1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定，课堂导入通过具体命题实例（如“对任意实数x，3x+5≥0”的否定）引导学生区分量词类型并尝试否定，搭建从识别命题到正确否定的学习支架。 其亮点是以逻辑推理为核心，通过典例分析（如二次函数命题否定求参数范围）和定向训练（如判断“存在无理数平方是有理数”的否定）培养数学思维，结合思维导图梳理知识结构和类题通法总结方法，帮助学生规范数学语言表达，教师可高效开展教学。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 素养目标 思维导图 能正确地对含有一个量词的命题进行否定(逻辑推理). 课前自主学习 问题1.下面的命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它的否定吗? 对任意一个实数x,都有3x+5≥0. 提示:它是全称量词命题.命题否定为存在实数x,使得3x+5<0. 问题2.下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗? (1)有些实数的绝对值是正数. (2)某些平行四边形是菱形. (3)∃x∈R,x2+1<0. 提示:它们都是存在量词命题.命题(1)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,命题(2)的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,命题(3)的否定是“∀x∈R,x2+1≥0”. 【核心概念】 1.全称量词命题的否定 (1)文字语言: 全称量词命题的否定变成了______________,∀变为∃,在“全”“都”“等于”等前面加 上“_____”. (2)符号语言: ∀x∈M,p(x)的否定为:_____________. 结论:___________________________________. 存在量词命题 不 ∃x∈M,¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 2.存在量词命题的否定 (1)文字语言: 存在量词命题的否定变成了______________,∃变为∀,在“是”“等于”“含”等前面加 上“_____”. (2)符号语言: ∃x∈M,p(x)的否定为______________. 结论:__________________________________. 全称量词命题 不 ∀x∈M,¬ p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 课堂合作探究 探究点一　全称量词命题的否定 【典例1】(1)已知命题p:∀x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a≥0,则命题p的否定为　　　　　　　　　　;若命题p为真命题,则实数a的取值范围为　　　　　　　.  (2)写出下列命题的否定并判断真假: ①所有自然数的平方都是正数; ②任何实数x都是方程5x-12=0的根; ③∀x∈R,x2+3<0. 【思维导引】(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得结果;命题p为真命题,等价于x2+2x+a的最小值大于或等于0,结合二次函数性质分析求解. (2)先找到量词与结论,对所给的命题进行否定,再判断真假. 【解析】(1)因为命题p:∀x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a≥0,且全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p的否定为∃x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a<0; 若命题p为真命题,等价于x2+2x+a的最小值大于或等于0, 因为函数y=x2+2x+a的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,又x∈{x|2≤x≤3},可知当x=2时,函数y=x2+2x+a取得最小值8+a, 可得8+a≥0,即a≥-8,所以实数a的取值范围为{a|a≥-8}. 答案:∃x∈{x|2≤x≤3},使x2+2x+a<0 {a|a≥-8} (2)①命题的否定:至少存在一个自然数的平方不是正数.真命题. ②命题的否定:∃x∈R,5x-12≠0.真命题. ③命题的否定:∃x∈R,x2+3≥0.真命题. 【类题通法】 全称量词命题否定的两个关键 (1)看格式:写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定. (2)看含义:有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要直接将否定写成“是”或“不是”. 【定向训练】 1.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)正方形都是菱形; (2)∀x∈R,有x+1=2x. 【思维导引】(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;(2)举例说明x+1≠2x成立. 【解析】(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题. (2)命题的否定:∃x∈R,使x+1≠2x.因为当x=2时,x+1=2+1=3≠2×2,所以“∃x∈R,使x+1≠2x”是真命题. 【题后反思】要判断全称量词命题的错误,只需举特例就能说明. 2.已知命题“∀x∈R,函数y=x2+x+a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题,求实数a的取值范围. 【解析】全称量词命题“∀x∈R,函数y=x2+x+a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定形式为“∃x∈R,函数y=x2+x+a的图象和x轴有两个公共点”. 由“命题为真,其否定为假;命题为假,其否定为真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由二次函数易知Δ=1-4a>0,解得a<, 所以实数a的取值范围是{a|a<}. 探究点二　存在量词命题的否定 【典例2】(1)命题“∃x>0,x2-<0”的否定为(　　) A.∃x>0,x2-≥0 B.∃x≤0,x2-≥0 C.∀x>0,x2-≥0 D.∀x≤0,x2-≥0 【解析】选C.命题“∃x>0,x2-<0”的否定为“∀x>0,x2-≥0”. (2)写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假. ①∀x∈Q,x2-x+1∈Q; ②∃a<1,a+=2; ③不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根. 【思维导引】要掌握其否定方法:先改变量词,然后再否定结论,结合题设逐一写出即可. 【解析】①命题的否定:∃x∈Q,x2-x+1∉Q,假命题. ②命题的否定:∀a<1,a+≠2,真命题. ③命题的否定:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根,真命题. 【类题通法】存在量词命题否定的方法及关注点 (1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词命题的否定. (2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法.例如,“存在”的否定是“任意”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等. 【知识延拓】对省略量词的命题的否定 对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题,可以直接写出其否定.而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称量词命题还是存在量词命题,先写成全称量词命题或存在量词命题的形式,再对其进行否定. 【定向训练】 1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 【解析】选B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可解答.“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. 2.写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假. (1)∀x∈R,x4-x2+>0; (2)有一个素数是偶数; (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等,那么这两个三角形相似. 【解析】(1)命题的否定为“∃x∈R,x4-x2+≤0”, 因为x4-x2+=(x2-]2+≥>0,可得命题的否定是假命题. (2)命题的否定为“所有的素数都不是偶数”,由2是素数也是偶数,可得命题的否定是假命题. (3)命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等,但它们不相似”, 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置,那么这两个三角形不相似,可得命题的否定是真命题. 3.命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值构成的集合. 【解析】命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>a,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>a有2x+a≥3,所以3a≥3,解得a≥1. 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}. 课堂学业达标 1.已知命题p“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题¬p为(　　) A.∀a≥0,a4+a2<0 B.∀a≥0,a4+a2≤0 C.∃a≥0,a4+a2<0 D.∃a≥0,a4+a2≤0 【解析】选C.由已知,命题p为全称量词命题,其否定需由存在量词命题来完成,并将其结论否定,即¬p:∃a≥0,a4+a2<0. 2.命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(　　) A.∀x∉R,x2≠x B.∀x∈R,x2=x C.∃x∉R,x2≠x D.∃x∈R,x2=x 【解析】 选D.原命题的否定为∃x∈R,x2=x. √ √ 3.“三个数a,b,c不都为0”的否定为 (　　) A.三个数a,b,c都不是0 B.三个数a,b,c至多有一个为0 C.三个数a,b,c至少一个为0 D.三个数a,b,c都为0 【解析】选D.因为“不都为”的否定是“都为”,所以“三个数a,b,c不都为0”的否定为“三个数a,b,c都为0”. 4.命题“∃x∈R,使得f(x)=x”的否定是(　　) A.∀x∈R,都有f(x)=x B.不存在x∈R,使得f(x)≠x C.∀x∈R,都有f(x)≠x D.∃x∈R,使得f(x)≠x 【解析】选C.原命题的否定为∀x∈R,都有f(x)≠x. √ √ 5.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)对任意x∈R,x2-x+≥0; (2)所有的正方形都是矩形; (3)至少有一个实数x,使x3+1=0. 【解析】(1)存在x∈R,x2-x+<0,假命题. (2)至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)对任意x∈R,x3+1≠0,假命题. 谢谢 $