21.3实际问题与一元二次方程第1课时（2种核心模型+3种题型+4个易错点+分层训练）2026-2027学年九年级数学人教版

该初中数学导学案聚焦一元二次方程实际应用，核心知识点包括两轮传播模型(1+x)²和平均增长率（下降率）模型a(1±x)²=b，梳理审设列解验答通用解题步骤。通过考情分析与知识点衔接，搭建从方程解法到实际应用的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 资料以中考真题改编例题为载体，设置分层课时训练，涵盖基础过关、能力培优及拓展拔高，精准对接考情。高频易错点总结助力规避常见错误，培养学生模型意识与应用意识，提升运算能力和问题解决能力，适合初三学生高效学习。

2026-2027学年第一学期初三数学（人教版新课标）第21章 一元二次方程 21.3 第1课时 实际问题与一元二次方程 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 1.模型1：两轮传播问题 2.模型2：平均增长率（下降率）问题 3.实际问题通用解题步骤 3、 典型例题精讲与详细分析 例1（2025·全国中考真题改编·传播问题） 例2（2025·黑龙江中考真题改编·增长率问题） 例3（2025—2026九年级上·唐山期末真题改编·下降率应用题） 四、本节高频易错点总结 易错点1. 两轮变化只平方，不要写成1+x+x；三轮传播才用(1+x)3，极易多算一轮。 易错点2. 增长率方程不要写成a+ax2=b，必须是a(1+x)2=b。 易错点3. 解方程后不检验，保留负数解或者大于1的不合理增长率。 易错点4. 设未知数时带百分号，导致方程出现百分数，计算出错。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—4题） 第二部分 能力培优练（5—8题） 第三部分 拓展拔高练（9—10题） 一、学习目标与考情分析 （一）学习目标 1. 会审清题意，找到等量关系，掌握列一元二次方程解应用题的六步骤：审、设、列、解、验、答。 2. 熟练建立两类模型：传播模型(1+x)2、增长率模型a(1± x)2=b。 3. 能根据实际意义舍去方程的负根、不合题意的正根。 （二）考情分析 2025—2026全国中考、九年级上期末高频考点，以选择题列方程+解答题列式计算为主，分值6～8分；必考两个模型，是一元二次方程实际应用的入门核心。。 二、核心知识点全面梳理 模型1：两轮传播问题 设每一轮平均1个主体传染x个新个体 第一轮后总数：1+x 第二轮后总数：(1+x)(1+x)=(1+x)2 等量关系：两轮结束后的总数量=(1+x)2 模型2：平均增长率（下降率）问题 基数为a，平均每期增长率为x，连续增长两期后总量为b 增长公式：a(1+x)2=b 下降公式：a(1-x)2=b 实际问题通用解题步骤 1. 审：分清基数、变化次数、最终总量； 2. 设：直接设增长率/传染个数为x，不设百分数； 3. 列：套入对应模型列出一元二次方程； 4. 解：用直接开平方法或因式分解法解方程； 5. 验：负数解直接舍去，大于1的增长率结合实际取舍； 6. 答：文字作答，不带未知数。 三、典型例题精讲与详细分析 例1（2025·全国中考真题改编·传播问题） 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患病。每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 例2（2025·黑龙江中考真题改编·增长率问题） 某新能源汽车1月销量8000台，3月销量达到12000台，设每月销量平均增长率为x，列出方程。 例3（2025—2026九年级上·唐山期末真题改编·下降率应用题） 某药品原价每盒64元，经过连续两次降价后，每盒售价49元，求平均每次降价的百分率。 四、高频易错点总结 易错点1. 两轮变化只平方，不要写成1+x+x；三轮传播才用(1+x)3，极易多算一轮。 易错点2. 增长率方程不要写成a+ax2=b，必须是a(1+x)2=b。 易错点3. 解方程后不检验，保留负数解或者大于1的不合理增长率。 易错点4. 设未知数时带百分号，导致方程出现百分数，计算出错。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—4题） 1.有支球队参加篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是    ． A. B. C. D. 2.某书店第一天销售本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为本若设每天的增长率为，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 3.青山村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产，求水稻每公顷产量的年平均增长率若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意列出的方程为(     ) A. B. C. D. 4.春节期间，某电影上映的第一天票房约为亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 第二部分 能力培优练（5-8题） 5.某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提息，使一年期存款的年利率由提高至设平均每次提息的百分率为，可列方程为           ． 6.某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为，若设主干长出个枝干，则根据题意，可列方程为           ． 7.某次排球邀请赛中，参赛的每两个队伍之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排了天，每天安排场比赛设比赛组织者应邀请个队伍参加比赛，那么可列方程为           ． 8.张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群．这个微信群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有条消息．这个微信群里共有           个好友． 第三部分 拓展拔高练（9—10题） 9.某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个． 求口罩日产量的月平均增长率； 按照这个增长率，预计月份平均日产量为多少？ 10.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑． 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三数学（人教版新课标）第21章 一元二次方程 21.3 第1课时 实际问题与一元二次方程 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 1.模型1：两轮传播问题 2.模型2：平均增长率（下降率）问题 3.实际问题通用解题步骤 3、 典型例题精讲与详细分析 例1（2025·全国中考真题改编·传播问题） 例2（2025·黑龙江中考真题改编·增长率问题） 例3（2025—2026九年级上·唐山期末真题改编·下降率应用题） 四、本节高频易错点总结 易错点1. 两轮变化只平方，不要写成1+x+x；三轮传播才用(1+x)3，极易多算一轮。 易错点2. 增长率方程不要写成a+ax2=b，必须是a(1+x)2=b。 易错点3. 解方程后不检验，保留负数解或者大于1的不合理增长率。 易错点4. 设未知数时带百分号，导致方程出现百分数，计算出错。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—4题） 第二部分 能力培优练（5—8题） 第三部分 拓展拔高练（9—10题） 一、学习目标与考情分析 （一）学习目标 1. 会审清题意，找到等量关系，掌握列一元二次方程解应用题的六步骤：审、设、列、解、验、答。 2. 熟练建立两类模型：传播模型(1+x)2、增长率模型a(1± x)2=b。 3. 能根据实际意义舍去方程的负根、不合题意的正根。 （二）考情分析 2025—2026全国中考、九年级上期末高频考点，以选择题列方程+解答题列式计算为主，分值6～8分；必考两个模型，是一元二次方程实际应用的入门核心。。 二、核心知识点全面梳理 模型1：两轮传播问题 设每一轮平均1个主体传染x个新个体 第一轮后总数：1+x 第二轮后总数：(1+x)(1+x)=(1+x)2 等量关系：两轮结束后的总数量=(1+x)2 模型2：平均增长率（下降率）问题 基数为a，平均每期增长率为x，连续增长两期后总量为b 增长公式：a(1+x)2=b 下降公式：a(1-x)2=b 实际问题通用解题步骤 1. 审：分清基数、变化次数、最终总量； 2. 设：直接设增长率/传染个数为x，不设百分数； 3. 列：套入对应模型列出一元二次方程； 4. 解：用直接开平方法或因式分解法解方程； 5. 验：负数解直接舍去，大于1的增长率结合实际取舍； 6. 答：文字作答，不带未知数。 三、典型例题精讲与详细分析 例1（2025·全国中考真题改编·传播问题） 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患病。每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮平均1人传染x人。 根据题意列方程： (1+x)2=121 开平方：1+x=±11 解得：x1=10，x2=-12 ∵人数不能为负数， ∴舍去x2=-12 答：每轮平均一人传染10人。 例2（2025·黑龙江中考真题改编·增长率问题） 某新能源汽车1月销量8000台，3月销量达到12000台，设每月销量平均增长率为x，列出方程。 解：基数a=8000，增长2次，最终数量12000。 方程：8000(1+x)2=12000 例3（2025—2026九年级上·唐山期末真题改编·下降率应用题） 某药品原价每盒64元，经过连续两次降价后，每盒售价49元，求平均每次降价的百分率。 解：设平均每次降价百分率为x。 64(1-x)2=49 两边开平方：8(1-x)=±7 ①8(1-x)=7，解得x==12.5 ②8(1-x)=-7，解得x>1，不符合降价实际，舍去。 答：平均每次降价12.5%。 四、高频易错点总结 易错点1. 两轮变化只平方，不要写成1+x+x；三轮传播才用(1+x)3，极易多算一轮。 易错点2. 增长率方程不要写成a+ax2=b，必须是a(1+x)2=b。 易错点3. 解方程后不检验，保留负数解或者大于1的不合理增长率。 易错点4. 设未知数时带百分号，导致方程出现百分数，计算出错。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—4题） 1.有支球队参加篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程即可． 此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是找到等量关系． 【解答】 解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了场， ， 故选B． 2.某书店第一天销售本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为本若设每天的增长率为，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用第三天的销售量第一天的销售量增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设每天的增长率为，依题意得 ． 3.青山村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产，求水稻每公顷产量的年平均增长率若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意列出的方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  4.春节期间，某电影上映的第一天票房约为亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  第二部分 能力培优练（5-8题） 5.某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提息，使一年期存款的年利率由提高至设平均每次提息的百分率为，可列方程为           ． 【答案】  6.某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为，若设主干长出个枝干，则根据题意，可列方程为           ． 【答案】  7.某次排球邀请赛中，参赛的每两个队伍之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排了天，每天安排场比赛设比赛组织者应邀请个队伍参加比赛，那么可列方程为           ． 【答案】  8.张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群．这个微信群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有条消息．这个微信群里共有           个好友． 【答案】  第三部分 拓展拔高练（9—10题） 9.某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个． 求口罩日产量的月平均增长率； 按照这个增长率，预计月份平均日产量为多少？ 【答案】解：设口罩日产量的月平均增长率为， 根据题意得： 解得舍去，， 答：口罩日产量的月平均增长率为． 个． 答：预计月份平均日产量为个．  【解析】根据题意设口罩日产量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； 结合中的这个增长率，根据月份平均日产量为个，即可预计月份平均日产量． 本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 10.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑． 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 【答案】(1)解：设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑. 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一台电脑会感染4台电脑. (2)第三轮感染总数：（台）. 第四轮感染总数：（台）. ， 四轮感染后，被感染的电脑会超过600台. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三数学（人教版新课标）第21章 一元二次方程 21.3 第1课时 实际问题与一元二次方程 学案 资料目录 1． 学习目标与考情分析 （1） 学习目标 （二）考情分析 二．核心知识点全面梳理 1.模型1：两轮传播问题 2.模型2：平均增长率（下降率）问题 3.实际问题通用解题步骤 3、 典型例题精讲与详细分析 例1（2025·全国中考真题改编·传播问题） 例2（2025·黑龙江中考真题改编·增长率问题） 例3（2025—2026九年级上·唐山期末真题改编·下降率应用题） 四、本节高频易错点总结 易错点1. 两轮变化只平方，不要写成1+x+x；三轮传播才用(1+x)3，极易多算一轮。 易错点2. 增长率方程不要写成a+ax2=b，必须是a(1+x)2=b。 易错点3. 解方程后不检验，保留负数解或者大于1的不合理增长率。 易错点4. 设未知数时带百分号，导致方程出现百分数，计算出错。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—4题） 第二部分 能力培优练（5—8题） 第三部分 拓展拔高练（9—10题） 一、学习目标与考情分析 （一）学习目标 1. 会审清题意，找到等量关系，掌握列一元二次方程解应用题的六步骤：审、设、列、解、验、答。 2. 熟练建立两类模型：传播模型(1+x)2、增长率模型a(1± x)2=b。 3. 能根据实际意义舍去方程的负根、不合题意的正根。 （二）考情分析 2025—2026全国中考、九年级上期末高频考点，以选择题列方程+解答题列式计算为主，分值6～8分；必考两个模型，是一元二次方程实际应用的入门核心。。 二、核心知识点全面梳理 模型1：两轮传播问题 设每一轮平均1个主体传染x个新个体 第一轮后总数：1+x 第二轮后总数：(1+x)(1+x)=(1+x)2 等量关系：两轮结束后的总数量=(1+x)2 模型2：平均增长率（下降率）问题 基数为a，平均每期增长率为x，连续增长两期后总量为b 增长公式：a(1+x)2=b 下降公式：a(1-x)2=b 实际问题通用解题步骤 1. 审：分清基数、变化次数、最终总量； 2. 设：直接设增长率/传染个数为x，不设百分数； 3. 列：套入对应模型列出一元二次方程； 4. 解：用直接开平方法或因式分解法解方程； 5. 验：负数解直接舍去，大于1的增长率结合实际取舍； 6. 答：文字作答，不带未知数。 三、典型例题精讲与详细分析 例1（2025·全国中考真题改编·传播问题） 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患病。每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 例2（2025·黑龙江中考真题改编·增长率问题） 某新能源汽车1月销量8000台，3月销量达到12000台，设每月销量平均增长率为x，列出方程。 例3（2025—2026九年级上·唐山期末真题改编·下降率应用题） 某药品原价每盒64元，经过连续两次降价后，每盒售价49元，求平均每次降价的百分率。 四、高频易错点总结 易错点1. 两轮变化只平方，不要写成1+x+x；三轮传播才用(1+x)3，极易多算一轮。 易错点2. 增长率方程不要写成a+ax2=b，必须是a(1+x)2=b。 易错点3. 解方程后不检验，保留负数解或者大于1的不合理增长率。 易错点4. 设未知数时带百分号，导致方程出现百分数，计算出错。 五、分层课时训练（每题标注年份+地区） 第一部分 基础过关练（1—4题） 1.有支球队参加篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是    ． A. B. C. D. 2.某书店第一天销售本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为本若设每天的增长率为，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 3.青山村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产，求水稻每公顷产量的年平均增长率若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意列出的方程为(     ) A. B. C. D. 4.春节期间，某电影上映的第一天票房约为亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 第二部分 能力培优练（5-8题） 5.某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提息，使一年期存款的年利率由提高至设平均每次提息的百分率为，可列方程为           ． 6.某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为，若设主干长出个枝干，则根据题意，可列方程为           ． 7.某次排球邀请赛中，参赛的每两个队伍之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排了天，每天安排场比赛设比赛组织者应邀请个队伍参加比赛，那么可列方程为           ． 8.张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群．这个微信群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有条消息．这个微信群里共有           个好友． 第三部分 拓展拔高练（9—10题） 9.某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个． 求口罩日产量的月平均增长率； 按照这个增长率，预计月份平均日产量为多少？ 10.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑． 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $