2.3有理数的乘法（讲义，3个知识点5大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘法核心知识点，从水位升降、收支增减等真实情境推导运算规律，分类探究符号法则（同号得正、异号得负）与绝对值运算，衔接多个因数符号判定、乘法运算律及倒数概念，构建从具体到抽象的学习支架，承上有理数加减法，启下后续除法运算。 该资料以真实情境培养数学眼光，通过分类推导“负负得正”发展推理意识与运算能力，实际应用（机器人行走、直播助农）强化模型意识。课中例题与解题贴士辅助教学，课后分层练习（随学随练、素养提升）助力学生查漏补缺，提升综合运用能力。

第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘法 课标要点 1.结合水位升降、收支重复增减等真实情境，借助数轴推导有理数乘法运算规律，理解有理数乘法的实际含义。 2.分类探究正数乘正数、正数乘负数、负数乘负数、数与0相乘的运算结果，归纳有理数乘法符号法则与绝对值运算规则。 3.掌握有理数乘法两步计算思路：先定积的符号，再计算绝对值的乘积，能规范完成整数、分数、小数的基础乘法运算。 4.认识倒数的概念，会求非零有理数的倒数，理解互为倒数两数乘积为1的数量关系。 5.能运用有理数乘法解决生活实际问题，串联加减运算逻辑，形成完整的有理数符号运算思维。 学习重难点 重点： 1.有理数乘法法则，准确判断多个因数相乘时积的符号。 2.熟练计算各类有理数乘法，掌握倒数的求法。 难点： 1.理解“负负得正”的推导逻辑，区分乘法与加减法的符号判断规则。 2.多个负因数相乘时符号的判定，分数、小数混合乘法的约分计算。 3.结合实际情境列乘法算式，综合运用倒数概念进行简单推理计算。 知识点 有理数乘法法则（重点） 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2.任何数与0相乘，积都为0。 易错提醒 先定符号，再算绝对值；不要先计算绝对值，后判断正负，容易符号出错。 随学随练 1．（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 知识点 多个有理数相乘的符号规律（重点） 1.几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数。 2.几个数相乘，只要有一个因数是0，积直接等于0。 特别提醒 判断多因数乘积符号，只看负因数数量，与正因数无关。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若五个有理数相乘的积是正数，则其中负因数的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，注意掌握积是正数，负因数的个数是偶数．由题意根据有理数的乘法可知当负因数的个数为偶数时，积是正数，进而可得负因数的个数． 【详解】解：∵个有理数相乘的积是正数， ∴负因数的个数为偶数：0个或2个或4个， 在给出的选项中，A选项负因数个数1个（奇数），C选项负因数个数3个（奇数），D选项负因数个数5个（奇数），只有B选项负因数个数2个（偶数），符合条件． 故选：B． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 知识点 有理数乘法运算律（重点、难点） 1.乘法交换律：a×b=b×a，交换因数位置，积不变； 2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)，改变相乘顺序，积不变； 3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，一个数乘两数和，可分别相乘再相加。 教材延伸 倒数定义：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数；正数倒数为正，负数倒数为负。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)3599． 【分析】本题考查有理数的乘法运算律（分配律）的应用，解题的关键是合理运用乘法分配律简化计算． （1）运用乘法分配律，将分别与括号内的每一项相乘，再进行计算； （2）运用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）运用合适的方法简便计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据乘法运算律简便计算即可； （2）根据乘法运算律简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 两个有理数相乘 ▌例1 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)504 (4) 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 解题贴士 符号：同号得正，异号得负；数值：两数绝对值相乘；有0相乘，结果直接为0。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中） 定义一种新运算：， 例如：， 则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则是解决问题的关键． 根据新运算的定义，将代入公式计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型 多个有理数的乘法运算 ▌例2 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.62 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 解题贴士 定符号：负因数个数偶数积为正，奇数积为负；算数值：所有绝对值相乘；含0则乘积直接得0。 ▌对点练2-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律． （1）先确定符号，再用绝对值相乘即可； （2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可； （3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可； （4）先确定符号，把小数化为分数计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型 利用乘法运算律简便运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【答案】(1)见解析 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键． （1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算． （2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 解题贴士 交换律：调换因数位置凑整、凑1；结合律：分组相乘凑整；分配律：拆括号分别相乘再加减。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握简便运算的方法是解题的关键． （1）转化为，再利用乘法分配率运算求解即可； （2）利用乘法分配率运算求解即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； ▌对点练3-2 （24-25七年级上·浙江杭州·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型 有理数乘法的实际应用 ▌例4 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【答案】(1)机器人在点A向东41m处 (2)机器人共计耗电度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【详解】（1）解：， 答：机器人在点A向东处； （2）解：， （度）． 答：机器人共计耗电度． 解题贴士 规定正负代表相反意义量；先定符号，再算绝对值乘积，结合题意解读结果。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ 【答案】(1)5，3.03 (2)这6盒年糕的成本共179.6元 【分析】本题考查了正负数和有理数的混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：每盒质量达到千克的年糕为合格品，， 序号为①②③⑤⑥共5盒合格品； 最重的一盒年糕为（千克）； 故答案为：5，3.03； （2）解： （元） 答：这6盒年糕的成本共元． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用； （1）根据一周实际销售猕猴桃的数量相加计算即可； （2）将总数量乘以每千克的收入解答即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克） 答：这周实际销售猕猴桃的总量是720千克． （2）解：（元） 答：这一周销售收入共5760元． 题型 倒数 ▌例5 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查相反数，倒数和有理数的混合运算，根据相反数和倒数的定义，得到，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴． 解题贴士 互为倒数的两数乘积为1。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，求下列各式的值： (1)x与y的相反数的和； (2)x的倒数与y的绝对值的差． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题相反数，倒数和绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键： （1）求出的相反数，再求和即可； （2）根据的倒数，的绝对值，作差即可． 【详解】（1）解：由题意； （2）由题意，． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，且的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，根据相反数、倒数和绝对值的意义可得，，，再代入代数式计算即可求解，掌握相反数、倒数和绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴原式 ． 基础通关 1．（2026·浙江嘉兴·二模）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的倒数是． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．互为倒数的两个数的积可能为0 B．几个有理数相乘，负因数为奇数个，则乘积为负数 C．多个有理数相乘的积不为0 D．绝对值和倒数都等于它本身的数只有1 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、有理数乘法运算等知识，根据倒数、绝对值的定义以及有理数乘法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 互为倒数的两个数的积为1，原说法错误，本选项不符合题意； B. 几个有理数相乘，负因数为奇数个，则乘积为0或负数，原说法错误，本选项不符合题意； C. 多个有理数相乘的积可能为0，原说法错误，本选项不符合题意； D. 绝对值和倒数都等于它本身的数只有1，原说法正确，本选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若两个有理数的和为负数，积为正数，则这两个有理数（   ） A．一正一负 B．都是负数 C．都是正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算． 根据有理数的运算规律判断即可． 【详解】解：积为正数，则这两个有理数符号相同， 和为负数，则这两个有理数至少有一个负数， 可知这两个有理数都是负数． 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．最大的负整数是，最小的正整数是 B．若，则一定是正数 C．倒数等于它本身的数是和 D．两个数的和一定大于其中任意一个加数 【答案】C 【分析】本题考查了正负数，倒数，有理数的加法，根据正负数和倒数的定义，有理数的加法法则逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、最大的负整数是，最小的正整数是，该选项说法错误，不合题意； 、若，则一定是非负数，该选项说法错误，不合题意； 、倒数等于它本身的数是和，该选项说法正确，符合题意； 、两个数的和不一定大于其中任意一个加数，比如，和小于任意一个加数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法及加法运算，熟练掌握有理数的乘法及加法运算是解题的关键；由可知a、b异号，由可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b异号； ∵，∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值， 选项A：，，，不符合； 选项B：，，，不符合； 选项C：，，符合条件； 选项D：，，，不符合； 故选C． 6．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算：__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据0乘以任何数都等于0即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）的倒数是______． 【答案】 【分析】本题考查倒数的概念．掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键，根据倒数的定义，求解 的倒数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 的倒数是 ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则______． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，以及倒数的定义；利用相反数，倒数的定义求出的值，代入原式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：，则， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是有理数加法运算、两个有理数的乘法运算，解题关键是熟练掌握有理数的相关运算法则． （1）根据有理数加法运算法则进行运算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则解题即可； （2）先计算同分母的，然后继续计算； （3）根据有理数的乘法法则解题即可； （4）小数化成分数，带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则解题即可； （5）根据乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某天下午，快递员小张从快递公司出发，沿南北走向的街道派送快递，规定向北为正，向南为负，当天下午的派送里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一个快递送到目的地时，小张在快递公司的什么方向？距离快递公司多远？ (2)若快递车每行驶消耗电量度，这天下午快递车共消耗电量多少度？ 【答案】(1)小张在快递公司的北边，距离 (2)这天下午快递车共消耗电量度 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把所给的派送里程相加，所得结果的绝对值为与出发地点的距离，若结果为正，则在出发点的北边，若结果为负，则在出发点的南边； （2）把所给的派送里程取绝对值相加，所得结果乘以即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴小张在快递公司的北边，距离； （2）解：千米， 度， 答：这天下午快递车共消耗电量度． 素养提升 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，，且，那么的值是（    ） A．1或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据绝对值的性质可得，，再根据有理数的乘法法则可得或，代入计算有理数的加法即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）（多选）若，是实数，则下列说法正确的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，且，那么 D．如果，，那么 【答案】ABD 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是根据有理数的加法、乘法、减法及绝对值的意义依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意； B．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意； C．如果，，且，那么，原说法错误，故此选项不符合题意； D．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：ABD． 15．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 【答案】0 【分析】利用相反数、倒数的性质及绝对值的定义，分别得出，，，再代入代数式计算． 【详解】解：因为a与b互为相反数， 所以； 因为c与d互为倒数， 所以； 因为， 所以． 因此，． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，倒数，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握乘法运算律进行简便计算． （1）先把写成的形式，然后利用乘法分配律进行计算即可； （2）先根据有理数的乘法法则，确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（25-26七年级上·浙江·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义的运算规则进行计算． （1）直接根据新运算解答即可； （2）直接根据新运算解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． 迁移创新 18．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 19．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)点P表示的数为或，或15 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘法 课标要点 1.结合水位升降、收支重复增减等真实情境，借助数轴推导有理数乘法运算规律，理解有理数乘法的实际含义。 2.分类探究正数乘正数、正数乘负数、负数乘负数、数与0相乘的运算结果，归纳有理数乘法符号法则与绝对值运算规则。 3.掌握有理数乘法两步计算思路：先定积的符号，再计算绝对值的乘积，能规范完成整数、分数、小数的基础乘法运算。 4.认识倒数的概念，会求非零有理数的倒数，理解互为倒数两数乘积为1的数量关系。 5.能运用有理数乘法解决生活实际问题，串联加减运算逻辑，形成完整的有理数符号运算思维。 学习重难点 重点： 1.有理数乘法法则，准确判断多个因数相乘时积的符号。 2.熟练计算各类有理数乘法，掌握倒数的求法。 难点： 1.理解“负负得正”的推导逻辑，区分乘法与加减法的符号判断规则。 2.多个负因数相乘时符号的判定，分数、小数混合乘法的约分计算。 3.结合实际情境列乘法算式，综合运用倒数概念进行简单推理计算。 知识点 有理数乘法法则（重点） 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2.任何数与0相乘，积都为0。 易错提醒 先定符号，再算绝对值；不要先计算绝对值，后判断正负，容易符号出错。 随学随练 1．（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 多个有理数相乘的符号规律（重点） 1.几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数。 2.几个数相乘，只要有一个因数是0，积直接等于0。 特别提醒 判断多因数乘积符号，只看负因数数量，与正因数无关。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若五个有理数相乘的积是正数，则其中负因数的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 有理数乘法运算律（重点、难点） 1.乘法交换律：a×b=b×a，交换因数位置，积不变； 2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)，改变相乘顺序，积不变； 3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，一个数乘两数和，可分别相乘再相加。 教材延伸 倒数定义：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数；正数倒数为正，负数倒数为负。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）运用合适的方法简便计算 (1)； (2)． 题型 两个有理数相乘 ▌例1 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 解题贴士 符号：同号得正，异号得负；数值：两数绝对值相乘；有0相乘，结果直接为0。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中） 定义一种新运算：， 例如：， 则的值是_______． ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型 多个有理数的乘法运算 ▌例2 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 解题贴士 定符号：负因数个数偶数积为正，奇数积为负；算数值：所有绝对值相乘；含0则乘积直接得0。 ▌对点练2-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 利用乘法运算律简便运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 解题贴士 交换律：调换因数位置凑整、凑1；结合律：分组相乘凑整；分配律：拆括号分别相乘再加减。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： (1)； (2)． ▌对点练3-2 （24-25七年级上·浙江杭州·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 题型 有理数乘法的实际应用 ▌例4 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 解题贴士 规定正负代表相反意义量；先定符号，再算绝对值乘积，结合题意解读结果。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 题型 倒数 ▌例5 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若、互为相反数，、互为倒数，求的值． 解题贴士 互为倒数的两数乘积为1。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，求下列各式的值： (1)x与y的相反数的和； (2)x的倒数与y的绝对值的差． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，且的绝对值为，求的值． 基础通关 1．（2026·浙江嘉兴·二模）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．互为倒数的两个数的积可能为0 B．几个有理数相乘，负因数为奇数个，则乘积为负数 C．多个有理数相乘的积不为0 D．绝对值和倒数都等于它本身的数只有1 3．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若两个有理数的和为负数，积为正数，则这两个有理数（   ） A．一正一负 B．都是负数 C．都是正数 D．不能确定 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．最大的负整数是，最小的正整数是 B．若，则一定是正数 C．倒数等于它本身的数是和 D．两个数的和一定大于其中任意一个加数 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算：__________． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）的倒数是______． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则______． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1) (2) 11．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某天下午，快递员小张从快递公司出发，沿南北走向的街道派送快递，规定向北为正，向南为负，当天下午的派送里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一个快递送到目的地时，小张在快递公司的什么方向？距离快递公司多远？ (2)若快递车每行驶消耗电量度，这天下午快递车共消耗电量多少度？ 素养提升 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，，且，那么的值是（    ） A．1或 B．或 C．或 D．或 14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）（多选）若，是实数，则下列说法正确的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，且，那么 D．如果，，那么 15．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 17．（25-26七年级上·浙江·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)求的值． 迁移创新 18．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 19．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $