专题1.2 集合的基本关系（8类必考点）-2026年初升高暑期自救计划（人教A版2019必修第一册）

专题1.2 集合的基本关系 【知识梳理】 1 【考点1：求集合的子集或子集个数】 2 【考点2：求集合的真子集或真子集个数】 4 【考点3：判断两个集合的包含关系】 6 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 8 【考点5：判断两个集合是否相等】 10 【考点6：根据两个集合相等求参数】 12 【考点7：空集的概念以及判断】 14 【考点8：空集的性质及应用】 16 【知识梳理】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且A≠B，则AB. 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 5. 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若，且，则； ②若，B=C，则. (3)若，A≠B，则AB. 【考点1：求集合的子集或子集个数】 1．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 2．（2026·广东·模拟预测）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 4．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 5．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 【考点2：求集合的真子集或真子集个数】 1．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据“若一个集合中有n个元素，则这个集合有个真子集”，即可得出答案. 【详解】真子集的个数为. 故选：B. 2．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系确定所求集合即可. 【详解】由，可知集合可以是或. 故选：D. 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 4．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）已知集合，其中有2个元素，有5个元素，且则满足的集合的个数为（   ） A．7 B．6 C．15 D．14 【答案】A 【分析】根据题意，利用集合子集和真子集的概念，结合列举法，即可求解. 【详解】由集合，其中有2个元素，有5个元素， 不妨设，则， 因为，则, 所以集合可能为， 所以集合的个数为7个. 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【答案】3 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，且是集合的真子集， 得含有元素的集合的真子集为：， 所以满足条件的A有3个. 故答案为：3 【考点3：判断两个集合的包含关系】 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 2．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 3．（2026高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 5．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 1．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 2．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 4．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 5．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【考点5：判断两个集合是否相等】 1．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 2．（2026高一上·江苏南通·专题练习）下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A，两个集合中元素对应的坐标不同，所以A错误； 选项B，集合是数集，集合是点集，不相等，所以B错误； 选项C，两个集合研究的对象不同，集合是上的点，集合是，不相等，所以C错误； 选项D，两个集合元素相同，集合元素有无序性，所以相等，所以D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，集合不是同一集合，A不是； 对于B，是数集，是点集，集合不是同一集合，B不是； 对于C，集合是大于或者等于的数集，集合也是大于或者等于的数集，集合是同一集合，C是； 对于D，集合是大于或者等于的数集，而集合是二次函数图象上 所有点组成的集合，为点集，集合不是同一集合，D错误． 故选：C 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 5．（25-26高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可. 【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错； 对B，由集合元素的无序性可知，，B对； 对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错； 故选：B 【考点6：根据两个集合相等求参数】 1．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 3．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 5．（26-27高一·全国·暑假作业）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 【考点7：空集的概念以及判断】 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 3．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的根，即可求解AB,根据一次方程的求解即可判断CD. 【详解】对于A项，一元二次方程无实根，解集为空集，A项正确； 对于B项，一元二次方程有两个相等的实数根或有两个不等的实数根，B项错误； 对于C项，，，，方程不成立，解集为空集，C项正确； 对于D项，，，，，D项错误. 故选:AC 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 【答案】 【分析】由题意可知，计算即可求解. 【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【答案】/0.5 【分析】化简方程，分类讨论解方程即可求解． 【详解】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 【考点8：空集的性质及应用】 1．（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是或. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合的基本关系 【知识梳理】 1 【考点1：求集合的子集或子集个数】 2 【考点2：求集合的真子集或真子集个数】 3 【考点3：判断两个集合的包含关系】 3 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 4 【考点5：判断两个集合是否相等】 5 【考点6：根据两个集合相等求参数】 6 【考点7：空集的概念以及判断】 6 【考点8：空集的性质及应用】 7 【知识梳理】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且A≠B，则AB. 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 5. 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若，且，则； ②若，B=C，则. (3)若，A≠B，则AB. 【考点1：求集合的子集或子集个数】 1．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3．（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 4．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 5．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【考点2：求集合的真子集或真子集个数】 1．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 2．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）已知集合，其中有2个元素，有5个元素，且则满足的集合的个数为（   ） A．7 B．6 C．15 D．14 5．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【考点3：判断两个集合的包含关系】 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 2．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 4．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 1．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 4．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，若，求的值 5．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【考点5：判断两个集合是否相等】 1．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一上·江苏南通·专题练习）下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【考点6：根据两个集合相等求参数】 1．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 5．（26-27高一·全国·暑假作业）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【考点7：空集的概念以及判断】 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 3．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【考点8：空集的性质及应用】 1．（25-26高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是__________. 3．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $