专题1.3 集合的基本运算（9类必考点）-2026年初升高暑期自救计划（人教A版2019必修第一册）

专题1.3 集合的基本运算 【知识梳理】 1 【考点1：并集的概念及运算】 2 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 3 【考点3：交集的概念及运算】 4 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 4 【考点5：全集与补集的概念及运算】 6 【考点6：交并补混合运算】 6 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 7 【考点8：集合的应用】 9 【考点9：集合的新定义】 10 【知识梳理】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 5. 两个集合运算结果的Venn图表示 6. 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【考点1：并集的概念及运算】 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知集合，，则集合中元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 1．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，.若，求m的取值范围. 4．（26-27高一·全国·暑假作业）设 ，若 ，求 的值． 5．（26-27高一·全国·暑假作业）集合或.若，求的取值范围； 【考点3：交集的概念及运算】 1．（25-26高二下·上海·期末）集合 ，集合 ，则 ______ 2．（江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽滁州·三模）设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 1．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，若，求实数t的取值范围. 4．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 5．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【考点5：全集与补集的概念及运算】 1．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）若全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【考点6：交并补混合运算】 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期末）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 3．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 4．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 5．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【考点8：集合的应用】 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 4．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 5．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【考点9：集合的新定义】 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一·全国·暑假作业）（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）（多选）给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算 【知识梳理】 1 【考点1：并集的概念及运算】 2 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 4 【考点3：交集的概念及运算】 6 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 7 【考点5：全集与补集的概念及运算】 9 【考点6：交并补混合运算】 10 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 12 【考点8：集合的应用】 15 【考点9：集合的新定义】 18 【知识梳理】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 5. 两个集合运算结果的Venn图表示 6. 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【考点1：并集的概念及运算】 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，，则． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 则. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集定义求解. 【详解】，， 所以． 4．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知集合，，则集合中元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由于,所以集合中元素个数为 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，，不含 ， 不满足，故选项A错误； 选项B，，不含， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，，不含， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，，同时含， ， 满足，故选项D正确. 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 1．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 4．（26-27高一·全国·暑假作业）设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 5．（26-27高一·全国·暑假作业）集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 【考点3：交集的概念及运算】 1．（25-26高二下·上海·期末）集合 ，集合 ，则 ______ 【答案】 （或区间形式） 【详解】∵ 集合，集合， ∴求两个集合的交集，则 需同时满足和，取两个范围的公共部分可得， ∴ . 2．（江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 3．（2026·安徽滁州·三模）设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以， 所以. 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 5．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由交集的定义可知，. 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 1．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 4．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 5．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或. 【考点5：全集与补集的概念及运算】 1．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,,所以, 因为,所以. 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，则集合为. 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 4．（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）若全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由补集的定义及交集的定义可得. 【详解】因为全集，，所以， 因此． 【考点6：交并补混合运算】 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期末）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，所以. 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）直接由交集及并集的定义并结合数轴可得； （2）由补集及交集的定义并结合数轴可得. 【详解】（1）因为， 由交集的定义得，如图：    ， 又由并集的定义得，如图：  ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： .   【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 3．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得. 4．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 5．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【考点8：集合的应用】 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 3．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 4．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 5．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 【考点9：集合的新定义】 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 4．（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 5．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）（多选）给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 【点睛】方法归纳：解决集合新定义问题，需先准确理解新集合的含义，将陌生条件转化为熟悉的集合运算、不等关系，涉及最值问题时优先考虑元素连续的集合构造. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $