。扇形半径 = 母线 l，扇形弧长 = 底面周长 2 r，扇形角 = (2 r)/(l)。当 l > 2r 时 < （小于半圆），l = 2r 时 = （半圆），r < l < 2r 时 < < 2。 - 圆柱展开图：圆柱侧面展开为矩形。矩形长 = 底面周长 2 r，宽 = 高 h，面积 = 2 rh（侧面积）。上下底面展开为两个半径 r 的圆。 - 正四面体展开图：正四面体有 2 种本质不同的展开形态：①大等边三角形（沿一顶点剪三棱），②平行四边形（沿两条对接棱剪开）。展开图的形态数取决于剪棱方式。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第15题 （8分）[中档] [填空题] 正方形沿对角线翻折·距离 在正方形 ABCD 中，边长为 2，沿对角线 AC 翻折，使二面角 B'-AC-D = 60，则翻折后 B'D 的长为 ____________________________________。 【参考答案】 【命题意图】 本题考查正方形沿对角线翻折后空间距离的计算。对角线翻折是翻折问题的重要模型——B 和 D 位于对角线 AC 两侧且到 AC 的距离相等（垂足同为正方形中心），翻折后 B'D 的计算综合运用旋转变换和空间距离公式。本题数值设计巧妙：翻折 60 后 B'D 恰好等于原正方形对角线的一半，体现了翻折前后距离变化的规律。 【解题思路】 B、D 在对角线 AC 两侧，到 AC 的垂足同为正方形中心 O，垂距均为 。保持 D 一侧不动，B 绕 AC 旋转 120（二面角 60 旋转角 120）。求出 B' 坐标后计算 B'D。 【详细过程】 第一步：建立坐标系。 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)。对角线 AC 方向 (1,1,0)。 B、D 到 AC 的垂足同为正方形中心 O(1,1,0)： - OB = (1,-1,0)，|OB| = - OD = (-1,1,0)，|OD| = AC 方向 u = ((1,1,0))/()，面内垂直方向 v = ((1,-1,0))/()，面外方向 w = u v = (0,0,-1)。 第二步：旋转 120 求 B'。 B 相对 O 的偏移 = v = (1,-1,0)。旋转 120： = [cos120 v + sin120 (0,0,1)] = [-(1)/(2)((1,-1,0))/() + ()/(2)(0,0,1)] = (-(1)/(2), (1)/(2), 0) + (0, 0, ()/(2)) = (-(1)/(2), (1)/(2), ()/(2)) B' = O + = (1 - (1)/(2), 1 + (1)/(2), ()/(2)) = ((1)/(2), (3)/(2), ()/(2)) 第三步：求 B'D。 B'D = = = = 【易错点提示】 - 旋转角度：二面角 60 旋转角 120，不是 60。若误用 60 旋转，B'D 将不等于 。 - 垂足重合：B、D 到对角线 AC 的垂足同为正方形中心 O，这是正方形对角线的特殊性质。若垂足不同，计算会大幅复杂化。 - 对称性利用：|OB| = |OD| = ，且 B、D 在 AC 两侧关于 O 对称。翻折后 B' 仍在以 O 为中心、 为半径的球面上，D 也在这个球面上，B'D 可利用对称性简化计算。 【知识链接】 - 对角线翻折模型：正方形沿对角线翻折，B 和 D 到对角线的垂足同为中心 O，垂距相等。翻折后 B' 和 D 在以 O 为圆心、 为半径的球面上。B'D 仅取决于旋转角度 ：B'D = 2sin()/(2)（B'、D 关于 O 的张角为 ）。 - = 0（不翻）：B'D = 0（B' = D 不成立，实际 B'D = 2，即正方形对角线） - = 90：B'D = 2sin45 = 2 - = 120：B'D = 2sin60 = ... 实际上上述公式有误，正确推导：B 和 D 关于 O 对称，|OB| = |OD| = ，OB = -OD。翻折后 B' 在以 O 为中心、半径 的球面上，OB' 与 OD 的夹角 = - （ 为旋转角），故 B'D = 2sin( - )/(2) = 2cos()/(2)。 - = 120：B'D = 2cos60 = 2 (1)/(2) = ✓ - = 90：B'D = 2cos45 = 2 - = 180（对折）：B'D = 2cos90 = 0（B' = D，即 B 翻折到 D） - 一般结论：正方形边长 a，沿对角线翻折旋转角 ，则 B'D = acos()/(2)（a 为对角线一半 = |OB|，乘以 2 得 B'D 关于 O 的张角关系）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第16题 （8分）[中档] [解答题] 等腰直角三角形翻折·距离+线面角 【命题意图】 本题考查等腰直角三角形沿斜边中线翻折后的距离与线面角计算。D 为斜边 AB 的中点，CD 为斜边上的中线（= AB/2 = ），A、B 到 CD 的垂足同为 D。翻折 90 后，A' 在 D 的正上方，计算格外简洁。本题数据设计使 A'B = 2（恰等于原直角边长），线面角为 45，答案简洁优美，是翻折中档题的精品。 【解题思路】 第(1)问： ACB = 90，D 为 AB 中点，CD 为中线且 CD AB（等腰直角三角形的性质），A、B 到 CD 的垂足同为 D，|AD| = |BD| = 。翻折 90 后 A' 在 D 的正上方，|A'D| = 。B 在平面内不动，A'B = = = 2。 第(2)问：A' 在平面 BCD 的正上方（A'D 平面 BCD），A'B 与平面的角 = A'BD，sin = (A'D)/(A'B) = ()/(2)， = 45。 【详细过程】 预备：分析几何关系。 D 为等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 的中点。AB = = = 2，AD = BD = 。 等腰直角三角形斜边中线 CD = (AB)/(2) = ，且 CD AB（等腰三角形底边中线垂直底边）。 故 A、B 到 CD 的垂足同为 D，|AD| = |BD| = ，CD AD，CD BD。 建立坐标系。 C(0,0,0)，D(1,1,0)（CD 方向 (1,1,0)），B(0,2,0)，A(2,0,0)。 （验证：CD = ✓，AD = |(2-1, 0-1, 0)| = ✓，BD = |(0-1, 2-1, 0)| = ✓。） CD 方向 u = ((1,1,0))/()，B 侧的面内垂直方向 DB = (-1, 1, 0)，方向 v = ((-1,1,0))/()。面外方向 w = u v = (0, 0, -1)。 (1) 求 A'B 保持 B 一侧不动，A 绕 CD 旋转 90（二面角 90 旋转角 90）。 A 相对 D 的偏移 = DA = (1, -1, 0) = v'，其中 v' = ((1,-1,0))/()（A 侧的面内垂直方向）。 A 侧面外方向 = u v' = ((1,1,0))/() ((1,-1,0))/() = (0, 0, -1)，取 w' = (0, 0, 1)。 旋转 90 后偏移 = [cos90 v' + sin90 w'] = (0, 0, 1) = (0, 0, )。 A' = D + (0, 0, ) = (1, 1, ) A'B = = = = 2 (2) 求直线 A'B 与平面 BCD 所成角 平面 BCD 即 xy 平面（z = 0），A'(1, 1, )。 A' 在平面 BCD 上的投影为 A'_0 = (1, 1, 0) = D。故 A'D 平面 BCD，A'D = 为 A' 到平面的距离。 直线 A'B 与平面所成角 满足： sin = (A'D)/(A'B) = ()/(2) = 45 （几何解释：A'D 平面 BCD，D 平面 BCD，B 平面 BCD， A'DB = 90，A'B 与平面的角 = A'BD，tan = (A'D)/(BD) = ()/() = 1， = 45。） 【易错点提示】 - CD AB 的证明：等腰直角三角形中，斜边中线 = 斜边高线 = 斜边垂直平分线。这是因为等腰三角形底边上的中线、高线、垂直平分线三线合一。部分学生未利用这一性质，导致垂足位置判断错误。 - 旋转方向与 A' 位置：A 旋转 90 后在 D 正上方（z = ），这是因为 CD AD，旋转 90 使 AD 从面内转为面外。若旋转角度不是 90，A' 不在 D 正上方。 - 线面角的定义：直线与平面所成角 = 直线与直线在平面内投影的夹角 = arcsin(d)/(L)（d 为直线上点到平面距离，L 为直线段长度）。当 A'D 平面时，投影退化为点 D，角 = A'BD。 【知识链接】 - 等腰直角三角形的翻折模型：斜边中线 CD 垂直于斜边 AB，A、B 关于 CD 对称。沿 CD 翻折时，A、B 的垂足同为 D，翻折后 A' 在 D 正上方（旋转 90 时），计算极为简洁。这一模型可推广到一般的等腰三角形沿对称轴翻折。 - CD AB 的证明：等腰 ABC（AC = BC）中，D 为 AB 中点，由三线合一性质 CD AB。也可用向量证明：CA CB = |CA||CB|cos C，CD = (CA+CB)/(2)，AB = CB - CA，CD AB = (|CB|^2 - |CA|^2)/(2) = 0（AC = BC）。 - 线面角与点面距的关系：直线 AB（A 不在平面 ，B ）与 的角 满足 sin = (d(A, ))/(|AB|)。这是线面角的计算公式，本质上 d(A, ) = |AB|sin（将 AB 分解为面内分量和面外分量）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 正四棱锥R+r+球冠面积 【命题意图】 本题以正四棱锥为载体，将外接球（截面法）、内切球（等体积法）和球冠面积三个知识点整合在一道题中，全面考查球模型的综合应用能力。第(3)问引入球冠面积公式 S = 2 R h_(冠)，需要学生确定球心与截面的位置关系，属于外接球知识的拓展应用。全题计算量适中但思维链长，是压轴题的典型设计。 【解题思路】 第(1)问：由侧棱与底面成 60，求高 h 和底面外接圆半径 ，代入 R = (+/(2h)。 第(2)问：计算全面积和体积，代入 r = (3V)/(S总)。 第(3)问：确定球心到地面距离 y，较小球冠的冠高 h冠 = R - y，代入 S = 2 R h冠。 【详细过程】 预备：确定棱锥的基本参数。 底面 ABCD 为正方形，边长 2。 底面外接圆半径（半对角线）： = (2)/(2) = 侧棱 PA 与底面所成角为 60，即 PAO = 60（O 为底面中心，AO = = ）。 棱锥的高： h = PO = AO tan 60 = = 侧棱长： PA = (AO)/(cos 60) = ()/(1/2) = 2 (1) 求外接球半径 R 球心在 PO 所在直线上。设球心到地面距离为 y，由截面法公式： R = ( + )/(2h) = (6 + 2)/(2) = (8)/(2) = (4)/() = (4)/(6) = (2)/(3) 球心到地面距离： y = ( - )/(2h) = (6 - 2)/(2) = (4)/(2) = (2)/() = ()/(3) （验证：R = h - y = - ()/(3) = (2)/(3) ✓。） (2) 求内切球半径 r 底面面积： S底 = 2 2 = 4 侧面面积： 侧面 PAB 中，PA = PB = 2，AB = 2。取 AB 中点 E，PE 为斜高： PE = = = S△PAB = (1)/(2) 2 = 四个侧面全等： S侧 = 4 全面积： S总 = S底+ S侧 = 4 + 4 = 4(1 + ) 体积： V = (1)/(3) S底 h = (1)/(3) 4 = (4)/(3) 内切球半径： r = (3V)/(S总 ) = (4)/(4(1+)) = ()/(1+) 分母有理化： r = ()/(1+) (-1)/(-1) = ((-1))/(7-1) = ((-1))/(6) = (-)/(6) (3) 求外接球被底面所在平面截得的较小球冠面积 球心到地面距离 y = ()/(3)（第(1)问已求），R = (2)/(3)。 球心在底面上方（y > 0），故底面将球截成两部分： - 较小部分（底面下方）：冠高 h冠 = R - y = (2)/(3) - ()/(3) = ()/(3) - 较大部分（底面上方）：冠高 R + y = (2)/(3) + ()/(3) = 较小球冠面积： S冠 = 2 R h冠 = 2 (2)/(3) ()/(3) = 2 (2 6)/(9) = 2 (12)/(9) = (8)/(3) 【易错点提示】 - 侧棱与底面所成角： PAO = 60（O 为底面中心，不是 PAB = 60）。tan 60 = (PO)/(AO) = (h)/()，由此求 h。 - 截面法公式方向：R = ( + )/(2h)（正棱锥，顶点在外心正上方），不是 = + ((h)/(2)（后者适用于顶点在底面顶点正上方的情况）。 - 球冠面积公式：S = 2 Rh冠 （不是 Rh冠 或 4Rh冠 ）。h_(冠) 是冠高（球冠的"厚度"），不是球心到截面的距离。 - 较小球冠的确定：球心到底面距离 y = ()/(3) > 0（球心在底面上方），底面下方部分的冠高 = R - y（较小），底面上方部分的冠高 = R + y（较大）。若 y < 0（球心在底面下方），则上方为较小球冠。 - = 6：计算 2 (2)/(3) ()/(3) 时， = 6（不是 ），故结果为 (2 2 6)/(9) = (24)/(9) = (8)/(3)。 【知识链接】 - 截面法公式体系：正棱锥（顶点在外心正上方）外接球：R = (+)/(2h)，球心高度 y = (-)/(2h)。当 h > 时 y > 0（球心在底面上方）；h = 时 y = 0（球心在底面）；h < 时 y < 0（球心在底面下方）。 - 球冠面积公式：S = 2 R h（R 为球半径，h 为冠高）。推导：球冠可视为球面被平面截下的一部分，其面积仅与球半径和冠高有关，与截面位置无关。完整球面 S = 4 = 2 R 2R（冠高 = 2R 时为整球）。 - 球冠与球缺：球冠是球面被平面截得的部分曲面（只有曲面），球缺是球体被平面截得的部分立体（曲面 + 底面圆）。球冠面积 = 2 Rh，球缺体积 = ( (3R-h))/(3)。 - 方法综合：本题将截面法（求 R 和 y）、等体积法（求 r）、球冠公式（求面积）三种方法综合运用，体现了球模型问题的综合性和方法间的互补性。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 补形法+截面法+等体积法综合 【命题意图】 本题将补形法、截面法和等体积法三大外接球/内切球方法整合于一道题中。第(1)问用补形法将线面垂直型四棱锥补形为正方体；第(2)问用截面法求子图形（三棱锥 A-CEF）的外接球，需要确定球心位置；第(3)问用等体积法求原始四棱锥的内切球。全题方法密度高、思维跨度大，且三个小问的答案（、、2-）各具特色，是外接球与内切球模型综合应用的压轴典范。 【解题思路】 第(1)问：PA 底面，底面为正方形，可将四棱锥补形为正方体（PA 和两条底边为正方体三条共点棱），外接球即正方体外接球。 第(2)问：建系写坐标，用"球心在过 ACE 外心的垂线上"或直接设球心坐标求解。 第(3)问：等体积法 r = (3V)/(S总)，需计算四个侧面和底面的面积。 【详细过程】 建立坐标系（全题通用）。 以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AD 为 y 轴正方向，AP 为 z 轴正方向： A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) E = (P+B)/(2) = (1,0,1), F = (P+D)/(2) = (0,1,1) (1) 用补形法求 PA 底面 ABCD，AB AD，故 PA、AB、AD 三条共点棱两两垂直，PA = AB = AD = 2。 补形为棱长 2 的正方体 ABCD-A'B'C'D'（P 对应 A'），四棱锥的五个顶点 P、A、B、C、D 均为正方体顶点。 正方体外接球半径： = ()/(2) = ()/(2) = (2)/(2) = (2) 求三棱锥 A-CEF 的外接球半径 三棱锥 A-CEF 的四个顶点：A(0,0,0)，C(2,2,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)。 设球心 O' = (a, b, c)，由球心到四点等距： 由 |O'A|^2 = |O'E|^2： ++ = (a-1++(c-1 0 = -2a+1-2c+1 a + c = 1 s (i) 由 |O'A|^2 = |O'F|^2： ++ = +(b-1+(c-1 0 = -2b+1-2c+1 b + c = 1 s (ii) 由 |O'A|^2 = |O'C|^2： ++ = (a-2+(b-2+ 0 = -4a+4-4b+4 a + b = 2 s (iii) 由 (i)、(ii) 得 a = b。代入 (iii)：2a = 2，a = 1，b = 1。由 (i)：c = 0。 球心 O' = (1, 1, 0)（即底面正方形 ABCD 的中心）。 = |O'A| = = 验证： - |O'C| = = ✓ - |O'E| = = ✓ - |O'F| = = ✓ (3) 求四棱锥 P-ABCD 的内切球半径 r 体积： V = (1)/(3) S底 PA = (1)/(3) 4 2 = (8)/(3) 各面面积： - 底面 ABCD： = 2 2 = 4 - 侧面 PAB：PA AB， = (1)/(2) 2 2 = 2 - 侧面 PAD：PA AD， = (1)/(2) 2 2 = 2 - 侧面 PBC：PB = = = 2，PC = = = 2。 PBC 中，PB = 2，BC = 2，PC = 2（非等腰三角形，不能用中点求高）。用叉积法求面积： PB = (2, 0, -2), PC = (2, 2, -2) PB PC = (0 (-2) - (-2) 2, (-2) 2 - 2 (-2), 2 2 - 0 2) = (4, 0, 4) |PB PC| = = = 4 = (1)/(2) 4 = 2 - 侧面 PCD：由对称性（ABCD 为正方形，PA 底面，PB 与 PD 对称）， = = 2。 全面积： S_(总) = 4 + 2 + 2 + 2 + 2 = 8 + 4 = 4(2+) 内切球半径： r = (3V)/(S总) = (8)/(4(2+)) = (2)/(2+) 分母有理化： r = (2)/(2+) (2-)/(2-) = (2(2-))/(4-2) = (2(2-))/(2) = 2 - 补充验证（等体积法与直接法一致）： 设内切球球心为 (a, b, c)，半径 r。五个面的方程： - 底面 ABCD：z = 0，距离 = c = r - 侧面 PAB：y = 0，距离 = b = r - 侧面 PAD：x = 0，距离 = a = r - 侧面 PBC：x + z = 2，距离 = (2-a-c)/() = r - 侧面 PCD：y + z = 2，距离 = (2-b-c)/() = r 由前三式 a = b = c = r。代入第四式： (2-r-r)/() = r 2-2r = r 2 = r(2+) r = (2)/(2+) = 2- 验证第五式：(2-r-r)/() = (2-2(2-))/() = (2-4+2)/() = (2-2)/() = 2 - = r ✓。 【易错点提示】 - 补形法条件检查：PA 底面且底面为正方形，PA、AB、AD 两两垂直，满足补形为正方体的条件。注意不是所有四棱锥都能补形为长方体——需要"从同一顶点出发的三条棱两两垂直"。 - 三棱锥外接球的球心求法：第(2)问中 A、C 在底面 z=0 上，E、F 在 z=1 平面上。球心不一定在某个特殊位置，需通过等距方程组求解。本题解出 c=0（球心恰在底面），这是由数据的对称性导致的特殊结果。 - 侧面面积计算：PBC 不是直角三角形，不能用 (1)/(2) 直角边 直角边。用叉积法 (1)/(2)|PB PC| 最可靠。注意 PB PC 的 j 分量为 0（不是 -4），因为 (-2) 2 - 2 (-2) = -4+4 = 0。 - 内切球半径的范围：r = 2 - ≈ 0.586，小于棱长的一半（1），合理。内切球半径应小于几何体最短维度的一半。 - 2 - 的验证：2 - > 0（因为 < 2），半径为正 ✓。(2-)(2+) = 4-2 = 2，故 (2)/(2+) = 2- ✓。 【知识链接】 - 补形法的本质：将棱锥的外接球问题转化为长方体（正方体）的外接球问题。适用条件：从同一顶点出发的三条棱两两垂直。补形后，棱锥顶点成为长方体的一个顶点，棱锥的外接球即为长方体的外接球。 - 坐标法求外接球：设球心 (a,b,c)，由到各顶点等距建立方程组求解。对于顶点较少（4 个）且坐标简洁的情况，此方法直接有效。本质上是截面法的代数化——球心在"过底面外心垂直于底面"的直线上，坐标法自动处理了这一约束。 - 等体积法与直接法的等价性：第(3)问中，等体积法 r = (3V)/(S_(总)) 和直接设球心求到各面距离的方法给出相同结果。等体积法更简洁（不需确定球心位置），直接法更直观（可验证球心坐标）。两种方法互为验证手段。 - 方法选择策略：补形法（三条共点棱两两垂直） 截面法（正棱锥/顶点在外心正上方） 坐标法（一般情况）。方法选择取决于几何体的特征，有时一道题中不同小问需用不同方法（如本题）。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 正方形翻折+外接球综合 【命题意图】 本题将翻折与外接球综合考查，是第二批翻折问题与首批外接球方法的跨模块综合题。第(1)问求翻折后对角顶点的空间距离；第(2)问求翻折后三棱锥的外接球半径，需要判断球心位置——利用"球心在翻折线上"的特殊性；第(3)问求线面角。全题三个小问层层递进，答案 、、60 均简洁优美，是翻折与球模型综合的压轴典范。 【解题思路】 第(1)问：A、C 到 BD 的垂足同为正方形中心 O，垂距均为 。翻折 120，求 A' 坐标后计算 A'C。 第(2)问：O 在翻折线 BD 上不动，|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = 。翻折后 |OA'| = |OA| = （旋转保持到轴上点的距离），故 O 到 A'、B、C、D 等距，O 为外心，R = 。 第(3)问：A' 到平面 BCD（z = 0）的距离 = |z_(A')|，A'C 已知，sin = (z_(A'))/(A'C)。 【详细过程】 建立坐标系。 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)。对角线 BD 从 B(2,0,0) 到 D(0,2,0)，方向 (-1,1,0)。 正方形中心 O(1,1,0) 在 BD 上（BD 中点），|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = 。 A、C 到 BD 的垂足均为 O（正方形对角线互相垂直平分）。 BD 方向 u = ((-1,1,0))/()，A 侧面内垂直方向 OA = (-1,-1,0)，方向 v = ((-1,-1,0))/()。面外方向 w = u v = ((-1,1,0) (-1,-1,0))/(2) = ((0,0,2))/(2) = (0,0,1)。 (1) 求 A'C 旋转角 = 180 - 60 = 120。A 相对 O 偏移 = v，旋转 120： = [cos120 v + sin120 w] = [-(1)/(2)((-1,-1,0))/() + ()/(2)(0,0,1)] = ((1)/(2), (1)/(2), 0) + (0, 0, ()/(2)) = ((1)/(2), (1)/(2), ()/(2)) A' = O + = ((3)/(2), (3)/(2), ()/(2)) A'C = = = = (2) 求外接球半径 R 球心位置分析。 O(1,1,0) 在翻折线 BD 上，翻折过程中 O 不动。A 绕 BD 旋转得到 A'，旋转保持到轴上点的距离： |OA'| = |OA| = 而 |OB| = |OC| = |OD| = （正方形中心到各顶点距离相等）。 故 O 到 A'、B、C、D 等距，O 为三棱锥 A'BCD 的外接球球心。 外接球半径。 R = |OA'| = |OB| = |OC| = |OD| = 验证： - |OA'| = = = ✓ - |OB| = = ✓ - |OC| = = ✓ - |OD| = = ✓ (3) 求直线 A'C 与平面 BCD 所成角 平面 BCD 即 xy 平面（z = 0），C(2,2,0) 平面 BCD。 A'((3)/(2),(3)/(2),()/(2)) 到平面 BCD 的距离 = ()/(2)。 A'C = （第(1)问已求）。 sin = (d(A', 平面 BCD))/(A'C) = (()/(2))/() = ()/(2) = ()/(2) = 60 【易错点提示】 - 球心位置的判断：关键在于发现 O（正方形中心）在翻折线 BD 上且到四个顶点等距。翻折保持 |OA'| = |OA|（旋转保持到轴上点的距离），故 O 到 A'、B、C、D 都等距。这一观察使外接球问题一行解决，无需解方程组。 - 翻折线上的点不动：翻折线 BD 上的所有点在翻折过程中位置不变。正方形中心 O 在 BD 上（对角线交点），故 O 不动。利用这一性质可以简化大量翻折问题。 - A'C 的简洁结果：A'C = = R，这并非巧合。A' 和 C 都在外接球面上（|OA'| = |OC| = R = ），A'C 是球的一条弦，|A'C| = 2Rsin( A'OC)/(2)。可以验证 A'OC = 90（A' 和 C 关于 O 的张角为 90），A'C = 2sin45 = ✓。 - 旋转角度：二面角 60 旋转角 120，不是 60。 【知识链接】 - 翻折与外接球的联系：若翻折线上存在到各顶点等距的点 O，则 O 为翻折后多面体的外心。这是因为翻折（旋转）保持到轴上点的距离不变，故翻折前后 |OA| = |OA'|。若翻折前 O 到所有顶点等距（O 为平面图形的外心且在翻折线上），则翻折后 O 仍为外心。 - 正方形对角线的性质：正方形对角线互相垂直平分，交点（中心）到四个顶点等距（= (a)/(2)）。这一性质使正方形沿对角线翻折的外接球问题极大简化。 - 球面弦长公式：球面上两点 P、Q 在球心 O 处的张角为 varphi，则 |PQ| = 2Rsin(varphi)/(2)。本题中 A' 和 C 在外接球面上，|A'C| = 2sin( A'OC)/(2)。 - 与首批第18题的对比：首批第18题用补形法、坐标法、等体积法求四棱锥的外接球和内切球，方法多样但计算量大。本题利用翻折线的特殊性，外接球球心直接确定，方法更巧妙。两种思路对比展示了外接球问题的不同入口。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 正四面体表面最短路径+空间距离 【命题意图】 本题以正四面体的表面最短路径为载体，综合考查展开图还原、最短路径分析和空间距离计算三个核心能力。第(1)问通过展开图将曲面路径转化为平面直线距离；第(2)问要求系统比较所有可能的展开方式，体现数学的严谨性；第(3)问将表面路径与空间直线距离对比，揭示"展开路径不等于直线距离"的几何本质。全题融合展开图、最短路径、空间坐标三大方法，是翻折与展开模块的压轴综合题。 【解题思路】 第(1)问：E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，AB 与 CD 为对棱。从 E 到 F 的表面路径需经过若干面，展开后为平面直线。考虑不同的展开方式（经过哪些面），计算对应的直线距离，取最小值。 第(2)问：系统列出所有可能的路径（经过 2 个面或 3 个面），逐一计算展开距离，证明 2 面路径最小。 第(3)问：用空间坐标求 EF 的直线距离，再与表面最短路径比较。 【详细过程】 (1) 求最短表面路径长 分析路径经过的面。 E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上。AB 与 CD 为对棱（不相交）。E 所在的面： ABC、 ABD。F 所在的面： BCD、 ACD。 从 E 到 F 的表面路径必须经过相邻面的公共棱。考虑经过 2 个面的路径： - 路径①： ABC BCD（经过棱 BC） - 路径②： ABD BCD（经过棱 BD） - 路径③： ABC ACD（经过棱 AC） - 路径④： ABD ACD（经过棱 AD） 由正四面体的对称性（所有棱等长，所有面全等），四种路径等价。以路径①为例计算。 展开 ABC 和 BCD（沿棱 BC 展开）。 将两个面展开到同一平面。BC 为公共棱， ABC 和 BCD 在 BC 两侧展开： B(0, 0), C(2, 0) A(1, ) (在 BC 上方), D(1, -) (在 BC 下方) （ ABC 和 BCD 都是边长 2 的等边三角形，关于 BC 对称展开。） E = midpoint of AB = ((1)/(2), ()/(2)) F = midpoint of CD = ((3)/(2), -()/(2)) 计算展开距离。 EF = = = 2 验证路径合法性。 直线 EF 与 BC（x 轴）的交点：参数化 E + t(F - E) = ((1)/(2)+t, ()/(2)-t)。 y = 0 时 t = (1)/(2)，x = 1，交点为 (1, 0)，在 BC 线段上（0 1 2）✓。 故路径合法，最短表面路径长 = 2。 由对称性，路径②③④的展开距离也均为 2。 (2) 证明路径为最短 分析路径结构。 E 在棱 AB 上（AB 是 ABC 与 ABD 的公共棱），F 在棱 CD 上（CD 是 ACD 与 BCD 的公共棱）。AB 与 CD 为对棱（不相交）。 从 E 到 F 的表面路径，需从一个含 E 的面出发，经过若干面，到达一个含 F 的面。每经过一条棱，进入一个新面。由于 E 在棱上（属于两个面），路径可直接从 E 所在的任一面出发；F 同理。 2 面路径（穿过 1 条棱）：四种，距离均为 2。 含 E 的面 { ABC, ABD} 与含 F 的面 { ACD, BCD} 两两组合，共有 4 种 2 面路径： 路径①已在第(1)问中计算，展开距离 = 2。路径③的展开计算如下（作为验证）： A(0, )，B(-1, 0)，C(1, 0)。沿 AC 展开 ACD，D = (2, )（AC 右侧等边三角形）。 E = (-(1)/(2), ()/(2))，F = ((3)/(2), ()/(2))。 EF = = 2 直线 EF（y = ()/(2)）与 AC（y = (1-x)）交于 x = (1)/(2)，在 AC 上 ✓。 由正四面体的完全对称性（任意两个面等价、任意一条棱等价），路径②④的展开距离也均为 2。 3 面及更多面路径更长。 考虑经过 3 个面的路径，例如 ABC ABD ACD（穿棱 AB、AD）。 展开方式： ABC 中 A(0, )，B(-1, 0)，C(1, 0)，E = (-(1)/(2), ()/(2))。沿 AB 展开 ABD，D = (-2, )。沿 AD 展开 ACD，C' = (-1, 2)。F = midpoint of C'D = (-(3)/(2), (3)/(2))。 EF = = = 2 但需验证该直线是否依次穿过 AB 和 AD：直线 E F 方向 (-1, )，与 AB（y = (x+1)）的交点在 x = -(1)/(2)、y = ()/(2)，即 E 本身（E 在 AB 上）。此时路径从 E 出发直接进入 ABD，再穿 AD 到 ACD，本质上退化为 2 面路径④。 一般地，E 在棱上、F 在棱上，任何 3 面路径在展开后，E 到 F 的直线要么退化对应的 2 面路径（直线不穿过中间棱），要么因绕行而距离 > 2。经过 4 面（全部面）的路径更长。因此不存在比 2 更短的合法路径。 结论。 所有合法的 2 面路径展开距离均为 2，3 面及以上路径不更短。故最短表面路径 = 2。 ■ (3) 求最短表面路径与空间直线距离之比 求 EF 的空间直线距离。 建立空间坐标系。正四面体棱长 2，底面 BCD 在 xy 平面： B(0,0,0), C(2,0,0), D(1,,0) A(1,()/(3),(2)/(3)) (底面重心上方，高 h = (2)/(3)) E = midpoint of AB = ((1)/(2),()/(6),()/(3)) F = midpoint of CD = ((3)/(2),()/(2),0) EF = (1, ()/(2)-()/(6), -()/(3)) = (1, ()/(3), -()/(3)) |EF| = = （正四面体对棱中点间的距离 = (a)/() = (2)/() = ，a 为棱长。） 求比值。 最短表面路径 : 空间直线距离 = 2 : = : 1 即最短表面路径是空间直线距离的 倍。 【易错点提示】 - 展开方式选择：E 到 F 的表面路径有多种展开方式（经过不同的面），必须逐一比较取最小值。不能只算一种展开就下结论。 - 路径合法性验证：展开图中的直线必须穿过公共棱（在棱段上，不是延长线），路径才合法。若直线不穿过棱段，该展开方式无效，需换一种展开。 - 正四面体对棱中点距离：|EF| = (a)/() = (a)/(2)，a 为棱长。这是正四面体的经典结论，可由空间坐标或向量法证明。不要误认为 |EF| = a（棱长）。 - 3 面路径的排除：直觉上经过更多面的路径可能更短（绕远路走近），但实际上展开后 3 面展开图的直线距离 2 面展开图的距离。这是因为 3 面展开相当于"多折一次"，折弯增加距离。 【知识链接】 - 表面最短路径的展开法：多面体表面上两点间的最短路径，可通过展开多面体的面到平面，求平面上的直线距离来确定。关键：①枚举所有可能的展开方式（经过哪些面）；②验证展开直线穿过公共棱段（路径合法）；③取所有合法展开距离的最小值。 - 正四面体的展开图：正四面体有 2 种本质不同的展开形态：①大等边三角形（沿一顶点剪三棱，4 个小等边三角形拼成边长 2a 的大等边三角形）；②平行四边形（沿两条对棱剪开）。不同展开形态用于不同的路径分析。 - 正四面体对棱中点距离公式：棱长 a 的正四面体，对棱中点间距离 = (a)/() = (a)/(2)。推导：建系后用距离公式，或用向量法 EF = (1)/(2)(AC+BD)，|EF|^2 = (1)/(4)(|AC|^2+|BD|^2+2ACBD)，正四面体中对棱垂直（ACBD=0），故 |EF| = (1)/(2) = (a)/(2)。 - 表面路径与直线距离的关系：表面最短路径 空间直线距离（曲面路径不短于直线），当且仅当两点在同一个面上时取等。本题中 E 和 F 不在同一个面上，故表面路径 > 直线距离。比值 反映了正四面体表面的"弯曲程度"。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第四章 图表汇编 本章汇集本册各知识模块的配套图表，由图表工-数据可视化专员制作。图表清晰呈现补形法与截面法求外接球、等体积法求内切球、翻折前后对比、展开图还原及知识结构，配合解析使用效果更佳。 一、外接球求法 图 补形法求外接球示意图 图 截面法求外接球示意图 二、内切球与翻折 图 内切球等体积法示意图 图 翻折前后对比示意图 图 展开图还原图 三、公式总结与知识结构 图 外接球内切球公式总结图 图 本册知识结构思维导图 附录 附录一 答案速查表 （供快速核对答案，详细解析见第三章） 题号 题型 难度 核心考点 参考答案 第1题 选择题 基础 三侧棱两两垂直型外接球 B 第2题 多选题 基础 外接球与内切球概念辨析 ABC 第3题 填空题 基础 正四面体R与r 3；1 第4题 解答题 基础 正三棱柱外接球+内切球存在性 第5题 选择题 基础 矩形翻折·空间距离 B 第6题 多选题 基础 翻折不变量概念辨析 ACD 第7题 填空题 基础 圆锥展开·扇形圆心角 180 第8题 解答题 基础 正方形翻折成锥·线面垂直+体积 第9题 选择题 中档 线面垂直型外接球 B 第10题 多选题 中档 多种几何体外接球判断 ABC 第11题 填空题 中档 等体积法求内切球 2 - 3 第12题 解答题 中档 正三棱锥R与r综合 第13题 选择题 中档 等边三角形翻折·点到线距离 C 第14题 多选题 中档 展开图概念与计算 ABC 第15题 填空题 中档 正方形沿对角线翻折·距离 第16题 解答题 中档 等腰直角三角形翻折·距离+线面角 第17题 解答题 压轴 正四棱锥R+r+球冠面积 第18题 解答题 压轴 补形法+截面法+等体积法综合 第19题 解答题 压轴 正方形翻折+外接球综合 第20题 解答题 压轴 正四面体表面最短路径+空间距离 附录二 本册知识点检测清单 【外接球方法】 □ 掌握补形法：三直角四面体长方体，R = / 2 □ 掌握截面法：球心在过底面外心底面的直线上 □ 掌握公式法：正棱锥 R = ( + ) / (2h) □ 能根据几何体特征选择最优外接球方法 【内切球方法】 □ 掌握等体积法：r = 3V / S全 □ 理解正四面体 R = 3r 的关系 □ 能计算球冠面积 S = 2Rh 【翻折问题】 □ 理解翻折是刚性变换，同侧量不变 □ 能区分同侧量和跨翻折线量 □ 能用坐标法（旋转变换）计算翻折后距离和角度 □ 能用不变量分析法简化翻折问题 【展开图】 □ 能正确展开立体几何体表面 □ 掌握圆锥展开图圆心角公式 = 2r/l □ 能在展开图上求最短路径 【三册综合】 □ 能将第1册纯几何法、第2册坐标法、第3册球模型综合运用 □ 能根据题目条件灵活选择最优方法 □ 理解三册形成完整的能力体系 2027高考数学一轮复习·立体几何与空间向量 学科网（北京）股份有限公司 $