第5章二次函数 课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数，从认识概念入手，通过基础题辨析表达式、系数等巩固定义，再结合面积计算、费用问题等实际情境，搭建从概念到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题（如篱笆围花圃），用数学思维推理运动重叠面积等动态问题，通过数学语言构建函数模型。分层设计基础、能力、拓展题，培养抽象能力、推理意识与模型观念，助力学生提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第2课时　二次函数 y＝ax2的图象与性质 　 1 A. 基础夯实 1. 下列关于抛物线y＝－6x2的性质叙述错误的是（　C　）. A. 对称轴是y轴 B. 顶点是原点 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. y有最大值 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 2. （2025秋·福田区校级月考）已知点（－3，y1），（－4，y2）都在抛物 线y＝ x2上，则（　D　）. A. y1＜y2＜0 B. 0＜y2＜y1 C. y2＜y1＜0 D. 0＜y1＜y2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. （2025秋·龙华区校级月考）二次函数y＝－x2－1的图象大致是 （　C　）. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. 嘉嘉用软件绘制抛物线y＝2x2时，将“2”按成了“－2”，和原图象相 比，发生改变的是（　B　）. A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 5. 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是 ⁠. 6. 抛物线y＝4x2的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ⁠. 7. 抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线表达式为 ⁠. （0，0） 上 y轴 （0，0） y＝3x2－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. （教材第139页习题5.2第5题改编）点A（2，8）在二次函数y＝2x2的图 象上吗？请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的 坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B，C，D在二次函数y＝2x2的图 象上吗？ 解：点A（2，8）在二次函数y＝2x2的图象上.点B的坐标为（2，－8）， 点C的坐标为（－2，8），点D的坐标为（－2，－8）.点C在二次函数y＝ 2x2的图象上，点B，D不在二次函数y＝2x2的图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，有下列叙述：①它们的图象都是抛物 线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过点（0，0）；④ 二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口向下；⑤它 们的图象关于x轴对称.其中正确的有（　A　）. A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. （2025·龙岗区校级模拟）在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次 函数y＝x2－a的图象可能是（　D　）. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. 已知y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而 增大. （1）k的值为 ；对称轴为 ⁠. －3 y轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解析：根据题意，得k＋2≠0且k2＋k－4＝2，解得k1＝－3，k2＝2， ∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数图象的开口向下，即k＋2＜0， ∴k＝－3， ∴二次函数为y＝－x2， ∴对称轴为y轴. 故答案为－3，y轴. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）点A在该二次函数的图象上，若点A的坐标为（2，m），则点A关于 对称轴对称的点的坐标为 ⁠. 解析：把A（2，m）代入y＝－x2，得m＝－4， ∴A（2，－4）. ∵对称轴为y轴， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（－2，－4）. 故答案为（－2，－4）. （－2，－4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当－1≤x＜3时，y的取值范围 为 ⁠. 如图所示. －9＜y≤0 解析：当x＝－1时，y＝－（－1）2＝－1， 当x＝3时，y＝－32＝－9， ∴当－1≤x＜3时，－9＜y≤0，故答案为－9＜y≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. 如图，点P是抛物线y＝ x2上的一动点，直线m∥x轴，与y轴交于点 N（0，－1），过点P作PM⊥直线m于点M. （1）如图1，请探究在y轴上是否存在定点F，使PM＝PF恒成立，并说明 理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解：存在，理由如下：设P ，F（0，b），由PM＝PF， 易有 a2＋1＝ ，即 ＝a2＋ ， ∴ a2－ a2b＋b2－1＝0， ∴ a2（1－b）＋b2－1＝0，由题意，方程与a无关， ∴1－b＝0， ∴b＝1， ∴定点F的坐标为（0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）如图2，若C点坐标为（2，4），求CP＋PF的最小值. 解：过点C作CQ⊥直线m于点Q，此时CQ＝5，连接CM，CP＋PF＝CP ＋PM≥CM≥CQ＝5，即当C，P，M三点共线且CM⊥m时，CP＋PF ＝CQ＝5最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1.C　2.D　3.C　4.B　5.（0，0）　6.上　y轴　（0，0） 7. y＝3x2－2 8. 解：点A（2，8）在二次函数y＝2x2的图象上.点B的坐标为（2，－ 8），点C的坐标为（－2，8），点D的坐标为（－2，－8）.点C在二次函 数y＝2x2的图象上，点B，D不在二次函数y＝2x2的图象上. 9. A 10. D 　 11. 解：（1）－3　　y轴 解析：根据题意，得k＋2≠0且k2＋k－4＝2，解得k1＝－3，k2＝2， ∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数图象的开口向下，即k＋2＜0，∴k＝－3， ∴二次函数为y＝－x2，∴对称轴为y轴. 故答案为－3，y轴. （2）（－2，－4） 解析：把A（2，m）代入y＝－x2，得m＝－4，∴A（2，－4）. ∵对称轴为y轴，∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（－2，－4）. 故答案为（－2，－4）. 　 （3）如图所示. －9＜y≤0 解析：当x＝－1时，y＝－（－1）2＝－1， 当x＝3时，y＝－32＝－9， ∴当－1≤x＜3时，－9＜y≤0，故答案为－9＜y≤0. 　 12. 解：（1）存在，理由如下：设P ，F（0，b），由PM＝ PF，易有 a2＋1＝ ，即 ＝a2＋ ， ∴ a2－ a2b＋b2－1＝0， ∴ a2（1－b）＋b2－1＝0，由题意，方程与a无关， ∴1－b＝0，∴b＝1，∴定点F的坐标为（0，1）. （2）过点C作CQ⊥直线m于点Q，此时CQ＝5，连接CM，CP＋PF＝ CP＋PM≥CM≥CQ＝5，即当C，P，M三点共线且CM⊥m时，CP＋ PF＝CQ＝5最小. 　 $第五章　二次函数 3　二次函数的应用 第3课时　二次函数的应用——销售问题 　 1 A. 基础夯实 1. 二次函数y＝－x2＋2x＋4的最大值为（　C　）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 　 2. 出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8－x）个，当一天出 售该种手工艺品的利润最大时，x的值为（　B　）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 　 3. 某商场进一批货物，销售量y（件）与每件货物的利润x（元）的关系式 为y＝－2x＋500，则总利润P与x之间的函数关系式为 ⁠. P＝－2x2＋500x 1 2 3 4 5 6 7 8 　 4. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不 同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分 数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系，由此可以推测，最适合 这种植物生长的温度为 ℃. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 　 5. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价 为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4 件.当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 22 1 2 3 4 5 6 7 8 　 6. （根据教材第144页例3改编）某旅馆有客房100间，每间房的日租金 为120元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10元，那么客房每天出租数会减少5间，不考虑其他因素，设每间客房日 租金提高10x元， （1）求每天租出的房间数y与x之间的关系式； 解：每间客房日租金提高10x元，则每天租出的房间数为y＝100－5x. 1 2 3 4 5 6 7 8 　 （2）旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最 高？最高总收入是多少？ 解：设客房日租金的总收入为P元，则 P＝（120＋10x）（100－5x） ＝－50（x－4）2＋12 800， ∴当x＝4时，P取得最大值，最大值为12 800， 此时客房日租金为120＋10×4＝160（元）. 答：旅馆将每间客房的日租金提高到160元时，客房日租金的总收入最高， 最高总收入是12 800元. 某旅馆有客房100间，每间房的日租金为120元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高10x元， 1 2 3 4 5 6 7 8 　 B. 能力提升 7. （2025秋·罗湖区校级月考）项目化学习：学校综合实践活动小组针对销 售花卉获得最大利润开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完 成该项目任务. 项目主题：怎样获得最大利润？ 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活.请你运用所学数学知识帮助校 外花店的李老板获得最大利润. 1 2 3 4 5 6 7 8 　 分步探究： 任务一：市场调查 李老板的花店以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，项目组同学帮李老板 调查了附近A，B，C，D，E五家花店近期该种盆栽花卉的售价与日销售 量情况，记录如下： 花店 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 22 46 B 23 44 C 24 42 D 25 40 E 26 38 1 2 3 4 5 6 7 8 　 任务二：模型建立 （1）根据调查记录表中的信息可知，花卉的日销售量y（单位：盆）是售价 x（单位：元/盆）的 （选填“一次”“二次”或“反比例”）函 数，y与x的函数关系式是 ⁠. 一次 y＝－2x＋90 花店 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 22 46 B 23 44 C 24 42 D 25 40 E 26 38 1 2 3 4 5 6 7 8 　 解析：根据表格中数据可知，花卉的日销售量y（单位：盆）是售价x（单 位：元/盆）的一次函数. 设y与x的函数关系式是y＝kx＋b（k≠0）， 把x＝22，y＝46和x＝23，y＝44代入，得 解得 ∴y与x的函数关系式是y＝－2x＋90. 故答案为一次，y＝－2x＋90. 1 2 3 4 5 6 7 8 　 任务三：问题解决 （2）根据以上信息，李老板在销售这种花卉，售价为多少元时，每天能够 获得最大利润？最大利润为多少元？ 解：设李老板每天能够获得的利润为w元， 根据题意得w＝（x－15）y ＝（x－15）（－2x＋90）＝ －2x2＋120x－1 350＝－2（x－30）2＋450， ∵－2＜0， ∴当x＝30时，w有最大值，最大值为450. 答：当售价为30元/盆时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元. 花店 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 22 46 B 23 44 C 24 42 D 25 40 E 26 38 1 2 3 4 5 6 7 8 　 C. 拓展思维 8. （2025春·南山区月考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时 该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具每 天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据 如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天的销售量y/件 … 36 34 32 … 1 2 3 4 5 6 7 8 　 （1）求y与x之间的函数关系式； 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）. 把（12，36）和（13，34）代入y＝kx＋b，得 解得 故y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋60. 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天的销售量y/件 … 36 34 32 … 1 2 3 4 5 6 7 8 　 （2）该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最 大利润是多少元？ 解：设销售这种文具每天获利w元， 则w＝（x－10）（－2x＋60）＝－2x2＋80x－600＝－2（x－20）2＋200， ∵－2＜0， ∴抛物线开口向下. ∵对称轴为直线x＝20， ∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大， ∴当x＝19时，w取得最大值， w最大＝－2×（19－20）2＋200＝198. 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天的销售量y/件 … 36 34 32 … 答：要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润 是198元. 1 2 3 4 5 6 7 8 　 参考答案 1. C 2.B 3. P＝－2x2＋500x 4. －1 5.22 6. 解：（1）每间客房日租金提高10x元，则每天租出的房间数为 y＝100－5x. （2）设客房日租金的总收入为P元，则P＝（120＋10x）（100－5x） ＝－50（x－4）2＋12 800， ∴当x＝4时，P取得最大值，最大值为12 800， 此时客房日租金为120＋10×4＝160（元）. 答：旅馆将每间客房的日租金提高到160元时，客房日租金的总收入最高， 最高总收入是12 800元. 　 7. 解：（1）一次　y＝－2x＋90 解析：根据表格中数据可知，花卉的日销售量y（单位：盆）是售价x（单 位：元/盆）的一次函数. 设y与x的函数关系式是y＝kx＋b（k≠0）， 把x＝22，y＝46和x＝23，y＝44代入，得 解得 ∴y与x的函数关系式是y＝－2x＋90. 故答案为一次，y＝－2x＋90. 　 （2）设李老板每天能够获得的利润为w元， 根据题意得w＝（x－15）y＝（x－15）（－2x＋90）＝－2x2＋120x－ 1 350＝－2（x－30）2＋450， ∵－2＜0， ∴当x＝30时，w有最大值，最大值为450. 答：当售价为30元/盆时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元. 　 8. 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）. 把（12，36）和（13，34）代入y＝kx＋b，得 解得 故y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋60. （2）设销售这种文具每天获利w元， 则w＝（x－10）（－2x＋60）＝－2x2＋80x－600＝－2（x－20）2＋ 200， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下. ∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大， ∴当x＝19时，w取得最大值，w最大＝－2×（19－20）2＋200＝198. 答：要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润 是198元. 　 $第五章　二次函数 3　二次函数的应用 第1课时　确定二次函数的表达式 　 1 A. 基础夯实 1. 已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y＝x2＋2的开口 方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的表达式为 ⁠. 2. 请写出一个开口向下，顶点坐标是（－3，2）的抛物线的表达式： ⁠ ⁠. 3. 二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A（2，6），B（4，4），其表达式 为 ⁠. y＝（x－2）2＋3 y＝ －（x＋3）2＋2（答案不唯一） y＝－x2＋5x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（1，3），B（－1，1）， 那么这个二次函数的表达式为 ⁠. 5. 已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，则b ＝ ，c＝ ⁠. 6. 已知二次函数的图象经过点（4，－3），且当x＝3时，有最大值－1，则 该二次函数的表达式为 ⁠. y＝x2＋x＋1 －6 13 y＝－2（x－3）2－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 7. （教材第146页习题5.3第1题）已知二次函数图象的顶点坐标是（2， 3），且经过点（－1，0），求这个二次函数的表达式. 解：设抛物线表达式为y＝a（x－2）2＋3（a≠0）， 把（－1，0）代入得a·（－1－2）2＋3＝0，解得a＝－ ， 所以抛物线表达式为y＝－ （x－2）2＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（－1，12），B（2， －3）. （1）求该二次函数的表达式； 解：根据题意，得 解得 所以该二次函数的表达式为y＝x2－6x＋5. （2）用配方法把（1）所得的函数表达式化成y＝a（x－h）2＋k的形式， 并写出该函数图象的顶点坐标和对称轴. 解：因为y＝x2－6x＋5＝（x－3）2－4，所以抛物线的顶点坐标为（3， －4），对称轴为直线x＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 若抛物线y＝x2－6x＋c的顶点在x轴，则c＝ ⁠. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. 已知二次函数的图象经过A（0，3），B（－1，6），C（2，3）三点. （1）求这个二次函数的表达式； 解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题 意，把A（0，3），B（－1，6），C（2，3）代入二次函数y＝ax2＋bx ＋c中， 可得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋3. （2）求出该二次函数图象的顶点坐标. 解：y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2， ∴顶点坐标是（1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象过点（－3，0）， （0，3），其对称轴是直线x＝－1. （1）求这个二次函数的表达式； 解：∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1， ∴设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2＋k. 把（－3，0）和（0，3）代入函数表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－（x＋1）2＋4＝－x2－2x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）当函数值y小于3时，结合图象直接写出自变量x的取值范围. 解：∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1， 当x＝0时y＝3， ∴当x＝－2时，y＝3， ∴当函数值y小于3时， 自变量x的取值范围为x＞0或x＜－2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象过点（－3，0）， （0，3），其对称轴是直线x＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－2，0）， B（1，0）两点. （1）求b，c的值； 解：把A（－2，0），B（1，0）代入y＝－x2＋bx＋c得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－2，0）， B（1，0）两点. 解：由（1）知，二次函数表达式为y＝－x2－x＋2， 设点P的坐标为（m，－m2－m＋2）， ∵△PAB的面积为6，AB＝1－（－2）＝3， ∴S△PAB＝ AB·｜yP｜＝ ×3×｜－m2－m＋2｜＝6， ∴｜m2＋m－2｜＝4， 即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4， 解得m＝－3或m＝2， ∴P（－3，－4）或（2，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1. y＝（x－2）2＋3 2. y＝－（x＋3）2＋2（答案不唯一） 3. y＝－x2＋5x 4. y＝x2＋x＋1 5. －6　13 6. y＝－2（x－3）2－1 　 把（－1，0）代入得a·（－1－2）2＋3＝0，解得a＝－ ， 所以抛物线表达式为y＝－ （x－2）2＋3. 8. 解：（1）根据题意，得 解得 所以该二次函数的表达式为y＝x2－6x＋5. （2）因为y＝x2－6x＋5＝（x－3）2－4，所以抛物线的顶点坐标为（3， －4），对称轴为直线x＝3. 9.9 7. 解：设抛物线表达式为y＝a（x－2）2＋3（a≠0）， 　 10. 解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题 意，把A（0，3），B（－1，6），C（2，3）代入二次函数y＝ax2＋bx＋ c中， 可得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋3. （2）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2， ∴顶点坐标是（1，2）. 　 11. 解：（1）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1， ∴设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2＋k. 把（－3，0）和（0，3）代入函数表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－（x＋1）2＋4＝－x2－2x＋3. （2）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，当x＝0时y＝3， ∴当x＝－2时，y＝3， ∴当函数值y小于3时，自变量x的取值范围为x＞0或x＜－2. 　 12. 解：（1）把A（－2，0），B（1，0）代入y＝－x2＋bx＋c得 解得 （2）由（1）知，二次函数表达式为y＝－x2－x＋2， 设点P的坐标为（m，－m2－m＋2）， ∵△PAB的面积为6，AB＝1－（－2）＝3， ∴S△PAB＝ AB·｜yP｜＝ ×3×｜－m2－m＋2｜＝6， ∴｜m2＋m－2｜＝4， 即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4， 解得m＝－3或m＝2， ∴P（－3，－4）或（2，－4）. 　 $第五章　二次函数 3　二次函数的应用 第2课时　二次函数的应用——最值问题 　 1 A. 基础夯实 1. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之 间的表达式是h＝－5t2＋30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的 时间是（　C　）. A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 2. 如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC＋BD＝8，则四边形ABCD面 积的最大值是（　C　）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 3. （2025·罗湖区校级月考）如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米 的墙，花圃的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD（连接处 的篱笆长度不计），则花圃的最大面积是 平方米. 第3题图 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 4. （2025秋·龙岗区期末）校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充 气拱门，拱门呈抛物线状.数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距 离AB＝8 m，再用两根长度为2 m的标杆CE，DF垂直于地面且让标杆端点 C，D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF＝6 m，则此拱门（不考虑拱 门自身的粗细大小）的高度为 m. ​ 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 5. 掷实心球是某市中考体育测试中的一个项目.如图，一名男生掷实心球， 已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高 点，请问这名男生此次掷实心球的成绩是多少米？ 解：∵抛物线的顶点坐标是（4，3.6）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2＋3.6. 把点（0，2）的坐标代入表达式得16a＋3.6＝2， 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ （x－4）2＋3.6. 当y＝0时，－ （x－4）2＋3.6＝0， 解得x1＝－2（舍去），x2＝10， 即这名男生此次掷实心球的成绩是10米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 6. （教材第146页习题5.3第4题）一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个 “日”字形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完一整根铝合金型材， 材料的宽度及制造中的接口损耗不计，那么AB，AD分别为多少米时，窗户 的面积最大？ 解：设窗户的长AD为x米，则宽AB为 米， 则S＝ ·x，即S＝－ x2＋2x， 要使窗户的面积最大，则x＝－ ＝1.5， 于是宽为 ＝ ＝1， 所以要使做成的窗户的面积最大，AB，AD分别为1米，1.5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 B. 能力提升 7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时 间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：① 小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s 时的高度小于运动5 s时的高度.其中，正确结论的个数是（　C　）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 8. 如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB＝AC＝20 cm， BC＝24 cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使EF在BC上，点D， G分别在边AB，AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少？ 解：如图，过A作AM⊥BC于点M，交DG于点N， ∵△ABC是等腰三角形，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝ BC（三线合一）， 则AM＝ ＝16（cm）. 设DE＝x cm，S矩形DEFG＝y cm2， ∵四边形DGFE是矩形， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， 故 ＝ ，即 ＝ ，故DG＝ （16－x）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 ∴y＝DG·DE＝ （16－x）x＝－ （x2－16x）＝ － （x－8）2＋96， ∴当x＝8时，y有最大值96. 答：矩形DEFG的最大面积是96 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 9. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某 型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为 了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图2所示建立直角坐标 系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一 定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与 离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下： 水平距离x/m 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度y/m 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； 水平距离x/m 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度y/m 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 解：由题意得抛物线的对称轴是直线x＝ ＝15， ∴抛物线的顶点坐标为（15，9）. ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－15）2＋9. 又抛物线过点（10，8）， ∴25a＝－1. ∴a＝－ . ∴抛物线的表达式为y＝－ （x－15）2＋9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地 面的竖直高度. 水平距离x/m 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度y/m 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 解：由题意，结合（1）y＝－ （x－15）2＋9， ∴令x＝5，得y＝－ ×（5－15）2＋9＝5. ∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 C. 拓展思维 10. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A（－3， 0）和点C，与y轴交于点B（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动 点（不包括点A，点C）. （1）求抛物线的表达式； 解：把点A（－3，0）和点B（0，3）的坐标 代入y＝ax2－2x＋c， 得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）如图，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值 及此时点P的坐标. 解：如图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H， 设直线AB的表达式为y＝kx＋b，把点A和点B的坐标代入， 得 解得 ∴直线AB的表达式为y＝x＋3. 设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为－x2－2x＋3， 点H的横坐标为x， 点H的纵坐标为x＋3， ∴PH＝－x2－2x＋3－（x＋3）＝－x2－3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 ∴S△APB＝S△APH＋S△BPH＝ ×[0－（－3）]（－x2－ 3x）＝－ x2－ x＝－ （x＋ ）2＋ ， ∴当x＝－ 时，△APB的面积有最大值，最大值是 . 当x＝－ 时，y＝－x2－2x＋3＝－ －2× （－ ）＋3＝ ，此时点P的坐标为（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 参考答案 1.C　2.C　3.72 4. 5. 解：∵抛物线的顶点坐标是（4，3.6）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2＋3.6. 把点（0，2）的坐标代入表达式得16a＋3.6＝2，解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ （x－4）2＋3.6. 当y＝0时，－ （x－4）2＋3.6＝0， 解得x1＝－2（舍去），x2＝10， 即这名男生此次掷实心球的成绩是10米. 　 6. 解：设窗户的长AD为x米，则宽AB为 米， 则S＝ ·x，即S＝－ x2＋2x， 要使窗户的面积最大，则x＝－ ＝1.5， 于是宽为 ＝ ＝1， 所以要使做成的窗户的面积最大，AB，AD分别为1米，1.5米. 7. C 　 8. 解：如图，过A作AM⊥BC于点M，交DG于点N， ∵△ABC是等腰三角形，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝ BC（三线合一）， 则AM＝ ＝16（cm）. 设DE＝x cm，S矩形DEFG＝y cm2， ∵四边形DGFE是矩形，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC， 故 ＝ ，即 ＝ ，故DG＝ （16－x）. ∴y＝DG·DE＝ （16－x）x＝－ （x2－16x）＝－ （x－8）2＋96， ∴当x＝8时，y有最大值96. 答：矩形DEFG的最大面积是96 cm2. 　 9. 解：（1）由题意得抛物线的对称轴是直线x＝ ＝15， ∴抛物线的顶点坐标为（15，9）. ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－15）2＋9. 又抛物线过点（10，8），∴25a＝－1.∴a＝－ . ∴抛物线的表达式为y＝－ （x－15）2＋9. （2）由题意，结合（1）y＝－ （x－15）2＋9， ∴令x＝5，得y＝－ ×（5－15）2＋9＝5. ∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m. 　 10. 解：（1）把点A（－3，0）和点B（0，3）的坐标代入y＝ax2－2x＋ c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. （2）如图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H， 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 把点A和点B的坐标代入，得 解得 ∴直线AB的表达式为y＝x＋3. 　 设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为－x2－2x＋3，点H的横坐标为x， 点H的纵坐标为x＋3，∴PH＝－x2－2x＋3－（x＋3）＝－x2－3x. ∴S△APB＝S△APH＋S△BPH＝ ×[0－（－3）]（－x2－3x）＝－ x2－ x＝ － （x＋ ）2＋ ， ∴当x＝－ 时，△APB的面积有最大值，最大值是 . 当x＝－ 时，y＝－x2－2x＋3＝－ －2 ×（－ ）＋3＝ ，此时点P的坐标为（－ ， ）. 　 $第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第1课时　二次函数 y＝x2的图象与性质 　 1 A. 基础夯实 1. 函数 y＝－x2 的图象开口 ，顶点坐标是 ， 对称轴 是 ⁠. 2. 抛物线 y＝－x2 经过点 （b，－16），则b＝ ⁠. 向下 （0，0） 直线x＝0（或y轴） ±4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. 下列关于二次函数y＝x2的性质，说法不正确的是（　D　）. A. 它的图象经过点（1，1） B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. 抛物线 y＝x2与直线 y＝4交于 A，B 两点，则线段 AB＝ ⁠. 5. 已知二次函数y＝x2，当1≤y≤9时，自变量x的取值范围是 ⁠ ⁠. 4 －3≤x≤ －1或1≤x≤3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 6. 若点（0，y1），（－1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上， 不计算函数值，比较y1，y2，y3的大小. 解：由题意，∵二次函数为y＝x2， ∴抛物线开口向上，且对称轴为y轴. ∴当x≥0时，y随x的增大而增大. 又∵（－1，y2）与（1，y2）关于y轴的对称，且0＜1＜2， ∴y3＞y2＞y1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 7. 已知点 M（3，k）在 y＝x2的图象上，求点 M关于原点对称的点 M＇的 坐标，并说明M＇是否在该函数图象上. 解：∵点M（3，k）在y＝x2的图象上， ∴k＝32＝9， ∴M（3，9）. ∵M（3，9）与M＇关于原点对称， ∴M＇（－3，－9）. 当x＝－3时，y＝（－3）2＝9， ∴M＇（－3，－9）不在二次函数y＝x2的图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. 如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y＝m平行于x轴，交 二次函数y＝x2的图象于A，B两点，作AD，BC分别垂直于x轴，发现四 边形ABCD是正方形.求m的值及A，B两点的坐标. 解：∵四边形ABCD是正方形， 由抛物线y＝x2的对称性可知，OD＝ AD， ∴设点A的坐标为（ m，m）， 代入y＝x2，得m＝（ m）2， 解得m1＝0（舍去），m2＝4， ∴m的值是4，点A的坐标为（2，4）， 由抛物线的对称性，可得点B的坐标为（－2，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 当ab＜0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（　A　）. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. 若点 P1（x1，y1）和 P2（x2，y2）在 y＝x2的图象上，且 x1＜x2＜0，比 较y1与 y2的大小：y1 y2. 11. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2上的点A的横坐标为－3，抛物线y ＝－x2上的点B的横坐标为2.连接AB，求线段AB的长度. ＞ 解：由题意得A（－3，9），B（2，－4）， ∴AB2＝（－3－2）2＋（9＋4）2＝52＋132＝194，即AB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. 在用描点法画二次函数y＝x2的图象时，小亮选取了7组x，y的对应值 （如表所示），以表中每个有序实数对（x，y）作为点的坐标，在平面直 角坐标系中描出相应的各点，并用平滑的曲线从左向右顺次连接各点，便得 到了函数y＝x2的图象（如图）. x －3 －2 －1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 请说明：二次函数y＝x2图象上A（2，4）， B（3，9）两点之间的图象不是线段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解：把x＝ 代入y＝x2，得y＝ ， ∴点（ ， ）在二次函数y＝x2的图象上. 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 由题意可知 ∴ ∴直线AB的表达式为y＝5x－6. 当x＝ 时，y＝5× －6＝ ≠ ， ∴线段AB上的点（ ， ）不在二次函数y＝x2的图象上， ∴二次函数y＝x2图象上A（2，4），B（3，9）两点之间的图象不是线段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1. 向下 （0，0） 直线x＝0（或y轴） 2. ±4 3. D 4.4 5. －3≤x≤－1或1≤x≤3 　 ∴抛物线开口向上，且对称轴为y轴. ∴当x≥0时，y随x的增大而增大. 又∵（－1，y2）与（1，y2）关于y轴的对称，且0＜1＜2， ∴y3＞y2＞y1. 6. 解：由题意，∵二次函数为y＝x2， 　 7. 解：∵点M（3，k）在y＝x2的图象上， ∴k＝32＝9， ∴M（3，9）. ∵M（3，9）与M＇关于原点对称， ∴M＇（－3，－9）. 当x＝－3时，y＝（－3）2＝9， ∴M＇（－3，－9）不在二次函数y＝x2的图象上. 　 8. 解：∵四边形ABCD是正方形，由抛物线y＝x2的对称性可知， OD＝ AD， ∴设点A的坐标为（ m，m），代入y＝x2，得m＝（ m）2，解得m1＝ 0（舍去），m2＝4， ∴m的值是4，点A的坐标为（2，4）， 由抛物线的对称性，可得点B的坐标为（－2，4）. 9. A 10. ＞ 11. 解：由题意得A（－3，9），B（2，－4）， ∴AB2＝（－3－2）2＋（9＋4）2＝52＋132＝194，即AB＝ . 　 12. 解：把x＝ 代入y＝x2，得y＝ ， ∴点（ ， ）在二次函数y＝x2的图象上. 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 由题意可知 ∴ ∴直线AB的表达式为y＝5x－6. 当x＝ 时，y＝5× －6＝ ≠ ， ∴线段AB上的点（ ， ）不在二次函数y＝x2的图象上， ∴二次函数y＝x2图象上A（2，4），B（3，9）两点之间的图象不是线段. 　 $第五章　二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 　 1 A. 基础夯实 1. 二次函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴的交点个数是（　A　）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 2. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过点A（1，1），则方程x2－6x＋c ＝1的解为（　D　）. A. x＝1 B. x＝6 C. x＝1或x＝－7 D. x＝1或x＝5 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋ b＝0的解是（　D　）. A. 无解 B. x＝1 C. x＝－4 D. x＝－1或x＝4 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那 么方程ax2＋bx＋c＝0的根是（　C　）. x … －3 －2 －1 0 … y … 0 2 3 2 … A. x1＝x2＝－3 B. x1＝－3，x2＝－2 C. x1＝－3，x2＝1 D. x1＝－3，x2＝3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 5. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋ bx＋c－5＝0的根的情况是（　A　）. A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 第5题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 6. （2025秋·龙华区校级月考）已知抛物线y＝x2－x－2与x轴的一个交点为 （m，0），则代数式－m2＋m－3的值为 ⁠. 7. 已知抛物线y＝ax2－3ax＋4与x轴交于两点，其中一点的坐标为（－1， 0），则方程ax2－3ax＋4＝0的根是 ⁠. －5 x1＝－1，x2＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. （教材第152页习题5.4第1题改编）求二次函数y＝x2－11x＋30的图象与 x轴交点的坐标，并作草图验证. 解：令y＝0可得x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6， ∴二次函数y＝x2－11x＋30的图象与x轴的交点坐标为 （6，0）和（5，0）.如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. （教材第153页第5题改编）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝ mx＋n的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n的解是 （　B　）. A. x1＝4.5，x2＝1 B. x1＝－1，x2＝4 C. x1＝4.5，x2＝4 D. x1＝－1，x2＝1 第9题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. （2025·南山区校级开学）如图，将二次函数y＝（x＋1）2－4的图象在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到y＝｜（x＋1）2 －4｜的图象.根据图象，若关于x的方程｜（x＋1）2－4｜＝k有四个不相 等的实数根，则k的取值范围是（　A　）. A. 0＜k＜4 B. 0＜k≤4 C. 0≤k＜4 D. －3＜k＜0 第10题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过（－3，0）与（1，0）两点， 关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，则 关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数 根是 （　B　）. A. －2和0 B. －4和2 C. －5和3 D. －6和4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. 已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示. （1）方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为 ⁠； x1＝－3，x2＝1 解析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得对称轴 为直线x＝－1，函数图象与x轴的一个交点的横坐标为1， ∴函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为 2×（－1）－1＝－3， ∴ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－3，x2＝1. 故答案为x1＝－3，x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）观察图象，当－2≤x≤1时，y的取值范围为 ⁠； －4≤y≤0 解析：∵二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（－1，－4）， ∴当x＝－1时，函数有最小值，为－4. ∵当x＝1时，y＝0， ∴当－2≤x≤1时，y的取值范围为－4≤y≤0. 故答案为－4≤y≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （3）将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后恰好经过点 （－2，0），记此时二次函数图象与x轴的交点为A，B（点A在点B左侧）， 顶点为C，请写出m的值，并求△ABC的面积. 解：由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2－4， 将（1，0）代入，得0＝a（1＋1）2－4， ∴a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝（x＋1）2－4. 设将二次函数y＝（x＋1）2－4的图象向上平移m个单位 长度后恰好过点（－2，0）， 将（－2，0）代入得0＝（－2＋1）2－4＋m， ∴m＝3. ∴此时函数的表达式为y＝（x＋1）2－4＋3， 即y＝（x＋1）2－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 ∴顶点C（－1，－1）. ∴点C到x轴的距离为1. 令y＝（x＋1）2－1＝0，则x＝0或－2. ∴A（－2，0），B（0，0）， ∴AB＝0－（－2）＝2. ∴△ABC的面积＝ ×2×1＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1.A　2.D　3.D　4.C　5.A　6.－5　7. x1＝－1，x2＝4 8. 解：令y＝0可得x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6， ∴二次函数y＝x2－11x＋30的图象与x轴的交点坐标为（6，0）和（5， 0）.如图. 9.B　10.A　11.B 　 12. 解：（1）x1＝－3，x2＝1 解析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得对称轴为直线x＝－1，函数图 象与x轴的一个交点的横坐标为1， ∴函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为2×（－1）－1＝－3， ∴ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－3，x2＝1. 故答案为x1＝－3，x2＝1. （2）－4≤y≤0 解析：∵二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（－1，－4）， ∴当x＝－1时，函数有最小值，为－4. ∵当x＝1时，y＝0，∴当－2≤x≤1时，y的取值范围为－4≤y≤0. 故答案为－4≤y≤0. 　 （3）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）2－4，将（1，0）代 入，得0＝a（1＋1）2－4，∴a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝（x＋1）2－4. 设将二次函数y＝（x＋1）2－4的图象向上平移m个单位长度后恰好过点 （－2，0）， 将（－2，0）代入得0＝（－2＋1）2－4＋m， ∴m＝3.∴此时函数的表达式为y＝（x＋1）2－4＋3，即y＝（x＋1）2－1. ∴顶点C（－1，－1）.∴点C到x轴的距离为1. 令y＝（x＋1）2－1＝0，则x＝0或－2. ∴A（－2，0），B（0，0），∴AB＝0－（－2）＝2. ∴△ABC的面积＝ ×2×1＝1. 　 $第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质 　 1 A. 基础夯实 1. 抛物线y＝－5（x－2）2的顶点坐标是（　B　）. A. （－2，0） B. （2，0） C. （0，－2） D. （0，2） 2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是（　A　）. A. y＝（x＋2）2 B. y＝2x2－2 C. y＝－2x2－2 D. y＝2（x－2）2 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 3. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x＋h）2（a≠0）的图象可能是 （　C　）. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 4. （2025秋·福田区校级月考）关于x的二次函数y＝－（x－1）2，下列说 法正确的是（　D　）. A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） C. 图象的顶点坐标是（－1，0） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 5. （2025秋·龙华区校级月考）已知抛物线y＝－（x－1）2，若点（0， y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是 （　D　）. A. y2＜y1＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y1＜y2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 6. 抛物线y＝3（x－1）2的对称轴是 ⁠. 7. 当x＝ 时，二次函数y＝－2（x－3）2有最 值0. 8. （2025秋·南山区校级期末）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，所得 抛物线的表达式为 ⁠. 9. 已知抛物线y＝a（x－h）2向左平移2个单位后得抛物线y＝－2（x＋ 5）2，则a＝ ，h＝ ⁠. 10. （2025秋·福田区校级月考）为了得到抛物线y＝3x2，可以将抛物线y＝ 3（x＋1）2向 平移 个单位长度. 直线x＝1 3 大 y＝（x＋3）2 －2 －3 右 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 11. 已知抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位后得到抛物线y＝ x2. （1）求a，h的值； 解：∵抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位， ∴得到的抛物线表达式为y＝a（x－h－3）2，即a＝ . 又x－h－3＝x， ∴h＝－3， ∴a＝ ，h＝－3. （2）写出抛物线y＝a（x－h）2的对称轴及顶点坐标. 解：抛物线y＝ （x＋3）2的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 B. 能力提升 12. （2025秋·罗湖区校级月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax ＋c和二次函数y＝a（x＋c）2的图象大致为（　B　）. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 13. 如图，抛物线y＝a（x－h）2的顶点在x轴的正半轴上，过点（0，8） 且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点C（10，0）.若四边形 OABC是菱形，则a和h的值分别为（　A　）. A. ，11 B. ，11 C. ，－11 D. ，－11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 解析：如图所示，设l与y轴交于点D. 由点C坐标可知OC＝10，∴OA＝OC＝AB＝10. ∵过点（0，8）且平行于x轴的直线l与抛物线交于 A，B两点，∴OD＝8，AD⊥OD， ∴AD＝6，∴A（6，8）， ∴DB＝AD＋AB＝6＋10＝16，∴B（16，8）， ∴对称轴为直线x＝11，∴h＝11， ∴将A（6，8）代入y＝a（x－11）2，得8＝a（6－11）2，解得a＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 14. 若抛物线y＝－ （x＋1）2向右平移m（m＞0）个单位长度后经过点 （2，－2），则m＝ ⁠. 15. （2025秋·宝安区校级月考）抛物线y＝（k2＋1）（x－1）2（k为常 数）经过（－2，y1），（0，y2），（ ，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关 系是 ⁠. 1或5 y1＞y3＞y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 16. 如图将抛物线y＝2x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点 B，若△AOB为等腰直角三角形，求a的值. 解：抛物线y＝2x2向右平移a个单位长度后的表达式为y＝2（x－a）2，则 A（a，0），B（0，2a2）. ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴a＝2a2，即a（1－2a）＝0， 解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝ ，即a的值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 C. 拓展思维 17. 如图，抛物线C1：y＝ （x＋1）2，将C1绕顶点P旋转180°得C2. （1）求C2的表达式； 解：易得C2的表达式为y＝－ （x＋1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 （2）直线x＝t交C1，C2于A，B两点，若△PAB为直角三角形，求t的值. 解：由题得A ，B . 设直线AB交x轴于点E，AE＝PE，AE＝ （t＋1）2， PE＝｜－1－t｜. ①当t＜－1时， （t＋1）2＝－（t＋1），解得t1＝－1（舍），t2＝－3； ②当t＞－1时， （t＋1）2＝t＋1，解得t1＝－1（舍），t2＝1. ∴t＝1或t＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　 参考答案 1. B 2.A 3. C 4. D 5. D 6. 直线x＝1 7.3 大 8. y＝（x＋3）2 9. －2 －3 10. 右 1 　 11. 解：（1）∵抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位， ∴得到的抛物线表达式为y＝a（x－h－3）2，即a＝ . 又x－h－3＝x， ∴h＝－3， ∴a＝ ，h＝－3. （2）抛物线y＝ （x＋3）2的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3， 0）. 12. B 　 解析：如图所示，设l与y轴交于点D. 由点C坐标可知OC＝10， ∴OA＝OC＝AB＝10. ∵过点（0，8）且平行于x轴的直线l与抛物线交于 A，B两点，∴OD＝8，AD⊥OD， ∴AD＝6，∴A（6，8）， ∴DB＝AD＋AB＝6＋10＝16，∴B（16，8）， 13. A ∴对称轴为直线x＝11，∴h＝11， ∴将A（6，8）代入y＝a（x－11）2，得8＝a（6－11）2，解得a＝ .故选A. 14.1或5 　 15. y1＞y3＞y2 16. 解：抛物线y＝2x2向右平移a个单位长度后的表达式为 y＝2（x－a）2，则A（a，0），B（0，2a2）. ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴a＝2a2，即a（1－2a）＝0， 解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝ ，即a的值是 . 　 17. 解：（1）易得C2的表达式为y＝－ （x＋1）2. （2）由题得A ，B . 设直线AB交x轴于点E，AE＝PE，AE＝ （t＋1）2，PE＝｜－1－t｜. ①当t＜－1时， （t＋1）2＝－（t＋1），解得t1＝－1（舍），t2＝－3； ②当t＞－1时， （t＋1）2＝t＋1，解得t1＝－1（舍），t2＝1. ∴t＝1或t＝－3. 　 $第五章　二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数的图象估计一元二次方程的根 　 1 A. 基础夯实 1. 小李同学在求一元二次方程x2－3x－1＝0的近似根时，利用绘图软件绘 制了二次函数y＝x2－3x－1的图象如图所示，利用图象得到方程x2－3x－1 ＝0的近似根为x1≈－0.3，x2≈3.3，小李同学的这种方法运用的主要数学思 想是（　B　）. A. 类比思想 B. 数形结合思想 C. 建模思想 D. 分类讨论思想 第1题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 2. 观察下列表格，可得出一元二次方程x2＋12x－15＝0的一个近似解是 （　A　）. x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 1.4＜x＜1.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 3. （根据教材第151页随堂练习第1题改编）如图，利用二次函数的图象求得 一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的近似根为 ⁠. 第3题图 x1≈－0.2，x2≈2.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 4. 二次函数y＝2x2＋4x－1的图象如图所示，若方程2x2＋4x－1＝0的一个 近似根是x＝－2.2，则方程的另一个近似根为 .（结果精确到0.1） 第4题图 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 5. （2025秋·龙华区校级月考）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐 标分别为（－1，0），（3，0）.当y＜0时，x的取值范围是 ⁠. 第5题图 －1＜x＜3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 6. （2025秋·深圳校级期中）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个 交点分别为A（－2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2＞bx＋c的解集 为 ⁠. 第6题图 x＜－2或x＞1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 7. （根据教材第150页材料改编）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2 ＋2x－10＝0的根. 解：方程x2＋2x－10＝0的根是函数y＝ x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标. 作出二次函数y＝x2＋2x－10的图象，如图所示. 由图象可知方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间. 先求－5和－4之间的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 当x＝－4.1时，y＝－1.39； 当x＝－4.2时，y＝－0.76； 当x＝－4.3时，y＝－0.11； 当x＝－4.4时，y＝0.56. 因此，x＝－4.3是方程的一个近似根， 同理，x＝2.3是方程的另一个近似根. 故答案为x1＝－4.3，x2＝2.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 B. 能力提升 8. （2024秋·深圳校级月考）已知二次函数y＝x2－4x＋3. （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 解：（1）当x＝3时，y＝x2－4x＋3＝0； 当x＝4时，y＝x2－4x＋3＝3. 补全表格如下. x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 画图如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 （2）当x 时，y随x的增大而减小； （3）当y＞0时，x的取值范围是 ⁠； （4）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ⁠. 解析：当x＝0时，y＝3； 当x＝2时，y有最小值，为－1；当x＝3时，y＝0. ∴当0≤x＜3时，y的取值范围是－1≤y≤3. 故答案为－1≤y≤3. ＜2 x＜1或x＞3 －1≤y≤3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 C. 拓展思维 9. （2025秋·光明区校级月考）小明学习完二次函数后发现函数图象关于直 线x＝n（n为常数）对称，他还发现除了二次函数，还有一些函数也具有这样的性质，他把这些函数称之为“X（n）函数”. 【探究一】小明对X（n）函数y＝－x2＋3｜x｜＋4的图象和性质进行了探 究，探究过程如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 （1）①列表： x … －4 － －3 － －2 － －1 － 0 1 2 3 4 … y … 0 4 6 ​ 6 4 6 ​ 6 4 0 … ​ ​ ②画图：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数 图象. 描点，并画出函数图象如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 （2）由图象知： ①n＝ ⁠； ②方程－x2＋3｜x｜＋4＝0有两个实数根，它们分别为x1＝ ；x2 ＝ ⁠； ③若直线y＝m与X（n）函数y＝－x2＋3｜x｜＋4的图象有三个交点，则 m＝ ⁠. 0 －4 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 【探究二】若关于x的“X（1）函数”y＝ax2＋bx＋4（a，b为常数）经 过点（－1，1），当t－1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1 －y2＝2，求出t的值. 解：由题意得 解得 ∴此“X（1）函数”为y＝－x2＋2x＋4. ①当t＜1时， x＝t时，y1＝－t2＋2t＋4， x＝t－1时，y2＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4， y1－y2＝（－t2＋2t＋4）－[－（t－1）2＋2（t－1）＋4]＝－2t＋3＝2， ∴t＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 ②当t－1≥1，即t≥2时， x＝t－1时，y1＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4， x＝t时，y2＝－t2＋2t＋4， y1－y2＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4－（－t2＋2t＋4）＝2t－3＝2， ∴t＝ ； ③当1≤t＜ 时， x＝1时，y1＝5， x＝t－1时，y2＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4， y1－y2＝5－[－（t－1）2＋2（t－1）＋4]＝t2－4t＋4＝2， ∴t＝2± （舍去）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 ④当 ≤t＜2时， x＝1时，y1＝5， x＝t时，y2＝－t2＋2t＋4， y1－y2＝5－（－t2＋2t＋4）＝t2－2t＋1＝2， ∴t＝1± （舍去）. 综上所述，t的值为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 参考答案 1. B 2.A 3. x1≈－0.2，x2≈2.2 4. 0.2 5. －1＜x＜3 6. x＜－2或x＞1 　 作出二次函数y＝x2＋2x－10的图象，如图所示. 由图象可知方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间. 先求－5和－4之间的根. 当x＝－4.1时，y＝－1.39；当x＝－4.2时，y＝－0.76； 当x＝－4.3时，y＝－0.11；当x＝－4.4时，y＝0.56. 因此，x＝－4.3是方程的一个近似根， 同理，x＝2.3是方程的另一个近似根. 故答案为x1＝－4.3，x2＝2.3. 7. 解：方程x2＋2x－10＝0的根是函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的 横坐标. 　 8. 解：（1）当x＝3时，y＝x2－4x＋3＝0； 当x＝4时，y＝x2－4x＋3＝3. 补全表格如下. x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 画图如图. （2）＜2 （3）x＜1或x＞3 　 解析：当x＝0时，y＝3； 当x＝2时，y有最小值，为－1；当x＝3时，y＝0. ∴当0≤x＜3时，y的取值范围是－1≤y≤3. 故答案为－1≤y≤3. （4）－1≤y≤3 　 9. 解：【探究一】（1）① ​ ②描点，并画出函数图象如图. （2）①0 ②－4 　4 ③4 【探究二】由题意得 解得 ∴此“X（1）函数”为y＝－x2＋2x＋4. 　 ①当t＜1时， x＝t时，y1＝－t2＋2t＋4， x＝t－1时，y2＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4， y1－y2＝（－t2＋2t＋4）－[－（t－1）2＋2（t－1）＋4]＝－2t＋3＝2， ∴t＝ ； ②当t－1≥1，即t≥2时， x＝t－1时，y1＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4， x＝t时，y2＝－t2＋2t＋4， y1－y2＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4－（－t2＋2t＋4）＝2t－3＝2， ∴t＝ ； 　 ③当1≤t＜ 时， x＝1时，y1＝5， x＝t－1时，y2＝－（t－1）2＋2（t－1）＋4， y1－y2＝5－[－（t－1）2＋2（t－1）＋4]＝t2－4t＋4＝2， ∴t＝2± （舍去）； ④当 ≤t＜2时， x＝1时，y1＝5， x＝t时，y2＝－t2＋2t＋4， y1－y2＝5－（－t2＋2t＋4）＝t2－2t＋1＝2， ∴t＝1± （舍去）. 综上所述，t的值为 或 . 　 $第五章　二次函数 1　认识二次函数 　 1 A. 基础夯实 1. （2025·南山区校级开学）下列表达式中，x为自变量，y是x的二次函数 的是（　B　）. A. y＝ax2＋bx＋c B. y＝－2x2＋x－1 C. y＝4－x3 D. y＝x2＋ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 2. 下列说法中，不正确的是（　D　）. A. 二次函数中，自变量的取值范围是全体实数 B. 在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数 C. y＝ （x＋1）（2x－1）是二次函数 D. 在函数y＝2－ x2中，一次项系数为2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. 二次函数y＝1－5x＋3x2的一次项系数是（　A　）. A. －5 B. 1 C. 3 D. 5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. 若函数y＝xm－1－x＋2是二次函数，那么m的值为 ⁠. 5. 已知两个正数的和是10.设其中的一个数是x，它们的积是y，那么y与x 的函数关系式是 ⁠. 3 y＝－x2＋10x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 6. 为了美化环境，计划将一个边长为4米的正方形草地ABCD分成如图所示 的五块，其中四边形EFGH为正方形.若AE的长为x米，正方形EFGH的面 积为S平方米，则S与x之间的函数关系式是 ⁠. S＝2x2－8x＋16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 7. （根据教材第130页习题5.1第3题改编）某工厂计划为一批长方体形状的 产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m. （1）长方体的长和宽用x（m）表示，长方体需要涂漆的表面积S（m2）可 以表示为 ⁠. （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，每个长方体所需油漆费用用y （元）表示，那么y与x之间的关系式是 ⁠. S＝6x2＋2x y＝30x2＋10x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. 物体从某一高度落下，已知下落的高度h（m）和下落的时间t（s）之间 的关系是h＝4.9t2，填表表示物体在前5 s下落的高度： t/s 1 2 3 4 5 h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 如图，等腰直角△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边 CA与边MN在同一直线上，点A与点M重合，让△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，运动到点A与N重合时停止，设运动的时间为t（s），运 动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为S（cm2）. （1）试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是 正方形， ∴△AMR是等腰直角三角形. 由题意知AM＝MR＝t， S＝S△AMR＝ t·t＝ t2（0≤t≤10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？ 解：当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是 ×2×2＝2（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. 已知y＝（m－2） －x＋1是二次函数，求当x＝1时，y的值. 解：∵y＝（m－2） －x＋1是二次函数， ∴m2－2＝2，且m－2≠0， ∴m＝－2. ∴y＝－4x2－x＋1. 当x＝1时，y＝－4×12－1＋1＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. 如图，有总长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m） 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设AB的长为x（m），面积为y （m2）. （1）求y与x的函数关系式及x的取值范围； 解：∵AB＝x m， ∴BC＝（24－3x）m， ∴y＝－3x2＋24x. ∵0＜24－3x≤10， ∴ ≤x＜8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长度是多少？ 解：当y＝45时，－3x2＋24x＝45， ∴x＝3（舍去）或x＝5， ∴当AB的长为5 m时，花圃的面积为45 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2 cm，对角线AC，BD相交于点O， 动点P从点O出发沿O→A→B方向以 cm/s的速度运动，同时点Q从点C 出发沿C→D方向以1 cm/s的速度运动.当点Q到达点D时，P，Q同时停止 运动.若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），当点P在OA上运 动时，求y与x之间的函数关系；当点P在AB上运动时，求y与x之间的函 数关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解：∵正方形ABCD中，AB＝2 cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 cm， ∴AC＝ AD＝ AB＝2 cm，OC＝OA＝ AC＝ cm. 当点P在OA上运动时，如图1， 由题意得CQ＝x cm，CP＝OC＋OP＝（ ＋ x）cm， 作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°， ∴CG＝PG＝ ＝（x＋1）cm， y＝S△CPQ＝ CQ·PG＝ x2＋ x，是二次函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 当点P在AB上运动时，如图2，由题意得CQ＝x cm， ∴y＝S△CPQ＝ CQ·BC＝x，是一次函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1.B　2.D　3.A　4.3 5. y＝－x2＋10x 6. S＝2x2－8x＋16 7. （1）S＝6x2＋2x （2）y＝30x2＋10x 8. 解：填表如下. t/s 1 2 3 4 5 h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 　 9. 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形， ∴△AMR是等腰直角三角形. 由题意知AM＝MR＝t， S＝S△AMR＝ t·t＝ t2（0≤t≤10）. （2）当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是 ×2×2＝2（cm2）. 10. 解：∵y＝（m－2） －x＋1是二次函数， ∴m2－2＝2，且m－2≠0，∴m＝－2. ∴y＝－4x2－x＋1. 当x＝1时，y＝－4×12－1＋1＝－4. 　 11. 解：（1）∵AB＝x m，∴BC＝（24－3x）m， ∴y＝－3x2＋24x. ∵0＜24－3x≤10，∴ ≤x＜8. （2）当y＝45时，－3x2＋24x＝45， ∴x＝3（舍去）或x＝5， ∴当AB的长为5 m时，花圃的面积为45 m2. 　 12. 解：∵正方形ABCD中，AB＝2 cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 cm， ∴AC＝ AD＝ AB＝2 cm，OC＝OA＝ AC＝ cm. 当点P在OA上运动时，如图1， 由题意得CQ＝x cm，CP＝OC＋OP＝（ ＋ x）cm， 作PG⊥CD于点G，∵∠PCG＝45°， ∴CG＝PG＝ ＝（x＋1）cm， y＝S△CPQ＝ CQ·PG＝ x2＋ x，是二次函数； 　 当点P在AB上运动时，如图2，由题意得CQ＝x cm， ∴y＝S△CPQ＝ CQ·BC＝x，是一次函数. 　 $第五章　二次函数 ☆ 问题解决活动：怎样围面积最大 　 1 A. 基础夯实 1. （2024春·深圳期中）如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙 （墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为x m， 菜园的面积为y m2，试写出y与x之间的关系式 ⁠. 第1题图 y＝－ x2＋30x 1 2 3 4 5 6 7 　 2. 如图，用一段长30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，中间用 篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长12 m.设AB＝x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围 是 ⁠. 第2题图 y＝－3x2＋30x 6≤x＜10 解析：由已知得BC＝（30－3x）m， ∴y＝x（30－3x）＝－3x2＋30x. ∵墙长12 m， ∴0＜30－3x≤12， 解得6≤x＜10， ∴x的取值范围为6≤x＜10. 故答案为y＝－3x2＋30x，6≤x＜10. 1 2 3 4 5 6 7 　 3. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AD边平行的篱笆 EF分开.已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝ m时，矩形土地ABCD的面积最大. 第3题图 225 1 2 3 4 5 6 7 　 4. 某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜 园.如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过6 m.可用的篱笆总长度为10 m.把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形ABCD. 设AB的长为x m，菜园的面积为S m2. （1）求菜园面积S（单位：m2）关于x的函数关系式，并写出自变量x的取 值范围； 解：根据题意列不等式组得 解得4≤x≤6， ∴S＝－x2＋10x（4≤x≤6）. 1 2 3 4 5 6 7 　 （2）求菜园面积的最大值. 解：S＝－x2＋10x＝－（x－5）2＋25， ∴当x＝5时，S有最大值，最大值是25 m2. 1 2 3 4 5 6 7 　 5. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的住房墙，另 外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为x米，矩形花圃的面积为S平方米. （1）若花圃面积为80 m2，求与墙垂直的一边的长度. 解：由题意得x（25－2x＋1）＝80， ∴x2－13x＋40＝0， ∴x＝5或x＝8. 当x＝8时，25－2x＋1＝10＜12，符合题意； 当x＝5时，25－2x＋1＝16＞12，不符合题意. 答：与墙垂直的一边的长度为8 m. 1 2 3 4 5 6 7 　 （2）求S与x之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，x的值应为多 少，最大面积是多少？ 解：由题意得S＝x（25－2x＋1）＝－2x2＋26x＝－2（x－6.5）2＋84.5. ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴25－2x＋1＞0，25－2x＋1≤12， ∴7≤x＜13. ∵－2＜0， ∴当7≤x＜13时，S随x的增大而减小， ∴当x＝7时，S有最大值，最大值为－2×（7－6.5）2＋84.5＝84， ∴要想使花圃的面积最大，则x＝7，最大面积为84 m2. 1 2 3 4 5 6 7 　 B. 能力提升 6. 如图，用长为22 m的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为14 m），围成中 间有一道篱笆的矩形花圃.为了方便出入，在建造花圃篱笆时，在BC边上用 其他材料做了宽1 m的两扇小门. （1）设花圃的一边AB长为x m，请你用含有x的代数式表示另一边AD的长 为 m. （24－3x） 1 2 3 4 5 6 7 　 （2）若此时花圃的面积刚好为45 m2，求此时花圃的长与宽. 解：由题意得x（24－3x）＝45， 3x2－24x＋45＝0，x2－8x＋15＝0， 解得x＝3或5. 当AB＝3 m时，BC＝15 m＞14 m， 不符合题意，舍去；当AB＝5 m时，BC＝9 m，满足题意. 答：花圃的长为9 m，宽为5 m. 1 2 3 4 5 6 7 　 （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60 m2，请说 明理由.猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 解：假设面积能够达到60 m2，则可得方程x（24－3x）＝60， 整理得x2－8x＋20＝0， Δ＝（－8）2－4×1×20＝－16＜0，方程无实数根， 所以面积不能达到60 m2. 设花圃面积为S m2，则S＝x（24－3x） ＝－3x2＋24x＝－3（x2－8x）＝－3（x－4）2＋48， 因为－3＜0，当x＝4时，S有最大值48. 答：花圃面积不能达到60 m2，最大可做到48 m2. 1 2 3 4 5 6 7 　 C. 拓展思维 7. 如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米， 墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平 方米. （1）直接写出S与x的函数关系式； 解：由题知S＝x（32＋2－2x）， 整理得S＝－2x2＋34x. 1 2 3 4 5 6 7 　 （2）若院墙的面积为120平方米，求x的值； 解：∵院墙的面积为120平方米，即S＝120， 将S＝120代入S＝－2x2＋34x中，有－2x2＋34x＝120， 整理得（x－12）（x－5）＝0，解得x1＝12，x2＝5. ∵墙长14米， ∴34－2x≤14，解得x≥10， ∴x2＝5不符合题意，舍去.故x的值为12. 1 2 3 4 5 6 7 　 （3）若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且S的最大值为154， 求a的值. 解：∵在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门， ∴矩形的另一边长为（34＋a－2x）米， ∴S＝x（34＋a－2x）＝－2x2＋（34＋a）x. ∵34＋a－2x≤14， ∴x≥ . ∵S＝－2x2＋（34＋a）x的图象的对称轴为直线x＝－ ＝ ， 且 ＞ ， ∴S＝－2x2＋（34＋a）x在x＝ 处取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 　 ∵S的最大值为154， ∴－2× ＋（34＋a）× ＝154，解得a＝2. ∴若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且S的最大值为154，则a ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 　 参考答案 1. y＝－ x2＋30x 2. y＝－3x2＋30x　6≤x＜10 解析：由已知得BC＝（30－3x）m， ∴y＝x（30－3x）＝－3x2＋30x. ∵墙长12 m，∴0＜30－3x≤12， 解得6≤x＜10，∴x的取值范围为6≤x＜10. 故答案为y＝－3x2＋30x，6≤x＜10. 3.225 　 4. 解：（1）根据题意列不等式组得 解得4≤x≤6，∴S＝－x2＋10x（4≤x≤6）. （2）S＝－x2＋10x＝－（x－5）2＋25， ∴当x＝5时，S有最大值，最大值是25 m2. 5. 解：（1）由题意得x（25－2x＋1）＝80， ∴x2－13x＋40＝0，∴x＝5或x＝8. 当x＝8时，25－2x＋1＝10＜12，符合题意； 当x＝5时，25－2x＋1＝16＞12，不符合题意. 答：与墙垂直的一边的长度为8 m. 　 （2）由题意得S＝x（25－2x＋1）＝－2x2＋26x＝－2（x－6.5）2＋ 84.5. ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴25－2x＋1＞0，25－2x＋1≤12，∴7≤x＜13. ∵－2＜0，∴当7≤x＜13时，S随x的增大而减小， ∴当x＝7时，S有最大值，最大值为－2×（7－6.5）2＋84.5＝84， ∴要想使花圃的面积最大，则x＝7，最大面积为84 m2. 　 6. 解：（1）（24－3x） （2）由题意得x（24－3x）＝45， 3x2－24x＋45＝0，x2－8x＋15＝0， 解得x＝3或5. 当AB＝3 m时，BC＝15 m＞14 m， 不符合题意，舍去；当AB＝5 m时，BC＝9 m，满足题意. 答：花圃的长为9 m，宽为5 m. 　 （3）假设面积能够达到60 m2，则可得方程x（24－3x）＝60，整理得x2－ 8x＋20＝0， Δ＝（－8）2－4×1×20＝－16＜0，方程无实数根， 所以面积不能达到60 m2. 设花圃面积为S m2，则S＝x（24－3x）＝－3x2＋24x＝－3（x2－8x）＝ －3（x－4）2＋48， 因为－3＜0，当x＝4时，S有最大值48. 答：花圃面积不能达到60 m2，最大可做到48 m2. 　 7. 解：（1）由题知S＝x（32＋2－2x），整理得S＝－2x2＋34x. （2）∵院墙的面积为120平方米，即S＝120， 将S＝120代入S＝－2x2＋34x中，有－2x2＋34x＝120， 整理得（x－12）（x－5）＝0，解得x1＝12，x2＝5. ∵墙长14米，∴34－2x≤14，解得x≥10， ∴x2＝5不符合题意，舍去.故x的值为12. 　 （3）∵在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门， ∴矩形的另一边长为（34＋a－2x）米， ∴S＝x（34＋a－2x）＝－2x2＋（34＋a）x. ∵34＋a－2x≤14，∴x≥ . ∵S＝－2x2＋（34＋a）x的图象的对称轴为直线x＝－ ＝ ， 且 ＞ ，∴S＝－2x2＋（34＋a）x在x＝ 处取得最大值. ∵S的最大值为154， ∴－2× ＋（34＋a）× ＝154，解得a＝2. ∴若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且S的最大值为154，则a ＝2. 　 $第五章　二次函数 章末复习 　 1 A. 基础夯实 1. （2025秋·南山区校级期末）抛物线y＝2x2－4x＋c的对称轴为直线 （　A　）. A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝2 D. x＝－2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 2. （2025春·深圳校级月考）关于抛物线y＝（x－1）2－2，下列说法中错误 的是（　C　）. A. 顶点坐标为（1，－2） B. 对称轴是直线x＝1 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 开口方向向上 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再 向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为（　B　）. A. y＝（x－2）2＋1 B. y＝（x＋2）2＋1 C. y＝（x＋2）2－1 D. y＝（x－2）2－1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. （2025·宝安区校级模拟）直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋2在同一 平面直角坐标系中可能是（　B　）. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 5. （2025秋·南山区校级期末）抛物线y＝（x－3）2＋1的顶点坐标 是 ⁠. 6. （2025秋·光明区期末）已知抛物线y＝x2－4x＋5过A（3，m）， B（－4，n）两点，则m n（填“＞”“＜”或“＝”）. 7. 若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围 是 ⁠. （3，1） ＜ m≤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. 烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－ t2＋20t＋π（π＞0），若这种 礼炮在点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间. 解：∵h＝－ t2＋20t＋π， ∴h＝－ （t－4）2＋40＋π， ∴当t＝4时，h最大，最大值为40＋π. ∴从点火升空到引爆需要的时间为4 s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点 B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a－b ＋c＞0.其中正确的有（　D　）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第9题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间 的距离均为5 m，则支柱MN的长度为 m. 第10题图 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. （2025秋·宝安区期末）为加强科技创新，某公司研发并推出一种新型高 科技产品，该产品上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图所示的二 次函数图象（部分）刻画了该产品累积利润y（万元）与上市时间x个月之 间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）. （1）求累积利润y（万元）与x之间的函数关系式； 解：由题意，设累积利润y（万元）与销售 时间x（月）的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c， 由题图可知图象经过点（0，0），（1，－75）， （6，300），将这三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得 ∴ ∴所求函数关系式为y＝25x2－100x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）该产品上市后第几个月公司累积利润可达到800万元？ 解：把y＝800代入y＝25x2－100x，得 25x2－100x＝800，解得x1＝8，x2＝－4（舍去）. 答：该产品上市后第8个月公司累积利润可达到800万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （3）该产品上市后第8个月公司所获利润是多少万元？ 解：把x＝7代入关系式y＝25x2－100x，得 y＝25×72－100×7＝525. 把x＝8代入关系式y＝25x2－100x，得 y＝25×82－100×8＝800，800－525＝275. 答：第8个月公司所获利润是275万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点 A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称. （1）求该抛物线的表达式； 解：抛物线经过点A（3，0），抛物线的对称轴为 直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为（－1，0）， 则抛物线的表达式为y＝a（x＋1）（x－3）＝ ax2＋bx＋3，解得a＝－1，b＝2， 则该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点 A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称. 解：由题意得－1≤x≤t， 当－1＜t＜1时，则－1≤x≤t， x＝－1时，y＝－x2＋2x＋3＝0，取得最小值， 则x＝t时，2t－1＝－t2＋2t＋3， 解得t＝－2或2，均不符合题意； 当1≤t＜3时，则抛物线在顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为（1，4）， 即2t－1＝4，解得t＝2.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形 是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 解：存在，菱形的边长为3 －2或2. 由抛物线的表达式知，点B（0，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 ①如图，当BC为菱形的对角线时，对应菱形为BDCE＇， 则BD＝CD， 由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3， 设点C（x，－x2＋2x＋3），点D（x，－x＋3）， 则CD＝－x2＋2x＋3－（－x＋3）＝－x2＋3x，BD＝ x，BC＝ ， ∴－x2＋3x＝ x， 解得x＝3－ 或x＝0（舍去）， 则BD＝ x＝3 －2， 即菱形的边长为3 －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 ②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为BCDE， 则CD＝BC， ∴－x2＋3x＝ ， 解得x＝2或x＝0（舍去）， 则CD＝－x2＋3x＝－22＋3×2＝2， 即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为3 －2或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1. A 2.C 3. B 4. B 　5. （3，1） 6. ＜ 7. m≤ 8. 解：∵h＝－ t2＋20t＋π， ∴h＝－ （t－4）2＋40＋π， ∴当t＝4时，h最大，最大值为40＋π. ∴从点火升空到引爆需要的时间为4 s. 9. D 10. 　 11. 解：（1）由题意，设累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关 系式为y＝ax2＋bx＋c， 由题图可知图象经过点（0，0），（1，－75），（6，300），将这三点坐标 代入y＝ax2＋bx＋c，得 ​ ∴ ∴所求函数关系式为y＝25x2－100x. 　 （2）把y＝800代入y＝25x2－100x，得 25x2－100x＝800，解得x1＝8，x2＝－4（舍去）. 答：该产品上市后第8个月公司累积利润可达到800万元. （3）把x＝7代入关系式y＝25x2－100x，得 y＝25×72－100×7＝525. 把x＝8代入关系式y＝25x2－100x，得 y＝25×82－100×8＝800，800－525＝275. 答：第8个月公司所获利润是275万元. 　 12. 解：（1）抛物线经过点A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为（－1，0）， 则抛物线的表达式为y＝a（x＋1）（x－3）＝ax2＋bx＋3，解得 a＝－1，b＝2， 则该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. （2）由题意得－1≤x≤t， 当－1＜t＜1时，则－1≤x≤t， x＝－1时，y＝－x2＋2x＋3＝0，取得最小值， 则x＝t时，2t－1＝－t2＋2t＋3， 　 解得t＝－2或2，均不符合题意； 当1≤t＜3时，则抛物线在顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为（1，4）， 即2t－1＝4，解得t＝2.5. 　 ①如图，当BC为菱形的对角线时，对应菱形为 BDCE＇，则BD＝CD， 由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3， 设点C（x，－x2＋2x＋3），点D（x，－x＋3）， 则CD＝－x2＋2x＋3－（－x＋3）＝－x2＋3x，BD＝ x，BC＝ ， ∴－x2＋3x＝ x， （3）存在，菱形的边长为3 －2或2. 由抛物线的表达式知，点B（0，3）. 解得x＝3－ 或x＝0（舍去）， 则BD＝ x＝3 －2， 即菱形的边长为3 －2. 　 ②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为BCDE， 则CD＝BC， ∴－x2＋3x＝ ， 解得x＝2或x＝0（舍去）， 则CD＝－x2＋3x＝－22＋3×2＝2， 即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为3 －2或2. 　 $第五章　二次函数 2　二次函数的图象 第4课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 　 1 A. 基础夯实 1. （2024春·龙华区月考）二次函数y＝（x＋3）2－7的图象的顶点坐标是 （　C　）. A. （－3，7） B. （3，7） C. （－3，－7） D. （3，－7） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 2. （2025春·龙华区校级月考）关于二次函数y＝－（x－2）2＋3，下列说法 正确的是（　D　）. A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是（－2，3） C. 函数图象与y轴的交点坐标是（0，1） D. 当x＞2时，y的值随x的增大而减小 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 3. 已知点（－2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝－（x－ 2）2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　C　）. A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y2＞y1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 4. 二次函数y＝x2＋x＋1的最小值为 ⁠. 5. （2025秋·罗湖区校级月考）若点A（1，－5），B（5，－5）都在抛物 线y＝ax2＋bx＋c上，则该抛物线的对称轴是 ⁠. 6. （2025·南山区校级一模）将抛物线y＝x2－2向左平移2个单位长度，再向 上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为 ⁠. ​ 直线x＝3 y＝（x＋2）2＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 7. 求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝x2－6x－3；　　　　　　　 解：开口向上，直线x＝3，顶点坐标为（3，－12）. （2）y＝－x2＋2x－1；　　　　　　　 解：开口向下，直线x＝1，顶点坐标为（1，0）. （3）y＝－3x2－4x＋2； 解：开口向下，直线x＝－ ，顶点坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （4）y＝－2x2－7x＋1； 解：开口向下，直线x＝－ ，顶点坐标为（－ ， ）. （5）y＝2x2＋8x； 解：开口向上，直线x＝－2，顶点坐标为（－2，－8）. （6）y＝－ x2－2x＋3. 解：开口向下，直线x＝－2，顶点坐标为（－2，5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 B. 能力提升 8. （2025·宝安区三模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶 点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D 四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（　B　）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解析：如图，分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E， ∴四边形PMEQ是矩形， ∴ME＝PQ. ∵AB＝10，BC＝5，CD＝6， ∴PQ＝AD－ AC－ BD＝21－ ×（10＋5）－ ×（5＋6）＝8.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 9. （2025秋·宝安区校级月考）二次函数y＝x2－2x＋3在a≤x≤a＋2的范 围内的最小值为6，则实数a的值为 ⁠. 解析：当y＝6时，有x2－2x＋3＝6，解得x1＝－1，x2＝3. ∵y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大. －3或3 ∵当a≤x≤a＋2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若1＜a≤x≤a＋2时，当x＝a时，y的最小值是6， ∴a＝3；若a≤x≤a＋2＜2时，当x＝a＋2时，y的最小值是6， ∴a＋2＝－1，解得a＝－3.∴a＝－3或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 10. （教材第139页习题5.2第8题）将二次函数y＝x2－2x＋1的图象先向上 平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2＋bx＋c， 求b，c的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时 画草图进行验证. 解：∵二次函数y＝x2－2x＋1＝（x－1）2 的图象先向上平移2个单位长度，再向左平 移3个单位长度， ∴平移后图象的表达式为y＝（x－1＋3）2 ＋2＝（x＋2）2＋2＝x2＋4x＋6，则b＝ 4，c＝6.函数图象的开口方向向上，对称 轴是直线x＝－2，顶点坐标为（－2，2）. 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 C. 拓展思维 11. （根据教材第140页习题5.2第11题改编）射水鱼以陆生昆虫为食，它在 捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2 m以内的昆虫.如果不考虑空气 阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）.在一 次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度y（单位：cm）与向前运动的 水平距离x（单位：cm）的关系可以近似地表示为y＝－0.2x2＋6x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水 流向前运动的水平距离x的范围是 ，它运动的高度逐步下降 时，水流向前运动的水平距离x的范围是 ⁠； 0＜x＜15 15＜x＜30 解析：当y＝0时，－0.2x2＋6x＝0，∴x1＝0，x2＝30， 抛物线顶点的横坐标为x＝－ ＝15， ∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离 x的范围是0＜x＜15，它运动的高度逐步下降时，水流 向前运动的水平距离x的范围是15＜x＜30. 故答案为0＜x＜15；15＜x＜30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离10 cm，高度50 cm处， 那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 解：当x＝10时，y＝－0.2×102＋6×10＝40＜50， ∴不能击中这只昆虫. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方25 cm高度，并沿水平直线飞行，那 么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？ 解：当y＝25时，25＝－0.2x2＋6x， ∴x1＝5，x2＝25， ∴可能在射水鱼正前方5 cm或25 cm处. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 参考答案 1.C　2.D　3.C 4. 5. 直线x＝3 6. y＝（x＋2）2＋1 　 （2）开口向下，直线x＝1，顶点坐标为（1，0）. （3）开口向下，直线x＝－ ，顶点坐标为 . （4）开口向下，直线x＝－ ，顶点坐标为（－ ， ）. （5）开口向上，直线x＝－2，顶点坐标为（－2，－8）. （6）开口向下，直线x＝－2，顶点坐标为（－2，5）. 7. 解：（1）开口向上，直线x＝3，顶点坐标为（3，－12）. 　 8. B 解析：如图，分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E， ∴四边形PMEQ是矩形，∴ME＝PQ. ∵AB＝10，BC＝5，CD＝6， ∴PQ＝AD－ AC－ BD＝21－ ×（10＋5）－ ×（5＋6）＝8.故选B. 　 9. －3或3 解析：当y＝6时，有x2－2x＋3＝6，解得x1＝－1，x2＝3. ∵y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大. ∵当a≤x≤a＋2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若1＜a≤x≤a＋2时，当x＝a时，y的最小值是6，∴a＝3；若a≤x≤a ＋2＜2时，当x＝a＋2时，y的最小值是6，∴a＋2＝－1， 解得a＝－3.∴a＝－3或3. 　 10. 解：∵二次函数y＝x2－2x＋1＝（x－1）2的图象先向上平移2个单位长 度，再向左平移3个单位长度，∴平移后图象的表达式为y＝（x－1＋3）2＋ 2＝（x＋2）2＋2＝x2＋4x＋6，则b＝4，c＝6.函数图象的开口方向向上， 对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为（－2，2）.如图所示. 　 11. 解：（1）0＜x＜15 15＜x＜30 解析：当y＝0时，－0.2x2＋6x＝0，∴x1＝0，x2＝30， 抛物线顶点的横坐标为x＝－ ＝15， ∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是0＜x＜ 15，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是15＜x ＜30. 故答案为0＜x＜15；15＜x＜30. 　 （2）当x＝10时，y＝－0.2×102＋6×10＝40＜50， ∴不能击中这只昆虫. （3）当y＝25时，25＝－0.2x2＋6x，∴x1＝5，x2＝25，∴可能在射水鱼正 前方5 cm或25 cm处. 　 $