专题10 对数与对数函数（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 对数与对数函数 【复习目标】 1. 理解对数的概念，理解对数的性质和运算法则。 2. 理解对数函数的概念，掌握其图像与性质。 3. 能运用对数函数的知识解决有关问题. 【考点1 对数及对数运算】 1、对数的定义 　一般地，若( a＞0且a≠1，N＞0 )，则称幂指数b是以a为底N的_________．记作( a＞0 且a ≠ 1 )．其中，a叫做对数的_________，N叫做_________． 注：①底数的限制：_________； ②对数的真数大于_________． 2、指数式与对数式的互化 3、指数幂的性质 ①1的对数等于_________，即； ②底数的对数等于_________，即； ③_________和_________没有对数． 4、常用对数与自然对数 ①常用对数：底数是10的对数叫做常用对数．为了简便，把记作_________． ②自然对数：以无理数e为底的对数叫做自然对数.把记作_________. 5、积、商、幂的对数运算法则 ①； ②； ③ 6、对数恒等式 ① ② ③ ④ 7、换底公式： 变形公式： ① ② ③ 【即时训练】 1． （    ） A． B． C． D．2 2．（   ） A． B． C．0 D．1 3．（   ） A． B． C．2 D． 4．计算（    ） A．2 B． C． D． 5．若则（   ） A． B． C． D． 6．已知，用表示是________________. 7．若，则___________． 8．设实数满足，则________ ． 9．计算下列各题： (1)； (2). (3). 10． 计算： 11． 求的值． 12．计算下列各式的值： (1) (2) 【考点2 对数函数的图像与性质】 函数 对数函数 底数a的范围 图像 定义域 _________ 值域 _________ 定点 _________ 性质 (1) 在上是____函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 在上是______函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 底数互为倒数的两个对数函数，图像关于x轴对称； (2) 底数的大小关系：“大大近，小小近”（y轴右侧第一象限内图像从左到右底数越来越大）. 特别提醒：利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。 【即时训练】 1．对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8.已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 9. 比较下列比较下列各组中两个值的大小： （1） 与；（2） 与 ． 10.已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 11.不等式的解集为 ． 12. 地震释放出的能量（单位:焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此推断里氏级地震所释放的能量与里氏级地震所释放的能量的倍数是（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 1.（2026·天津·真题T09）计算：________． 2.（2025·天津·真题T02）计算：（ ） A. B. C. D. 3.（2024·天津·真题T09）若，则_______________． 4.（2022·天津·真题T10）已知函数，则________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 对数与对数函数 【复习目标】 1. 理解对数的概念，理解对数的性质和运算法则。 2. 理解对数函数的概念，掌握其图像与性质。 3. 能运用对数函数的知识解决有关问题. 【考点1 对数及对数运算】 1、对数的定义 　一般地，若( a＞0且a≠1，N＞0 )，则称幂指数b是以a为底N的对数．记作( a＞0 且a ≠ 1 )．其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 注：①底数的限制：a＞0 且 a ≠ 1； ②对数的真数大于零． 2、指数式与对数式的互化 3、指数幂的性质 ①1的对数等于零，即； ②底数的对数等于 1，即； ③0和负数没有对数． 4、常用对数与自然对数 ①常用对数：底数是10的对数叫做常用对数．为了简便，把记作． ②自然对数：以无理数e为底的对数叫做自然对数.把记作. 5、积、商、幂的对数运算法则 ①； ②； ③ 6、对数恒等式 ① ② ③ ④ 7、换底公式： 变形公式： ① ② ③ 【即时训练】 1． （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 2．（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】. 3．（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故选：A 4．计算（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算公式可得答案. 【详解】. 故选：C. 5．若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数对数互化和对数的运算法则. 【详解】已知， 对等式两边取以为底的对数： 化简， 即 故选：D 6．已知，用表示是________________. 【答案】/ 【分析】指数式化为对数式，再结合对数运算法则进行求解. 【详解】由得，故. 故答案为：. 7．若，则___________． 【答案】6 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，则，即. 故答案为：6. 8．设实数满足，则________ ． 【答案】 【分析】根据题意，利用指数式和对数式的互化公式，即可求解. 【详解】因为实数满足，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 9．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 10．计算： 【答案】1 【分析】根据对数运算法则来计算 【详解】 11．求的值． 【答案】 【分析】统一换底数 【详解】 12．计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)8 【分析】利用对数与指数的运算法则，结合对底的换底公式即可得解. 【详解】（1） . （2） . 【考点2 对数函数的图像与性质】 函数 对数函数 底数a的范围 图像 定义域 值域 R 定点 性质 (1) 在上是增函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 在上是减函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 底数互为倒数的两个对数函数，图像关于x轴对称； (2) 底数的大小关系：“大大近，小小近”（y轴右侧第一象限内图像从左到右底数越来越大）. 特别提醒：利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。 【即时训练】 1．对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令，则， 即函数经过点. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合再求可得答案. 【详解】集合， ， 则. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 4．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于0，即可求出函数的定义域. 【详解】解：由题意可知，解得， 所以函数的定义域为. 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得. 【详解】根据题意，， 因函数为上的增函数，由于，因此，即， 又因为，而， 函数为上的增函数，由，可得，即， 综上可得，. 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解. 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 8.已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得. 【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1； 当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合， 故选：C． 9. 比较下列比较下列各组中两个值的大小： （1） 与；（2） 与 ． 【答案】 【解析】（1）考察函数，它在（0，+∞）上是增函数，因为3＜3.5，所以＜． （2）考察函数，它在（0，+∞）上是减函数，因为1.6＜1.8，所以>． 10.已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】将代入求得，进而可得的值. 【详解】因为函数的 图象过点， 所以， 则， 所以，， 故选：B. 11.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 12. 地震释放出的能量（单位:焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此推断里氏级地震所释放的能量与里氏级地震所释放的能量的倍数是（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】先根据题意分别表示出里氏级地震所释放的能量与里氏级地震所释放的能量，然后两个数相比可得答案 【详解】设里氏级地震所释放的能量为，里氏级地震所释放的能量，则 ，， 所以，， 所以， 即里氏级地震所释放的能量与里氏级地震所释放的能量的倍数是倍， 故选：D 1.（2026·天津·真题T09）计算：________． 【答案】/0.25 【解析】 【分析】根据指数以及对数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2.（2025·天津·真题T02）计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的定义即可得解. 【详解】. 故选:. 3.（2024·天津·真题T09）若，则_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】∵，∴. 故答案为：2. 4.（2022·天津·真题T10）已知函数，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为：4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $