第22章 图形的相似 小结与复习 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了图形的相似单元核心知识，涵盖比例线段、相似三角形判定与性质、中位线、位似图形及坐标变换等内容。通过知识结构层级图将相似图形与多边形、三角形性质判定等串联，要点梳理分点细化概念与定理，知识模块结合典例实现理论与应用衔接，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层复习策略，A组基础题巩固比例性质等核心概念，B组提升题如比例规应用培养推理能力，C组拓展题如构造直角三角形发展创新意识。典例设计贴近生活情境，如旗杆影长计算，强化几何直观，助力学生分层巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

华师版 九年级 数学（上） 第22章 图形的相似 小结与复习 1 知识结构 相似图形 坐标表示物体的位置 相似多边形 相似三角形 图形的变换与坐标 相似三角形的性质和判定方法 相似多边形的对应边成比例，对应角相等；对应边成比例、对应角相等的两个多边形是相似多边形 位似图形 三角形中位线 三角形重心 2 一、比例线段 要点梳理 1．定义：_____________________________________ ______________________________________________________________________________________________ 2．比例性质：①如果＝，那么_______；②如果ad＝bc，那么______． 对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段叫做成比例线段． ad＝bc ＝ 二、平行线分线段成比例定理 1．两条直线被一组平行线所截，所得的_________成比例． 2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的_________成比例． 对应线段 对应线段 三、相似图形 1．性质：相似多边形的____________________ ________________________； 2．两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似． 对应边成比例，对应角 相等 四、三角形相似的判定方法 1．预备定理：平行于三角形一边的直线，和_________ __________________相交所构成的三角形与原三角形相似． 2．判定定理1：_______分别相等的两个三角形相似． 3．判定定理2：__________________相等的两个三角形相似． 4．判定定理3：三边_________的两个三角形相似． 其他两边 (或两边的延长线) 两角 两边成比例且夹角 成比例 五、相似三角形的性质 1．相似三角形对应边上的__________，对应角的________之比等于相似比． 2．相似三角形的________之比等于相似比． 3．相似三角形的面积之比等于______________ _________． 4．位似可以把图形_________________． 高、中线 平分线 周长 相似比的平方 放大或缩小 7 六、中位线与重心 1．三角形的中位线平行于第三边，并且等于_____________________． 2．三角形三条边上的中线交于一点，这个点是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线的____． 第三边的一半 七、图形的变换与坐标 1．点P(x，y)关于x轴对称点的坐标____________． 2．点P(x，y)关于y轴对称点的坐标____________． P′(x，－y) P′(－x，y) 知识模块一　比例线段 自学互研 典例1：若＝，求的值． 解：原式＝ . 知识模块二　平行线分线段成比例定理 自学互研 典例2：如图，AB∥CD，AD，BC交于O，若AO∶DO＝3∶4，OB＝6，则BC＝______． 14 知识模块三　三角形相似的判定方法 自学互研 典例3：如图，△ABC是等边三角形，P是BC上一点，点D是AC上一点，∠APD＝60°，若BP＝1，CD＝， 求△ABC的边长． 解：边长为3. 知识模块四　相似三角形的性质 自学互研 典例4：如图，在直角△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为____． 7 知识模块五　中位线 自学互研 典例5：点D，E，F分别是△ABC三边的中点， 若△DEF的周长为10，则△ABC的周长是____． 20 知识模块六　图形的变换与坐标 自学互研 典例6：点P(a＋b，2a－b)，P′(－2，－3)关于x轴对称，则a＋b＝________． －2 复习题 A 组 1.地图上两地间的图上距离为3cm，比例尺是 1:1 000 000，那么两地间的实际距离是______m. 2.若 ＝ ，则 ＝ ______. 3.已知点A(a，1)与点A'(5,b)关于坐标原点对称，则实数a=_____， b=______. 30 000 -5 -1 16 4.在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形. 放大1.5倍 17 5.(1)如图①,DE//FG//BC,AD=DF=2FB,那么AE、EG、GC有什么关系? (2)如图②,DE//FG//BC，DF=3FB，那么EG与GC有什么关系? ② D E F G B C ① A D E F G B C 解:(1)AE=EG=2GC， 理由如下∵DE∥FG, ∴＝ ， ∵AD=DF, ∴AE=EG. 又∵FG∥BC, ∴＝ . ∵AD=DF=2FB,即=4. ∴=4,即AG=4GC. 又∵AE=EG, ∴AE=EG=2GC. ① A D E F G B C 19 ② D E F G B C (2)EG=3GC. I H ∵FG//BC,即FI//BC, ∴＝. ∵DF=3FB, ∴DI=3IH. 又∵DH∥EC,DE∥FG∥BC, ∴四边形DEGI、IGCH是平行四边形. ∴DI=EG,IH=GC. 又∵DI=3IH, ∴EG=3GC. 理由如下:过D作DH∥EC. 6.所有的直角三角形都相似吗?所有的等腰直角三角形都相似吗?为什么? 解:所有的直角三角形不都相似，因为所有的直角三角形的锐角不一定对应相等. 所有的等腰直角三角形都相似，因为所有的等腰直角三角形的锐角都等于45°. 7.所有的菱形都相似吗?为什么? 解:所有的菱形不一定相似.因为菱形的边成比 例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定相似; 所有的正方形都相似.因为正方形的四条边都相等且对应角相等都为90，所以所有的正方形都相似. 8.如果一个高4m的旗杆在太阳光下的影长为6m，与它临近的一个建筑物的影长是24m，那么这个 建筑物的高是多少? 解:设这个建筑物的高度是x米. 根据题意，得=，解得=16. 答:这个建筑物的高度是16米. 9.如图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍的位置? 宿舍 实验楼 教学楼 操场 办公楼 学校大门 解：以教学楼位置为原点(0,0)建立平面直角坐标系，如图. 操场的位置(2,0),实验楼的位置(-2,2) ，则小明所住的宿舍位置为(2,3)。 x y O 10.判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程: (1)在△ABC中，∠B是直角，∠A=30°;在△A'B'C'中，B'是直角，∠C'=60°. 解:(1)相似. 因为∠B=∠B‘=90°, ∠A’=180°－∠B'－∠C'= 180°－90°－60°= 30°=∠A, 所以这两个三角形相似. (2)在△ABC中, AB=5, BC=7,AC=8; 在△A'B'C'中, A'C'=16,B'C' = 14, A'B'= 10. (2)相似. 因为＝＝ ＝ ， 所以这两个三角形相似. 11. ▱ABCD 与▱A'B'C'D'相似,AB=5,AB的对应边A'B' =6, ▱ABCD的面积为10.求▱A'B'C'D'的面积. 解：设▱A′B′C′D′的面积是y. 因为两个多边形相似，AB=5， AB=5,AB的对应边A'B' =6, 所以 =()2 ，解得x =14.4， 即▱A′B′C′D′的面积是14.4 . B 组 12.若 = = (x、y、z均不为0), 则=____. 3 3.将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分? (画出大致图形即可) （1） （2） 29 14.请在如图所示的方格图中，先画出两个相似但不全等的格点三角形，再在适当的位置画上坐标轴，指出这两个相似三角形的顶点坐标之间的关系. 解:如图，△ABC， △ A'B'C'即为所求. y x A B C B′ C′ O(A′) 30 y x A B C B′ C′ O(A′) 理由: ∵AB=6, BC==3, AC==3, A'B'=4, B'C'==2, A'C'==2 ∴＝＝ ＝， ∴ △ABC∽△ A′B′C′. A (0, -3), B(6, -3),C(9, 0), A′ (0, 0), B′ (4, 0),C′ (6, 2). 15. 如图,∠ACB= ∠CBD=90°,AC=b, CB=a.当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽ △CBD? 解：当BD=时, △ACB∽△CBD. 由△ACB∽△CBD,得＝, 理由如下: ∴＝. ∴BD=. 16.如图，已知等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1)，规定把等边三角形ABC沿x轴翻折，再向左平移一个单位为一次变换，如果连续这样经过2022次变换后，求等边三角形ABC的顶点C的坐标. 解：(-2020, +1). 17.如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD，OB=3OC)，然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系?为什么? 解:CD∥AB，且 ＝. 理由如下:已知OA=3OD,OB=3OC，则 ＝ =3, 又因为∠AOB=∠DOC(对顶角相等)，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似， 可得△OAB∽△ODC， 所以 ＝ =3， ＝， 同时由相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，可得∠OAB=∠ODC， 根据内错角相等，两直线平行，所以CD∥AB. 18.我国魏晋时期著名数学家刘徽，自撰《海岛算经》， 专论测高望远.其中有一题，是数学史上有名的测量问题. 今译如下:如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH， 立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1000步， 点D、B、H成一线.从BC退行123步到点F，人目着地观 察A，A、C、F三点共线;从DE退行127步 到点G，从点G看点A，A、E、G三点 也共线.试算出山峰的高度AH及点 H、B间的距离HB.(古制中，1步=6尺， 1里=180丈=1800尺=300步.结果用里和 步来表示) 36 解:设AH=x步,HB=y步. ∵△BFC∽△HFA. ∴ ＝ . 又∵BF=123步,BC=3丈=30尺=5步， 又:△DGE∽△HGA， 又∵DG=127步,DE=3丈=30尺=5步， ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴ ＝ . 37 ∴AH=1 255步=4里55步，HB=30 750步=102里150步. 故山峰的高度AH是4里55步，点H，B间的距离HB是102里150步. 组成方程组 ＝ ， ＝ 解得 x=1 255, y=30 750, C 组 19.在Rt△ABC中，点P位于直角边AC上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，画出所有可能的图形，并说明理由. 39 解:如图①所示，当直线PQ//BC时,△APQ∽△ACB. 理由:∵PQ//BC,∴△APQ∽△ACB. 如图②所示，当PM//AB时,△CPM∽△CAB. 理由: PM//AB,∴△CPM∽△CAB. A Q P B C ① A Q P B C ② M 如图③所示，当PN⊥AB时,△PNA∽△BCA. 理由: ∵PN⊥AB,∴∠PNA=∠C=90°. 又∵∠A=∠A,∴△PNA∽△BCA. A N P B C ③ A Q P B C ④ R 如图④所示，当∠PRC＝∠A时,△PRC∽△BAC. 理由∵∠C=∠C,∠PRC=∠A,∴△PRC∽△BAC. 41 20. 如图,在△ABC中,AB=8, AC=6,BC=10.线段BC所在直线以每秒2个单位长度的速度沿与其垂直的方向向上平行移动.经x秒后，该直线在△ABC内的部分的长度为y.试写出y关于x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出这一函数的图象. A B C A B C 解:在△ABC中,∵ AB2+AC2= 82+62=100,BC2=102= 100, AB2+AC2=BC2, D E G F ∴△ABC为∠A为直角的直角三角形. 在Rt△ABC中，可求得BC边上的高为4.8 . 设x秒时直线平移后与AB，AC分别交于D，E两点,过点A作AG⊥BC于点G,AG交DE于点F,如图所示. y x O 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y＝10-x 由题意知DE=y,GF=2x. A B C D E G F ∵DE//BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ ＝ ，即 ＝ ＝， ∴y＝10-x(0＜x＜2.4). 所以函数的图象如图所示. 21.如图①，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN;如图②，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE.过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在同一条直线上，得折痕PQ. (1)求证:△PBE∽△QAB. (2)你认为△PBE和为△BAE相似吗?如果相似，给出证明;如果不相似，请说明理由. 解：(1) 证明:因为四边形ABCD是矩形， 所以AD∥BC，∠DAB=90°. 由折叠性质，PQ垂直平分DQ， 则∠PQD=90°， 故PQ∥AB，从而∠PQB=∠QBA. 又因为点B叠在折痕MN上， 所以BE⊥BC，即∠PBE=90°=∠QAB. 在△PBE和△QAB中,∠PBE=∠QAB=90°，∠PEB=∠AQB, 所以△PBE∽ △QAB(AA相似判定)。 (2) △PBE∽ △BAE. 证明如下:由折叠得AB=AE，∠BAE=60°， 故△ABE是等边三角形，∠AEB=60°. 由(1)知△PBE∽△QAB, 则 ∠PEB =∠AQB. 在△QAB中，∠AQB=60°， 故∠PEB=60°=∠AEB. 又∠PBE=∠ABE=90°－60°=30°; 所以△ PBE∽ △BAE (AA相似判定)。 22.已知线段l，试构造一个直角三角形，使其周长恰好等于线段l的长，你能画出多少个符合要求的直角三角形?想想看，你一定能找到满意的答案. 首先画一条线段l，将其12等分，分别取边长为3份、4份、5份长，由勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，如图所示，ABC就是直角三角形;也可将其分为30等分，分别取边长为5份、12份、13份长，这样画出的三角形同样是直角三角形，类似这样的三角形可以画无数个. l C A B $