2025-2026学年高一下学期数学期末强化练习--平面向量、外接球与二面角

必修二期末强化练习--平面向量、外接球与二面角 模块一 平面向量 精讲试题 1.（山东日照24-25高一下期末 9T）在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 2.（山东东营24-25高一下期末 7T）如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3.（山东济南24-25高一下期末 5T）解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：） A 30米 B. 35米 C. 45米 D. 70米 4.（山东省实验中学24-25高一下3月 4T）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5.（山东省实验中学24-25学年高一下3月阶段性测试 13T）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为_________． 6.（多选）下列说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知中，点P为边AB的中点，则必有 C. 若，则P是的垂心 D. 若G是的重心，则点G满足条件 7.（湖南长沙长郡中学24-25高一下6月期末8T） 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 巩固练习 1.（山东青岛24-25高一下期末 5T）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2.（山东滨州24-25高一下期末 6T）已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3.（山东济南24-25高一下期末 8T）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（ ） A B. C. D. 4.（山西名校联考24-25高一下期末4T）已知点E为所在平面内一点，且，则（ ） A B. C. D. 5.（山东省山师大附中24-25高一下期中 13T）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________． 6.（山东济宁24-25高一下期末 8T）已知正三角形的边长为2，，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7.如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B. C. D．2 模块二 二面角 精讲试题 1.正方体中，为棱的中点，则平面和平面所成的二面角的余弦值为 。 2. 如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A—PB—C的余弦值． 3. （山东济宁一中23-24高一下6月18T）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形. （1） 求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 4. （山东青岛莱西24-25高一下阶段测试（三） 18T）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 巩固练习 1.（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 2.（上海25-26高二上·月考）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正弦值为______．    3.（山东淄博24-25高一下期末 17T）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，. （1）求证：平面 （2）求二面角的正切值. 4.（25-26高二上·河南濮阳·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．    (1)记平面与平面的交线为，求证：． (2)若，求二面角的正弦值． 模块三 外接球 精讲试题 1.（济南二中24-25高一下期中 3T） 半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 2.（菏泽24-25高一下期中（A） 5T）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 3. 若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4.（济宁育才24-25高一下期中 8T）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 巩固练习 1.（济南二中24-25高一下期中 7T） 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2. （济南24-25高一下期中 7T）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（ ） A. 1 B. C. D. 3.（山东临沂河东区、费县24-25高一下期中 7T）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A. B. C. D. 4.（济南历城一中24-25高一下期中 7T）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修二期末强化练习--平面向量、外接球与二面角 模块一 平面向量 精讲试题 1.（山东日照24-25高一下期末 9T）在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得：，根据向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为，所以不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，， 若与共线，则，解得， 所以当时，与共线，故D正确. 故选：BCD. 2.（山东东营24-25高一下期末 7T）如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设的长为，又，，根据数量积的运算律及定义得到方程，解得即可. 【详解】设的长为，因为，， 所以 ，解得或（舍去）．    故选：A 3.（山东济南24-25高一下期末 5T）解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：） A 30米 B. 35米 C. 45米 D. 70米 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在中，，在中，再结合正弦定理可得，从而可求解. 【详解】由题意可得在中，， 在中，，则由正弦定理可得， 即，解得千米，故B正确. 故选：B 4.（山东省实验中学24-25高一下3月 4T）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解. 【详解】因为， 且，，三点共线， 所以存在实数，使得，即， 则，解得. 故选：B 5.（山东省实验中学24-25学年高一下3月阶段性测试 13T）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】取中点，连接，根据和求出的表达式即可求解. 【详解】 如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得 ， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 故答案为：3. 6.（多选）下列说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 已知中，点P为边AB的中点，则必有 C. 若，则P是的垂心 D. 若G是的重心，则点G满足条件 【答案】BC 【分析】对A，根据基底向量不共线判断即可；对B，根据基底向量的运用判断即可；对C，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D，由重心可得，即可判断 【解析】对A，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误； 对B，根据平面向量基本定理可得中，点P为边AB的中点，则必有，故B正确；对C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正确；对D，若G是的重心，则点G满足条件，则，故D错误，故选：BC 7.（湖南长沙长郡中学24-25高一下6月期末8T） 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【解析】设，则 ，所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故选：C 巩固练习 1.（山东青岛24-25高一下期末 5T）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 2.（山东滨州24-25高一下期末 6T）已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状. 【详解】，分别为向量与方向上的单位向量， 因为，所以的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：A. 3.（山东济南24-25高一下期末 8T）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积比可得，结合等面积法可得,即可利用向量的模长求解. 【详解】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 4.（山西名校联考24-25高一下期末4T）已知点E为所在平面内一点，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【解析】因为，所以，即，所以，故选：B 5.（山东省山师大附中24-25高一下期中 13T）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为，所以，因为， 所以，且三点共线， 则，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 6.（山东济宁24-25高一下期末 8T）已知正三角形的边长为2，，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意依次求得、和即可由计算得解. 【详解】由题可得，，， 所以， ， ， 所以. 故选：C 7.如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B. C. D．2 【答案】　B 【解析】方法一（基底法）：因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，且＝＋，所以得所以λ＋μ＝，故选B. 方法二（建系法）：以AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形边长为2，则，，，，，所以，，，所以，解得，所以λ＋μ＝，故选B. 方法三（鸡爪法）：如图所示，过点A作AE//BD，则。因为M是BC的中点，所以，由鸡爪定理可得，解得 ，所以λ＋μ＝，故选B. 方法四（鸡爪法）：如图所示，过点A作AE//BD，则。延长AM、DC相交于点F，因为M是BC的中点，则。因为，由鸡爪定理可得， ，所以λ＋μ＝，故选B. 模块二 二面角 精讲试题 1.正方体中，为棱的中点，则平面和平面所成的二面角的余弦值为 。 【答案】 【解析】设正方体的边长为2，则；在中，，，利用余弦定理 ，则；则. 2. 如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A—PB—C的余弦值． 【答案】(1)见解析 （2） 【解析】(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，又AP∩PD＝P，AP、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2) 根据题意可设AB＝1，因为AB∥CD，∠APD＝∠BAP＝∠CDP＝90°，PA＝PD＝AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形，且AD＝PC＝PB＝CB＝，取PB的中点为F，连接AF，CF， 在等腰三角形PAB中，可得AF⊥PB，在等边三角形PBC中，可得CF⊥PB，所以∠AFC为二面角A—PB—C的平面角，由(1)知AB⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD.所以平行四边形ABCD是矩形，连接AC，则AC＝.在△AFC中，AC＝，AF＝，FC＝，由余弦定理可得cos∠AFC＝＝－，所以二面角A—PB—C的余弦值为－. 3. （山东济宁一中23-24高一下6月18T）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形. （1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）先证明平面，然后结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据定义得出为二面角的平面角，结合解三角形知识即可得解. 【解析】（1）由平面为正方形，因为，所以，又因为，，所以，所以，又，且，平面， 所以平面，因为，所以平面，因为平面，平面平面. （2）因为直角三角形中，.所以，所以为等边三角形. 又因为为等腰三角形.所以取得中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角。因为直角三角形中，.在等边三角形中，所以在三角形中，.所以二面角的余弦值为. 4. （山东青岛莱西24-25高一下阶段测试（三） 18T）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； （3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，即为平面与平面所成锐二面角的平面角，求出各边长，得到，求出答案. 【小问1详解】 证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； 【小问2详解】 在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； 【小问3详解】 在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 巩固练习 1.（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用二面角的定义，结合点的位置情况分类求解. 【详解】点与平面和平面所成二面角的位置关系有如下两种情况，如图1和图2：    令平面交直线于点，连接，由，，得，同理， 由平面，得平面，而平面， 因此，就是与所成二面角的平面角， 图1中，由，得；图2中，， 所以与所成二面角为或. 故答案为：或 2.（上海25-26高二上·月考）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正弦值为______．    【答案】 【分析】由题意可得直三棱柱为正方体的一半，再利用正方体的性质与二面角定义计算即可得. 【详解】由题意可得直三棱柱为正方体的一半， 所求即为平面与平面所成的二面角，即为， 又为等腰直角三角形，，则正弦值为． 故答案为：. 3.（山东淄博24-25高一下期末 17T）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，. （1）求证：平面 （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据“堑堵”定义可得，然后利用线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理可证； （2）记的中点为，证明为二面角的平面角，然后可得. 【小问1详解】 因为，且为直角三角形，所以， 由直三棱柱定义可知，平面，因为平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，因为平面，所以，， 因为，所以， 记的中点为，则， 所以为二面角的平面角， 因为平面，因为平面，所以， 因为， 所以，即二面角的正切值为. 4.（25-26高二上·河南濮阳·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．    (1)记平面与平面的交线为，求证：． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质即可证明结论； （2）利用二面角的平面角的定义作出二面角的平面角，再解直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以. （2）分别取的中点，连接，如图所示：    因为，所以，又， 由余弦定理得， 又，所以， ， 所以，即，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，因为分别为的中点，所以， 又，所以，又平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角． 因为，．所以， 所以，即二面角的正弦值为． 模块三 外接球 精讲试题 1.（济南二中24-25高一下期中 3T） 半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 2.（菏泽24-25高一下期中（A） 5T）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 则三棱柱为直三棱柱， 又∵，则可将直三棱柱补成长方体， ∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 故球O的直径为 ∴球O的半径为. 故选：C. 3. 若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，直接求出球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，设球的半径为， 又圆柱的底面半径为2，母线长为2，则，所以该球的表面积为， 故选：D. 4.（济宁育才24-25高一下期中 8T）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 巩固练习 1.（济南二中24-25高一下期中 7T） 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得与的外接圆的半径为2，是等边三角形，由此作出过平面的截面，先在中求出，再利用勾股定理求得，从而求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】取中点，连接，如图， 因为，所以， 所以在中，，，， 所以， 设外接圆圆心为，半径为，则，即； 同理可得：，的外接圆半径也为2， 因为，所以是等边三角形， 则，即二面角为， 球心在平面上，过平面的截面如图所示，则， 所以在中，， 所以，即， 所以外接球的表面积． 故选：D. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置. 2. （济南24-25高一下期中 7T）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆问题，转化为直角三角形，运用勾股定理解出内切球半径. 【详解】 设正四棱锥内切球球心为，其在底面的投影为，则三点共线，内切球半径为，取中点，中点，则正四棱锥内切球半径即为的内切圆半径， 因为底面边长为，所以，， 因为高为，即，则， 所以， 在中，即，解得， 故选：D. 3.（山东临沂河东区、费县24-25高一下期中 7T）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多面体的体积与内切球的半径之间的关系，求内切球半径，进而利用球的体积公式求球的体积. 【详解】因为三棱锥的体积：，其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径. 所以. 所以这个三棱锥内切球的体积为：（）. 故选：A 4.（济南历城一中24-25高一下期中 7T）在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中由余弦定理求得，由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $