第4章 指数与对数 暑假自学单元测试-2026年新高一数学暑假进阶训练（苏教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学指数与对数核心内容，通过分层题型设计适配单元复习，强化运算能力、推理意识与模型应用，贴合核心素养培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数幂运算、对数性质判断|基础巩固，考查抽象能力| |多选|3/18|对数定义域、等式成立条件|辨析能力，体现数学眼光| |填空|3/15|数值计算、函数最值|简洁应用，强化运算能力| |解答|5/77|方程根问题、最值求解|综合探究，发展推理意识与模型意识|

第4章 指数与对数单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （ ） A． B． C． D． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 5．设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 7．若，，则（   ） A． B． C． D． 8．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 11．若，则的值可以为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：______. 13．已知，则的最小值为________. 14．已知a，b为方程的两个根，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 计算下列各题： (1)； (2). (3). 16．（15分） 已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 17．（15分） 已知. (1)求的最大值； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)若恒成立，求的取值范围. 18．（17分） 已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 19．（17分） （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对数的幂运算性质得:, 已知，代入得：, 两边除以，可得：. 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据同底数幂乘法法则：，故A错误； 根据幂的运算性质：，故B正确； 根据对数运算性质：，故C错误； 根据对数的换底公式：，故D错误. 4．已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】C 【解析】由，得， 由，得，即， 所以． 5．设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于①②③，由，令， ，①错误； ，②错误； ，③错误； 对于④，取，，④错误， 因此①②③④都错误. 6．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】， ， 即， ， ， 又，， . 7．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 8．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由，可知无意义，故A错误， 对于B，底数，指数，符合实数指数幂中底数大于零的情况，故B正确， 对于C，由，可知若，则无意义，故C错误， 对于D，因为根指数是3，任意实数都有唯一的立方根，所以有意义，故D正确. 故选：BD. 11．若，则的值可以为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BCD 【解析】因为，所以. 所以，由基本不等式得， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以的值可以是. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：______. 【答案】/ 【解析】原式. 13．已知，则的最小值为________. 【答案】 【解析】，. 由于，，则， 当且仅当时取等号. 14．已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 计算下列各题： (1)； (2). (3). 【解析】（1） （2） （3） 16．（15分） 已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 【解析】（1），即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4． （2），当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． （3）因为，所以． 因为，所以，即， 解得． 17．（15分） 已知. (1)求的最大值； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)若恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为，，所以， 所以，即， 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为2； （2）当时，，所以； （3）设，，则，， 因为， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值是， 因为恒成立，所以， 解得，即的取值范围是. 18．（17分） 已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 【解析】（1）依题意可得， 解得. 由韦达定理得， 因为， 所以，得. （2）由韦达定理得， 由，得 （3）因为， 所以的取值范围为 19．（17分） （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 第2页，共8页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $