湖北武汉市第十二中学2025-2026学年下学期高三数学周测（3.28）

**基本信息** 2026年3月数学周测涵盖集合、数列、概率等知识，通过网格椭圆离心率比较、公共卫生调查概率等题，融合几何直观与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、等差中项、椭圆离心率|第3题网格椭圆离心率比较，体现几何直观| |多选题|3/18|统计案例、复数、概率递推|第9题结合独立性检验与正态分布，强化推理意识| |填空题|3/15|切线方程、向量模、双曲线离心率|第13题向量坐标化求最值，培养抽象能力| |解答题|5/77|解三角形、数列求和、函数极值、概率模型、立体几何|第18题奖券交换概率模型（模型观念），第19题椭圆折叠空间几何（空间观念）|

2026年3月28日数学周测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 3．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D. 考点：椭圆的离心率． 4．已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，计算，由，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得，因为，所以，则， . 故选：A 5．已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】C 【分析】先确定回答“是”的150人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为 ， 回答A问题“是”的学生人数为人， 所以回答B问题“是”的学生人数为人， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 8．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 二、多选题 9．下列说法中正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BD 【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5， 第百分位数是第5个数5，故A错误； 选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确； 选项C：独立性检验中，在的显著水平下， 无法判断与有关联，故C错误； 选项D：正态分布关于均值对称，， 已知，则， 由对称性可知， ，故D正确． 10．设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】设，利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆，从而可得复平面内该点轨迹方程；借助椭圆方程与距离公式计算可得A；利用纯虚数定义，结合椭圆方程计算可得B；利用复数性质，结合椭圆方程计算可得C；由题意可得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则可利用椭圆方程计算出椭圆上的点到的距离的最小值，再减去半径即可得解. 【详解】设，则， 即有， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，由，，则椭圆方程为； 对A：，故A正确； 对B：，要使得为纯虚数， 则且，则，解得， 有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，，即有， 解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为： ， 则的最小值为，故D错误. 11．现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 【答案】BCD 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】/ 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 13．已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 14．已知椭圆的左焦点为，点，若以A，F为焦点的双曲线与椭圆交于点，则双曲线的离心率的最大值为__________. 【答案】 【分析】分析可知双曲线右支与椭圆C不相交，结合椭圆、双曲线定义可得，，进而可得双曲线的离心率的最大值. 【详解】设椭圆C的半长轴长、半焦距长分别为，双曲线E的半实轴长、半焦距长分别为， 则， 可知椭圆C的左焦点为，右焦点为， 且，即， 因为，， 则，且线段的中垂线为双曲线E的一条对称轴， 可知双曲线E的右支与椭圆不相交， 因为，可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 即，则双曲线E的离心率，所以双曲线的离心率的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，结合角的取值范围分析求解即可； （2）利用余弦定理可得，进而可得，，，利用等面积法求，，即可得结果. 【详解】（1）因为，即， 且，则， 可得，所以. （2）由（1）可知：，且，， 由余弦定理可得，即， 则，则， 且，可得， 在中，则，解得； 在中，则，解得； 所以. 16．已知等比数列的公比为整数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式； （2）求出数列的通项，再根据错位相减法即可求得. 【详解】（1）由题意，， 两式相除可得，即，解得， 故，所以； （2）因， 则① 所以② 则②①得： 所以. 17．已知函数 (1)当时，求的最值； (2)若函数 有三个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值，无最大值 (2) 【分析】（1）先对函数求导，利用导数判断函数的单调性，再根据单调性确定最值点，进而求出最值； （2）因为函数有三个极值点等价于其导数有三个不同的变号零点，所以先对求导，将导数整理后，把问题转化为某个方程在上有三个不同的正根，再通过构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与值域，从而确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时， 当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 无最大值. （2）的定义域为， ， 当时，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 此时函数只有一个极值点，不符合题意；                      当时， ， 由，得或 . 又有三个极值点，故有两个不为1的变号的零点， 由，得：， 令，则原方程等价于， ， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 在处取得极大值， 当时，；当时，， 作出的图象， 由图象可知，要使与有两个变号的交点，且交点横坐标不为1， 需满足， 因此，实数的取值范围为. 18．小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】（1）设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为，进而求得第1次和第2次交换后的概率的值； （2）根据题意，分类讨论，求得交换次后，小明恰有1张中奖券的概率的值，结合，即可求解； （3）由（2）知：，化简得到，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为， 由题意，第1次交换，可得， 所以. （2）解：根据题意，分类讨论，交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的情况： ①交换次后，小明恰有2张“中奖”奖券：； ②交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券：， ③交换次后，小明恰有0张“中奖”奖券：， 综上可得，. （3）解：由（2）知：， 设，可得， 令，解得，所以， 又由，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，可得， 所以. 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i），（ii）存在， 【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可； （2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可； （ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值． 【详解】（1）因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）由（1）知，点，倾斜角为， 故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得， 可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则； （ii）由，，， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）， 设，在新图形中对应点记为，，， ，， ①， 即 所以②， 由①②可得： 即 则 即，， 解得， 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月28日数学周测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D．或 5．已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．下列说法中正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 11．现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 13．已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 14．已知椭圆的左焦点为，点，若以A，F为焦点的双曲线与椭圆交于点，则双曲线的离心率的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值． 16．已知等比数列的公比为整数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．已知函数 (1)当时，求的最值； (2)若函数 有三个极值点，求实数的取值范围. 18．小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 《2026年3月28日数学周测》参考答案 1．B 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2．C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 3．D 【详解】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D. 考点：椭圆的离心率． 4．A 【分析】由，计算，由，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得，因为，所以，则， . 故选：A 5．D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 6．C 【分析】先确定回答“是”的150人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为 ， 回答A问题“是”的学生人数为人， 所以回答B问题“是”的学生人数为人， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 7．D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 8．C 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 9．BD 【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5， 第百分位数是第5个数5，故A错误； 选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确； 选项C：独立性检验中，在的显著水平下， 无法判断与有关联，故C错误； 选项D：正态分布关于均值对称，， 已知，则， 由对称性可知， ，故D正确． 10．ABC 【分析】设，利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆，从而可得复平面内该点轨迹方程；借助椭圆方程与距离公式计算可得A；利用纯虚数定义，结合椭圆方程计算可得B；利用复数性质，结合椭圆方程计算可得C；由题意可得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则可利用椭圆方程计算出椭圆上的点到的距离的最小值，再减去半径即可得解. 【详解】设，则， 即有， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，由，，则椭圆方程为； 对A：，故A正确； 对B：，要使得为纯虚数， 则且，则，解得， 有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，，即有， 解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为： ， 则的最小值为，故D错误. 11．BCD 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 12．/ 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 13．/ 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 14． 【分析】分析可知双曲线右支与椭圆C不相交，结合椭圆、双曲线定义可得，，进而可得双曲线的离心率的最大值. 【详解】设椭圆C的半长轴长、半焦距长分别为，双曲线E的半实轴长、半焦距长分别为， 则， 可知椭圆C的左焦点为，右焦点为， 且，即， 因为，， 则，且线段的中垂线为双曲线E的一条对称轴， 可知双曲线E的右支与椭圆不相交， 因为，可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 即，则双曲线E的离心率，所以双曲线的离心率的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，结合角的取值范围分析求解即可； （2）利用余弦定理可得，进而可得，，，利用等面积法求，，即可得结果. 【详解】（1）因为，即， 且，则， 可得，所以. （2）由（1）可知：，且，， 由余弦定理可得，即， 则，则， 且，可得， 在中，则，解得； 在中，则，解得； 所以. 16．(1) (2). 【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式； （2）求出数列的通项，再根据错位相减法即可求得. 【详解】（1）由题意，， 两式相除可得，即，解得， 故，所以； （2）因， 则① 所以② 则②①得： 所以. 17．(1)最小值，无最大值 (2) 【分析】（1）先对函数求导，利用导数判断函数的单调性，再根据单调性确定最值点，进而求出最值； （2）因为函数有三个极值点等价于其导数有三个不同的变号零点，所以先对求导，将导数整理后，把问题转化为某个方程在上有三个不同的正根，再通过构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与值域，从而确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时， 当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 无最大值. （2）的定义域为， ， 当时，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 此时函数只有一个极值点，不符合题意；                      当时， ， 由，得或 . 又有三个极值点，故有两个不为1的变号的零点， 由，得：， 令，则原方程等价于， ， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 在处取得极大值， 当时，；当时，， 作出的图象， 由图象可知，要使与有两个变号的交点，且交点横坐标不为1， 需满足， 因此，实数的取值范围为. 18．(1)； (2) (3)； 【分析】（1）设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为，进而求得第1次和第2次交换后的概率的值； （2）根据题意，分类讨论，求得交换次后，小明恰有1张中奖券的概率的值，结合，即可求解； （3）由（2）知：，化简得到，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为， 由题意，第1次交换，可得， 所以. （2）解：根据题意，分类讨论，交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的情况： ①交换次后，小明恰有2张“中奖”奖券：； ②交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券：， ③交换次后，小明恰有0张“中奖”奖券：， 综上可得，. （3）解：由（2）知：， 设，可得， 令，解得，所以， 又由，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，可得， 所以. 19．(1) (2)（i），（ii）存在， 【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可； （2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可； （ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值． 【详解】（1）因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）由（1）知，点，倾斜角为， 故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得， 可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则； （ii）由，，， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）， 设，在新图形中对应点记为，，， ，， ①， 即 所以②， 由①②可得： 即 则 即，， 解得， 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $