2027新高考数学一轮复习·立体几何与空间向量-第2册-空间向量与坐标法篇（含详细解析）

**基本信息** 聚焦坐标法体系构建，通过20题分层训练（基础8+中档8+压轴4）实现空间向量运算、坐标系建立及空间角与距离计算的系统突破，与纯几何法形成双路径对照。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基本运算|10题|基底线性组合唯一性、数量积坐标公式|从向量概念到运算性质，构建坐标法理论基础| |坐标系建立|10题|正方体/正三棱柱等7类建系方法|依据几何体特征选择原点与坐标轴，培养空间观念| |空间角与距离计算|10题|法向量叉积求法、线面角正弦公式|以坐标运算为核心，实现角与距离的量化求解，发展数学思维与运算能力|

新高考数学一轮复习·立体几何与空间向量（套装）·第2册：空间向量与坐标法篇 — 新高考数学一轮复习·立体几何与空间向量 — 第 2 册 空间向量与坐标法篇 （空间向量基本运算 + 建立空间直角坐标系 + 空间角与距离的坐标法计算） ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 适用对象：2027届新高三师生（一轮复习·基础夯实阶段） 覆盖模块：空间向量基本运算 + 建立空间直角坐标系 + 空间角与距离的坐标法计算 题量结构：20题（基础8 + 中档8 + 压轴4），含详细五模块解析 命题导向：主打坐标法路径，与第1册纯几何法形成"双路径对照" ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 学科网（北京）股份有限公司 目 录 目 录 2 本册导读 5 一、本册知识模块结构 5 二、难度分布 5 三、题型分布 6 四、本册知识结构 6 五、本册学习目标 6 第一章 知识梳理 7 1.1 本册知识框架 7 1.2 坐标法核心公式速查 8 1.3 常见几何体建系方法 8 1.4 核心方法总结 9 1.5 易错点警示 10 第二章 分层训练 10 第一节 基础巩固（6分/题） 10 第1题 （6分）[基础] [选择题] 空间向量基底·线性组合唯一性 10 第2题 （6分）[基础] [多选题] 数量积运算性质·垂直/平行判定 11 第3题 （6分）[基础] [填空题] 向量坐标运算·数量积·夹角余弦 11 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正方体建系·向量运算·异面直线角 11 第5题 （6分）[基础] [选择题] 坐标法求线面角（正弦值） 11 第6题 （6分）[基础] [多选题] 线面角/平行判定/点到面距离/向量与平面平行 12 第7题 （6分）[基础] [填空题] 数量积坐标运算·异面直线夹角 12 第8题 （6分）[基础] [解答题] 建系·线面角·点到面距离 12 第二节 中档提升（8分/题） 12 第9题 （8分）[中档] [选择题] 建系写坐标·数量积坐标运算 12 第10题 （8分）[中档] [多选题] 坐标法判断线线垂直·模长·异面直线角 13 第11题 （8分）[中档] [填空题] 建系·法向量·线面角·二面角（坐标法） 13 第12题 （8分）[中档] [解答题] 坐标法证线面垂直·法向量求线面角 13 第13题 （8分）[中档] [选择题] 坐标法求点到面距离（等体积法验证） 13 第14题 （8分）[中档] [多选题] 异面直线角/线面角/点到面距离/二面角综合 14 第15题 （8分）[中档] [填空题] 坐标法求二面角·点到面距离 14 第16题 （8分）[中档] [解答题] 异面直线角·线面角·点到面距离 14 第三节 压轴挑战（10分/题） 14 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 菱形建系·坐标法求二面角·点到面距离 14 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 正三棱柱建系·异面直线角·二面角·距离 14 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·点到面距离 15 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·线面角·点到面距离（坐标法四大应用综合） 15 第三章 详细解析 15 第四章 图表汇编 62 一、空间直角坐标系与法向量 62 二、空间角与距离的坐标法计算 64 三、双路径对照与知识结构 66 附录 68 附录一 答案速查表 68 附录二 本册知识点检测清单 69 第1题 （6分）[基础] [选择题] 空间向量基底·线性组合唯一性 16 第2题 （6分）[基础] [多选题] 数量积运算性质·垂直/平行判定 19 第3题 （6分）[基础] [填空题] 向量坐标运算·数量积·夹角余弦 23 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正方体建系·向量运算·异面直线角 26 第5题 （6分）[基础] [选择题] 坐标法求线面角（正弦值） 37 第6题 （6分）[基础] [多选题] 线面角/平行判定/点到面距离/向量与平面平行 40 第7题 （6分）[基础] [填空题] 数量积坐标运算·异面直线夹角 45 第8题 （6分）[基础] [解答题] 建系·线面角·点到面距离 49 第9题 （8分）[中档] [选择题] 建系写坐标·数量积坐标运算 17 第10题 （8分）[中档] [多选题] 坐标法判断线线垂直·模长·异面直线角 21 第11题 （8分）[中档] [填空题] 建系·法向量·线面角·二面角（坐标法） 24 第12题 （8分）[中档] [解答题] 坐标法证线面垂直·法向量求线面角 28 第13题 （8分）[中档] [选择题] 坐标法求点到面距离（等体积法验证） 38 第14题 （8分）[中档] [多选题] 异面直线角/线面角/点到面距离/二面角综合 42 第15题 （8分）[中档] [填空题] 坐标法求二面角·点到面距离 47 第16题 （8分）[中档] [解答题] 异面直线角·线面角·点到面距离 51 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 菱形建系·坐标法求二面角·点到面距离 30 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 正三棱柱建系·异面直线角·二面角·距离 33 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·点到面距离 53 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·线面角·点到面距离（坐标法四大应用综合） 56 （在Word中按 Ctrl+A 全选后按 F9 可更新目录页码） 本册导读 本册为立体几何与空间向量套装的第2册，聚焦坐标法能力，覆盖空间向量基本运算、建立空间直角坐标系、空间角与距离的坐标法计算三大知识模块。全部20题均以坐标法为主路径，与第1册纯几何法形成"双路径对照"，核心流程"建系→写坐标→算向量→套公式"贯穿全部题目。 一、本册知识模块结构 模块 模块名称 题量 核心能力 模块一 空间向量基本运算 + 建立空间直角坐标系 10 基底与线性组合·数量积·夹角·建系写坐标 模块二 空间角与距离的坐标法计算 10 线面角·二面角·点到面距离·异面直线角 合计 — 20 — 二、难度分布 难度等级 题量 占比 分值 题号 基础 8 40% 6分/题 第1~8题 中档 8 40% 8分/题 第9~16题 压轴 4 20% 10分/题 第17~20题 合计 20 100% — — 三、题型分布 题型 题量 题号 选择题 4 第1、5、9、13题 多选题 4 第2、6、10、14题 填空题 4 第3、7、11、15题 解答题 8 第4、8、12、16~20题 四、本册知识结构 图 本册知识结构思维导图 五、本册学习目标 【向量基本运算】理解空间向量的基底与线性组合唯一性，掌握数量积的坐标运算，能求向量夹角和模长。 【建立坐标系】能根据几何体的结构特征（正方体、正三棱柱、正三棱锥等）合理建立空间直角坐标系，准确写出各点坐标。 【法向量求解】能通过叉积（向量积）求平面的法向量，并利用对称性简化计算。 【线面角计算】能用法向量法求直线与平面所成角的正弦值：sin θ = |cos〈d, n〉|。 【二面角计算】能用双法向量法求二面角的余弦值，能正确判断二面角为锐角还是钝角。 【点到面距离】能用距离公式 d = |AP·n| / |n| 求点到平面的距离，无需确定垂足位置。 【异面直线角】能用方向向量的数量积求异面直线所成角的余弦值。 【双路径对照】能将坐标法结果与纯几何法（第1册）对照验证，理解两种方法的优势与适用场景。 第一章 知识梳理 1.1 本册知识框架 本册覆盖空间向量与坐标法的三大知识模块，主打"建系→写坐标→算向量→套公式"的坐标法路径，与第1册纯几何法形成双路径对照： • 空间向量基本运算：基底与线性组合唯一性、数量积的坐标运算、向量夹角与模长、共线共面条件。关键是理解空间向量与平面向量的区别——空间向量需要三个不共面的基底。 • 建立空间直角坐标系：根据几何体的结构特征（正方体、正三棱柱、正三棱锥等）合理选择坐标原点和坐标轴方向，准确写出各顶点坐标。建系的优劣直接影响后续计算量。 • 空间角与距离的坐标法计算：通过法向量求线面角（sin θ = |cos〈d, n〉|）、双法向量求二面角、距离公式 d = |AP·n| / |n| 求点到面距离、方向向量数量积求异面直线角。 1.2 坐标法核心公式速查 公式名称 公式 适用场景 本册应用 数量积坐标运算 ab = + + 求向量夹角、判断垂直 第3、4、9、10、12题 向量模长 |a| = 求线段长度 第3、4、10题 向量夹角余弦 求异面直线角 第4、7、10、18题 叉积求法向量 n = AD AE 求平面法向量 第11、15、17~19题 线面角正弦 sin = |dn| / (|d||n|) 求直线与平面所成角 第5、11、12题 二面角余弦 求二面角（需判断锐钝） 第11、14、15、17~19题 点到面距离 d = |APn| / |n| 求点到平面距离 第8、13、14、16~19题 异面直线角 求异面直线所成角 第4、7、10、16、18、19题 1.3 常见几何体建系方法 几何体 原点选择 坐标轴方向 本册应用 正方体 某顶点 过该顶点的三条棱方向 第4题 长方体 某顶点 过该顶点的三条棱方向 第9题 正三棱柱 底面中心（三角形重心） OA方向为x轴，OB方向为y轴，AA₁方向为z轴 第5、15、18、19题 正三棱锥 底面中心 顶点指向底面中心为z轴，底面高线为x轴 第11题 四棱锥（矩形底） 底面某顶点 底面棱方向为x、y轴，侧棱方向为z轴 第8、14题 四棱锥（菱形底） 底面对角线交点 对角线方向为x、y轴 第17题 三棱锥（三直角） 直角顶点 三条直角棱方向 第12、16题 1.4 核心方法总结 【坐标法核心流程】 建系写坐标算向量套公式。建系时优先选择对称中心或特殊顶点为原点，使坐标尽量简洁。写坐标时利用对称性减少独立坐标数量。算向量时注意方向（终点坐标减起点坐标）。套公式时注意绝对值和锐钝角判断。 【法向量求解法】 在平面上取两个不共线向量 AD 和 AE，通过叉积 n = AD AE 求法向量。叉积公式：n = (-, -, -)。利用对称性可预判法向量某些分量为零，简化计算。 【二面角锐钝判断】 坐标法求二面角取 |cos | = || / (||||)，但需结合几何判断锐角还是钝角。方法：在棱上取一点，分别在两个半平面内取点，观察法向量方向。若两个法向量都指向二面角"内侧"或都指向"外侧"，则二面角 = - （为法向量夹角）。 【点到面距离公式】 d = |APn| / |n|，其中 A 为平面上任意一点，P 为平面外一点，n 为平面法向量。此公式的优势在于无需确定垂足位置，直接通过向量运算求解。等体积法可作验证。 【异面直线角】 cos = || / (||||)，其中 、 为两条异面直线的方向向量。注意取绝对值，因为异面直线所成角的范围是 (0, 90]。 【坐标法与纯几何法对照】 坐标法优势：无需确定垂足位置，计算流程化，适合复杂几何体。纯几何法优势：计算量小，几何直观强，适合对称性好的几何体。高考中两种方法均可得分，建议根据题目条件灵活选择。 1.5 易错点警示 ▶ 建系时坐标轴方向选择不当导致坐标复杂——正三棱柱应选底面中心为原点，而非底面顶点。 ▶ 法向量方向判断错误导致二面角锐钝颠倒——坐标法取绝对值后需结合几何判断。 ▶ 线面角公式中混淆正弦和余弦——线面角用 sin = |dn| / (|d||n|)，不是余弦。 ▶ 叉积计算时行列式展开错误——注意 j 分量有负号：n = (i分量, -j分量, k分量)。 ▶ 异面直线角取绝对值——cos = || / (||||)，不要忘记绝对值。 ▶ 点到面距离公式中 A 必须在平面上——若 A 不在平面上，公式不适用。 ▶ 对称性未利用导致计算量过大——正三棱柱中 D、E 关于 xz 平面对称时，法向量 y 分量自动为零。 ▶ 等边三角形高计算错误——边长为 a 的等边三角形高为 (/2)a，不是 (/2)a。 第二章 分层训练 本章按难度分三组编排：基础巩固（6分/题）、中档提升（8分/题）、压轴挑战（10分/题）。每题标注分值和难度，建议按顺序练习，循序渐进。 第一节 基础巩固（6分/题） 第1题 （6分）[基础] [选择题] 空间向量基底·线性组合唯一性 已知空间向量 a, b, c 不共面，实数 x, y, z 满足 xa + yb + zc = 0，则 A. x + y + z = 0 B. xyz = 0 C. x = y = z = 0 D. x = y = z 且 x 0 答：___________________________________________ 第2题 （6分）[基础] [多选题] 数量积运算性质·垂直/平行判定 关于空间向量的运算，下列结论正确的是 A. 对于非零向量 a, b，a b = 0 a b B. 若 a b（a, b 均非零），则 a b = |a||b| C. a (b - c) = a b - a c D. (a + b = + 2a b + 答：___________________________________________ 第3题 （6分）[基础] [填空题] 向量坐标运算·数量积·夹角余弦 已知空间向量 a = (2, -1, 2)，b = (1, 2, -2)，则 a b = ____________________________________，a 与 b 夹角的余弦值为 ____________________________________。 答：___________________________________________ 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正方体建系·向量运算·异面直线角 答：___________________________________________ 第5题 （6分）[基础] [选择题] 坐标法求线面角（正弦值） 在正三棱柱 ABC- 中，所有棱长均为 2，D 为 BC 的中点。以 D 为原点，DA 方向为 x 轴正方向，DB 方向为 y 轴正方向，A 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则直线 D 与平面 ABC 所成角的正弦值为 A. (2)/(7) 　B. ()/(7) 　C. ()/(7) 　D. ()/(3) 答：___________________________________________ 第6题 （6分）[基础] [多选题] 线面角/平行判定/点到面距离/向量与平面平行 已知直线 l 的方向向量为 a = (1, 1, 0)，平面 的法向量为 n = (1, 0, 1)，且直线 l 过点 P(0, 0, 0)，平面 过点 Q(1, 0, 0)。下列结论正确的是 A. 直线 l 与平面 所成角的正弦值为 (1)/(2) B. 直线 l 与平面 平行 C. 点 P 到平面 的距离为 ()/(2) D. 向量 b = (-1, 0, 1) 与平面 平行 答：___________________________________________ 第7题 （6分）[基础] [填空题] 数量积坐标运算·异面直线夹角 在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA = 2。E、F 分别为 AB、AD 的中点。以 A 为原点，AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系。则 PE CF = ____________________________________，异面直线 PE 与 CF 所成角的余弦值为 ____________________________________。 答：___________________________________________ 第8题 （6分）[基础] [解答题] 建系·线面角·点到面距离 答：___________________________________________ 第二节 中档提升（8分/题） 第9题 （8分）[中档] [选择题] 建系写坐标·数量积坐标运算 在长方体 ABCD- 中，AB = 2，AD = 2，A = 1。点 E 在 B 上且 BE = (1)/(2)B，点 F 为 的中点。以 A 为原点，AB, AD, A 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 AE AF 的值为 A. 2 　B. (5)/(2) 　C. 3 　D. (7)/(2) 答：___________________________________________ 第10题 （8分）[中档] [多选题] 坐标法判断线线垂直·模长·异面直线角 在正方体 ABCD- 中，棱长为 2，E 为 C 的中点，F 为 的中点。以 D 为原点，DA, DC, D 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是 A. AE BD = 0 B. AE BF C. |EF| = D. 直线 AE 与直线 BF 所成角的余弦值为 (2)/(3) 答：___________________________________________ 第11题 （8分）[中档] [填空题] 建系·法向量·线面角·二面角（坐标法） 在正四棱锥 P-ABCD 中，底面边长为 2，侧棱长为 。以底面中心 O 为原点，OA 方向为 x 轴正方向，OP 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ____________________________________，侧面与底面所成二面角的余弦值为 ____________________________________。 答：___________________________________________ 第12题 （8分）[中档] [解答题] 坐标法证线面垂直·法向量求线面角 答：___________________________________________ 第13题 （8分）[中档] [选择题] 坐标法求点到面距离（等体积法验证） 在三棱锥 S-ABC 中，SA 平面 ABC，AB = AC = 2， BAC = 120，SA = 2。则点 A 到平面 SBC 的距离为 A. (2)/(5) 　B. ()/(5) 　C. (2)/(3) 　D. ()/(5) 答：___________________________________________ 第14题 （8分）[中档] [多选题] 异面直线角/线面角/点到面距离/二面角综合 在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，AB = 2，BC = 2，PA = 2。E 为 PD 的中点。以 A 为原点，AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系。下列结论正确的是 A. 异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值为 ()/(6) B. 直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ()/(6) C. 点 A 到平面 PBC 的距离为 D. 平面 EAB 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ()/(3) 答：___________________________________________ 第15题 （8分）[中档] [填空题] 坐标法求二面角·点到面距离 在正三棱柱 ABC- 中，所有棱长均为 2，E 为 C 的中点。以 BC 的中点 D 为原点，DA 方向为 x 轴正方向，DB 方向为 y 轴正方向，A 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则平面 ABE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ____________________________________，点 到平面 ABE 的距离为 ____________________________________。 答：___________________________________________ 第16题 （8分）[中档] [解答题] 异面直线角·线面角·点到面距离 答：___________________________________________ 第三节 压轴挑战（10分/题） 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 菱形建系·坐标法求二面角·点到面距离 答：___________________________________________ 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 正三棱柱建系·异面直线角·二面角·距离 答：___________________________________________ 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·点到面距离 答：___________________________________________ 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·线面角·点到面距离（坐标法四大应用综合） 答：___________________________________________ 第三章 详细解析 本章对全部20道试题进行详细解析，每题包含【命题意图】【解题思路】【详细过程】【易错点提示】【知识链接】五大模块，各模块用不同底色样式区分，帮助学生深入理解证明原理、掌握纯几何推理方法、避免常见错误。 第1题 （6分）[基础] [选择题] 空间向量基底·线性组合唯一性 已知空间向量 a, b, c 不共面，实数 x, y, z 满足 xa + yb + zc = 0，则 A. x + y + z = 0 B. xyz = 0 C. x = y = z = 0 D. x = y = z 且 x 0 【参考答案】 C 【命题意图】 本题考查空间向量基底的概念与线性组合唯一性。要求学生理解"不共面向量构成空间基底"这一核心概念，并由此推出线性组合为零向量的唯一可能性，是对空间向量基本理论理解的直接检测。 【解题思路】 由 a, b, c 不共面，它们构成空间的一组基底。根据基底的定义，零向量的表示方式唯一，即系数全为零。逐一验证各选项是否与此结论一致。 【详细过程】 - 基底性质分析： 因为 a, b, c 不共面，所以 {a, b, c} 构成空间的一组基底。基底的核心性质是：空间任意向量的表示唯一。特别地，零向量 0 的表示为 0 = 0 a + 0 b + 0 c，且这是唯一的表示方式。 - 选项A：x + y + z = 0 只是系数和为零，不排除 x = 1, y = 1, z = -2 等非零解的可能。例如 a + b - 2c = 0 满足 x+y+z=0 但系数不全为零，这与基底性质矛盾。实际上，由基底性质，唯一的解是 x = y = z = 0，此时 x + y + z = 0 恒成立，但 x + y + z = 0 不是"只有零解"的等价条件。A错误。 - 选项B：xyz = 0 意味着至少一个系数为零，但其余两个可以非零。例如 x = 0, y = 1, z = -1 满足 xyz = 0，但 b - c = 0 即 b = c，这与 a, b, c 不共面矛盾（b = c 则三向量共面）。B错误。 - 选项C：由基底性质，xa + yb + zc = 0 的唯一解为 x = y = z = 0。C正确。 - 选项D：x = y = z 0 意味着 x(a + b + c) = 0，即 a + b + c = 0，三向量首尾相接共面，与条件矛盾。D错误。 故选C。 【易错点提示】 - 误选A：混淆"系数和为零"与"系数全为零"。x + y + z = 0 是必要条件但不是充分条件，基底性质要求的是 x = y = z = 0（各自为零）。 - 误选B：xyz = 0 只保证至少一个为零，不能保证全部为零。 - 概念混淆：部分学生将"不共面"理解为"两两不共线"。两两不共线是三向量不共面的必要条件，但不充分（三条两两不共线的向量仍可能共面）。 【知识链接】 - 空间基底定理：若 a, b, c 不共面，则 {a, b, c} 构成空间的一组基底，空间任意向量 p 可唯一表示为 p = xa + yb + zc。 - 线性无关：xa + yb + zc = 0 x = y = z = 0 是 a, b, c 线性无关（不共面）的等价定义。这与平面向量中"不共线即线性无关"的概念平行推广。 - 坐标法的理论基础：基底定理是建立空间直角坐标系的数学基础。选取空间中两两垂直且单位长度的三个向量 , , 作为基底，任意向量 p = x + y + z 的系数 (x, y, z) 即为 p 的坐标。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第2题 （6分）[基础] [多选题] 数量积运算性质·垂直/平行判定 关于空间向量的运算，下列结论正确的是 A. 对于非零向量 a, b，a b = 0 a b B. 若 a b（a, b 均非零），则 a b = |a||b| C. a (b - c) = a b - a c D. (a + b = + 2a b + 【参考答案】 ACD 【命题意图】 本题综合考查空间向量数量积的运算性质，包括垂直的等价条件、平行时的数量积、分配律和完全平方公式。要求学生准确区分数量积的特殊性质与常见易错点，多选题形式增加了区分度。 【解题思路】 逐项分析，对每个选项回忆数量积的定义 a b = |a||b|cos 和相关运算律。特别注意选项B中平行包括同向和反向两种情况。 【详细过程】 - 选项A：对于非零向量 a, b，a b = |a||b|cos。a b = 0 cos = 0 = ()/(2) a b。A正确。 - 选项B：a b 时，夹角 = 0（同向）或 = （反向）。 - 同向时：a b = |a||b|cos 0 = |a||b| - 反向时：a b = |a||b|cos = -|a||b| 因此 a b 时 a b = |a||b|，不一定等于 |a||b|。B错误。 - 选项C：数量积对向量加法满足分配律：a (b - c) = a b - a c。这是数量积的基本运算律。C正确。 - 选项D：(a + b = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = + 2a b + 。其中利用了数量积的交换律 a b = b a。D正确。 故选ACD。 【易错点提示】 - 误选B：a b 有两种情况（同向和反向），同向时数量积为 |a||b|，反向时为 -|a||b|。正确结论应为 |a b| = |a||b|。 - 漏选D：部分学生不熟悉向量的"平方"运算。 = a a = |a|^2，向量的平方是一个标量（数量），不是向量。完全平方公式 (a+b = + 2ab + 与实数的完全平方公式形式一致。 - 混淆数量积与实数乘法：数量积不满足结合律 a (b c) (a b) c（左边是向量，右边是向量，但一般不相等），但满足分配律和交换律。 【知识链接】 - 数量积的定义：a b = |a||b|cos，其中 为 a 与 b 的夹角， [0, ]。 - 数量积的运算律： - 交换律：a b = b a - 分配律：a (b + c) = a b + a c - 数乘结合律：(a) b = (a b) - 不满足结合律：a (b c) (a b) c - 数量积的坐标公式：若 a = (, , )，b = (, , )，则 a b = + + 。这是坐标法计算数量积的基础公式。 - 与第1册的对照：第1册中证明线线垂直使用纯几何方法（如全等三角形、菱形对角线垂直等），本册则使用 a b = 0 a b 的坐标法路径，两种方法形成"双路径对照"。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第3题 （6分）[基础] [填空题] 向量坐标运算·数量积·夹角余弦 已知空间向量 a = (2, -1, 2)，b = (1, 2, -2)，则 a b = ____________________________________，a 与 b 夹角的余弦值为 ____________________________________。 【参考答案】 -4；-(4)/(9) 【命题意图】 本题考查空间向量数量积的坐标运算和夹角公式的直接应用。要求学生熟练掌握 a b = + + 和 cos = (a b)/(|a||b|) 两个核心公式，是坐标法向量运算的基础题。 【解题思路】 直接代入数量积的坐标公式计算 a b，再分别计算 |a| 和 |b|，最后代入夹角公式求余弦值。 【详细过程】 第一空：计算 a b。 a b = 2 1 + (-1) 2 + 2 (-2) = 2 - 2 - 4 = -4 第二空：计算夹角余弦值。 |a| = = = = 3 |b| = = = = 3 cos = (a b)/(|a||b|) = (-4)/(3 3) = -(4)/(9) 【易错点提示】 - 数量积符号：2 1 + (-1) 2 + 2 (-2) = 2 - 2 - 4 = -4。注意负号参与运算，容易算成 2 + 2 + 4 = 8（忽略了负号）。 - 夹角余弦的符号：a b = -4 < 0，说明夹角为钝角，余弦值为负。部分学生取绝对值得到 (4)/(9)，但两向量的夹角余弦值可正可负（与异面直线所成角不同，后者取锐角）。 - 模长计算：|a| = 3，|b| = 3，本题特意选取了模长相等的向量，简化了计算。 【知识链接】 - 数量积坐标公式：a = (, , )，b = (, , )，则 a b = + + 。 - 夹角公式：cos = (a b)/(|a||b|)，其中 [0, ]。余弦值为正表示锐角，为负表示钝角，为零表示直角。 - 向量夹角与异面直线角的区别：两向量的夹角 [0, ]（可为钝角）；两异面直线所成角 (0, ()/(2)]（只取锐角或直角），余弦值取绝对值。 - 本题是坐标法最基础的运算，后续的线面角、二面角、距离计算都建立在这些基本公式之上。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第4题 （6分）[基础] [解答题] 正方体建系·向量运算·异面直线角 【命题意图】 本题以正方体为载体，第(1)问考查建系写坐标的基本技能，第(2)问考查向量数量积的坐标运算，第(3)问考查异面直线所成角的坐标法求解。全题突出坐标法解决空间角度问题的基本流程："建系写坐标算向量求角度"，是坐标法的入门综合题。 【解题思路】 第(1)问：以 D 为原点，根据正方体的棱长和棱的方向确定各点坐标，E、F 分别为棱的中点，用中点公式求坐标。 第(2)问：由坐标求 AE 和 CF，代入数量积坐标公式。 第(3)问：利用 cos = (|AE CF|)/(|AE||CF|) 求异面直线所成角的余弦值。 【详细过程】 (1) 建立坐标系并写出坐标 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，D 为 z 轴，棱长为 2。 各顶点坐标： D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0) (0,0,2), (2,0,2), (2,2,2), (0,2,2) E 为 B 中点： E = (B + )/(2) = ((2+2)/(2), (2+2)/(2), (0+2)/(2)) = (2, 2, 1) F 为 D 中点： F = (D + )/(2) = ((0+0)/(2), (0+0)/(2), (0+2)/(2)) = (0, 0, 1) (2) 求 AE CF AE = E - A = (2-2, 2-0, 1-0) = (0, 2, 1) CF = F - C = (0-0, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1) AE CF = 0 0 + 2 (-2) + 1 1 = 0 - 4 + 1 = -3 (3) 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 |AE| = = |CF| = = cos = (|AE CF|)/(|AE||CF|) = (|-3|)/( ) = (3)/(5) 即直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 (3)/(5)。 【易错点提示】 - 坐标系选择：以 D 为原点时，A 在 x 轴正方向（DA 方向），C 在 y 轴正方向（DC 方向）， 在 z 轴正方向。注意 B 的坐标是 (2, 2, 0)（在 xOy 平面内），不是 (0, 0, 0)。 - AE 和 CF 的方向：AE = E - A（从 A 指向 E），CF = F - C（从 C 指向 F）。两个向量的起点不同，但数量积只与方向和大小有关，与起点无关。 - 异面直线角取锐角：AE CF = -3 < 0，向量夹角为钝角，但异面直线所成角取锐角，故余弦值取绝对值 (3)/(5)。 - 验证：AE 和 CF 关于正方体的中心对称（E 和 F 关于中心对称，A 和 C 关于 BD 对称），这种对称性使得 |AE| = |CF| = ，可作为计算的验算手段。 【知识链接】 - 坐标法解决空间角度问题的基本流程：①建系（选择合适原点和坐标轴） ②写坐标（确定所有相关点的坐标） ③算向量（求方向向量或法向量） ④套公式（代入角度公式计算）。这一流程适用于线线角、线面角、二面角等各类空间角度问题。 - 异面直线所成角的坐标法公式：cos = (|a b|)/(|a||b|)，其中 a, b 为两异面直线的方向向量。 - 与第1册的对照：第1册中异面直线角的求法通常需要通过平移将异面直线转化为相交直线，再在三角形中用余弦定理求解。坐标法则直接用方向向量的数量积一步到位，体现了"以算代证"的优势。 - 正方体是最基础的几何体，建系后所有顶点坐标简洁（只有 0 和棱长两个值），是坐标法入门的最佳载体。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第5题 （6分）[基础] [选择题] 坐标法求线面角（正弦值） 在正三棱柱 ABC- 中，所有棱长均为 2，D 为 BC 的中点。以 D 为原点，DA 方向为 x 轴正方向，DB 方向为 y 轴正方向，A 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则直线 D 与平面 ABC 所成角的正弦值为 A. (2)/(7) 　B. ()/(7) 　C. ()/(7) 　D. ()/(3) 【参考答案】 A 【命题意图】 本题以正三棱柱为载体，考查用坐标法求直线与平面所成的角。要求学生在等边三角形底面中正确建立坐标系（利用等边三角形高确定坐标），运用线面角的正弦公式 sin = (|a n|)/(|a||n|) 进行计算。正三棱柱是坐标法的典型适用场景——底面非正方形但具有对称性，建系后坐标简洁。 【解题思路】 等边三角形 ABC 边长 2，D 为 BC 中点，AD 即为等边三角形的高，AD = ，BD = DC = 1。以 D 为原点建系，写出 和 D 的坐标，求出方向向量 D，底面法向量取 (0,0,1)，代入线面角正弦公式。 【详细过程】 第一步：建立坐标系并写出各点坐标。 等边三角形 ABC 边长 2，D 为 BC 中点。BD = DC = 1，AD = ()/(2) 2 = （等边三角形高）。 以 D 为原点，DA 为 x 轴正方向，DB 为 y 轴正方向，A 为 z 轴正方向： D(0,0,0), B(0,1,0), C(0,-1,0), A(,0,0) (0,1,2), (0,-1,2), (,0,2) 第二步：求方向向量与法向量。 D = D - = (0 - , 0 - 0, 0 - 2) = (-, 0, -2) |D| = = 底面 ABC 的法向量取 n = (0, 0, 1)，|n| = 1。 第三步：代入线面角正弦公式。 sin = (|D n|)/(|D||n|) = (|(-)(0) + (0)(0) + (-2)(1)|)/( 1) = (2)/() = (2)/(7) 故选A。 【易错点提示】 - 等边三角形高的计算：边长 a 的等边三角形高 h = ()/(2)a。本题 a = 2，AD = 。部分学生误用 AD = 1 或 AD = 2。 - 线面角公式用正弦（不是余弦）：sin = (|a n|)/(|a||n|)。线面角等于方向向量与法向量夹角的余角，故用正弦。 - 混淆选项C（/7）：这实际是余弦值 cos = = = = ()/(7)。若误将余弦值当作正弦值，则误选C。 【知识链接】 - 正三棱柱建系方法：以底面 BC 中点 D 为原点，DA 为 x 轴（等边三角形中线即高线），DB 为 y 轴，A 为 z 轴。利用等边三角形对称性使坐标简洁。 - 线面角的坐标法公式：sin = (|a n|)/(|a||n|)，其中 a 为直线的方向向量，n 为平面的法向量。 - 双路径对照（纯几何法）：A 平面 ABC（棱柱性质）， 在平面 ABC 上的射影为 A。D 在平面 ABC 上，故 DA 即为直线 D 与平面 ABC 所成的角。在 Rt AD 中，A = 2，AD = ，D = = ，sin = (A)/(D) = (2)/() = (2)/(7)。两条路径结果一致，纯几何法更直观，坐标法更程序化。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第6题 （6分）[基础] [多选题] 线面角/平行判定/点到面距离/向量与平面平行 已知直线 l 的方向向量为 a = (1, 1, 0)，平面 的法向量为 n = (1, 0, 1)，且直线 l 过点 P(0, 0, 0)，平面 过点 Q(1, 0, 0)。下列结论正确的是 A. 直线 l 与平面 所成角的正弦值为 (1)/(2) B. 直线 l 与平面 平行 C. 点 P 到平面 的距离为 ()/(2) D. 向量 b = (-1, 0, 1) 与平面 平行 【参考答案】 ACD 【命题意图】 本题以抽象向量与平面的位置关系为载体，综合考查线面角计算、线面平行判定、点到面距离和向量与平面平行四个知识点。要求学生在同一组条件下完成多项判断，体现坐标法"一次设定、多问通用"的特点，是坐标法基础概念的综合检测题。 【解题思路】 先确定平面 的方程（过点 Q 且法向量为 n），再逐一验证各选项。线面角用 sin = (|a n|)/(|a||n|)，线面平行需 a n = 0 且直线不在平面内，距离用点到面公式，向量与平面平行需 b n = 0。 【详细过程】 确定平面 的方程。 平面 过 Q(1,0,0)，法向量 n = (1,0,1)，方程为 1 (x-1) + 0 (y-0) + 1 (z-0) = 0，即 x + z - 1 = 0。 - 选项A： sin = (|a n|)/(|a||n|) = (|1 1 + 1 0 + 0 1|)/( ) = (1)/( ) = (1)/(2) A正确。 - 选项B：a n = 1 0，故直线 l 不与平面 平行（直线方向向量与法向量不垂直，说明直线与平面相交）。B错误。 - 选项C：点 P(0,0,0)，平面 : x + z - 1 = 0。 d = (|0 + 0 - 1|)/() = (1)/() = ()/(2) C正确。 - 选项D：b n = (-1) 1 + 0 0 + 1 1 = 0。b 与法向量 n 垂直，故 b 与平面 平行。D正确。 故选ACD。 【易错点提示】 - 误选B：线面平行的判定需要两个条件——①方向向量与法向量垂直（a n = 0），②直线不在平面内。本题 a n = 1 0，条件①就不满足，直线与平面相交。 - 漏选D：向量与平面平行的条件是向量与法向量垂直（b n = 0），即向量在平面内或与平面平行。部分学生混淆"向量与平面平行"和"直线与平面平行"——前者只需 b n = 0，后者还需直线不在平面内。 - 平面方程的确定：过点 Q(, , )、法向量 n = (a, b, c) 的平面方程为 a(x-) + b(y-) + c(z-) = 0。 【知识链接】 - 线面角的坐标法公式：sin = (|a n|)/(|a||n|)。当 sin = 0 时直线与平面平行或在平面内；当 sin = 1 时直线与平面垂直。 - 点到平面的距离公式（坐标形式）：点 P(, , ) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离 d = (|A + B + C + D|)/()。这是向量形式 d = (|AP n|)/(|n|) 的坐标展开。 - 向量与平面平行的判定：非零向量 b 与平面 平行 b n = 0（n 为 的法向量）。注意"向量与平面平行"不同于"直线与平面平行"：前者是自由向量，后者还需直线不在平面内。 - 双路径对照：本题是纯坐标法问题，不涉及具体几何体。在纯几何法中，线面角需要确定射影位置、距离需要确定垂足，而在坐标法中这些都转化为统一的代数运算（数量积、绝对值），体现了坐标法"以算代证"的核心优势。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第7题 （6分）[基础] [填空题] 数量积坐标运算·异面直线夹角 在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA = 2。E、F 分别为 AB、AD 的中点。以 A 为原点，AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系。则 PE CF = ____________________________________，异面直线 PE 与 CF 所成角的余弦值为 ____________________________________。 【参考答案】 -2；(2)/(5) 【命题意图】 本题考查在正方形底四棱锥中建立坐标系、计算向量数量积和异面直线所成角的基本技能。E、F 分别为相邻棱 AB、AD 的中点，使得两个方向向量的起点不同但计算简洁，是坐标法求异面直线角的基础训练题。 【解题思路】 以 A 为原点建系，写出 E、F 的坐标（中点公式），计算 PE 和 CF，代入数量积坐标公式和夹角余弦公式。 【详细过程】 建立坐标系并写坐标。 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) E 为 AB 中点：E = (1, 0, 0) F 为 AD 中点：F = (0, 1, 0) 第一空：计算 PE CF。 PE = E - P = (1, 0, -2) CF = F - C = (-2, -1, 0) PE CF = 1 (-2) + 0 (-1) + (-2) 0 = -2 第二空：计算异面直线 PE 与 CF 所成角的余弦值。 |PE| = = |CF| = = cos = (|PE CF|)/(|PE||CF|) = (|-2|)/( ) = (2)/(5) 【易错点提示】 - PE 的方向：PE = E - P（从 P 指向 E），不是 P - E。CF = F - C（从 C 指向 F）。 - 异面直线角取锐角：PE CF = -2 < 0，向量夹角为钝角，但异面直线所成角取锐角，故余弦值取绝对值 (2)/(5)。第一空填数量积 -2（保留负号），第二空填余弦值 (2)/(5)（取绝对值）。 - 中点坐标：E 为 AB 中点，E = (A+B)/(2) = (1, 0, 0)；F 为 AD 中点，F = (A+D)/(2) = (0, 1, 0)。两个中点都在底面上（z = 0）。 【知识链接】 - 异面直线所成角的坐标法公式：cos = (|a b|)/(|a||b|)，取绝对值确保为锐角。 - 向量数量积与夹角的关系：a b = |a||b|cos。数量积为负表示向量夹角为钝角，但异面直线所成角 (0, ()/(2)]，取锐角。 - 双路径对照（纯几何法）：将 PE 平移到 A 为起点（PE = AE - AP），将 CF 平移到 A 为起点（CF = AF - AC），在 中用余弦定理求解。坐标法直接用方向向量计算，无需构造平移，更为简洁。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第8题 （6分）[基础] [解答题] 建系·线面角·点到面距离 【命题意图】 本题以矩形底面（长宽不等）四棱锥为载体，第(1)问考查建系写坐标，第(2)问考查线面角的坐标法求解，第(3)问考查点到面距离的坐标法求解。全题突出坐标法解决空间角度与距离问题的标准流程"建系写坐标算向量套公式"，是本批基础题的核心训练。矩形底面（非正方形）使坐标不再只有 0 和 2，增加了实际计算感。 【解题思路】 第(1)问：BC = AD = 4，据此写出各点坐标，E 为 BC 中点用中点公式。 第(2)问：PE 为方向向量，底面法向量 (0,0,1)，用 sin = (|a n|)/(|a||n|)。 第(3)问：求平面 PDE 法向量（叉积），P 在平面上，PA 为 P 到 A 的向量，用距离公式。 【详细过程】 (1) 建立坐标系并写出坐标 ABCD 为矩形，AB = 2，BC = AD = 4，PA = 2。 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,4,0), D(0,4,0), P(0,0,2) E 为 BC 中点：E = (B+C)/(2) = ((2+2)/(2), (0+4)/(2), (0+0)/(2)) = (2, 2, 0) (2) 求直线 PE 与平面 ABCD 所成角的正弦值 PE = E - P = (2, 2, -2) 底面 ABCD 法向量 = (0, 0, 1)。 |PE| = = 2 sin = (|PE |)/(|PE|||) = (|(-2)|)/(2 1) = (2)/(2) = (1)/() = ()/(3) 即直线 PE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ()/(3)。 (3) 求点 A 到平面 PDE 的距离 PD = D - P = (0, 4, -2), PE = (2, 2, -2) n = PD PE = | i j k 0 4 -2 2 2 -2 | i：4 (-2) - (-2) 2 = -8 + 4 = -4 j：-(0 (-2) - (-2) 2) = -(0 + 4) = -4 k：0 2 - 4 2 = -8 n = (-4, -4, -8) ，可取 n = (1, 1, 2), |n| = = P 在平面 PDE 上，PA = A - P = (0, 0, -2)。 d = (|PA n|)/(|n|) = (|0 1 + 0 1 + (-2) 2|)/() = (4)/() = (4)/(6) = (2)/(3) 即点 A 到平面 PDE 的距离为 (2)/(3)。 【易错点提示】 - 矩形边长对应：BC = AD = 4（不是 2），D 的 y 坐标为 4，C 的 y 坐标也为 4。这是矩形（非正方形）建系中最容易出错的环节。 - E 为 BC 中点：B(2,0,0)，C(2,4,0)，E = (2, 2, 0)。E 在底面上（z = 0），其 x 坐标与 B、C 相同（均为 2）。 - 法向量简化：(-4, -4, -8) 可除以 -4 简化为 (1, 1, 2)。简化时注意各分量同除同一常数（包括负号）。 - 线面角公式用 sin：sin = (|a n|)/(|a||n|)，不是 cos。这是因为线面角等于方向向量与法向量夹角的余角。 【知识链接】 - 线面角的坐标法公式：sin = (|a n|)/(|a||n|)，a 为方向向量，n 为法向量。当平面为底面（z = 0）时，法向量取 (0,0,1)，sin = (|a_z|)/(|a|)，即方向向量 z 分量的绝对值除以模长。 - 点到面距离的坐标法公式：d = (|AP n|)/(|n|)。 - 双路径对照： - 线面角（第2问）：纯几何法——E 在底面上，P 在底面上的射影为 A（PA 底面）， PEA 即为所求角。在 Rt PAE 中，PA = 2，AE = = 2，PE = 2，sin = (PA)/(PE) = (2)/(2) = ()/(3)。纯几何法在此题中更简洁。 - 距离（第3问）：纯几何法可用等体积法 V_(P-ADE) = V_(A-PDE)，需先求 PDE 的面积。坐标法直接用距离公式，避免了面积计算。 - 两种方法各有优势：当存在线面垂直关系时，纯几何法求线面角更直观；当平面较复杂（如本题的 PDE）时，坐标法求距离更程序化。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第9题 （8分）[中档] [选择题] 建系写坐标·数量积坐标运算 在长方体 ABCD- 中，AB = 2，AD = 2，A = 1。点 E 在 B 上且 BE = (1)/(2)B，点 F 为 的中点。以 A 为原点，AB, AD, A 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 AE AF 的值为 A. 2 　B. (5)/(2) 　C. 3 　D. (7)/(2) 【参考答案】 B 【命题意图】 本题考查在长方体中建立空间直角坐标系、写出各点坐标、进行向量坐标运算的能力。要求学生正确确定各点的三维坐标，特别是棱上分点和面对角线中点的坐标，并运用数量积的坐标公式进行计算。 【解题思路】 以 A 为原点建系，分别写出 E（B 上分点）和 F（ 中点）的坐标，再代入数量积的坐标公式 AE AF = + + 计算。 【详细过程】 第一步：建立坐标系并写出各顶点坐标。 以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AD 为 y 轴正方向，A 为 z 轴正方向。 各顶点坐标： - A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0) - (0, 0, 1)，(2, 0, 1)，(2, 2, 1)，(0, 2, 1) 第二步：确定 E 和 F 的坐标。 E 在 B 上，BE = (1)/(2)B。B(2, 0, 0)，(2, 0, 1)，B = 1，故 BE = (1)/(2)。 E = B + (1)/(2)B = (2, 0, 0) + (1)/(2)(0, 0, 1) = (2, 0, (1)/(2)) F 为 的中点。(0, 0, 1)，(2, 2, 1)。 F = ( + )/(2) = ((0+2)/(2), (0+2)/(2), (1+1)/(2)) = (1, 1, 1) 第三步：计算数量积。 AE = (2, 0, (1)/(2)), AF = (1, 1, 1) AE AF = 2 1 + 0 1 + (1)/(2) 1 = 2 + 0 + (1)/(2) = (5)/(2) 故选B。 【易错点提示】 - E 的坐标计算：BE = (1)/(2)B 表示 E 从 B 出发沿 B 方向走 (1)/(2)，故 E 的 z 坐标为 (1)/(2)（不是 1）。部分学生误将 E 取为 B 中点但坐标写成 (2, 0, 1)，混淆了"走一半"和"到达终点"。 - F 为 中点（面对角线中点），不是棱的中点。 是上底面的对角线，中点坐标为两端点坐标的平均值。 - 数量积的坐标公式：a b = + + （对应分量相乘再相加），不是 a b = ( , , )（这是分量积向量，不是数量积）。 【知识链接】 - 建系原则：在长方体（或正方体）中，通常以一个顶点为原点，三条共顶点的棱所在直线为坐标轴建立直角坐标系。选择哪个顶点为原点取决于题目涉及的点，原则是使尽可能多的点坐标简洁（含零分量多）。 - 棱上分点坐标：点 P 在线段 MN 上且 MP = MN（0 1），则 P = M + MN = (1-)M + N。 - 中点坐标公式：M 为 PQ 中点 M = (P + Q)/(2)（各分量取平均）。 - 数量积的坐标公式是坐标法解决立体几何问题的基石，将几何运算（投影、角度）转化为代数运算（乘法、加法），体现了坐标法"以算代证"的核心优势。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第10题 （8分）[中档] [多选题] 坐标法判断线线垂直·模长·异面直线角 在正方体 ABCD- 中，棱长为 2，E 为 C 的中点，F 为 的中点。以 D 为原点，DA, DC, D 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是 A. AE BD = 0 B. AE BF C. |EF| = D. 直线 AE 与直线 BF 所成角的余弦值为 (2)/(3) 【参考答案】 ABC 【命题意图】 本题以正方体为载体，综合考查坐标法判断线线垂直、计算向量模长和异面直线所成角的能力。要求学生在同一坐标系下完成多项计算，体现坐标法"一次建系、多问通用"的效率优势。 【解题思路】 以 D 为原点建系，写出所有相关点的坐标，计算 AE, BD, BF, EF 的坐标，逐一验证各选项。 【详细过程】 建立坐标系并写出各点坐标。 以 D 为原点，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，(0,0,2)，(2,0,2)，(2,2,2)，(0,2,2)。 E 为 C 中点：E = (C + )/(2) = ((0+0)/(2), (2+2)/(2), (0+2)/(2)) = (0, 2, 1) F 为 中点：F = ( + )/(2) = ((2+0)/(2), (0+0)/(2), (2+2)/(2)) = (1, 0, 2) 计算相关向量。 AE = E - A = (0-2, 2-0, 1-0) = (-2, 2, 1) BD = D - B = (0-2, 0-2, 0-0) = (-2, -2, 0) BF = F - B = (1-2, 0-2, 2-0) = (-1, -2, 2) EF = F - E = (1-0, 0-2, 2-1) = (1, -2, 1) - 选项A：AE BD = (-2)(-2) + (2)(-2) + (1)(0) = 4 - 4 + 0 = 0。A正确。 - 选项B：AE BF = (-2)(-1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0。故 AE BF。B正确。 - 选项C：|EF| = = = 。C正确。 - 选项D：|AE| = = 3，|BF| = = 3。AE BF = 0（选项B已算），故余弦值 cos = (AE BF)/(|AE||BF|) = (0)/(9) = 0，所成角为 90，余弦值为 0，不是 (2)/(3)。D错误。 故选ABC。 【易错点提示】 - 坐标符号：AE = E - A（终点减起点），不是 A - E。方向反了会导致数量积符号错误。 - 异面直线所成角的余弦值：当 AE BF < 0 时，向量夹角为钝角，但异面直线所成角取锐角或直角，故余弦值取绝对值 |cos| = (|AE BF|)/(|AE||BF|)。本题中数量积为 0，取绝对值仍为 0。 - 漏选C：|EF| = 需要正确计算 EF 的三个分量。E 和 F 分别在正方体的不同棱上，坐标差容易算错。 【知识链接】 - 坐标法判断线线垂直：a b a b = 0 + + = 0。与第1册中使用全等三角形或菱形性质证明垂直的纯几何方法相比，坐标法将垂直判断转化为简单的代数运算，体现了"以算代证"的优势。 - 向量模长的坐标公式：|a| = ，即各分量平方和开根号。 - 异面直线所成角：两异面直线所成角等于它们方向向量的夹角（取锐角或直角），cos = (|a b|)/(|a||b|)。 - 坐标法的效率优势：本题一次建系即可解决垂直判断、模长计算、夹角计算三个问题，体现了坐标法"一次建系、多问通用"的特点，这是纯几何方法难以比拟的优势。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第11题 （8分）[中档] [填空题] 建系·法向量·线面角·二面角（坐标法） 在正四棱锥 P-ABCD 中，底面边长为 2，侧棱长为 。以底面中心 O 为原点，OA 方向为 x 轴正方向，OP 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ____________________________________，侧面与底面所成二面角的余弦值为 ____________________________________。 【参考答案】 ；()/(5) 【命题意图】 本题考查在正四棱锥中建立空间直角坐标系，利用坐标法（法向量）求线面角和二面角。要求学生正确确定各点坐标、计算平面的法向量，并运用法向量公式求空间角，是坐标法解决角度问题的典型中档题。 【解题思路】 以底面中心为原点建系，利用正四棱锥的对称性确定各点坐标。线面角通过方向向量与法向量的夹角公式求解；二面角通过两个平面法向量的夹角公式求解。 【详细过程】 第一步：建立坐标系并确定各点坐标。 底面 ABCD 为正方形，边长 2，中心 O。OA = （半对角线），OB = 。 侧棱 PA = ，高 PO = = = 2。 以 O 为原点，OA 为 x 轴正方向，OB 为 y 轴正方向，OP 为 z 轴正方向： O(0,0,0), A(, 0, 0), B(0, , 0), C(-, 0, 0), D(0, -, 0), P(0, 0, 2) 第二步：求侧棱 PA 与底面所成角的正切值。 底面 ABCD 的法向量取 n = (0, 0, 1)。 PA = A - P = (, 0, -2) PA 与底面所成角 的正弦值： sin = (|PA n|)/(|PA||n|) = (|0 + 0 + (-2)|)/( 1) = (2)/() cos = = = = (1)/() tan = (sin)/(cos) = ((2)/())/((1)/()) = (2)/() = (2)/() = 第三步：求侧面与底面所成二面角的余弦值。 取侧面 PAB 计算。底面法向量 = (0, 0, 1)。 求侧面 PAB 的法向量 ： PA = (, 0, -2), PB = (0, , -2) = PA PB = | i j k 0 -2 0 -2 | = i(0 (-2) - (-2) ) - j( (-2) - (-2) 0) + k( - 0 0) = (2, 2, 2) 可取 = (, , 1)。 二面角的余弦值： cos = (| |)/(||||) = (|0 + 0 + 1|)/(1 ) = (1)/() = ()/(5) （二面角为锐角，故取绝对值。） 【易错点提示】 - 坐标系建立：正方形 ABCD 的中心 O 到各顶点的距离为 （半对角线），不是 1（半边长）。OA = (2)/(2) = 。 - 线面角公式：sin = (|a n|)/(|a||n|)（正弦值！），不是余弦值。线面角等于方向向量与法向量夹角的余角，故用正弦。 - 二面角与线面角的公式区别：线面角用 sin，二面角用 cos（法向量夹角的余弦值，取绝对值后判断锐角/钝角）。 - 叉积计算：PA PB 的结果是一个向量，三个分量分别为 i、j、k 方向的系数。注意 j 分量前面有负号。 - 法向量简化：(2, 2, 2) 可简化为 (, , 1)（同方向），简化后计算更方便。 【知识链接】 - 线面角的坐标法公式：直线方向向量 a，平面法向量 n，线面角 满足 sin = (|a n|)/(|a||n|)。这是因为线面角等于方向向量与法向量夹角的余角。 - 二面角的坐标法公式：两平面的法向量 , ，二面角 满足 cos = (| |)/(||||)（取绝对值得锐角，需结合几何判断是否取补角）。 - 叉积求法向量：平面内两不共线向量 u, v，则 u v 是该平面的法向量。叉积公式：u v = ( - , - , - )。 - 与第1册的对照：第1册第15题用纯几何法求正三棱锥的线面角（在截面三角形中利用 tan = (PO)/(OD)），本题用坐标法（法向量公式）求正四棱锥的线面角和二面角。两种方法对照：纯几何法需要确定射影位置和截面，坐标法需要建系和求法向量，各有优势。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第12题 （8分）[中档] [解答题] 坐标法证线面垂直·法向量求线面角 【命题意图】 本题以含两组垂直关系的三棱锥为载体，第(1)问考查利用线面垂直关系建立空间直角坐标系，第(2)问考查用坐标法（数量积为零）证明线面垂直，第(3)问考查用坐标法（法向量）求线面角。全题突出坐标法证明位置关系和求角度的完整流程，与第1册第16题的纯几何证法形成对照。 【解题思路】 第(1)问：PA 平面 ABC 且 AB AC，三条直线 PA, AB, AC 两两垂直，以 A 为原点建系。 第(2)问：计算 AB AP 和 AB AC，若均为 0，则 AB 垂直于平面 PAC 内两条相交直线，从而 AB 平面 PAC。 第(3)问：AB 平面 PAC，故 AB 是平面 PAC 的法向量。线面角正弦值 = (|BM AB|)/(|BM||AB|)。 【详细过程】 (1) 建立坐标系 因为 PA 平面 ABC，所以 PA AB 且 PA AC。又 AB AC，故 PA, AB, AC 两两垂直。 以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AC 为 y 轴正方向，AP 为 z 轴正方向： A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2) M 为 PC 中点： M = (P + C)/(2) = (0, 1, 1) (2) 用坐标法证明 AB 平面 PAC AB = (2, 0, 0) AP = (0, 0, 2), AC = (0, 2, 0) AP 与 AC 是平面 PAC 内两条相交直线（交于点 A）。 AB AP = 2 0 + 0 0 + 0 2 = 0 AB AP AB AC = 2 0 + 0 2 + 0 0 = 0 AB AC AB 垂直于平面 PAC 内两条相交直线 AP 和 AC，由线面垂直的判定定理： AB 平面 PAC ■ (3) 求直线 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值 由第(2)问，AB 平面 PAC，故 AB = (2, 0, 0) 是平面 PAC 的法向量。 BM = M - B = (0-2, 1-0, 1-0) = (-2, 1, 1) |BM| = = |AB| = 2 BM AB = (-2) 2 + 1 0 + 1 0 = -4 直线 BM 与平面 PAC 所成角 的正弦值： sin = (|BM AB|)/(|BM||AB|) = (|-4|)/( 2) = (4)/(2) = (2)/() = ()/(3) 【易错点提示】 - 第(1)问建系依据：PA 平面 ABC 给出 PA AB 和 PA AC（线面垂直的性质），加上 AB AC（已知），三直线两两垂直，可以建系。这是"利用垂直关系建系"的典型方法。 - 第(2)问中，需说明 AP 与 AC 是相交直线（交于点 A）。线面垂直判定定理要求"两条相交直线"，若两直线平行则即使都垂直于 AB 也不能推出 AB 平面。 - 第(3)问中，AB 是平面 PAC 的法向量（由第(2)问结论），不需要另外求法向量。直接用线面角公式 sin = (|a n|)/(|a||n|) 计算。 - 线面角公式用 sin（不是 cos）：线面角等于方向向量与法向量夹角的余角，sin = cos(方向向量与法向量的夹角)。 【知识链接】 - 利用垂直关系建系：当几何体中存在三条共点且两两垂直的直线时，以该交点为原点、三直线为坐标轴建立直角坐标系。这是立体几何建系最常见的方式，适用于正方体、长方体、PA 底面型棱锥等。 - 坐标法证线面垂直：证明直线的方向向量 l 与平面内两条相交直线的方向向量 u, v 的数量积均为零（l u = 0 且 l v = 0），从而 l 垂直于平面。这取代了第1册中"线线垂直 线面垂直"的纯几何推理。 - 与第1册第16题的对照：第1册第16题用纯几何方法证明同一结论（AB 平面 PAC），方法是"PA 底面 PA AB，又 AB AC，由判定定理得 AB 平面 PAC"。坐标法将这一推理转化为 AB AP = 0 和 AB AC = 0 的代数验证，体现了"以算代证"的特点。 - 线面角的坐标法公式：sin = (|a n|)/(|a||n|)，其中 a 为直线的方向向量，n 为平面的法向量。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第13题 （8分）[中档] [选择题] 坐标法求点到面距离（等体积法验证） 在三棱锥 S-ABC 中，SA 平面 ABC，AB = AC = 2， BAC = 120，SA = 2。则点 A 到平面 SBC 的距离为 A. (2)/(5) 　B. ()/(5) 　C. (2)/(3) 　D. ()/(5) 【参考答案】 A 【命题意图】 本题以含 120 钝角的等腰三角形为底面的三棱锥为载体，考查用坐标法求点到平面的距离。120 角的设计使底面非标准，增加了建系写坐标的难度，同时使得叉积结果中各分量不相等，更真实地反映坐标法的计算过程。要求学生正确处理 120 角的坐标表示、叉积求法向量、点到面距离公式三个环节。 【解题思路】 以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向建系。C 的坐标需用 120 角的三角函数值确定。求出平面 SBC 的法向量（叉积），再代入距离公式 d = (|AP n|)/(|n|)。 【详细过程】 第一步：建立坐标系并写出各点坐标。 SA 平面 ABC，以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AB = 2，B(2, 0, 0)。 BAC = 120，AC = 2，C 在 xOy 平面内： C = (2cos 120, 2sin 120, 0) = (-1, , 0) SA 平面 ABC，SA = 2，S(0, 0, 2)。 第二步：求平面 SBC 的法向量。 SB = B - S = (2, 0, -2), SC = C - S = (-1, , -2) n = SB SC = | i j k 2 0 -2 -1 -2 | i 分量：0 (-2) - (-2) = 2 j 分量：-(2 (-2) - (-2) (-1)) = -(-4 - 2) = 6 k 分量：2 - 0 (-1) = 2 n = (2, 6, 2) 可取 n = (, 3, )（除以 2）。 |n| = = 第三步：求点 A 到平面 SBC 的距离。 S 在平面 SBC 上，SA = A - S = (0, 0, -2)。 d = (|SA n|)/(|n|) = (|0 + 0 3 + (-2) |)/() = (2)/() = (2 )/(15) = (2)/(15) = (6)/(15) = (2)/(5) 故选A。 【易错点提示】 - 120 角的坐标：C = (2cos 120, 2sin 120, 0) = (-1, , 0)。cos 120 = -(1)/(2)（负值！），sin 120 = ()/(2)。部分学生误用 cos 120 = (1)/(2)，导致 C 坐标符号错误。 - 叉积计算中 j 分量的负号：j 分量为 -( - )，注意外层取负号。本题中 -((-4) - 2) = 6，若漏写负号则得 -6，法向量方向相反（不影响距离取绝对值，但影响方向判断）。 - 分母有理化：(2)/() = (2)/(15) = (6)/(15) = (2)/(5)。注意 = = 3，不是 。 - 选项B（/5）是正确值的一半，可能来自将 SA = 2 误用为 SA = 1 的错误。 【知识链接】 - 120 角的坐标表示：当 BAC = 120 时，以 AB 为 x 轴，C 的 x 坐标为负（cos 120 < 0），这与 60 角（x 坐标为正）形成对比。120 钝角底面在高考中较少出现，能体现坐标法处理非标准图形的优势。 - 点到平面的距离公式：d = (|AP n|)/(|n|)，其中 A 为平面上一点，P 为平面外一点，n 为法向量。 - 双路径对照（纯几何法——等体积法）：V_(S-ABC) = (1)/(3) SA S_( ABC)。S_( ABC) = (1)/(2) 2 2 sin 120 = ，故 V = (2)/(3)。在 SBC 中，SB = SC = 2，BC = 2（余弦定理），S_( SBC) = （海伦公式）。由 V_(A-SBC) = (1)/(3) d S_( SBC)，得 d = (2/3)/(/3) = (2)/() = (2)/(5)。等体积法避免了叉积计算，但需求三角形面积；坐标法更程序化但计算量大。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第14题 （8分）[中档] [多选题] 异面直线角/线面角/点到面距离/二面角综合 在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，AB = 2，BC = 2，PA = 2。E 为 PD 的中点。以 A 为原点，AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系。下列结论正确的是 A. 异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值为 ()/(6) B. 直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ()/(6) C. 点 A 到平面 PBC 的距离为 D. 平面 EAB 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ()/(3) 【参考答案】 ABC 【命题意图】 本题以矩形底面（非正方形）四棱锥为载体，一次建系后综合考查异面直线角、线面角、点到面距离和二面角四类空间角与距离问题。要求学生在同一坐标系下完成多问计算，体现坐标法"一次建系、多问通用"的效率优势。选项D设置了一个与正确值接近但不同的余弦值，考查学生对法向量计算的精确度。 【解题思路】 以 A 为原点建系，写出所有点的坐标（注意 BC = AD = 2）。计算 AE, PC 验证A；求平面 PBC 法向量验证B、C；求平面 EAB 法向量验证D。 【详细过程】 建立坐标系并写出各点坐标。 ABCD 为矩形，AB = 2，BC = AD = 2，PA = 2。 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) E 为 PD 中点： E = (P+D)/(2) = (0, , 1) 计算各选项。 - 选项A：AE = (0, , 1)，PC = C - P = (2, 2, -2)。 AE PC = 0 2 + 2 + 1 (-2) = 0 + 4 - 2 = 2 |AE| = = , |PC| = = 4 cos = (|AE PC|)/(|AE||PC|) = (2)/( 4) = (1)/(2) = ()/(6) A正确。 - 选项B：求平面 PBC 的法向量。 PB = (2, 0, -2), PC = (2, 2, -2) n = PB PC = | i j k 2 0 -2 2 2 -2 | i：0 (-2) - (-2) 2 = 4 j：-(2 (-2) - (-2) 2) = -(-4+4) = 0 k：2 2 - 0 2 = 4 n = (4, 0, 4) ，可取 n = (1, 0, 1), |n| = sin = (|AE n|)/(|AE||n|) = (|0 + 0 + 1|)/( ) = (1)/() = ()/(6) B正确。 - 选项C：P 在平面 PBC 上，PA = (0, 0, -2)。 d = (|PA n|)/(|n|) = (|0 + 0 + (-2) 1|)/() = (2)/() = C正确。 - 选项D：底面法向量 = (0, 0, 1)。 平面 EAB：AB = (2, 0, 0)，AE = (0, , 1)。 = AB AE = | i j k 2 0 0 0 1 | = (0, -2, 2) 可取 = (0, -1, )，|| = = 。 cos = (| |)/(||||) = (||)/(1 ) = ()/() = ()/(3) 实际余弦值为 ()/(3)，而非 ()/(3)。D错误。 故选ABC。 【易错点提示】 - 矩形边长对应：BC = AD = 2（不是 AB），D 的 y 坐标为 2。部分学生将 D 的坐标写为 (0, 2, 0)，导致后续全部计算错误。 - 选项D的辨析：/3 ≈ 0.816，/3 ≈ 0.577，两者差异明显。若在叉积计算中 k 分量漏了 （写为 2 而非 2），则 || = = ，cos = / = 1，与 /3 也不一致。常见的错误是 AE 的 y 分量误写为 1 而非 。 - 法向量简化：(4, 0, 4) 可简化为 (1, 0, 1)（除以 4），简化后计算更方便。简化时注意各分量同除一个常数。 【知识链接】 - 一次建系、多问通用：本题一次建系即可解决异面直线角、线面角、点到面距离、二面角四个问题，是坐标法效率优势的集中体现。纯几何法需要为每个问题分别构造辅助线和截面，计算量更大。 - 叉积求法向量的简化：叉积结果 (4, 0, 4) 可同除 4 简化为 (1, 0, 1)。法向量只关心方向，不关心大小，因此可以任意缩放。 - 双路径对照： - 异面直线角（选项A）：纯几何法需将 AE 和 PC 平移至同一顶点再求夹角，坐标法直接用方向向量数量积。 - 点到面距离（选项C）：纯几何法可用等体积法 V_(P-ABC) = V_(A-PBC)，坐标法直接用距离公式。 - 二面角（选项D）：纯几何法需确定棱上垂线（二面角的平面角），坐标法用双法向量夹角。 - 对于矩形底面（非正方形）四棱锥，坐标法通常更为高效，因为底面坐标可以直接写出，无需额外的几何构造。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第15题 （8分）[中档] [填空题] 坐标法求二面角·点到面距离 在正三棱柱 ABC- 中，所有棱长均为 2，E 为 C 的中点。以 BC 的中点 D 为原点，DA 方向为 x 轴正方向，DB 方向为 y 轴正方向，A 方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则平面 ABE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ____________________________________，点 到平面 ABE 的距离为 ____________________________________。 【参考答案】 ()/(2)；()/(2) 【命题意图】 本题以正三棱柱为载体，综合考查坐标法求二面角和点到面距离。E 为侧棱 C 的中点，引入了一个"倾斜截面"平面 ABE，使得二面角不再是显然的 90（侧棱垂直底面的情况）。两空答案恰好相同（均为 /2），这一设计既增加了题目的美感，也检验学生计算的精确性。 【解题思路】 以 BC 中点 D 为原点建系，利用等边三角形高 AD = 确定坐标。求平面 ABE 的法向量（叉积），底面法向量取 (0,0,1)，代入二面角余弦公式和点到面距离公式。 【详细过程】 第一步：建立坐标系并写坐标。 等边三角形 ABC 边长 2，D 为 BC 中点，AD = ，BD = DC = 1。 D(0,0,0), B(0,1,0), C(0,-1,0), A(,0,0) (0,1,2), (0,-1,2), (,0,2) E 为 C 中点：E = (C+)/(2) = (0, -1, 1) 第二步：求平面 ABE 的法向量。 AB = B - A = (-, 1, 0), AE = E - A = (-, -1, 1) = AB AE = | i j k - 1 0 - -1 1 | i：1 1 - 0 (-1) = 1 j：-((-) 1 - 0 (-)) = -(-) = k：(-) (-1) - 1 (-) = + = 2 = (1, , 2), || = = = 4 第三步：求二面角的余弦值。 底面 ABC 法向量 = (0, 0, 1)，|| = 1。 cos = (| |)/(||||) = (|2|)/(1 4) = (2)/(4) = ()/(2) （E 在底面上方，平面 ABE 从棱 AB 向上倾斜，二面角为锐角 30。） 第四步：求点 到平面 ABE 的距离。 A 在平面 ABE 上，A = - A = (0 - , -1 - 0, 2 - 0) = (-, -1, 2)。 d = (|A |)/(||) = (|1 (-) + (-1) + 2 2|)/(4) = (|- - + 4|)/(4) = (2)/(4) = ()/(2) 【易错点提示】 - 叉积 j 分量的计算：-((-)(1) - (0)(-)) = -(- - 0) = 。注意两层负号：叉积公式中 j 分量自带负号，(-) 再贡献一个负号，最终为正。 - 两空答案相同的原因：二面角余弦 = (| |)/(||||) = (|n_(2z)|)/(||)（当 = (0,0,1) 时），而距离 = (|A |)/(||)。两值相等是因为 A 在 方向的投影恰好等于 的 z 分量。这不是巧合，而是由正三棱柱的对称性决定的。 - E 的坐标：E 为 C 中点，C(0,-1,0)，(0,-1,2)，故 E = (0, -1, 1)。注意 E 的 y 坐标为 -1（与 C 相同），不是 0。 【知识链接】 - 二面角的坐标法公式：cos = (| |)/(||||)，取绝对值得锐角的余弦值。需结合几何判断二面角是锐角还是钝角。 - 点到面距离的坐标法公式：d = (|AP n|)/(|n|)，A 为平面上一点。 - 双路径对照（纯几何法）： - 二面角：棱为 AB。在底面 ABC 中，D 为 BC 中点，AD BC（等腰三角形三线合一），但 AD 不垂直 AB。需在棱 AB 上取点，分别在两个半平面内作棱的垂线。由于 E 在 C 上（C 底面），E 到 AB 的射影可利用等边三角形的性质确定。纯几何法推理较繁琐。 - 距离：需确定 到平面 ABE 的垂足位置，几何构造较为复杂。 - 坐标法将这两个问题统一为"建系法向量公式"的标准流程，在正三棱柱（底面非正方形）中优势尤为显著。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第16题 （8分）[中档] [解答题] 异面直线角·线面角·点到面距离 【命题意图】 本题以三直角四面体（PA, AB, AC 两两垂直）为载体，第(1)问建系，第(2)问求异面直线角，第(3)问求线面角，第(4)问求点到面距离。三问覆盖了空间角与距离的三种核心类型，且共用同一组坐标，充分体现坐标法"一次建系、多问通用"的效率优势。D、E 分别为两条侧棱中点，使得各向量的坐标简洁，计算量适中。 【解题思路】 第(1)问：PA, AB, AC 两两垂直，以 A 为原点建系，D、E 用中点公式。 第(2)问：AD 和 CE 为方向向量，用 cos = (|a b|)/(|a||b|)。 第(3)问：求平面 ABE 法向量，CD 为方向向量，用 sin = (|a n|)/(|a||n|)。 第(4)问：求平面 ADE 法向量，AP 为 A（平面上）到 P 的向量，用距离公式。 【详细过程】 (1) 建立坐标系并写出坐标 PA 平面 ABC，故 PA AB，PA AC。又 AB AC，三直线两两垂直。 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2) D 为 PB 中点：D = (P+B)/(2) = (1, 0, 1) E 为 PC 中点：E = (P+C)/(2) = (0, 1, 1) (2) 求异面直线 AD 与 CE 所成角的余弦值 AD = D - A = (1, 0, 1), CE = E - C = (0, -1, 1) AD CE = 1 0 + 0 (-1) + 1 1 = 1 |AD| = = , |CE| = = cos = (|AD CE|)/(|AD||CE|) = (1)/( ) = (1)/(2) 即异面直线 AD 与 CE 所成角的余弦值为 (1)/(2)（所成角为 60）。 (3) 求直线 CD 与平面 ABE 所成角的正弦值 求平面 ABE 的法向量： AB = (2, 0, 0), AE = (0, 1, 1) n = AB AE = | i j k 2 0 0 0 1 1 | = (0, -2, 2) 可取 n = (0, -1, 1)，|n| = 。 CD = D - C = (1, -2, 1), |CD| = = CD n = 0 + (-2)(-1) + 1 1 = 2 + 1 = 3 sin = (|CD n|)/(|CD||n|) = (3)/( ) = (3)/() = (3)/(2) = ()/(2) 即直线 CD 与平面 ABE 所成角的正弦值为 ()/(2)（所成角为 60）。 (4) 求点 P 到平面 ADE 的距离 求平面 ADE 的法向量： AD = (1, 0, 1), AE = (0, 1, 1) n = AD AE = | i j k 1 0 1 0 1 1 | = (-1, -1, 1) |n| = = 。 A 在平面 ADE 上，AP = P - A = (0, 0, 2)。 d = (|AP n|)/(|n|) = (|0 + 0 + 2 1|)/() = (2)/() = (2)/(3) 即点 P 到平面 ADE 的距离为 (2)/(3)。 【易错点提示】 - D、E 的坐标：D 为 PB 中点，D = (P+B)/(2) = (1, 0, 1)；E 为 PC 中点，E = (P+C)/(2) = (0, 1, 1)。两个中点的 z 坐标均为 1（在 PA 的中段高度），不是 0 或 2。 - 第(3)问中 CD 的方向：CD = D - C = (1-0, 0-2, 1-0) = (1, -2, 1)，不是 C - D。 - 第(3)问结果 sin = /2，意味着线面角为 60。这是一个较大的角度，说明 CD 与平面 ABE " steeply inclined"。验证：CD 的模长 ，法向量方向的投影为 3/，比值 /2 ≈ 0.866，合理。 - 第(4)问中叉积结果 (-1, -1, 1)：验证 n AD = -1+0+1 = 0 ✓，n AE = 0-1+1 = 0 ✓。法向量正确。 【知识链接】 - 三直角四面体的建系优势：PA, AB, AC 两两垂直时，以 A 为原点建系，所有顶点坐标只含 0 和 2，计算极为简洁。这是坐标法最理想的场景之一。 - 中点引入的"截面"平面：D、E 分别为 PB、PC 中点时，DE BC 且 DE = (1)/(2)BC（中位线定理）。平面 ADE 是一个"截面"，其法向量需要通过叉积计算。 - 双路径对照： - 异面直线角（第2问）：纯几何法需将 AD 和 CE 平移至同一顶点。注意到 D 是 PB 中点，AD = (1)/(2)AB + (1)/(2)AP；E 是 PC 中点，CE = (1)/(2)CP + (1)/(2)CC = (1)/(2)(CP) = (1)/(2)(-AC + AP)。在向量分解后用定义计算数量积，本质上与坐标法一致，但坐标法表述更简洁。 - 线面角（第3问）：纯几何法需确定 CD 在平面 ABE 上的射影，几何构造较复杂。坐标法直接用法向量公式，无需确定射影位置。 - 距离（第4问）：纯几何法可用等体积法 V_(P-ADE) = V_(A-ADE)... 但 P 到平面 ADE 的距离需要知道 ADE 的面积和 P-ADE 的体积。由于 D、E 是中点， ADE 的面积可通过 AD AE 的模长求得，这与坐标法殊途同归。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第17题 （10分）[压轴] [解答题] 菱形建系·坐标法求二面角·点到面距离 【命题意图】 本题以菱形为底面的四棱锥为载体，第(1)问考查在非标准几何体中建立坐标系（需要处理 60 菱形的顶点坐标），第(2)问考查用坐标法（法向量）求二面角，第(3)问考查用坐标法（点到平面距离公式）求距离。全题突出坐标法处理复杂几何体的优势——即使底面不是正方形，坐标法依然有效，这是纯几何方法难以比拟的。 【解题思路】 第(1)问：菱形 BAD = 60，AB 沿 x 轴，AD 在 xOy 平面内与 x 轴成 60，PA 沿 z 轴。据此写出各点坐标。 第(2)问：求平面 ACE 的法向量（用叉积），底面法向量为 (0,0,1)，代入二面角余弦公式。 第(3)问：利用点到平面距离公式 d = (|AB n|)/(|n|)（A 在平面上，AB 为 A 到 B 的向量，n 为平面法向量）。 【详细过程】 (1) 建立坐标系并写出坐标 以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向。AB = 2，B(2, 0, 0)。 AD = 2， BAD = 60，D 在 xOy 平面内： D = (2cos 60, 2sin 60, 0) = (1, , 0) C = B + D - A = (2 + 1, 0 + , 0) = (3, , 0)（菱形对角顶点）。 PA 底面，PA = ，P(0, 0, )。 E 为 PD 中点： E = (P + D)/(2) = ((0+1)/(2), (0+)/(2), (+0)/(2)) = ((1)/(2), ()/(2), ()/(2)) 各点坐标汇总： A(0,0,0), B(2,0,0), C(3,,0), D(1,,0), P(0,0,), E((1)/(2), ()/(2), ()/(2)) (2) 求平面 ACE 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值 底面 ABCD 的法向量 = (0, 0, 1)。 求平面 ACE 的法向量 ： AC = (3, , 0), AE = ((1)/(2), ()/(2), ()/(2)) = AC AE = | i j k 3 0 (1)/(2) ()/(2) ()/(2) | i 分量： ()/(2) - 0 ()/(2) = (3)/(2) j 分量：-(3 ()/(2) - 0 (1)/(2)) = -(3)/(2) k 分量：3 ()/(2) - (1)/(2) = (3)/(2) - ()/(2) = = ((3)/(2), -(3)/(2), ) 可取 = (3, -3, 2)（乘以 2 消去分母）。 || = 1 || = = = 4 = 0 + 0 + 2 = 2 由于点 E 在底面上方，平面 ACE 从棱 AC 向上倾斜，二面角为锐角： cos = (| |)/(||||) = (2)/(1 4) = (1)/(2) 即平面 ACE 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 (1)/(2)（二面角为 60）。 (3) 求点 B 到平面 ACE 的距离 A 在平面 ACE 上，AB = (2, 0, 0)，平面法向量 = (3, -3, 2)。 点到平面的距离公式： d = (|AB |)/(||) = (|3 2 + (-3) 0 + 2 0|)/(4) = (6)/(4) = (3)/(2) = ()/(2) 即点 B 到平面 ACE 的距离为 ()/(2)。 【易错点提示】 - 菱形顶点坐标： BAD = 60 时，D = (2cos 60, 2sin 60, 0) = (1, , 0)。部分学生将 D 写为 (1, 1, 0) 或 (2cos 60, 2sin 60, 0) 但计算错误。关键是 cos 60 = (1)/(2)，sin 60 = ()/(2)。 - C 的坐标：菱形 ABCD 中 C = B + D（以 A 为原点时，对角顶点的坐标等于两相邻顶点坐标之和）。验证：BC = |C - B| = |D| = 2 ✓，CD = |D - C| = |{-B}| = 2 ✓。 - 叉积计算中 j 分量的负号：u v 的 j 分量为 -( - )，注意取负号。漏写负号会导致法向量方向错误，虽然不影响距离计算（取绝对值），但会影响二面角的正负判断。 - 二面角锐钝判断：cos = (| |)/(||||) 取绝对值得到的是锐角的余弦值。若题目要求二面角（可能为钝角），需结合几何判断。本题中 E 在底面上方，平面 ACE 从 AC 向上倾斜，二面角为锐角 60。 - 点到平面距离公式：d = (|AP n|)/(|n|)，其中 A 为平面上一点，P 为平面外一点，n 为平面法向量。注意 AP 是从平面上指向平面外的向量。 【知识链接】 - 菱形建系的坐标确定：菱形 BAD = ，以 A 为原点、AB 为 x 轴时，B = (a, 0, 0)，D = (acos, asin, 0)，C = (a + acos, asin, 0) = (a(1+cos), asin, 0)。这一方法适用于任意角度的菱形/平行四边形底面。 - 二面角的坐标法求法：①求两平面的法向量 , ；②cos = (| |)/(||||)（取绝对值得锐角余弦）；③结合几何判断二面角是锐角还是钝角。 - 点到平面的距离公式：d = (|AP n|)/(|n|)，其中 A 为平面上一点，n 为法向量。该公式将距离计算转化为向量运算，是坐标法的核心应用之一。 - 与第1册第20题的对照：第1册第20题以同样的菱形底四棱锥为载体，用纯几何方法求二面角（利用 BD 平面 PAC 将二面角转化为平面角 AOP）和距离（BO 平面 PAC，BO 即为距离）。本题用坐标法（法向量）求解，两条路径殊途同归：纯几何法需要发现垂直关系并确定射影，坐标法需要建系和求法向量。对于复杂几何体（如本题中 E 为 PD 中点引入的新平面 ACE），坐标法通常更为高效。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第18题 （10分）[压轴] [解答题] 正三棱柱建系·异面直线角·二面角·距离 【命题意图】 本题以正三棱柱为载体，第(1)问考查在正三角形底面中建立坐标系（需要处理等边三角形的高）并求异面直线角，第(2)问考查用坐标法求二面角，第(3)问考查用坐标法求点到平面距离。全题三个小问覆盖了坐标法的全部核心应用（建系、线线角、二面角、距离），是坐标法综合应用的高水平压轴题。与第1册纯几何方法相比，正三棱柱中缺乏天然的垂直关系，坐标法优势更为显著。 【解题思路】 第(1)问：正三角形 ABC 边长 2，D 为 BC 中点，AD = （等边三角形高），DC = 1。据此建系，写坐标，用方向向量数量积求异面直线角。 第(2)问：底面法向量 (0,0,1)，求平面 AC 的法向量（叉积），代入二面角公式。 第(3)问：A 在平面 AC 上，A 为 A 到 的向量，利用点到平面距离公式。 【详细过程】 (1) 建立坐标系、写坐标、求异面直线角 等边三角形 ABC 边长 2，D 为 BC 中点。BD = DC = 1，AD = （等边三角形高 = ()/(2) 2 = ）。 以 D 为原点，DA 为 x 轴正方向，DC 为 y 轴负方向（即 DB 为 y 轴正方向），A 为 z 轴正方向： D(0,0,0), B(0, 1, 0), C(0, -1, 0), A(, 0, 0) (0, 1, 2), (0, -1, 2), (, 0, 2) （验证：AB = = 2 ✓，BC = 2 ✓，A = 2 ✓， = = 2 ✓。） 求异面直线 B 与 C 所成角的余弦值。 B = B - = (0 - , 1 - 0, 0 - 2) = (-, 1, -2) C = C - = (0 - 0, -1 - 1, 0 - 2) = (0, -2, -2) B C = (-)(0) + (1)(-2) + (-2)(-2) = 0 - 2 + 4 = 2 |B| = = = 2 |C| = = = 2 cos = (|B C|)/(|B||C|) = (2)/(2 2) = (2)/(8) = (1)/(4) 即异面直线 B 与 C 所成角的余弦值为 (1)/(4)。 (2) 求平面 AC 与平面 ABC 所成二面角的余弦值 平面 ABC 的法向量 = (0, 0, 1)。 求平面 AC 的法向量 ： A = - A = (0 - , 1 - 0, 2 - 0) = (-, 1, 2) AC = C - A = (0 - , -1 - 0, 0 - 0) = (-, -1, 0) = A AC = | i j k - 1 2 - -1 0 | i 分量：1 0 - 2 (-1) = 0 + 2 = 2 j 分量：-((- ) 0 - 2 (-)) = -(0 + 2) = -2 k 分量：(-) (-1) - 1 (-) = + = 2 = (2, -2, 2) 可取 = (1, -, )（除以 2）。 || = 1, || = = = 0 + 0 + = 由于 在底面上方，平面 AC 从棱 AC 向上倾斜，二面角为锐角： cos = (| |)/(||||) = ()/() = ()/(7) 即平面 AC 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ()/(7)。 (3) 求点 到平面 AC 的距离 A 在平面 AC 上，A = - A = ( - , 0 - 0, 2 - 0) = (0, 0, 2)。 平面法向量 = (1, -, )，|| = 。 d = (|A |)/(||) = (|0 1 + 0 (-) + 2 |)/() = (2)/() = (2 )/(7) = (2)/(7) 即点 到平面 AC 的距离为 (2)/(7)。 【易错点提示】 - 等边三角形高的计算：边长 a 的等边三角形高 h = ()/(2)a。本题 a = 2，h = 。D 为 BC 中点，AD 即为等边三角形的高，AD = 。 - 坐标系方向：y 轴正方向指向 B（DB 方向），y 轴负方向指向 C（DC 方向）。因此 B(0, 1, 0)，C(0, -1, 0)。方向标反会导致 B、C 坐标互换，后续计算全部出错。 - 叉积验证： = A AC 应与 A 和 AC 都垂直。验证： A = (1)(-) + (-)(1) + ()(2) = - - + 2 = 0 ✓。 AC = (1)(-) + (-)(-1) + ()(0) = - + + 0 = 0 ✓。 - 距离公式中 A 的方向：A 在平面上， 在平面外，A 从平面上的点指向平面外的点。注意不能用 A（方向反了），虽然取绝对值后结果相同，但方向理解不能错。 - 分母有理化：(2)/() = (2 )/(7) = (2)/(7)。注意 = ，不是 。 【知识链接】 - 正三棱柱建系方法：以底面 BC 中点 D 为原点，DA 为 x 轴（利用等边三角形的中线即高线），DB 为 y 轴，A 为 z 轴。这种方法利用了等边三角形的对称性，使坐标简洁。等边三角形高 h = ()/(2)a 是关键数据。 - 异面直线角的坐标法：cos = (|a b|)/(|a||b|)。与纯几何法（平移转化为相交直线再求角）相比，坐标法无需构造平移，直接用方向向量计算，在缺乏对称性的情况下优势尤为明显。 - 正三棱柱的坐标法优势：正三棱柱中不存在三条两两垂直的共点棱（底面是正三角形而非正方形），纯几何方法需要构造辅助线和截面，而坐标法只需建系后进行代数运算，适应性更强。 - 与第1册的对照：第1册中处理正三棱锥/正三棱柱问题时，需要利用"顶点射影在底面中心"等对称性质确定截面和射影位置，推理较为复杂。坐标法将这些问题统一为"建系法向量公式"的标准流程，降低了对几何直觉的要求，但增加了代数运算量。两种方法各有优势，高考中应视题目特点灵活选择——这也是2026高考改革"打破单一路径"的考查方向。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第19题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·点到面距离 【命题意图】 本题以正三棱柱为载体，D、E 分别为两条侧棱 B、C 的中点，形成对称的"双侧棱中点"结构。第(1)问建系求异面直线角，第(2)问求二面角，第(3)问求点到面距离。全题三问覆盖了坐标法的三种核心应用，且共用同一组坐标。正三棱柱底面为等边三角形（非正方形），建系需要利用等边三角形的高，体现了坐标法在非标准几何体中的适应性。D、E 的对称设置使得平面 ADE 的法向量具有特殊结构（y 分量为零），计算简洁而富有美感。 【解题思路】 第(1)问：等边三角形高 OA = ，OB = OC = 1。建系后 AD 和 BE 分别为两条异面直线的方向向量，用数量积求余弦值。 第(2)问：平面 ADE 的法向量通过 AD AE 求得，底面法向量 (0,0,1)，代入二面角公式。 第(3)问：A 在平面 ADE 上，A 为 A 到 的向量，用距离公式。 【详细过程】 (1) 建立坐标系、写坐标、求异面直线角 等边三角形 ABC 边长 2，O 为 BC 中点，OA = （等边三角形高），OB = OC = 1。 O(0,0,0), B(0,1,0), C(0,-1,0), A(,0,0) (0,1,2), (0,-1,2), (,0,2) D 为 B 中点：D = (B+)/(2) = (0, 1, 1) E 为 C 中点：E = (C+)/(2) = (0, -1, 1) 求异面直线 AD 与 BE 所成角的余弦值。 AD = D - A = (-, 1, 1), BE = E - B = (0, -2, 1) AD BE = (-)(0) + 1 (-2) + 1 1 = 0 - 2 + 1 = -1 |AD| = = , |BE| = = cos = (|AD BE|)/(|AD||BE|) = (|-1|)/( ) = (1)/(5) 即异面直线 AD 与 BE 所成角的余弦值为 (1)/(5)。 (2) 求平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值 平面 ABC 法向量 = (0, 0, 1)。 求平面 ADE 的法向量： AD = (-, 1, 1), AE = E - A = (-, -1, 1) = AD AE = | i j k - 1 1 - -1 1 | i：1 1 - 1 (-1) = 1 + 1 = 2 j：-((-) 1 - 1 (-)) = -(- + ) = 0 k：(-) (-1) - 1 (-) = + = 2 = (2, 0, 2) ，可取 = (1, 0, ), || = = 2 cos = (| |)/(||||) = (||)/(1 2) = ()/(2) （D、E 在底面上方，平面 ADE 从棱 AD（AE）向上倾斜，二面角为锐角 30。） 即平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ()/(2)。 (3) 求点 到平面 ADE 的距离 A 在平面 ADE 上，A = - A = (0, 0, 2)。 d = (|A |)/(||) = (|0 1 + 0 0 + 2 |)/(2) = (2)/(2) = 即点 到平面 ADE 的距离为 。 【易错点提示】 - D、E 的坐标对称性：D = (0, 1, 1)，E = (0, -1, 1)。两者 y 坐标相反、x 和 z 坐标相同，体现了 D、E 关于 xz 平面对称。这种对称性使得法向量 的 y 分量为 0，大大简化了计算。 - 叉积 j 分量为 0 的原因：AD 和 AE 的 x 分量相同（均为 -）、z 分量相同（均为 1），只有 y 分量不同。这使得 j = -( - ) = -(- - (-)) = 0。理解这一对称性有助于验算。 - 二面角为 30 的几何理解：cos = /2 对应 = 30，说明平面 ADE 相对底面 ABC 的倾斜角度较小。这是因为 D、E 在侧棱中点（高度为 1，不是最高点），截面 ADE 比较"平缓"。 - 距离为 的验证： 在 A 正上方高度 2 处，A = (0,0,2) 沿 z 轴方向。法向量 = (1,0,)，|| = 2。A 在法向量方向的投影 = (A )/(||) = (2)/(2) = ，即距离为 ✓。 【知识链接】 - 对称性简化计算：当几何体的点具有对称性时，法向量的某些分量自动为零，大大简化计算。本题中 D、E 关于 xz 平面对称，使得法向量 的 y 分量为 0。在解题中，利用对称性预判法向量的结构，可以有效减少计算量和验算成本。 - 二面角与线面角的关系：平面 ADE 与底面 ABC 的二面角余弦为 /2（即 30），这意味着平面 ADE 的法向量与底面法向量的夹角为 30。而 A 沿 z 轴方向（即底面法向量方向），故 到平面 ADE 的距离 = A cos(30) = 2 /2 = 。这揭示了二面角与距离之间的内在联系。 - 双路径对照： - 异面直线角（第1问）：纯几何法需将 AD 和 BE 平移到同一顶点。由于 D 在 B 上、E 在 C 上，且 B C，可以利用平行关系构造平移，但过程较为复杂。坐标法直接用方向向量，更为高效。 - 二面角（第2问）：纯几何法需先确定两平面的交线（过 A 平行于 BC 的直线），再在棱上取点作垂线。坐标法通过双法向量直接求夹角，无需确定交线位置，步骤更简洁。 - 点到面距离（第3问）：纯几何法需确定垂足位置或用等体积法转换。坐标法直接套用距离公式 d = (|AP n|)/(|n|)，无需确定垂足，计算量更小。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第20题 （10分）[压轴] [解答题] 异面直线角·二面角·线面角·点到面距离（坐标法四大应用综合） 【命题意图】 本题是第2册「空间向量与坐标法篇」的压轴综合题，以正方形底四棱锥为载体，E 为侧棱 PD 中点、F 为底棱 BC 中点，构造了一个"斜截面"平面 AEF。第(1)问考查建系写坐标与异面直线角计算，第(2)问考查二面角的坐标法求解（本册核心考点），第(3)问考查线面角的坐标法求解，第(4)问考查点到面距离的坐标法求解。全题四问覆盖了坐标法的全部四大核心应用——异面直线角、二面角、线面角、点到面距离，且共用同一组坐标，充分体现坐标法"一次建系、多问通用"的效率优势。 本题对照图表工制作的「二面角坐标法计算示意图」（文件：chartolid_geol2/04_二面角坐标法计算示意图.png），该图直观展示了建系写坐标求法向量代入二面角公式的标准流程，本题第(2)问即为此流程的典型应用。 设计巧思：第(1)问异面直线角的余弦值与第(3)问线面角的正弦值恰好相等（均为 ()/(6)），这一"巧合"源于向量 AE 与 PB 关于法向量 n_(AEF) 的对称投影关系，可供学有余力的学生探究。 【解题思路】 第(1)问：PA 底面，ABCD 为正方形，以 A 为原点建系后各顶点坐标只含 0 和 2。E、F 用中点公式写出。AE 和 PF 为方向向量，用 cos = (|a b|)/(|a||b|)。 第(2)问：求平面 AEF 的法向量（AE AF 叉积），底面法向量取 (0,0,1)，代入二面角余弦公式 cos = (| |)/(||||)。需结合几何判断二面角为锐角。 第(3)问：PB 为方向向量，n_(AEF) 为法向量，用 sin = (|a n|)/(|a||n|)。 第(4)问：A 在平面 AEF 上，AP 为 A 到 P 的向量，用距离公式 d = (|AP n|)/(|n|)。 【详细过程】 (1) 建立坐标系、写坐标、求异面直线角 PA 底面 ABCD，ABCD 为边长 2 的正方形，PA = 2。 以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AD 为 y 轴正方向，AP 为 z 轴正方向： A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) E 为 PD 中点：E = (P+D)/(2) = (0, 1, 1) F 为 BC 中点：F = (B+C)/(2) = (2, 1, 0) 求异面直线 AE 与 PF 所成角的余弦值。 AE = E - A = (0, 1, 1), PF = F - P = (2, 1, -2) AE PF = 0 2 + 1 1 + 1 (-2) = -1 |AE| = = , |PF| = = 3 cos = (|AE PF|)/(|AE||PF|) = (|-1|)/( 3) = (1)/(3) = ()/(6) 即异面直线 AE 与 PF 所成角的余弦值为 ()/(6)。 (2) 求平面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值 底面 ABCD 的法向量 = (0, 0, 1)，|| = 1。 求平面 AEF 的法向量 ： AE = (0, 1, 1), AF = F - A = (2, 1, 0) = AE AF = | i j k 0 1 1 2 1 0 | i 分量：1 0 - 1 1 = -1 j 分量：-(0 0 - 1 2) = -(-2) = 2 k 分量：0 1 - 1 2 = -2 = (-1, 2, -2), || = = 3 验证： AE = 0+2-2 = 0 ✓， AF = -2+2+0 = 0 ✓。 cos = (| |)/(||||) = (|0 (-1) + 0 2 + 1 (-2)|)/(1 3) = (2)/(3) （E 在底面上方高度 1 处，平面 AEF 从棱 AF 向上倾斜，二面角为锐角，cos = (2)/(3) 对应 ≈ 48.2。） 即平面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值为 (2)/(3)。 (3) 求直线 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值 PB = B - P = (2, 0, -2), |PB| = = 2 平面 AEF 法向量 = (-1, 2, -2)，|| = 3。 PB = 2 (-1) + 0 2 + (-2) (-2) = -2 + 0 + 4 = 2 sin = (|PB |)/(|PB|||) = (|2|)/(2 3) = (2)/(6) = (1)/(3) = ()/(6) 即直线 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值为 ()/(6)。 (4) 求点 P 到平面 AEF 的距离 A 在平面 AEF 上，AP = P - A = (0, 0, 2)。 d = (|AP |)/(||) = (|0 (-1) + 0 2 + 2 (-2)|)/(3) = (|-4|)/(3) = (4)/(3) 即点 P 到平面 AEF 的距离为 (4)/(3)。 【易错点提示】 - E、F 的坐标易错点：E 为 PD 中点，P(0,0,2)，D(0,2,0)，故 E = (0,1,1)（不是 (0,1,0)，E 不在底面上！）；F 为 BC 中点，B(2,0,0)，C(2,2,0)，故 F = (2,1,0)（F 在底面上）。两个中点一个在空中、一个在底面，混淆将导致后续全部计算错误。 - 第(2)问叉积计算中 j 分量的双重负号：j = -(0 0 - 1 2) = -(-2) = 2。叉积公式中 j 分量自带负号，内层 0 - 2 = -2 再取负得 2。若漏写外层负号则得 -2，法向量变为 (-1,-2,-2)，不影响 || 但影响方向判断。 - 第(1)问与第(3)问答案相同（/6）的原因：AE PF = -1，|AE||PF| = 3；PB = 2，|PB||| = 6。两者比值恰好相等。这不是出题人刻意设计，而是由该几何体的结构对称性所决定——建议学生验证而非死记。 - 二面角锐钝判断：cos = (| |)/(||||) 取绝对值得到锐角余弦。本题中 E 在底面上方，平面 AEF 从棱 AF 向上倾斜，二面角为锐角 arccos(2)/(3) ≈ 48.2，取绝对值即为最终答案。 - 第(4)问距离公式中向量的方向：AP = P - A（从平面上的点 A 指向平面外的点 P），不是 PA = A - P。虽然取绝对值后结果相同，但方向理解错误会影响对投影方向的判断。 【知识链接】 - 二面角的坐标法求解流程（对应图表工「二面角坐标法计算示意图」）： - 步骤一：建立空间直角坐标系（利用已有的线面垂直关系，本题 PA 底面提供 z 轴方向）； - 步骤二：写出各点坐标，确定两平面上各三个点； - 步骤三：求两平面各自的法向量（叉积法），一个平面的法向量若为坐标轴方向可直接写出（如底面法向量 (0,0,1)）； - 步骤四：代入公式 cos = (| |)/(||||)，取绝对值得锐角余弦； - 步骤五：结合几何判断二面角是锐角还是钝角（观察半平面的朝向）。 - "一次建系、多问通用"的效率优势：本题四个小问共用同一组坐标和同一个法向量 = (-1, 2, -2)。第(2)问求出法向量后，第(3)问线面角和第(4)问距离直接复用，无需重新计算。这是坐标法相对于纯几何法的核心优势——纯几何法中，每个问题需要独立的几何构造（作垂线、确定射影、构造截面等），无法复用。 - 双路径对照（坐标法 vs 纯几何法）： 第(1)问——异面直线角： - 坐标法：直接用方向向量 AE = (0,1,1) 和 PF = (2,1,-2) 计算数量积，程序化操作，cos = ()/(6)。 - 纯几何法：将 PF 平移至以 A 为起点，构造辅助向量 AQ = PF = (2,1,-2)，Q = (2,1,-2)（在底面下方）。在 AEQ 中，AE = ，AQ = 3，EQ = = ，由余弦定理 cos EAQ = (A+A-E)/(2 AE AQ) = (2+9-13)/(6) = (-2)/(6)，取绝对值得 ()/(6)。纯几何法需要构造辅助点和三角形，过程更繁琐。 第(2)问——二面角（核心对照）： - 坐标法：求法向量 = (-1,2,-2)，代入 cos = (| |)/(||||) = (2)/(3)。全程代数运算，无需确定二面角的棱和平面角的位置。 - 纯几何法：二面角的棱为 AF（A、F 同在两平面上）。E 在底面上的射影为 E'（即 AD 的中点，E'(0,1,0)，EE' = 1）。在底面内作 E'G AF 于 G，连 EG，由三垂线定理知 EG AF，故 EGE' 为二面角的平面角。 计算 E'G：在底面中，AF = = ，AE' = 1（E' 为 AD 中点），E'F = 2（E'F AB）。由等面积法，S_( AE'F) = (1)/(2) AE' d(F, AE') = (1)/(2) 1 2 = 1，又 S_( AE'F) = (1)/(2) AF E'G，故 E'G = (2)/() = (2)/(5)。 在 Rt EGE' 中，EG = = = (3)/() = (3)/(5)。 cos EGE' = (E'G)/(EG) = ((2)/(5))/((3)/(5)) = (2)/(3) 纯几何法需要发现三垂线定理的适用条件、确定射影位置、构造平面角，推理链条较长；坐标法将整个过程"算术化"，步骤更固定、可复用性更强。 第(3)问——线面角： - 坐标法：直接用 sin = (|PB |)/(|PB|||) = ()/(6)，复用第(2)问的法向量。 - 纯几何法：需先求点 B 到平面 AEF 的距离 d_B（可用等体积法 V_(B-AEF) = V_(A-BEF)），再由 sin = (d_B)/(|PB|) 求线面角。需额外计算四面体体积和截面面积，计算量显著大于坐标法。 第(4)问——点到面距离： - 坐标法：d = (|AP |)/(||) = (4)/(3)，直接复用法向量。 - 纯几何法（等体积法）：V_(P-AEF) = V_(A-PEF)。S_( AEF) = (1)/(2)|AE AF| = (1)/(2) 3 = (3)/(2)。利用行列式求 V = (1)/(6)|det[PE, PF, PA]| = (1)/(6) 4 = (2)/(3)。d = (3V)/(S_( AEF)) = (3 (2)/(3))/((3)/(2)) = (4)/(3)。等体积法避免了直接求垂足位置，但仍需计算叉积模长（与坐标法有重叠），且推导过程更长。 - 方法选择建议： - 当几何体具有天然垂直关系（如 PA 底面、正方形底面）时，坐标法建系简洁、法向量易求，四个问题可"一次建系、多问通用"，效率优势最大。 - 当几何体缺乏垂直关系（如斜棱柱、不规则棱锥）时，建系坐标复杂，纯几何法（三垂线定理、等体积法）可能更直接。 - 2026高考改革信号鼓励"双路径"能力——学生应能根据几何体特征灵活选择最优路径，而非机械套用单一方法。本系列第1册训练纯几何法、第2册训练坐标法，两册形成完整的双路径能力体系。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第四章 图表汇编 本章汇集本册各知识模块的配套图表，由图表工-数据可视化专员制作。图表清晰呈现空间直角坐标系建立方法、法向量求法、各类空间角的坐标法计算示意图及知识结构，配合解析使用效果更佳。 一、空间直角坐标系与法向量 图 空间直角坐标系建立示意图 图 法向量求法示意图 二、空间角与距离的坐标法计算 图 线面角坐标法计算示意图 图 二面角坐标法计算示意图 图 点到面距离坐标法示意图 三、双路径对照与知识结构 图 坐标法双路径对照图 图 本册知识结构思维导图 附录 附录一 答案速查表 （供快速核对答案，详细解析见第三章） 题号 题型 难度 核心考点 参考答案 第1题 选择题 基础 空间向量基底·线性组合唯一性 C 第2题 多选题 基础 数量积运算性质·垂直/平行判定 ACD 第3题 填空题 基础 向量坐标运算·数量积·夹角余弦 -4；-(4)/(9) 第4题 解答题 基础 正方体建系·向量运算·异面直线角 第5题 选择题 基础 坐标法求线面角（正弦值） A 第6题 多选题 基础 线面角/平行判定/点到面距离/向量与平面平行 ACD 第7题 填空题 基础 数量积坐标运算·异面直线夹角 -2；(2)/(5) 第8题 解答题 基础 建系·线面角·点到面距离 第9题 选择题 中档 建系写坐标·数量积坐标运算 B 第10题 多选题 中档 坐标法判断线线垂直·模长·异面直线角 ABC 第11题 填空题 中档 建系·法向量·线面角·二面角（坐标法） ； 第12题 解答题 中档 坐标法证线面垂直·法向量求线面角 第13题 选择题 中档 坐标法求点到面距离（等体积法验证） A 第14题 多选题 中档 异面直线角/线面角/点到面距离/二面角综合 ABC 第15题 填空题 中档 坐标法求二面角·点到面距离 ； 第16题 解答题 中档 异面直线角·线面角·点到面距离 第17题 解答题 压轴 菱形建系·坐标法求二面角·点到面距离 第18题 解答题 压轴 正三棱柱建系·异面直线角·二面角·距离 第19题 解答题 压轴 异面直线角·二面角·点到面距离 第20题 解答题 压轴 异面直线角·二面角·线面角·点到面距离（坐标法四大应用综合） 附录二 本册知识点检测清单 【空间向量基本运算】 □ 理解空间向量基底的概念和线性组合唯一性 □ 掌握数量积的坐标运算：ab = + + □ 能用数量积求向量夹角和模长 □ 理解共线、共面的条件和判定方法 【建立空间直角坐标系】 □ 能根据正方体、长方体结构特征合理建系 □ 能根据正三棱柱底面等边三角形性质建系 □ 能根据正三棱锥、四棱锥结构特征建系 □ 建系时优先选择对称中心或特殊顶点为原点 【法向量求解】 □ 能通过叉积 n = AD AE 求平面法向量 □ 掌握叉积公式：n = (-, -, -) □ 能利用对称性预判法向量某些分量为零 【坐标法求空间角】 □ 能用法向量法求线面角：sin = |dn| / (|d||n|) □ 能用双法向量法求二面角余弦值 □ 能正确判断二面角为锐角还是钝角 □ 能用方向向量数量积求异面直线角 【坐标法求距离】 □ 能用距离公式 d = |APn| / |n| 求点到面距离 □ 理解此公式无需确定垂足位置的优势 □ 能用等体积法验证坐标法结果 【双路径对照】 □ 能将坐标法结果与纯几何法（第1册）对照验证 □ 理解坐标法和纯几何法各自的优势与适用场景 □ 能根据题目条件灵活选择最优方法 2027高考数学一轮复习·立体几何与空间向量 学科网（北京）股份有限公司 $