精品解析：江苏省苏州市吴江区2025-2026学年第二学期高二（单招）数学期末试卷

吴江区2025-2026学年第二学期数学期末试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）．两卷满分150分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一 项符合要求，请选出符合要求的一项，并将答题卷上对应字母涂黑） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 设等差数列，的前项和分别是，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5题，每题4分，共20分，请将答案填写在对应题号横线上） 11. 记为等比数列的前项和，若，则____________． 12. 某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，得出与的线性回归方程为，则为_____________ 2 4 5 6 8 25 35 50 65 75 13. 已知，且，的夹角为钝角，求实数的取值范围为_____________ 14. 若，且，则的值是_____________ 15. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是_____________ 三、解答题（本大题共8题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解关于的不等式． 17. 设复数满足关系式，，复数又是实系数一元二次方程的一个根． （1）求复数； （2）求的值． 18. 已知二次函数满足，且函数的图像在轴上的截距为，被轴所截线段长为． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）若，求的值. 20. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数在的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式. 21. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求证：； （2）若的面积为，求． 22. 某网店老板计划对甲、乙两种商品开展促销活动，据市场调查统计，当投入成本为万元时，促销甲乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，该网店计划投入万元全部用于促销这两种商品． （1）若投入乙商品万元，请表示投入甲商品的资金，并求促销这两种商品能获得的总收益（万元）的解析式； （2）如果该网店促销这两种商品，为使该网店能获得最大利益，应该如何分配这万元？请求出最大收益． 23. 已知正项等比数列的前项和为，，；数列的前项和为，且对任意，都有. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等差数列，并求数列的前项和； （3）设，证明：数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江区2025-2026学年第二学期数学期末试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）．两卷满分150分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一 项符合要求，请选出符合要求的一项，并将答题卷上对应字母涂黑） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据集合的交集求解即可. 【详解】不等式，解得，即. 已知集合，则. 故选：B. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，解得或. 若成立，则可以推出，充分性成立. 若成立，则无法推出，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数，即可得复数的虚部． 【详解】因为复数， 所以复数的虚部为2. 故选：A. 4. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算结合已知条件求出向量的值，再根据向量垂直的性质列式即可求解. 【详解】因为向量，， 则， 又，所以，解得. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法，分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为. 故选：D. 6. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换即可求解. 【详解】因为函数， 要得到函数的图像， 需要将函数的图像向左平移个单位长度. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式将式子展开，又，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为， 所以， 整理得，又， 所以，则. 故选：B. 8. 已知函数是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，列出等式求解即可． 【详解】因为函数， 所以， 又函数为奇函数，所以， 又当时，， 所以. 故选：C. 9. 设等差数列，的前项和分别是，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】已知，同理. 所以. 故选：D. 10. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式以及的代换求解即可, 【详解】已知正数，满足，则. 则. 当且仅当，即等号成立. 故选：D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5题，每题4分，共20分，请将答案填写在对应题号横线上） 11. 记为等比数列的前项和，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式可求解. 【详解】设等比数列的公比为， ①当时，则，方程组无解； ②当时，由题可得 ，解得， 所以. 故答案为： 12. 某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，得出与的线性回归方程为，则为_____________ 2 4 5 6 8 25 35 50 65 75 【答案】30 【解析】 【分析】利用平均数的求法，结合线性回归方程过样本中心点求解即可. 【详解】由表中数据可得：，， 所以数据的样本中心点为，因为线性回归方程为过样本中心点， 所以，解得：. 故答案为：. 13. 已知，且，的夹角为钝角，求实数的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量内积的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】因为，的夹角为钝角，所以，且与不共线， 即，解得：， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若，且，则的值是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】已知，， 则. 因为，所以，则，进而. 故答案为：. 15. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数图像，令，由图象可得，，进而得到的取值范围． 【详解】由分段函数的图像如图所示： 使的点在直线与直线之间， 又当时，由，解得， 又，所以，则， 所以的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据含绝对值不等式的解法结合已知条件列式即可求解. （2）由题结合指数函数的单调性可得，根据一元二次不等式的解法即可求解. 【小问1详解】 由不等式得， 解得，又不等式的解集为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，因为函数在R上为增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为 17. 设复数满足关系式，，复数又是实系数一元二次方程的一个根． （1）求复数； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设复数，继而得到，结合复数的运算，即可求出的值，继而求解； （2）根据题意，结合复数的应用，利用韦达定理，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设复数，则， 由题意得，即，解得， 所以复数． 【小问2详解】 因为复数是实系数一元二次方程的一个根， 所以实系数一元二次方程的另一个根为， 所以，解得，所以． 18. 已知二次函数满足，且函数的图像在轴上的截距为，被轴所截线段长为． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数满足可知对称轴，再根据已知条件求得图像与轴的交点，再设，将点代入求解即可； （2）将不等式参变分离，转化为恒成立，进而分析求解即可. 【小问1详解】 ，∴对称轴， 又的图像被轴所截线段长为4， 的图像与轴的交点为，， 设 又过点，， ，即. 【小问2详解】 ， 若不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 则只需令， 又函数图像开口向上，对称轴为：， ， ，即. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解； （2）利用正弦函数的值域性质即可得解； （3）根据题意求得，再利用余弦函数的倍角公式即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期， 令，，得，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，取最大值1，所以取最大值； 当，即时，取最小值，所以取最小值0； 所以当时，函数的值域为. 【小问3详解】 因为，则， 所以. 20. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数在的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）在上为减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义求解即可. （2）根据函数的单调性定义证明即可. （3）根据函数的奇偶性与单调性将不等式化简，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 函数中，解得，所以函数的定义域为. 因为是奇函数，所以， 化简得，因，故可得. 【小问2详解】 由（1）得，在上为减函数， 证明如下：任取，且， 由， 因为，所以，且， 所以，则，故在上为减函数. 【小问3详解】 由，得， 即，又， 所以，所以或， 所以不等式的解集为. 21. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求证：； （2）若的面积为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用将式子进行化简即可证明． （2）利用正弦定理和三角形的面积公式进行化简，结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理在中， 由，得， 即， 整理得． 又，则， 所以． 【小问2详解】 因为， 由正弦定理得，即， 又，则， 因为，， 所以，则， 由平方关系得，解得或 ， 因为，所以，所以． 22. 某网店老板计划对甲、乙两种商品开展促销活动，据市场调查统计，当投入成本为万元时，促销甲乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，该网店计划投入万元全部用于促销这两种商品． （1）若投入乙商品万元，请表示投入甲商品的资金，并求促销这两种商品能获得的总收益（万元）的解析式； （2）如果该网店促销这两种商品，为使该网店能获得最大利益，应该如何分配这万元？请求出最大收益． 【答案】（1）投入甲商品的资金：万元， （2）甲商品投入4万元，乙商品投入16万元，总收益最大值为26万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出甲商品的资金，再根据收益代入求解即可. （2）根据基本不等式以及二次函数的最值求解即可. 【小问1详解】 设乙商品投入万元，则甲商品投入万元，， 可知总收益， 若，则 若，则， 故； 【小问2详解】 若，， 当且仅当，即时，等号成立，，此时； 若，， 当时，，此时； 因为，所以甲商品投入4万元，乙商品投入16万元，总收益最大值为26万元． 23. 已知正项等比数列的前项和为，，；数列的前项和为，且对任意，都有. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等差数列，并求数列的前项和； （3）设，证明：数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的前项和定义，结合等比数列的通项公式即可求解. （2）根据递推公式，等差数列的定义，结合等差数列的前项和公式即可求解. （3）根据错位相减法，等比数列的求和公式，结合指数函数，不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为，又, 则，可化为, 解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 当时，，解得. 由得， 则， 即， 化简得，即为常数， 所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）可得， 所以①， 则②， ①②得， ，即. 因为，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $