精品解析：江苏省苏州市吴江区2025-2026学年第二学期高一数学期末试卷（职教高考班）

吴江区2025-2026学年第二学期数学期末试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 （注意：所有答案均填在答题卡上） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 在中，点在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 6. 已知一组样本数据，，，的方差为3，则数据，，，的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 12 7. 设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 8. 若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知、为抛物线：上互异的两点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 10. 已知直线：，若为圆：上任意一点，则到的距离最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卡对应横线上） 11. 已知椭圆的准线方程为，则________． 12. 正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为________． 13. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，，则向量与共线的概率为________． 14. 设双曲线：，椭圆：的离心率分别为，，若，则________． 15. 已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 三、解答题（共8题，共90分） 16. 已知直线：，直线：． （1）若直线与直线平行，求直线与的距离； （2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标． 17. 已知平面向量，满足，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 18. 做投掷2颗骰子试验，用表示点的坐标，其中表示第1颗骰子出现的点数，表示第2颗骰子出现的点数． （1）求点在直线上的概率； （2）求点不在直线上的概率； （3）求点的坐标满足的概率． 19. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的表面积和体积． 20. 已知点在圆：上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长； （3）求过点的圆的切线方程． 21. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 22. 已知抛物线：，其焦点为，是上的一点． （1）求； （2）直线交于，两点，且的面积为16，求直线的方程． 23. 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点． （1）求的方程； （2）若，求的值； （3）若，求的值； （4）当时，求的中点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江区2025-2026学年第二学期数学期末试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 （注意：所有答案均填在答题卡上） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角，斜率的定义即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 则由直线得，即，解得. 故选：C. 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再由关于原点对称确定所求圆的圆心和半径即可. 【详解】已知圆的圆心为， 半径，则关于原点对称的圆的圆心为， 半径， 则所求圆的方程为， 故选：B. 3. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图求解即可. 【详解】由俯视图易得底层最多有个小正方体，由主视图可知第二层最多有个小正方体， 组成这个几何体的小正方体的个数最多有个. 故选：B. 4. 在中，点在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】在中，点在边上，且， 所以， 因为，，所以. 故选：D. 5. 一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的性质求解即可. 【详解】原矩形长、宽为2、3，则原面积. 根据斜二测画法规则，直观图面积和原图形面积满足关系. 故选：C. 6. 已知一组样本数据，，，的方差为3，则数据，，，的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】已知一组样本数据，，，的方差为3， 则根据方差的性质，数据，，，的方差为. 故选：D. 7. 设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质求解. 【详解】∵，为椭圆的两个焦点在上，且， 故即， 椭圆方程中. 由椭圆的标准方程的定义可得： ， ∴， 又∵， ∴. 故选:B. 8. 若双曲线的的焦距是4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距可得的值，再根据双曲线的渐近线方程分析求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知：，即， 因为焦距是，所以，即， 所以，所以， 由方程可知双曲线焦点在轴， 所以双曲线的渐近线方程为：，即. 故选：C. 9. 已知、为抛物线：上互异的两点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求得焦点，再由题意得出三点共线，再结合抛物线的性质即可求解. 【详解】由抛物线：得焦点为，又由得，点三点共线， 所以，则. 故选：B. 10. 已知直线：，若为圆：上任意一点，则到的距离最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点，求出圆心到直线的距离，进而求出最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 已知直线的方程 ，对任意. 则直线恒过定点，则. 当时，到的距离最大，且最大值为. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卡对应横线上） 11. 已知椭圆的准线方程为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据椭圆的准线方程列方程求解即可. 【详解】已知椭圆， 因为准线方程为，所以椭圆的焦点在轴上 则， 所以，解得， 则，解得， 故答案为：2. 12. 正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱柱的体积公式求解即可. 【详解】已知正三棱柱底面边长为2，则底面积为. 又高为1，则体积为. 故答案为：. 13. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，，则向量与共线的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式以及古典概率公式求解即可. 【详解】已知向量，，且向量与共线， 则，则. 则共3种可能情况. 则概率为. 故答案为：. 14. 设双曲线：，椭圆：的离心率分别为，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程确定离心率，再由椭圆的离心率求出的值即可. 【详解】由双曲线：， 得，所以，， 所以该双曲线的离心率为， 因为，所以， 由椭圆：得，， 则，解得， 因为，所以， 故答案为：. 15. 已知抛物线：的焦点为，，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出焦点坐标和准线方程，设点到准线的距离为，再由抛物线的定义可知当三点共线时取最小值，由此确定点的坐标，最后由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】由抛物线：，可得， 解得，准线为， 设点到准线的距离为， 所以， 当三点共线时，取最小值， 且，所以，则，解得， 所以，则点到直线的距离为， ， 故答案为：. 三、解答题（共8题，共90分） 16. 已知直线：，直线：． （1）若直线与直线平行，求直线与的距离； （2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线平行的条件求出，再根据平行线的距离可得结果； （2）由两直线垂直的条件求出，再联立直线方程，解方程组可求解. 【小问1详解】 因为直线：与直线：平行，所以 则有， 所以直线：，直线：， 根据两条平行直线间的距离公式可得； 【小问2详解】 因为直线与直线垂直， 则有，解得， 故直线：， 联立方程组，解得，，故直线与的交点坐标为． 17. 已知平面向量，满足，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示求值即可. （2）根据向量垂直的坐标表示求出，再由向量夹角的坐标表示求值即可. 【小问1详解】 已知，，， 因为，所以，解得， 故，故， 所以. 【小问2详解】 因为，故， 而，故， 解得，故， 故. 18. 做投掷2颗骰子试验，用表示点的坐标，其中表示第1颗骰子出现的点数，表示第2颗骰子出现的点数． （1）求点在直线上的概率； （2）求点不在直线上的概率； （3）求点的坐标满足的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出基本事件，结合古典概型的概率公式即可求解. （2）根据对立事件的概率公式即可求解. （3）根据古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为个， 记“点在直线上”为事件，则事件有， . 【小问2详解】 记“点不在直线上”为事件，则“点在直线上”为事件， 其中事件有， 【小问3详解】 记“点坐标满足”为事件， 则事件有， . 19. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为半个圆柱与正方体组合而成的组合体，再根据圆柱和正方体的表面积和体积公式可求解. 【详解】由三视图可知，该几何体为半个圆柱与正方体组合而成的组合体， 其中正方体的棱长为2，圆柱的半径为1，高为2， 所以半个圆柱的表面积：，体积：； 正方体的表面积：，体积：； 故组合体的表面积，体积为. 20. 已知点在圆：上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长； （3）求过点的圆的切线方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径长为2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将已知点代入圆的方程，求出，将圆的方程化为标准方程后可得结果； （2）由点斜式写出直线方程，并求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式可求结果； （3）分切线斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【小问1详解】 因为点在圆：上， 所以，解得， 所以该圆的方程为， 化为标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为2； 【小问2详解】 因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以； 【小问3详解】 当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线， 此时圆心到直线的距离，解得， 则直线方程为，即. 综上，切线方程为或． 21. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】（1）30 （2）①3人，2人，1人；② 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图算出的频率，再计算以上的频数即可； （2）①根据频率分别算出三组的频数，再根据分层抽样的比例分别算出三组抽取的人数即可；②根据古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． 【小问2详解】 ①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，， 组的1位同学为，则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，，，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，．所以组中至少有1人被抽中的概率为． 22. 已知抛物线：，其焦点为，是上的一点． （1）求； （2）直线交于，两点，且的面积为16，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）分类讨论直线的斜率是否存在，设，联立两方程，根据韦达定理以及斜率求出，再根据三角形面积求出，进而得到直线方程. 【小问1详解】 ：中. 将代入：，得，所以； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线方程为，且与抛物线只有一个切点，不符合. 若直线的斜率存在，设直线：，、. 由得：，，，， 由于，， 所以，解得. 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得. 所以直线方程为. 23. 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点． （1）求的方程； （2）若，求的值； （3）若，求的值； （4）当时，求的中点坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意判断轨迹，再求出得到标准方程. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. （3）根据向量垂直的坐标公式以及韦达定理求解即可. （4）根据韦达定理以及中点坐标公式求解即可. 【小问1详解】 ，∴点的轨迹为椭圆． 设椭圆的标准方程为． 则，． ∴椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设，．联立，化为， ，， ，， ，化为， 解得，. 【小问3详解】 ，，， ， ， ，化为，解得. 【小问4详解】 设的中点， ，，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $