江苏省沭阳高级中学2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学试题

**基本信息** 高一期末数学试卷以统计情境（文明城市测试）、立体几何翻折、解三角形综合问题为载体，梯度覆盖基础与能力，考查数据意识、空间观念及推理能力，适配期末学业水平评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|解三角形、统计量、复数、频率分布直方图|第4题结合频率分布直方图考中位数，体现数据意识| |多选题|3/18|立体几何翻折、解三角形多解|第9题正三角形翻折问题，考查空间想象与推理| |填空题|3/15|三角恒等变换、立体几何相切、两圆最值|第14题两圆外切求向量模最值，体现模型观念| |解答题|5/77|统计分析、复数应用、立体几何折叠、解三角形与内心|17题折叠问题综合证明、探究点存在性，考查空间观念与推理能力|

2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试 数 学 2025. 6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则的最大内角为(    ) A. B. C. D. 2.已知一组数据5，7，9，4，8，9，3，3，则(    ) A. 这组数据的分位数为8 B. 这组数据的中位数为6 C. 这组数据的极差为5 D. 这组数据的平均数为7 3.已知i为虚数单位，若，则(    ) A. B. 2 C. D. 2i 4.某校高一年级数学周练满分100分，学生分数均在内，将学生成绩分成6组并作出频率分布直方图，但不小心污损了部分图形如图所示，则该次数学成绩的中位数是    A. 60分 B. 75分 C. 分 D. 85分 5.设，，，若，则实数k的值等于(    ) A. B. C. D. 6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且则的最大值为      A. 6 B. C. D. 7.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论中正确的个数为(    ) ① ②平面平面 ③的最大值为 ④的最小值为  ⑤与平面所成角正弦值的取值范围是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.若向量，，满足，，且，则的最小值是    A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是      A. 点到平面BCED的距离为3 B. 直线与直线CE所成的角的余弦值为 C. D. 四棱锥的外接球半径为 10.在中，角 A， B， C所对的边分别为a， b， c，已知，，则下列结论正确的是    A. 当时，有两解 B. 当时，有两解 C. 当角A为钝角时，面积的取值范围为 D. 当为锐角三角形时，的周长取值范围为 11.如图，四棱锥中，平面平面ABCD，且，，，Q是棱PD的中点，，则(    ) A. 平面PAB B. 平面PAD C.  CQ和平面PBC所成角的正弦值为 D. 四面体外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知锐角满足，则__________. 13.已知正方体的边长为1，球C的半径为1，记正方体内部的球C表面为曲面，过点A作平面与曲面相切，记切点为P，平面与平面ABCD所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为          . 14.如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为          ，最大值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与.为了增进全体市民对创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识测试活动，现把50名学生的成绩绘制成了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： 求a的值及这50名学生成绩的平均成绩； 试估计此样本数据的分位数. 16.本小题15分 已知复数，其中i为虚数单位.若z满足下列条件，求实数m的值： 为实数； 为纯虚数； 在复平面内对应的点在直线上. 17.本小题15分 如图一，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，H、M分别为PA、AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图二. 注意：请在答题纸上留下必要作图痕迹；本题若使用空间向量解题，将不得分. 证明：； 求直线BD和PC所成角的余弦值； 在线段PD上是否存在点N，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18.本小题17分 已知内角A，B，C的对边为a，b，c，点M是的内心，若， 求角A； 延长AM交BC于点D，若，求的周长； 求AM的取值范围. 19.本小题17分 如图，在直角梯形ABCD中，，，且现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使，M为ED的中点，如图                         图1                                         图2 求证：平面 求证：平面平面BDE； 求点D到平面BCE的距离。 高一数学试题 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第二学期高一期末调研考试 高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B A 0 C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14(1) 14(2) 答案 50° 25+2W2-2 -64 8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：①)由频率分布直方图得：(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020, 所以这50名学生成绩的平均成绩 x=45×0.04+55×0.06+65×0.20+75×0.30+85×0.24+95×0.16=76.2 (2)数据在[40,80)的频率为(0.004+0.006+0.020+0.030)×10=0.6， 数据在[40,90)的频率为0.84，因此此样本数据的75%分位数m∈(80,90)， 由0.6+(-80)×0.024=0.75，解得m=86.25, 所以估计此样本数据的75%分位数为86.25. 高一数学参考答案与解析第1页（共21页） 16.解：==m(-2)+(m-2)i, 0)由m-2=0,得l=2; (-2)=0 (②由m-2≠0 ，解得m=0: (3)由n(m-2)=(m-2),解得m=1或m=2. 17.解：I)证明：连结M,HC,AC, 因为H、M分别为PA、AB的中点， 则M∥B,M=PB, 又因为PB⊥AB,得HM⊥AB, 因为四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=60°， 又M是AB的中点，则CM⊥AB, 又HMOCM=M,则AB⊥平面HMC,又HCC平面HMC, 所以AB⊥HC; (2)连结BD、AC,交于点O,连结HB, 由四边形ABCD为菱形，得O为AC中点，又H为PA中点， 则on∥c,oH-Pc, 则BD和PC所成角为∠HOB(或其补角)， 在RT△PAB中，PA=VPB2+AB2=4, 所以BH-号PA=2,B0=5,H0=PC=0 2 2 则cos∠H0B=H0+OB-BH2.V30 2HO.OB 20 即直线BD和PC所成角的余弦值为V3o 20 同存在水当觉-封，使得B平面CM 证明如下： 连结BD,交CM与Q,连接NQ, 由菱形ABCD中，M是AB中点， 高一数学参考答案与解析第2页（共21页） 则品器又0时，有品0 BO PN 则ON∥PB, 又PB丈平面MCW,NQc平面MCW, 则PB∥平面MCN. P D a b 18.解：)由正弦定理， sinA sinB,即b=asin B sin A' 将其代入已知条件V5camA=esinB,得v5月sA=asB, 两边约去a血B6血B学0得：V6=1, 即tanA=V5因Ae(0,),故A= 3 @因为Sm-c1,A=胥，所以5ac=c, 4 由题意可知，AD是∠BAC的角平分线，且SAC=SABD+SACD, 又SAABD= ADn分，SaD-AD令，A-胥 2 3 A n6=2 放54=0+dADm号0+d小2} 32-6 2(b+c, 又SAABC= 3c,所以3c= 4 62b+g,即3bc=2b+c), 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos4,可得4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 将3bc=2(b+c)代入上式得4=(b+c)-2(b+c), 设t=b+c,则t2-2t-4=0,解得t=1±√5， 高一数学参考答案与解析第3页（共21页） 因为t>0,所以t=b+c=1+5, 所以△ABC的周长为a+b+c=2+1+V5=3+5: ⑧)记AC内切圆的半径为r由等面积法a+6+心小-r= 2 3, AM=-" bc 可得，= bc =3 2b+c+21 sin- b+c+2, 6 由余弦定理得b2+c2-bc=4可知，(b+c2-4=3bC, 则4AM=3.6+c2-4V 3b+c+2= 36+c-2, 又因为6+-4=歌≤3（告），且->a, 解得2<b+c≤4， 所以AM= 36+c-2) 23 0,3 19.解：)证明：取EC中点N,连结N,BW, 在△EDC中，M,N分别为ED,EC的中点， 所以NICD,且N=CD, 已知AB∥CD,AB=CD 所以MNI∥AB,且MN=AB, 所以四边形ABM为平行四边形， 所以BN∥AM, 又因为BNC平面BEC,且AM丈平面BEC, 所以AM∥平面BEC. B (2)证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD, 高一数学参考答案与解析第4页（共21页） 因为ED⊥DC,ADODC=D,AD,DCC平面ABCD, 所以ED⊥平面ABCD,EDC平面BDE, 所以平面BCD⊥平面BDE. (3)在直角梯形ABCD中，AB=AD=1,CD=2,∠BDC=45°， 所以BC=√2，在△BCD中，BD=BC=√2，CD=2, 所以BD+BC2=CD2,所以BC⊥BD,而BD=平面BCDO平面BDE, 得知：BC⊥平面BDE,即BC⊥BE, 因为DB=1,AB=AD=CD=1,所以BD=N2,BC=2,BE=5, 以5分551，e寸5店5 设点D到平面C2的距离为么，根据%aa=-欢哪，即A9 ×5n=×1x1,解得h= 3×2 3 3 即点D到平面2CE的距离为Y6 高一数学参考答案与解析第5页（共21页） 2025~2026学年度第二学期高一期末调研考试 高一数学详细解析 1.解：因为a=1,b=4,c=√21，所以c>b>a, 所以△ABC中，C最大， 所以cosC=2+2-c2-4.1 2ab -=2×4=2 因为Ce(0,),所以c=2π 3 故选：B 2.【分析】 本题考查统计的知识，属于基础题 A选项，将数据从小到大排列，利用百分位数的定义求出A错误；B选项，利用中位数的定义 得到B正确：C选项，利用极差的定义得到C错误；D选项，利用平均数定义计算出D错误 【解答】 解：A选项，将数据从小到大排列，3,3,4,5,7,8,9,9， 8x80°/。=6.4，故从小到大，取第7个数作为80%分位数，为9，A错误： B选项，从小到大，选取第4个和第5个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数为！7-6，B正确： C选项，这组数据的极差为9-3=6，C错误： D选项，这组数据的平均数为3+3+4+5+7+8+9+9=6，D错误 故选B. 3.【分析】 本题考查复数的运算、共轭复数的定义，属于基础题 根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解. 【解答】 解因为：产)1*，所以1 高一数学参考答案与解析第6页（共21页) 则z·z=1+i01-)=2 故选：B 4.【分析】 本题主要考查中位数，频率分布直方图，属于中档题 设该次数学成绩的中位数为x分，分析可知x∈[70,80)，结合中位数的定义列式求解 【解答】 解：由题意可知：后三组的频率依次为0.3,0.25,0.1， 因为0.3+0.25+0.1=0.65>0.5,0.25+0.1=0.35<0.5， 设该次数学成绩的中位数为x分，则x∈[70,80)， 可得0.35+0.03(80-x)=0.5,解得x=75, 所以该次数学成绩的中位数为75分」 故选：B 5.【分析】 本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题， 由题意可得c的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得， 【解答】 解：ā=(1,2)，b=(1,1), :.c=a+b=1+k,2+), b⊥c, .b.c=0, .1+k+2+k=0, 解得。一号 故选A 6.【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，辅助角公式，正弦函数的 性质在解三角形中的应用，属于中档题. 高一数学参考答案与解析第7页（共21页） 眉先haA+C-bsin A,得：B然后CosA cosB Vssmc结合孩定理、余毯 2 a 定理可得：b=√3.然后根据sinA sinC 、3 =2 ,知： 3 a+2c=2sinA+4sinC-2sin A+4sin( 3 -A)=4sinA+2v3cosA=2v7sin (A+0), 其中锐角0满足：cos0=2 7，sn6=V21 ,至此可求最大值 【解答】 B 像：因为在aiBc中，sn4+Cc0s2,所以由asn+C自bsm4,得：acos自bmA,于 2 2 2 B B 2eo,3, 是由正弦定理得：n4c08=mn4,因为mA≠0，c0s20,所以m号：，文号 所以号吾8舌 3 b 3smA，得：由cosA+osB-5sinc 于是由cosA+cosB-2 sin BsinC a b 3sinA 再由正弦定理、余弦定理得：公+c2-d+d+c2-B√压 2abc 2abc 3a 化简得：b=5 于是由正弦定理可得：in4sinC =2 sin- ) 所以a+2c=2simA+4sinC=2sinA+4sim(3 =4sinA+2v3 cosA=2v7sin(A+0), 其中锐角0满足：cos6=2 7，n6=V②7 所以当A+6=交， 4-号0，即4=8=29,4如0时，a2取府的辰大位 2 7 为2√7， 故选D. 7.【分析】 高一数学参考答案与解析第8页（共21页） 本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想，属于较难题. ①，利用DC1⊥面ABCD,可得DC1⊥DP, ②，利用平面DABC⊥平面AABB,得出平面DAP1平面AAP ③，当AP= 5时，∠APD为直角，当0<4P<2时，∠APD为钝角： 2 ④，将面AAB与面ABCD沿AB展成平面图形，线段AD,即为AP+PD的最小值 1 ⑤，可得C,P与平面ABB所成角正弦值为 P,求得GP即可 【解答】 解：对于①，：AD⊥DC1,AB⊥DC1,AD∩AB=A, ∴.DC1⊥平面ABCD,DPC平面ABCD,DC1⊥DP,①正确： 对于②，：平面DAP即为平面DABC,平面AAP即为平面AABB, 又DA⊥平面AABB, DAC平面DABC, ·.平面DABC⊥平面AABB,, .平面DAP⊥平面AAP,.②正确： 对于③，当0<4P<2时，∠APD,为钝角，®不正确： 2 对于④，将面AAB与面ABCD沿AB展成平面图形，线段AD,即为AP+PD的最小值， 在△D4A中，∠D4A=135°，利用余弦定理解三角形得AD=V2+√2， 即AP+PD>V2+√2，④不正确. 高一数学参考答案与解析第9页（共21页） 对于⑥，CP与平面ABB所成角正弦值为CP' 、·6≤P≤②， CP与平面4BB所成角正弦值的取值范国是5,5， 23 故⑤正确 故选：C 8.【分析】 本题考查平面向量的数量积运算，利用向量的几何意义求最值，考查数形结合的解题思想方法， 属难题. 作ā=OA,b=OB,c=OC,由己知可得点C在以AB为直径的圆上，圆心为AB中点D,要 使所求式子取得最小值，则取到最大值，当点C在OD延长线上时d取到最大，记c=oD, 进一步由已知数量积化简得2-oD=DA，化简所求式子，即可得解最小值. 【解答】 解：由题知a,b,c满足a≠b,c≠0， 作a=OA,b=OB,c=OC,记AB中点为D, D 0 由(c-a)(c-b)=0, 则AC.BC=0,即AC⊥BC, 点C在以AB为直径的圆上，圆心为D, 高一数学参考答案与解析第10页（共21页） 要使a++ā-6取得最小值，则问取到最大值， al 当点C在OD延长线上时取到最大，记：=OD, 由(-a)·(c-b)=0,得 LOD-(OD+DA)1.[AOD-(OD-DA)1=0, 化得(1-1)OD-DA]-[(2-1)OD+DA]=0, 化简得到(2-1oD-Da, 即l2-oD=DA, la+bl+la-Bl 20+2D lal 0D 2+22-12A-2, 所以a++ā-五的最小值为2 故选C 9.【分析】 本题考查棱锥的结构特征，异面直线的夹角，点到平面的距离，二面角，锥体的外接球问题， 属于困难题 取ED,BC的中点分别为F,G,连接FG,取FG的中点为H,通过题中的数据，结合线面垂 直的性质得出AH上平面BCED,从而分析各选项即可. 【解答】 解：如图，取ED,BC的中点分别为F,G,连接FG,取FG的中点为H,连接AH, 高一数学参考答案与解析 第11页（共21页） H B 因为正△ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点， 所以AE=AD,DE⊥AF, 又易知DE⊥FG,AFOFG=F,AF,FGC平面AFG, 所以DE⊥平面AFG,且∠AFG为A'-DB-B的二面角， 即∠AFG=60°， 由AB=8,可知AF=℉G=2√5， 所以△AFG为正三角形，所以A'H⊥FG, 又DE⊥平面AFG,AHc平面A'FG, 所以DE⊥'H, 又DEFG=F,DE,FGC平面BCED, 所以AH⊥平面BCED, 在△AFG中，因为AF=FG=2V5, 所以AH=3,故A正确： 连接EG,DG,因为DE=CG且DE∥CG, 所以四边形EDGC为平行四边形， 故EC∥DG,∠ADG即为直线AD与直线CE所成的角， 可知AD=4,AG=F=25,DG=DB=4, 故cos∠ADG= +4-(5，故B正确： 2×4×4 8 易知AB=√AH+BH=VAH+GB2+HG 高一数学参考答案与解析第12页（共21页) =V9+4+(3=2万， 即AD+BD2=32≠HB2,故AD与BD不垂直，故C错误； 易知GB=GC=GD=GE=4, 所以四棱锥A-BCED的外接球球心O在过G点且与平面BCED垂直的直线上， 记OG=x,四棱锥A-BCED的外接球半径为R, 则有o2=(AH-OG)2+HG2=R2, 即R2=x2+42=(3-x)2+3, 解得x=-(此时O在平面4BC下方，所以为负，R=23T,故D正确 3 3 故选ABD, 10.【分析】 本题考查三角恒等变换、正弦定理综合应用，属于中档题 AB项利用正弦定理判断：C项，运用正弦定理结合三角形面积公式，进而求解；D项，求出 角A和C的范围，结合正弦定理求出周长的范围即可」 【解答】 g可得m4云当b时，m4子m8-则4>2结合2 解：由正弦定理：a=b 6 可知角A有两个值，一个锐角一个钝角，A正确： 同照，当b时，m4=m8-号则A<8结合B名可知加4只有个值，8错误： 3 当角A为纯角时，又B=严， 可知A后c4后爱}c引 6 由于a G sinA sinC' 可得c=2sinc sinA’ 故8a-2xnB-22mC}mc 1 sin C 2 sinA 2 sin A (5-C sin C 1 2cosC+3 sinC 1 3 2 2tanC 2 曲于cc0引则mc-o 高一数学参考答案与解析 第13页（共21页） 故由函数单调性可知 S.ABC= ∈/03 1,3 02'故C正确； 2tanC 2 0< 5π-C< 由4+C-怎可知4=怎-cc-后4当a0为锐角三角形时， 2 0< 5π 6A [E<c< 则/3c 2 3A交 2 又b=1」 2sinC sinA 5π a+b+c=2+-12sinc -A -sin A 所以 2+1 2sin 6 2+1 os4+3 2 2 十 sin A sinA sinA sin A sinA sin A =2+V5+1+cos4=2+5+ 2cos24 2 sinA tan 2 2 2 由于4引故号〔信引故m停 故2+5+46+5,2+2). tan D正确。 故选ACD. 11.【分析】 本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定，面面平行的性质，线面垂直的判定，线面垂直 的性质，面面垂直的性质，棱锥的体积，直线与平面所成角的计算，多面体的外接球问题，球 的表面积，属于较难题. 取AD的中点G,连接GQ、GC,利用线面平行的判定，得QG∥平面PAB,GC∥平面PAB, 再利用面面平行的判定对A进行判断：取PA的中点H,连接QH、HB,利用线面垂直的判定 与性质得BH⊥PA,再利用反证法对B进行判断：取AB的中点K,连接PK、KC,利用面面 垂直的性质得PK⊥平面ABCD,再利用线面垂直的性质得PK⊥KC,利用 高一数学参考答案与解析第14页（共21页） ”c=gx,得点Q到平面PBC的距离h-后，再利用直线与平面所成角的定义进 行计算，即可得到CQ和平面PBC所成角的正弦值，从而对C进行判断：利用多面体的外接 球性质，得四面体Q-BCD外接球的半径，再利用球的表面积公式对D进行判断 【解答】 解：对于A如图： 取AD的中点G,连接GQ、GC, 因为AD∥BC,AD=2BC,所以4G=BC,所以四边形ABCG是平行四边形， 所以AB=GC, 因为0是棱PD的巾点，所以ec号PA, 因为PAC平面PAB,OGt平面PAB,所以QG∥平面PAB, 同理可得GC∥平面PAB, 因为QG、GCc平面QGC,OG∩GC=G, 所以平面QGC∥平面PAB, 又因为C2c平面OGC,所以CQ∥平面PAB,故A正确： 对于B.如图： 高一数学参考答案与解析第15页（共21页) 0 H B 取PA的中点H,连接OH、HB, 因为Q是棱PD的中点，所以0号AD,而AD/BC,AD=2BC, 所以HO=BC,所以四边形HBCQ是平行四边形， 所以CQ=BH, 假设CQ⊥平面PAD,则BH⊥平面PAD,因为PAC平面PAD,所以BH⊥PA, 这与∠APB=无相矛盾，所以假设不成立，故B错误： 对于C.如图： H 因为Q是棱PD的中点，所以点P到平面BQC的距离等于点D到平面BQC的距离， 因此片g=%gc, 取AB的中点K,连接PK、KC, 因为AP=BP=1,乙APB=,所以PK上AB,且PK=K=团=V2 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PKC平面PAB, 所以PK⊥平面ABCD, 高一数学参考答案与解析第16页（共21页） 因为KCC平面ABCD,所以PK⊥KC, 因为AD∥BC，AD=2BC=2,∠ADC=∠BCD=牙，AB=V反， 所以由余弦定理得： KC=2 2 2 42 因此在Rt△PKC中， PC- =5, 在aP8C中，由8=8C=1,0=V5,易得S-5 1 由已知条件易得Scn= 2’ 设点Q到平面PBC的距离为h, 因此由cgec,得x5-55,解得h= 42322 6 庙选项B知：cOB班，而AP=BP=1,APB=因此CO=BH=5 2 6 设C2和平面PBC所成角为0，则sin6=h=6=30 C515' 因此CO和平面PBC所成角的正弦值为V30 故C正确： 15 对于D.如图： 0 H B 连接KD,交CG于M,连接OM, 设CGOBD=N, 由选项A知：AB=GC,而G是AD的中点，K是AB的中点， 高一数学参考答案与解析第17页（共21页） 因此N;BK,易得MN=5 由选项c知：PK1平面ABCD,而QMPK,因此QM1平面ACD,且QM= 4 因为∠BCD=三，N是BD的中点， 所以四面体2-BCD外接球的球心O在过点N与平面ABCD垂直的直线上， 而BC=CD=1,因此BN=DW=CN= v2 2 设ON=x,则四面体2-BCD外接球的半径为OB=OC=OD=,x2+ 02 因此由OB=O,有 阁9阅 图， 解得x=(舍去)或= 4 所以四面体Q-BCD外接球的半径为 因此四面体2-BCD外接球的表面积为4π× 10 5元 4 故D正确. 故选：ACD 12.【分析】 本题考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式及辅助角公式，属于较难题 设8=a+30,6∈(30,120)，得cos(0-10)=sin0-cos(0-30),得cos(0-10)=sin(0-60),得 sin(0-10°+90)=sin(0-60),再由8e(30°，120)，得0-10°+90°+6-60°=180°即可求解 【解答】 解：设日=+30,0∈(30°，120)， cos(a+20)+cos a sin(a+30) 高一数学参考答案与解析 第18页（共21页） 得c0s(0-10)+c0s(0-30)=sin0, 得cos(0-10)=sin0-cos(0-30°)， cos(0-10)=sin-cos 2cos0-Ising, 得cos(a-10)=sim0- cos0, 2 得cos(0-10)=sin(0-60), 得sm(0-10°+90)=sin(0-60), 因为6e(30,120), 所以0-10°+90°+日-60°=180°， 得0=80， 故u=日-30°=50° 故答案为50 13.【分析】 本题考查空间几何体的界面问题，是较难题， 根据二面角的概念及正方体、球的对称性确定平面为多边形A瓜QN,利用勾股定理求周长 即可 【解答】 解：由题意，曲面2为以C为球心落在正方体ABCD-ARCD内的。球面， 96 根据球和正方体的对称性可知，平面&与平面ABCD所成二面角最小值时6=45°， 过点A作平面“与曲面2相切时作纵截面，如图：长方形ACC,A中， A 过点A与以C为圆心半径为1的圆相切于点P,与AC交于点E,则∠EAC=6,连接CP, 在Rt△APC中，AC=V2,CP=1,∠EAC=6=45°， 高一数学参考答案与解析第19页（共21页) 利用平面基本性质作出平面α截正方体所形成图形，如图，多边形A瓜QN即为所作截面. H M 因为∠EAC=∠EAA=45°，所以AE=1,EC=V2-1, 又∠CEK=∠CEQ=90°，所以C,K=CQ=√2CE=2-V2, 则0=√2C0=2W2-2, 又BK=GB=V2-1,且BM11AA,所以BM_GB=2-l 414G2, 所以AM=1 2 则a-a4R--09-层-56g5 又M=1-月M=兰，所以AM=am+87 +- 由对称性知，M=QW,AM=AN, 所以截面周长为AN+NQ+KQ+M+AM=2AM+2KM+KQ -2x5+2x6-5+2N2-2-2N3+2N2-2 √5 2 故答案为：25+2√5-2. 14.【分析】 本题考查数量积的几何意义的应用，属于难题， 【解答】 解：如图，由题意当A、0、B三点共线时，O1.O死取最小值，此时(@1：OB)=-64; 高一数学参考答案与解析 第20页（共21页） 01 02 如图，延长40交圆O,于点4，则(O1OB)=-(OA.OB), 要取数量积的最小值，则O,B与OA平行，设OA=2x,则OB=4-x, 由向量数量积的几何意义知(@A.OB）=-(OF.0B）=-2Gx-4)=-2x+8x, 当x=2时，(OA0B)取得最大值8. B 0------ 02 61 15.本题考查频率分布直方图，频率，平均数，百分位数，属于基础题 )利用频率和为1列方程即可求得α的值，再利用频率分布直方图求得这50名学生成绩的平 均数； (2)利用频率分布直方图计算并估计此样本数据的第75百分位数」 16.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几 何意义，是基础题 )由虚部为0求解m值： (2)由实部为0且虚部不为0求解m值； 3)由实部与虚部相等列式求解m值. 高一数学参考答案与解析第21页（共21页）报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025~2026学年度第二学期期末调研考试 高一数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 送织 (正面制上，切勿贴出盛线方框 正确填涂 缺考标记 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的. 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14. 囚囚■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 囚■囚 (LI)8I ▣ 19.(17分) ■2025~2026学年度第二学期高一期末调研考试 数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置： 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑 色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚， 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效，保持卡面清洁、不折叠、不破损， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.在△ABC中，a=1,b=4,c=√21，则△ABC的最大内角为() A舌 B牙 e D.5z 6 2.已知一组数据5,7,9,4,8,9,3,3，则() A.这组数据的80%分位数为8 B.这组数据的中位数为6 C.这组数据的极差为5 D.这组数据的平均数为7 2i 3.已知i为虚数单位，若：= 则：=() A.-2 B.2 C.-2i D.2i 4.某校高一年级数学周练满分100分，学生分数均在[40,100]内，将 频率 组距 0.030 学生成绩分成6组并作出频率分布直方图，但不小心污损了部分图 0.02 0.020 形（如图所示），则该次数学成绩的中位数是() 0.015 0.010 0.005 A.60分 B.75分 C.79.5分 D.85分 0405060708090100分数 5.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+b,若b⊥c,则实数k的值等于() 高一数学试题 第1页（共6页) A B c D 6.已知48C中角4，B,C所对的边分别为a,b,c,满足asin4+C=bin4,且 2 cos A cos B 2sin BsinC -.则a+2c的最大值为() a 3sinA A.6 B.4W5 C.25 D.2万 7.如图，棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，P为线段AB上的动点，则下列结论中正确的 个数为() D ①DC1⊥DP 1 ②平面DAP⊥平面AAP B 1 ③∠APD,的最大值为90 D ④AP+PD的最小值为V2+√5 C 同CP与平面4BB所成角正弦值的取值范围是，5 B A.1 B.2 C.3 D.4 8.若向量a,6,c满足a≠6，c≠0，且(c--(-)=0,则a+b+1a-6 的最小值是() c A.5 B.2W5 C.2 n 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图所示，正三角形ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，其中AB=8,把△ADE沿着 DE翻折至ADE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是() A.点A到平面BCED的距离为3 B.直线AD与直线CE所成的角的余弦值 5-8 E C.AD⊥BD D.四棱锥N-BCBD的外接球半径为237 3 B 0.在a4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知a=2,B=石，则下列结论正确 高一数学试题第2页（共6页） 的是() A当b=3时，AMBC有两解 B.当b=3时，△ABC有两解 C当角4为角时，△BC面积的取值为0。 D.当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长取值范围为(3+V3,2+2V3) 11.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,且AD∥BC,AD=2BC=2,AP=BP=1, Q是棱PD的中点，∠APB=∠ADC=∠CD=号，则() A.C2∥平面PAB B.C2⊥平面PAD C.CQ和平面P8C所成角的正弦值为30 15 D.四面体2-BCD外接球的表面积为 B 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知锐角a满足cos(au+20)+cos a=sin(a+30),则a= 13.已知正方体ABCD-ABCD的边长为1，球C的半径为1，记正方体ABCD-AB,CD内部的 球C表面为曲面2，过点A作平面&与曲面2相切，记切点为P,平面a与平面ABCD所成二 面角为6，则当6最小时，平面截正方体所形成图形的周长为 D B A B 14.如图，圆O,圆O,半径均为4，两圆外切于点O,点A是圆O上任意一点，点B是圆O上 任意一点，则OA.OB的最小值为，最大值为一 高一数学试题第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与为了增进全体市民对 创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识测试活动，现把50名 学生的成绩绘制成了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： A频率 组距 0.030 0.024 a 0.016 0.006 0.004 O 405060708090100成绩/分 I)求α的值及这50名学生成绩的平均成绩： (2)试估计此样本数据的75%分位数 16.(本小题15分) 已知复数==m(m-2)+(m-2)i,其中i为虚数单位.若z满足下列条件，求实数m的值： (I):为实数： (2)为纯虚数： (3):在复平面内对应的点在直线y=x上， 高一数学试题 第4页（共6页） 17.(本小题15分) 如图一，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB⊥AB,PB=2√3，H、M分别 为PA、AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使PC=√1O,连接PD,如图二 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹：2.本题若使用空间向量解题，将不得分 H P H A D D M M B B C 图一 图二 I)证明：AB⊥HC; (2)求直线BD和PC所成角的余弦值： ⑧在线收PD上是杏存在点M使得PBY面kV?若存在，访求出%的值：若个存在， 请说明理由 高一数学试题 第5页（共6页) 18.(本小题17分) 已知△ABC内角A,B,C的对边为a,b,c,点M是△ABC的内心，若a=2,√3 bcos4=asin B. Q)求角A: ②延长M交C于点D,若AD=25,求ABC的周长： 3 3)求AM的取值范围 19.(本小题17分) 如图，在直角梯形ABCD中，ABCD,AB1AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向 梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC,M为ED的中点， 如图2. D d 11 D B 222 B 图1 图2 I)求证：AM∥平面BEC, (2)求证：平面BCD⊥平面BDE; ()求点D到平面BCE的距离。 高一数学试题 第6页（共6页）