（暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型）2026-2027学年苏科版数学八升九暑期进阶全攻略

2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一数据的收集、整理与描述 1 考点二认识概率 7 考点三四边形 11 考点四因式分解 17 考点五分式 21 考点六二次根式 26 考点一数据的收集、整理与描述 1．下面是六种国家一级保护动物及编号：1．大熊猫；2．滇金丝猴；3．藏羚羊；4．丹顶鹤；5．遗鸥；6．亚洲象． 某班同学按学号顺序排出同学们在这六种动物中最喜爱的动物编号，得出如下42个数据： 1 ；1； 2； 2； 4； 6； 3 ；4 ；5； 1； 2 ；4 ；1 ；4 6 ；2 ；1 ；2 ；3 ；5 ；5 ；6 ；1； 3 ；1 ；4 ；2 ；1 1 ；3 ；2； 1； 5； 4 ；5； 4 ；1 ；4； 5； 3 ；2 ；5 （1）请用表格对全班同学最喜爱的动物的人数进行整理； （2）请你设计一份调查问卷，对全班同学中男、女生各自在这六种动物中最喜爱的动物的情况进行问卷调查． 【答案】（1）解：全班同学最喜爱的动物的人数统计表 种类 记录 人数 1 正正一 11 2 正 8 3 正 5 4 正 8 5 正 7 6 3 （2）解：调查问卷 全班同学最喜爱的动物的调查问卷①．您的性别是 ． ②．您最喜爱的动物是 （单选） 1．大熊猫；2．滇金丝猴；3．藏羚羊；4．丹顶鹤；5．遗鸥；6．亚洲象 【分析】（1）在统计调查中，我们通常利用观察、调查问卷等收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况． （2）设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题． 【解答】（1）略 （2）略 2．小明在一次调查中收集了20个数据，数据如下： 95  91  93  95  97  99  95  98  90  99 96  94  95  97  96  92  94  95  96  98 （1）在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应该分成多少组？ （2）94.5～96.5这组的频数是多少？ 【答案】（1）5 （2）8 【分析】（1）要确定组数，需先求出数据的极差，再用极差除以组距，若结果不是整数则向上取整； （2）要确定 94.5~96.5 这组的频数，需逐一统计落在该区间内的数据个数． 【解答】（1）解：最大值为，最小值为． 计算极差：． 已知组距为，计算组数：． 由于组数必须为整数，且不能小于计算结果，因此向上取整，得到组． （2）解：统计落在区间内的数据：，，，，，，，． 共个，因此该组的频数是． 【点睛】本题考查了频数分布表的相关知识点，解题关键是掌握组数的计算方法，以及频数的统计方法（统计落在对应区间内的数据个数）． 3．某校想了解学生科学素养情况，随机抽取901，902班各20名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）901班成绩的频数分布直方图如图（数据分成4组：，，，）： （Ⅱ）902班成绩如下： 65 68 71 70 72 70 79 66 74 81 80 81 73 82 83 83 77 87 91 94 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）若科学素养成绩不少于80分为优秀，已知901，902两班学生人数相同，问哪个班科学素养成绩优秀人数多，通过计算说明． 【答案】（1） （2）解：由题意得：901班的优秀学生人数有人，所占百分比为， 902班的优秀学生人数有人，所占百分比为， ∵， ∴902班科学素养成绩优秀人数多． 【分析】（1）由题意易得成绩在的人数，然后问题可求解； （2）分别得出901班和902班的优秀率，然后问题可求解． 【解答】（1）解：由题意得：成绩在的人数为， 补全频数分布直方图略 （2）略 4．青少年体质指数（）是评估青少年营养状况、胖瘦与健康的一种衡量指标．体质指数（）计算公式：，其中G表示体重（），h表示身高（m），《国家学生体质健康标准》将学生体质指数（）分成四个等级：A（偏瘦），B（标准），C（超重），D（肥胖）． 为了解学校学生体质指数分布情况，数学综合实践小组开展了一次调查，并做了如下工作：①整理数据并绘制统计图；②在全校范围内随机抽取50名学生，进行问卷调查；③分析数据并得出结论；④设计关于体重和身高的问卷． （1）将上述统计工作进行排序： ； （2）调查小组根据收集的数据，绘制了如图的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题： ①补全条形统计图； ②求扇形统计图中C所对应的圆心角度数； ③学校准备制定健身减肥计划（超重和肥胖都需要参加），若该校总人数500人，估计需要健身减肥的有多少人？ 【答案】（1）④②①③ （2）①补全条形统计图如下： ②； ③220人． 【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可； （2）①根据扇形统计图中B等级所占的百分比和总人数可求得B等级的人数，然后用总人数减去其它等级人数即可求得C等级的人数，据此补充条形统计图即可； ②利用360度乘以C等级所占的百分比求解即可； ③用该校总人数乘以C等级和D等级所占百分比求解即可． 【解答】（1）解：为了解学校学生体质指数分布情况，应该先设计关于体重和身高的问卷，然后在全校范围内随机抽取50名学生，进行问卷调查，再整理数据并绘制统计图，最后结合统计图分析数据并得出结论； 则正确排序为④②①③； （2）解：①B等级的人数：（人）， C等级的人数：（人）． ②， 答；扇形统计图中C所对应的圆心角度数为． ③（人）， 答：估计需要健身减肥的有220人． 5．科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷你选择参与的科技活动项目是（     ）（单选题） A．小发明        B．小制作 C．小实验        D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 【答案】（1）100 （2） （3） （4）该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有180人 （5）小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额 【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可； （2）由项目C占总人数的百分比即可求出其圆心角； （3）先求出项目A的人数，再进行补全即可； （4）根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数； （5）根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可． 【解答】（1）解：由条形统计图可知，选择B项目的学生有50人；由扇形统计图可知，B项目人数占总人数的， ∴总人数为（人）； （2）解：由条形统计图可知，选择C项目的学生有25人， ∴其圆心角度数为； （3）解：由题意得，A项目的人数为（人）； （4）解：由题意得，选择小论文的人数约为：（人）； （5）解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配80个奖励名额， ∴A项目的奖励名额为：（个）； B项目的奖励名额为：（个）； C项目的奖励名额为：（个）； D项目的奖励名额为：（个）， 答：小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额． 考点二认识概率 6．在一个不透明的盒子里装有6张明信片，建筑图、动物图、植物图各2张，搅匀后随机摸出n张明信片，事件“三种明信片至少各有一张”： （1）当 时，这个事件不可能发生； （2）当 时，这个事件可能发生； （3）当 时，这个事件必然发生． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【分析】（1）当摸出张数不足2张时，不可能出现三种明信片各有一张； （2）当摸出张数不少于3张时，不超过张时，这个事件可能发生； （3）当摸出张数不少于张时，这个事件必然发生． 【解答】（1）解：当或时，这个事件不可能发生； （2）解：当或时，这个事件可能发生； （3）解：当或时，这个事件必然发生． 7．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【解答】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 8．下列说法正确吗？请说明理由． （1）在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； （2）在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； （3）在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 【答案】（1）说法不正确，理由如下：在做抛瓶盖的试验时，每名学生应该尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计，这样做的目的是保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求． （2）说法不正确，理由如下：因为随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，所以原说法错误． （3）说法不正确，理由如下：因为用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，所以原说法错误． 【解答】（1）略 （2）略 （3）略 9．万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 （1）若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） （2）已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； （3）活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的想法不合理． 理由：概率描述的是大量重复试验下随机事件发生的规律，每次抽奖都是相互独立的随机事件，少量试验的结果具有随机性，三次都抽到“谢谢参与”是可能发生的，不能由此说明中奖概率统计有问题． 【分析】（1）根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，估计抽中二等奖的概率． （2）利用估计出的二等奖概率计算二等奖人数，再结合一等奖数量计算获得“谢谢参与”的人数． （3）根据概率的意义判断小明的想法，概率反映大量重复试验的规律，少量试验结果具有随机性． 【解答】（1）解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在附近，因此抽中二等奖的概率约为． （2）解：已知总参与人数为，一等奖共个，抽中二等奖的概率约为．估计中二等奖的人数为． 因此估计获得“谢谢参与”的人数为． （3）略 10．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格： ， ； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】（1）0.305，148 （2）0.3，0.3 （3） 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【解答】（1）解：，． （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3． （3）解：，，， ∴． 考点三四边形 11．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，的周长为10，求的周长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， 点O是对角线的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）20 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，所以，，结合点O是对角线的中点，可证明，所以，即可根据平行四边形的判定证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，结合的周长为10，可得，即可求得答案． 【解答】（1）略 （2）解：，， ， 的周长为10， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 12．如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，得，，再根据，，即可证明四边形是平行四边形，再由，即可判定四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得，，则，再根据四边形为矩形，得，再根据角的和差求解． 【解答】（1）略 （2）解：∵菱形，， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 13．如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）18 【分析】（1）先利用等边对等角、平行线的性质证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）如图：过点F作交于G，则，由菱形的性质以及等边对等角可得、；利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【解答】（1）略 （2）解：如图：过点F作交于G，则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 14．如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：如图，由 ， 分别是， 的中点，可知 是 的中位线， ，． 又，， ∴，， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据三角形中位线定理得到，，由已知，得到，，即可证明结论成立． 【解答】（1）略 （2）略 15．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）______； （2）若四边形成为平行四边形，求t的值． （3）当______时，？ 【答案】（1）18 （2） （3）或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰梯形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作于E，则四边形为矩形．在直角中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）根据平行四边形的性质可得，据此列出关于t的方程，解方程即可得到答案； （3）分两种情况：当时，四边形是平行四边形；当梯形是等腰梯形时，，可建立方程求解即可得出结论． 【解答】（1）解：如图，过D点作于E， 则 ∵，， ∴ ， ∴四边形矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 故答案为：18； （2）解：由题意得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当梯形是等腰梯形时，， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∴； 综上所述，当t为或时，． 考点四因式分解 16．因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）本题多项式各项存在公因式，解题思路为提取公因式完成因式分解． （2）先套用平方差公式分解，再对所得多项式利用完全平方公式继续分解至不能再分解． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】法一：根据完全平方公式与多项式乘以多项式进行计算，合并同类项，再将字母的值代入，法二：提公因式分解因式，再计算单项式乘以多项式，最后将字母的值代入计算即可求解． 【解答】解：法一： 当，时，原式． 法二： 当，时，原式． 18．配方法是代数变形时常用的一种重要方法，可以用来对多项式进行因式分解． 如：； 再如： ． （1）用配方法分解因式：①；②． （2）如果，试判断以a，b，c为边长的的形状． 【答案】（1）①；② （2）是直角三角形 【分析】（1）根据配方法进行因式分解即可； （2）由题意易得，然后根据勾股定理逆定理进行求解即可． 【解答】（1）解：① ； ② ； （2）解：由可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 19．如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） （1）种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） （2）当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）用大圆面积减去4个小圆的面积，列出阴影部分面积的表达式； （2）对面积表达式先提取公因式，再用平方差公式因式分解，代入数值简化计算． 【解答】（1）解：=大圆面积−4×小圆面积， ． （2）解：． 当，时， ． 20．在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． （1）若多项式为，当时，写出所有的取件码______． （2）某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． （3）若多项式为，当，求出所有的取件码． 【答案】（1）1119和1911 （2）20 （3）262323、232623、232326 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）直接因式分解后将代入求值即可； （2）将因式分解后通过取件码数字反推x值即可； （3）将因式分解，将代入求出三个取件码数字，进而排列即可． 【解答】（1）解：， 代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911； 故答案为：1119和1911； （2）解： ， 取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，， ∴他选取x的值是20； 故答案为：20； （3）解：， 代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23， 所有取件码为262323、232623、232326． 考点五分式 21．解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） . （2） . 【分析】本题主要考查解分式方程，先去分母转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【解答】（1），       ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解； （2）． ， ， ， 检验：当 时， ， ∴ 是原方程的解． 22．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 【答案】 【分析】先去分母、去括号、移项、合并同类项得到方程，结合分式方程的增根为，得到，解分式方程即可． 【解答】解：关于的分式方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 方程的增根为，即是方程有解， ， 则方程的解为， ，解得， 经检验，是分式方程的解， ． 23．常州博物馆文创区，将厚重的历史转化为轻盈的创意，让博物馆的陪伴在家庭生活中持续延续，其中的文创冰箱贴更是深受大家喜爱．已知“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价比“龙纹砖冰箱贴”的单价低12元，用288元购买的“龙纹砖冰箱贴”的数量和用216元购买的“青瓷鸡首壶冰箱贴”的数量相同．求“龙纹砖冰箱贴”的单价为多少元？ 【答案】“龙纹砖冰箱贴”的单价为48元 【分析】设“龙纹砖冰箱贴”的单价为x元，则“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价为元，根据用288元购买的“龙纹砖冰箱贴”的数量和用216元购买的“青瓷鸡首壶冰箱贴”的数量相同建立方程求解即可． 【解答】解：设“龙纹砖冰箱贴”的单价为x元，则“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“龙纹砖冰箱贴”的单价为48元． 24．山西非遗刺绣技艺历史悠久、工艺精湛．现有两位山西绣娘制作同一种传统刺绣挂件，已知李阿姨每月比王阿姨多制作8件，且李阿姨制作60件刺绣所用的时间与王阿姨制作45件刺绣所用的时间相同． （1）王阿姨、李阿姨每月各制作多少件刺绣？ （2）现接到一批新订单210件，若李阿姨因事暂不能参与工作，由王阿姨先单独制作，李阿姨后加入合作，要求总工期不超过6个月，李阿姨最晚第几个月开始合作能按时完成这批订单？（要求结果为整数） 【答案】（1）王阿姨每月制作24件刺绣，李阿姨每月制作32件刺绣 （2）李阿姨最晚第4个月开始合作能按时完成这批订单 【分析】（1）设王阿姨每月制作x件刺绣，则李阿姨每月制作件刺绣，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设李阿姨在第y个月开始合作，根据题意列出不等式，求得最大正整数，即可求解． 【解答】（1）解：设王阿姨每月制作x件刺绣，则李阿姨每月制作件刺绣． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：王阿姨每月制作24件刺绣，李阿姨每月制作32件刺绣． （2）解：设李阿姨在第y个月开始合作． 当总工期为6个月时， 王阿姨全程参与6个月，共制作件． 李阿姨参与的时间为个月，共制作件． 由题意，得， 解得． ∵y为整数， ∴y的最大值为4． 答：李阿姨最晚第4个月开始合作能按时完成这批订单． 25．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． （1）【任务1】直接写出①“__________”处的内容： （2）【任务2】证明②中的不等式： （3）【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，据此可得第一空的答案；根据糖水变淡可知糖水的浓度变低，据此可得第二空的答案； （2）可求出，再证明即可证明结论； （3）由（2）可得，，，则可证明，根据，，，可证明． 【解答】（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； 考点六二次根式 26．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）根据完全平方公式及平方差公式将原式展开，再进行加减运算． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 27．先化简再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先化简分式，再将代入计算即可． 【解答】解：原式， ， ． 当 时， ． 28．如图，在中，是上一点，若，，，，求的长和． 【答案】，． 【分析】利用勾股定理的逆定理判断得到为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而根据面积公式即可求解． 【解答】解：在中，，，， ， ， 为直角三角形， ， 即， 在中，，， 根据勾股定理得：， ． 29．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． （1）求长方形的周长； （2）求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】（1） （2）面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【解答】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 30．小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若想要让风筝的离地高度再上升至处，在余线剩的情况下，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】（1） （2）风筝的离地高度能再上升至处，理由见解析 【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解； （2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立． 【解答】（1）解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； （2）解：能；理由如下： 假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一数据的收集、整理与描述 1 考点二认识概率 4 考点三四边形 7 考点四因式分解 9 考点五分式 11 考点六二次根式 13 考点一数据的收集、整理与描述 1．下面是六种国家一级保护动物及编号：1．大熊猫；2．滇金丝猴；3．藏羚羊；4．丹顶鹤；5．遗鸥；6．亚洲象． 某班同学按学号顺序排出同学们在这六种动物中最喜爱的动物编号，得出如下42个数据： 1 ；1； 2； 2； 4； 6； 3 ；4 ；5； 1； 2 ；4 ；1 ；4 6 ；2 ；1 ；2 ；3 ；5 ；5 ；6 ；1； 3 ；1 ；4 ；2 ；1 1 ；3 ；2； 1； 5； 4 ；5； 4 ；1 ；4； 5； 3 ；2 ；5 （1）请用表格对全班同学最喜爱的动物的人数进行整理； （2）请你设计一份调查问卷，对全班同学中男、女生各自在这六种动物中最喜爱的动物的情况进行问卷调查． 2．小明在一次调查中收集了20个数据，数据如下： 95  91  93  95  97  99  95  98  90  99 96  94  95  97  96  92  94  95  96  98 （1）在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应该分成多少组？ （2）94.5～96.5这组的频数是多少？ 3．某校想了解学生科学素养情况，随机抽取901，902班各20名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）901班成绩的频数分布直方图如图（数据分成4组：，，，）： （Ⅱ）902班成绩如下： 65 68 71 70 72 70 79 66 74 81 80 81 73 82 83 83 77 87 91 94 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）若科学素养成绩不少于80分为优秀，已知901，902两班学生人数相同，问哪个班科学素养成绩优秀人数多，通过计算说明． 4．青少年体质指数（）是评估青少年营养状况、胖瘦与健康的一种衡量指标．体质指数（）计算公式：，其中G表示体重（），h表示身高（m），《国家学生体质健康标准》将学生体质指数（）分成四个等级：A（偏瘦），B（标准），C（超重），D（肥胖）． 为了解学校学生体质指数分布情况，数学综合实践小组开展了一次调查，并做了如下工作：①整理数据并绘制统计图；②在全校范围内随机抽取50名学生，进行问卷调查；③分析数据并得出结论；④设计关于体重和身高的问卷． （1）将上述统计工作进行排序： ； （2）调查小组根据收集的数据，绘制了如图的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题： ①补全条形统计图； ②求扇形统计图中C所对应的圆心角度数； ③学校准备制定健身减肥计划（超重和肥胖都需要参加），若该校总人数500人，估计需要健身减肥的有多少人？ 5．科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷你选择参与的科技活动项目是（     ）（单选题） A．小发明        B．小制作 C．小实验        D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 考点二认识概率 6．在一个不透明的盒子里装有6张明信片，建筑图、动物图、植物图各2张，搅匀后随机摸出n张明信片，事件“三种明信片至少各有一张”： （1）当 时，这个事件不可能发生； （2）当 时，这个事件可能发生； （3）当 时，这个事件必然发生． 7．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 8．下列说法正确吗？请说明理由． （1）在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； （2）在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； （3）在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 9．万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 （1）若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） （2）已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； （3）活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 10．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格： ， ； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是 ．（用“”连接） 考点三四边形 11．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，的周长为10，求的周长． 12．如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的度数． 13．如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求四边形的面积． 14．如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 15．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）______； （2）若四边形成为平行四边形，求t的值． （3）当______时，？ 考点四因式分解 16．因式分解： （1）； （2）． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．配方法是代数变形时常用的一种重要方法，可以用来对多项式进行因式分解． 如：； 再如： ． （1）用配方法分解因式：①；②． （2）如果，试判断以a，b，c为边长的的形状． 19．如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） （1）种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） （2）当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 20．在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． （1）若多项式为，当时，写出所有的取件码______． （2）某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． （3）若多项式为，当，求出所有的取件码． 考点五分式 21．解分式方程： （1）； （2）． 22．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 23．常州博物馆文创区，将厚重的历史转化为轻盈的创意，让博物馆的陪伴在家庭生活中持续延续，其中的文创冰箱贴更是深受大家喜爱．已知“青瓷鸡首壶冰箱贴”的单价比“龙纹砖冰箱贴”的单价低12元，用288元购买的“龙纹砖冰箱贴”的数量和用216元购买的“青瓷鸡首壶冰箱贴”的数量相同．求“龙纹砖冰箱贴”的单价为多少元？ 24．山西非遗刺绣技艺历史悠久、工艺精湛．现有两位山西绣娘制作同一种传统刺绣挂件，已知李阿姨每月比王阿姨多制作8件，且李阿姨制作60件刺绣所用的时间与王阿姨制作45件刺绣所用的时间相同． （1）王阿姨、李阿姨每月各制作多少件刺绣？ （2）现接到一批新订单210件，若李阿姨因事暂不能参与工作，由王阿姨先单独制作，李阿姨后加入合作，要求总工期不超过6个月，李阿姨最晚第几个月开始合作能按时完成这批订单？（要求结果为整数） 25．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． （1）【任务1】直接写出①“__________”处的内容： （2）【任务2】证明②中的不等式： （3）【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 考点六二次根式 26．计算： （1）； （2）． 27．先化简再求值：，其中． 28．如图，在中，是上一点，若，，，，求的长和． 29．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． （1）求长方形的周长； （2）求剩余部分与长方形的面积差． 30．小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若想要让风筝的离地高度再上升至处，在余线剩的情况下，请判断小明能否成功，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $