第2章 一元二次方程全章重难点题型汇总（10大题型） 数学新教材苏科版九年级上册

重难点专题2 一元二次方程章节重难点复习 直击考点 重难点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 例1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、是关于一元二次方程，故符合题意； B、当时，不是关于的一元二次方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、中含有分母，故不合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．选项：是一元一次方程，故A错误． B．选项：是一元二次方程，故B正确． C．选项：是二元二次方程，故C错误． D．选项：是分式方程，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答本题的关键． 【变式1-2】关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即|m|＝2，且m+2≠0，解出m的值即可． 【解析】由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0， 所以m＝±2且m≠﹣2． 所以m＝2． 故选：B． 【小结】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 【变式1-3】若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【解析】∵关于x的方程7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 【小结】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）． 重难点2 一元二次方程的解 解题关键是把a的值代入原方程，从而得到代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值即可． 例2.已知x＝a是一元二次方程的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值为（　　） A．1 B．4 C．5 D．6 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝a代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可． 【解答】解：∵x＝a是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】若是关于的方程的解，则代数式的值是　　． 【分析】先由方程的解的含义，得出，变形得，再将要求的代数式变形，然后将代入，计算即可． 【解答】解：是关于的方程的解， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键． 【变式2-2】a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1， ∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故选：A． 【小结】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程解． 【变式2-3】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019 【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解． 【解析】∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1， ∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C． 【小结】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a的值代入原方程，从中获取代数式a2﹣1的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 重难点3 解一元二次方程 解一元二次方程，需根据方程特征熟练选择直接开方法、配方法、公式法、因式分解法. 例3.解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把2移到方程的右边，方程两边同时加上4，配成完全平方形式，即可求解． （2）把方程右边移到方程左边，提公因式利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， 【小问2详解】 解： ∴或 ∴， 【变式3-1】解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， 解得： 【变式3-2】解方程： （1）4（x-3）2=25 （2）3x（x+1）=3x+3 （3）（配方法） （4）3x2-5（2x+1）=0 【答案】（1）；（2）x1=1，x2=-1；（3）， ；（4）， 【分析】(1)应用直接开平方法即可求解； (2)将等号右边提取公因式得3(x+1)，再移项提取公因式即可求解； (3)利用配方法即可求解； (4)利用公式，即可求解． 【详解】解：(1)， ，； (2)， ，； (3)， ， ； (4) ， 整理得：， 利用公式：，其中a=3，b=-10，c=-5， ，． 【点睛】本题主要考查的是用直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，掌握这四种方法是解题的关键． 【变式3-3】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+2）﹣12 ＝y2+3y﹣10 ＝（y+5）（y﹣2） ＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2） （1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解； （2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0． 【分析】（1）根据材料，用换元法进行分解因式； （2）设t＝x2﹣2x．将已知方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值；然后解关于x的一元二次方程即可． 【解析】（1）设x2﹣3x＝y， 原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8 ＝y2﹣3y﹣18 ＝（y﹣6）（y+3） ＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）； （2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0． 解得t＝﹣1或t＝3． 当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．解得x1＝x2＝1． 当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0． 解得x3＝3，x4＝﹣1． 综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1． 【小结】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 重难点4 配方法的应用 例4.已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b4﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2， ∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【变式4-1】如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 　 　． 【分析】先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【解答】解：∵p＝a2+4b2+2a+4b+2024＝（a+1）2+（2b+0.5）2+2022.75≥2022.75， 故答案为：2022.75． 【变式4-2】配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法： 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先把a﹣b＝4变形代入，再配方，根据非负数的性质求解． 【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝（x+y）2+（y+1）2＝0， ∴x＝1，y＝﹣1． ∴2x+y＝2﹣1＝1； （2）∵a﹣b＝4， ∴a＝b+4， ∵c2﹣6c+ab+13＝c2﹣6c+b（b+4）+13＝c2﹣6c+b2+4b+13＝（c﹣3）2+（b+2）2＝0， ∴c＝3，b＝﹣2， ∴a＝2， ∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3． 【变式4-3】先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足，求的最小值． 【答案】（1） （2），见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可； （3）根据题意得到，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴的最小值是； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴当时，最小，最小值为4． 重难点5 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．反之亦成立. 例5.已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意有△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【答案】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， 故△ABC的周长＝2+2+1＝5． 【小结】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根． 【变式5-1】已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论； （3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论． 【解析】（1）△ABC是等腰三角形， 理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形， （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0， 即：x2+x＝0， ∴x（x+1）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1， 即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1． 【小结】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程． 【变式5-2】关于的一元二次方程为 （1）求证：无论为何实数，方程总有实数根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正数． 【思路点拨】（1）先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后证明△≥0即可； （2）利用求根公式解方程得到x1＝m+2，x2＝﹣m，则m+2＞0且﹣m＞0，解得﹣2＜m＜0，然后找出此范围内的整数即可． 【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）] ＝4m2+8m+4 ＝4（m+1）2， ∵4（m+1）2≥0， ∴△≥0， ∴无论m为何实数，方程总有实数根； （2）解：x＝＝1±（m+1）， 所以x1＝m+2，x2＝﹣m， 根据题意得m+2＞0且﹣m＞0， 所以﹣2＜m＜0， 所以整数m为﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（1﹣2k）x+k2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围， （2）当k＝2时，设方程的两个实数根分别为x1，x2，求x143的值． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（1﹣2k）]2﹣4（k2﹣3）＞0，然后解不等式即可； （2）k＝2时，方程变为x2+3x+1＝0，利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，再将变形代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（1﹣2k）]2﹣4（k2﹣3）＞0， 解得k； （2）k＝2时，方程变为x2+3x+1＝0， ∵设方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∴ ＝x1（）+43 ＝x1[（x1+x2）（x1﹣x2）]+43 ＝﹣3x1（x1﹣x2）+43 ＝﹣33x1x2+43 ＝3x1x23 ＝（x1+x2）2+x1x2+3 ＝9+1+3 ＝13． 重难点6 一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 例6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据题意可得x﹣2＝2024，从而进行计算即可解答． 【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， 设x﹣2＝m， ∴am2+bm+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得：x＝2026， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026， 故选：C． 【变式6-1】若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3， 所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ ＝22﹣（﹣3）＝7． 故选：C． 【小结】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式6-2】设是一元二次方程两个根，则________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握是方程的两根时， ． 【变式6-3】已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值； （1） （2） （3）3x12-5x1-2x2+7 【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2． （2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可． 【答案】解：∵x1，x2是方程3x2﹣3x﹣5＝0的两个根， ∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣． （1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+2×＝． （2） ＝＝＝﹣． （3）3x12-5x1-2x2+7=10 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 重难点7 一元二次方程应用（传播与循环问题） 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数； 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程； 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法； 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意； 第6步：答. 例7.今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（　　） A．x（x+1）＝1980 B． C．x（x﹣1）＝1980 D． 【分析】由全班的人数，可得出每位同学需发送（x﹣1）条拜年短信，再利用全班发送拜年短信的总条数＝全班人数×（全班人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送（x﹣1）条拜年短信． 根据题意得：x（x﹣1）＝1980． 故选：C． 【变式7-1】毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【分析】设这次参加聚会的同学有x人，利用握手的总次数＝这次参加聚会的同学人数×（这次参加聚会的同学人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝780， 整理得：x2﹣x﹣1560＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B． 【变式7-2】某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生　　名． A．39 B．40 C．41 D．42 【分析】设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言，根据全班共写了纪念留言1640份，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式7-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手　　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　　次； （2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手　　次； （3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． （4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论． 【思路点拨】（1）由握手总数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，即可求出结论； （2）由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟（n﹣1）人握手，同（1）即可求出握手总数； （3）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （4）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论． 【答案】解：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10． 故答案为：3；10． （2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟（n﹣1）人握手， ∴共握手n（n﹣1）次． 故答案为：n（n﹣1）． （3）依题意，得：n（n﹣1）＝28， 整理，得：n2﹣n﹣56＝0， 解得：n1＝8，n2＝﹣7（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． （4）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有（m+2）个人握手， ∴线段总数为（m+2）（m+1）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列出代数式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（4）将线段数当成人握手次数来解决问题． 重难点8 一元二次方程应用（利润问题） 利润问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 例8.某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元？ 【分析】玻璃杯的售价应定为x元，由题意得：（x﹣20）[600﹣10（x﹣25]＝5500，即可求解． 【解答】解：设：这种玻璃杯的售价应定为x元， 由题意得：（x﹣20）[600﹣10（x﹣25]＝5500， 解得：x＝30或x＝75， 当x＝30时，600﹣10（30﹣25）＝550， 当x＝75时，600﹣10（75﹣25）＝100， ∵550＞100，故x＝75应舍去， 答：这种玻璃杯的售价应定为30元． 【变式8-1】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元． （1）降价后，每件衬衫的利润为　 　元，平均每天的销量为　 　件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【分析】（1）根据“这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件衬衫的原利润及降价x元，即可得出降价后每件衬衫的利润及销量； （2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解析】（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件． 故答案为：（50﹣x）；（20+2x）． （2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600， 整理，得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30． ∵为了扩大销售，尽快减少库存，∴x＝30． 答：每件衬衫应降价30元． 【小结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-2】电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值． 【思路点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得：． 故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200， 解得：x＝120，或x＝160． 答：某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于k、b的关系式和列出方程是解答此题的关键． 【变式8-3】某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元． （1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？ 【答案】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有 ， 解得． 故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元； （2）依题意有： （400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500， 整理，得150a2﹣180a＝0， 解得a1＝，a2＝0（舍去）． 故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元． 【点睛】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 重难点9 一元二次方程应用（面积问题） 直接利用相应图形的面积公式列方程或将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 例9.如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 【答案】小路的宽为1m． 【分析】如果设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m，根据题意即可得出方程． 【详解】设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m．根据题意得： （16﹣2x）（9﹣x）=112 解得：x1=1，x2=16． ∵16＞9，∴x=16不符合题意，舍去，∴x=1． 答：小路的宽为1m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键． 【变式9-1】为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长； （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（30﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（30﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为80m2，列出一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立即可． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（30﹣3x）m， 由题意得：x（30﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，30﹣3x＝30﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去， 当x＝6时，30﹣3x＝30﹣3×6＝12＜15，符合题意， 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2， 设AB＝y m，则BC＝（30﹣3y）m， 由题意得：y（30﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 【变式9-2】如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【分析】设道路的宽为x米，根据道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解析】设道路的宽为x米， 依题意，得：x（10﹣4x）+x（6﹣4x）+（4x）210×6，整理，得：x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．答：道路的宽为1米． 【小结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式9-3】某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米． （1）饲养场另一边　　米（用含的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求的值． 【思路点拨】（1）用（总长+2个2米的门的宽度）﹣3x即为所求； （2）由（1）表示饲养场面积计算即可， 【答案】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米． 故答案是：（48﹣3x）； （2）由题意得：x（48﹣3x）＝180 解得x1＝6，x2＝10 【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 重难点10 一元二次方程应用（动点问题） 例10.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【分析】（1）△PBQ的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示PB，BQ，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出△ABC面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【解答】解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4秒，设点P，Q运动的时间为t（0＜t≤4）， ∴AP＝t，BQ＝2t，则BP＝6﹣t， ∴，即t2﹣6t+8＝0，解方程得，t1＝2，t2＝4， ∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2． （2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得，， ∴a2﹣6a+12＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜0，关于a的一元二次方程无解， ∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半． 【变式10-1】如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问： （1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由； （2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由． 【分析】（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR的面积等于7，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解； （2）利用（1）中的方法建立方程，进一步解方程，根据方程根的情况判定即可． 【解析】（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR的面积等于7，依题意有 82x2（8﹣x）2＝7， 解得：x1＝1，x2＝7． 故运动时间是或秒 答：当动点P从A点出发移动或秒时，▱PQCR的面积等于7cm2． （2）由题意得 82x2（8﹣x）2＝16 解得：x1＝x2＝4， 此时运动时间为：2（秒） 82x2（8﹣x）2＝20， 此方程无解． 所以当动点P从A点出发移动2秒时，▱PQCR的面积等于16．不存在PQCR的面积等于20． 【小结】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用三角形和平行四边形的面积得出等量关系是解决问题的关键． 【变式10-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得； （2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102， ∴，； ∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm； （2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当时，PB＝16﹣3y， ∴，即， 解得y＝4； ②当时，BP＝3y﹣16，QC＝2y， 则， 解得（舍去）； ③时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y， 则， 解得y＝18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2． 【变式10-3】如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 【分析】（1）等量关系为：AB﹣AP＝CQ，即16﹣2t＝t； （2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：BP＝QP，BP＝BQ和QP＝BQ三种情况． 【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ． 则16﹣2t＝t， 解得 t． 答：两动点经过秒时，使得BP＝CQ； （2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的．则 （CQ+BP）•BCAB•AD，即（x+16﹣2x）×616×6， 解得 x． 答：两动点经过秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形 ①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H． 则PQ， 所以 16﹣2k， 整理 得5k2﹣32k+36＝0， 解得 k1，k2； ②当BP＝BQ时，BQ． 则16﹣2k， 整理 得3k2﹣64k+220＝0． 解得k ③当QP＝BQ时，，即， 整理 得，（16﹣3k）2＝k2， 解得 k3＝4，k4＝8（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或秒或4秒或秒时，使得△BQP是等腰三角形 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题2 一元二次方程章节重难点复习 直击考点 重难点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 例1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【变式1-2】关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【变式1-3】若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝　 　． 重难点2 一元二次方程的解 解题关键是把a的值代入原方程，从而得到代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值即可． 例2.已知x＝a是一元二次方程的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值为（　　） A．1 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】若是关于的方程的解，则代数式的值是　 　． 【变式2-2】a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【变式2-3】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019 重难点3 解一元二次方程 解一元二次方程，需根据方程特征熟练选择直接开方法、配方法、公式法、因式分解法. 例3.解方程： （1）； （2）． 【变式3-1】解方程： （1）； （2）． 【变式3-2】解方程： （1）4（x-3）2=25 （2）3x（x+1）=3x+3 （3）（配方法） （4）3x2-5（2x+1）=0 【变式3-3】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+2）﹣12 ＝y2+3y﹣10 ＝（y+5）（y﹣2） ＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2） （1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解； （2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0． 重难点4 配方法的应用 例4.已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【变式4-1】如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 　 　． 【变式4-2】配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法： 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值． 【变式4-3】先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足，求的最小值． 重难点5 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．反之亦成立. 例5.已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【变式5-1】已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【变式5-2】关于的一元二次方程为 （1）求证：无论为何实数，方程总有实数根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正数． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（1﹣2k）x+k2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围， （2）当k＝2时，设方程的两个实数根分别为x1，x2，求x143的值． 重难点6 一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 例6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式6-1】若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 【变式6-2】设是一元二次方程两个根，则________． 【变式6-3】已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值. （1） （2） （3）3x12-5x1-2x2+7 重难点7 一元二次方程应用（传播与循环问题） 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数； 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程； 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法； 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意； 第6步：答. 例7.今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（　　） A．x（x+1）＝1980 B． C．x（x﹣1）＝1980 D． 【变式7-1】毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【变式7-2】某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生　　名． A．39 B．40 C．41 D．42 【变式7-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手　　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　　次； （2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手　　次； （3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． （4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论． 重难点8 一元二次方程应用（利润问题） 利润问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 例8.某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元？ 【变式8-1】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元． （1）降价后，每件衬衫的利润为　 　元，平均每天的销量为　 　 件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【变式8-2】电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值． 【变式8-3】某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元． （1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？ 重难点9 一元二次方程应用（面积问题） 直接利用相应图形的面积公式列方程或将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 例9.如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 【变式9-1】为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长； （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【变式9-2】如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【变式9-3】某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米． （1）饲养场另一边　　 米（用含的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求的值． 重难点10 一元二次方程应用（动点问题） 例10.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【变式10-1】如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问： （1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由； （2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由． 【变式10-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【变式10-3】如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $