专题43 复数的概念与运算（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题43 复数的概念与运算 【复习目标】 1.透彻理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式，精准区分复数的实部、虚部，明确虚部不含虚数单位的核心要点； 2.能精准辨析复数相关易混概念，快速完成复数分类、复数相等、共轭复数、复数模的基础判断题与选择题，零失误解决基础概念题型； 3.熟练、规范完成复数的四则混合运算，掌握复数除法实数化的核心解题方法，能快速化简复杂复数表达式，提升运算准确率与速度； 4. 能利用复数相等条件、纯虚数/实数判定条件，求解复数表达式中的未知参数，掌握含参复数问题的常规解题思路； 5.能结合复平面解释复数的几何意义，利用复数模的公式求解模长，借助加减法几何意义解决简单的复数几何问题，初步建立数形结合的解题思维。 1、 【知识清单】 知识点1：复数的基本概念 1.复数的定义：形如 的数叫做复数，其中实部是 ，虚部是 ． 2.复数的分类： （1）当时，是 ； （2）当时，是 ①当且仅当 时，是纯虚数； ②当且仅当 时，是非纯虚数. 3.复数的有关概念 复数相等 共轭复数 共轭⇔ 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作， 即 知识点2 ：复数的几何意义 1．复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ； 2．实轴、虚轴：在复平面内，轴叫做 ，轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 ； 3．复数的几何表示：复数复平面内的点Z(a，b)平面向量 知识点3 复数的四则运算 1．复数的运算法则 设， ()，则 （1） ； （2） ； （3） （4） (5)几何意义：复数加、减法可按向量的 则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 2.复数运算的几个重要结论 （1).i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. （2）.(1±i)2＝ ，＝ ；＝ . （3）.复数的模与共轭复数的关系 = （4） ， （5） 二、【技巧归纳】 1.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． 2. 复数运算一般思路 （1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的加法、减法、乘法运算，除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数. （2）解复数的运算与复数概念的综合题时，先利用复数的运算法则化简，一般化为的形式，然后继续解答. 三、【考点清单】 考点1 复数的概念 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）复数的虚部是（    ） A．3 B． C． D．1 【即时训练】 1.（2026届浙江省台州市第二次高职模拟考试）复数的实部是（   ） A．2 B．1 C． D． 2. (2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试) 若复数，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 3. 已知是虚数单位，若两个复数和相等（其中为实数），则和的值分别是（    ） A． B． C． D． 4. 设复数，其中．若z是纯虚数，则m的值为（    ） A． B． C．或 D． 5. 若复数 z 满足，且实部为，则为（　　） A． B． C． D． 6. 若复数，则实数（   ） A．0 B．2 C．0或3 D．3 7. 已知复数，则______． 8. 若复数为纯虚数（其中为虚数单位)，则实数______，______． 考点2 复数的几何意义 【典例2】（2026届浙江省新昌职业高级中学高职单独考试摸底测试）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即时训练】 9. 已知复数，则在复平面内对应（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10. 在复平面内，复数对应的向量与实轴正方向的夹角为（    ） A． B． C． D． 11.已知 ，且 ，则 在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．以 为圆心，半径为1的圆 B．以 为圆心，半径为1的圆 C．以 为圆心，半径为1的圆 D．以 为圆心，半径为1的圆 12. 已知复数和，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 13. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_____________． 14. 已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 15. 已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，. （1）求表示的复数； （2）求表示的复数； （3）求点所对应的复数； （4）求对角线，的交点对应的复数. 16. 已知复数 满足 ，求的最大值和最小值. 考点3 复数的运算 【典例3】（2026届浙江省嘉兴、台州市高三第一次高职模拟考试）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知为虚数单位，则（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【即时训练】 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 18.（2026届浙江省单独考试招生考试杭州市模拟试卷）已知是虚数单位，则（    ） A．1 B．3 C． D． 19. 设（为实数），若，则的值为（    ） A． B． C． D． 20. 已知复数 ，则其共轭复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21. 若，则（　　） A．0 B．1 C． D．2 22. 复数的实部是_____________. 23. 已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 24. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_____． 25. 将下列复数化为标准形式： (1)； (2)． 26. 已知复数（）满足. (1)求、满足的关系式； (2)若，求实数、的值. 一、【真题溯源】 1.（2026年浙江，4）计算复数的结果，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2023年浙江，23）已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 二、【考向感知】 复数是浙江中职单招数学很简单、最基础的小题考点，无论选择还是填空都位于试卷前几道送分题。命题核心以复数四则运算（尤其是除法实数化）为主，搭配复数概念、模、复平面象限基础设问；命题区分点不在于难度，而在于概念记忆精度与符号运算细心程度，复习只需吃透教材基础公式、规避典型概念陷阱，即可稳定拿满分。 2027–2029 未来三年命题预判 （1）分值、题型、位置不变：单选或填空，位于试卷前半段基础题； （2）核心考向不变：分式除法运算为第一高频，概念辨析、模与象限轮换搭配； （3）两大微调方向 ①一题多点题型增多：先化简复数，再同步设问虚部、模、所在象限，一道题覆盖 2–3 个考点； ②参数类小题小幅增加：结合复数相等、纯虚数条件求实数参数，考察方程思想； （4）难度无提升：仅增加一步化简步骤，不新增超纲知识点； （5）命题导向：重基础概念、重符号运算规范，区分粗心学生与基础扎实学生。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题43 复数的概念与运算 【复习目标】 1.透彻理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式，精准区分复数的实部、虚部，明确虚部不含虚数单位的核心要点； 2.能精准辨析复数相关易混概念，快速完成复数分类、复数相等、共轭复数、复数模的基础判断题与选择题，零失误解决基础概念题型； 3.熟练、规范完成复数的四则混合运算，掌握复数除法实数化的核心解题方法，能快速化简复杂复数表达式，提升运算准确率与速度； 4. 能利用复数相等条件、纯虚数/实数判定条件，求解复数表达式中的未知参数，掌握含参复数问题的常规解题思路； 5.能结合复平面解释复数的几何意义，利用复数模的公式求解模长，借助加减法几何意义解决简单的复数几何问题，初步建立数形结合的解题思维。 1、 【知识清单】 知识点1：复数的基本概念 1.复数的定义：形如 的数叫做复数，其中实部是 ，虚部是 ． 2.复数的分类： （1）当时，是 实数 ； （2）当时，是 虚数 ①当且仅当 时，是纯虚数； ②当且仅当 时，是非纯虚数. 3.复数的有关概念 复数相等 共轭复数 共轭⇔ 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作， 即 知识点2 ：复数的几何意义 1．复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ； 2．实轴、虚轴：在复平面内，轴叫做 实轴 ，轴叫做 虚轴 ，实轴上的点都表示 实数 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 3．复数的几何表示：复数复平面内的点Z(a，b)平面向量 知识点3 复数的四则运算 1．复数的运算法则 设， ()，则 （1） ； （2） ； （3） （4） (5)几何意义：复数加、减法可按向量的 平行四边形或三角形法 则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 2.复数运算的几个重要结论 （1).i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. （2）.(1±i)2＝±2i ，＝ i ；＝－i . （3）.复数的模与共轭复数的关系 （4） ， （5） 二、【技巧归纳】 1.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． 2. 复数运算一般思路 （1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的加法、减法、乘法运算，除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数. （2）解复数的运算与复数概念的综合题时，先利用复数的运算法则化简，一般化为的形式，然后继续解答. 三、【考点清单】 考点1 复数的概念 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）复数的虚部是（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的定义求解即可. 【详解】复数中是虚部，复数的虚部是． 故选：C. 【即时训练】 1.（2026届浙江省台州市第二次高职模拟考试）复数的实部是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的实部的定义求解即可. 【详解】复数的实部是. 故选：C. 2. (2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试) 若复数，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据共轭复数的概念即可解答. 【详解】. 故选：C. 3. 已知是虚数单位，若两个复数和相等（其中为实数），则和的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的基本条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等求解即可. 【详解】∵复数，即. 故选：A. 4. 设复数，其中．若z是纯虚数，则m的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据含参复数为纯虚数的条件：实部为0且虚部不为0，据此列出方程求解即可． 【详解】∵复数为纯虚数， ∴，解得. 故选：B． 5. 若复数 z 满足，且实部为，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由复数模求参数 【分析】根据题意，可设复数，结合复数的模，即可求得参数b，继而求解. 【详解】因为复数 z 满足，且实部为 ， 设，则，解得， 所以. 故选：A. 6. 若复数，则实数（   ） A．0 B．2 C．0或3 D．3 【答案】A 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数能比较大小，可确定其为实数，由此列不等式求解即可. 【详解】已知复数， 则，解得， 故选：A. 7. 已知复数，则______． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模的坐标表示求值即可. 【详解】已知复数， 则， 故答案为：. 8. 若复数为纯虚数（其中为虚数单位)，则实数______，______． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据纯虚数的定义可得，可得的值，进而可得. 【详解】由复数为纯虚数，可得， 解得，， 故，进而， 故答案为：；. 考点2 复数的几何意义 【典例2】（2026届浙江省新昌职业高级中学高职单独考试摸底测试）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意结合复数的运算法则及几何意义即可得解. 【详解】因为， 所以其对应的点为，位于第四象限. 故选：. 【即时训练】 9. 已知复数，则在复平面内对应（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】因为复数，则在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 10. 在复平面内，复数对应的向量与实轴正方向的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义以及向量的夹角求解即可. 【详解】因为，则， 向量与正实轴夹角满足，且点在第四象限，所以. 故选：D. 11.已知 ，且 ，则 在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．以 为圆心，半径为1的圆 B．以 为圆心，半径为1的圆 C．以 为圆心，半径为1的圆 D．以 为圆心，半径为1的圆 【答案】A 【知识点】复数的几何意义 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由得，即. 由复数的几何意义可得， 在复平面上对应的点的轨迹是以  为圆心，半径为1的圆. 故选：A. 12. 已知复数和，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】根据复数加法的几何意义求解即可． 【详解】复数和， 对应的复数为， 故选：B． 13. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_____________． 【答案】 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义即可列出不等式组进行解答． 【详解】复数z对应的点为， ∵点在第二象限， ∴，解得． 故答案为：． 14. 已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. （1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 15. 已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，. （1）求表示的复数； （2）求表示的复数； （3）求点所对应的复数； （4）求对角线，的交点对应的复数. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【知识点】向量的坐标表示、复数的向量表示、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】（1）求得，由此求得对应的复数. （2）求得，由此求得对应的复数. （3）利用向量加法求得，由此求得对应的复数. （4）利用中点坐标公式求得点坐标，由此求得对应的复数. 【详解】依题意， （1）由于，所以对应复数为. （2）由于，所以对应复数为. （3）由于，所以点对应的复数为. （4）根据中点坐标公式可知，即，对应复数为. 16. 已知复数 满足 ，求的最大值和最小值. 【答案】最大值：，最小值： 【知识点】复数加减法几何意义的运用、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为复数 满足 ， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上； 又因为表示点到点 的距离， 圆心和点 之间的距离， 所以最大距离为 ，最小距离为 ， 即的最大值为，最小值为. 考点3 复数的运算 【典例3】（2026届浙江省嘉兴、台州市高三第一次高职模拟考试）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的加减法的运算求解即可. 【详解】因为复数，则. 故选：B. 【典例4】（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知为虚数单位，则（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 【即时训练】 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】复数， . 故选：. 18.（2026届浙江省单独考试招生考试杭州市模拟试卷）已知是虚数单位，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算可得结果. 【详解】. 故选：C 19. 设（为实数），若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 【分析】先求解复数的共轭复数，再利用复数的加法运算建立等式即可. 【详解】∵复数（为实数），则， ∴， 解得. 故选：A. 20. 已知复数 ，则其共轭复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数除法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义求解即可. 【详解】复数 ， 因此其共轭复数 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 21. 若，则（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的基本概念 【分析】根据复数的定义以及复数的模公式求解即可. 【详解】若，则. 故选：D. 22. 复数的实部是_____________. 【答案】 【知识点】复数除法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的运算以及复数的实部的定义求解即可. 【详解】因为， 所以的实部是. 故答案为：. 23. 已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 【答案】3 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法求出z和z的共轭复数，即可求出b. 【详解】， 则z的共轭复数为， 则， 故答案为：3 24. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_____． 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解． 【详解】复数， 因为复数是纯虚数， 所以，解得． 故答案为：1． 25. 将下列复数化为标准形式： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】复数除法的代数运算、虚数单位i及其性质 【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算，将化为即可计算； （2）利用复数的除法法则即可化简转化． 【详解】（1）； （2）． 26. 已知复数（）满足. (1)求、满足的关系式； (2)若，求实数、的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、由复数模求参数 【分析】（1）由共轭复数性质得，代入条件展开后合并实部虚部，化简得关系式； （2）结合得，联立（1）的关系式解方程组得. 【详解】（1）由已知得，则，，代入条件得： （2）由得，联立， 代入得： 再代入，得，故. 最终，. 一、【真题溯源】 1.（2026年浙江，4）计算复数的结果，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 2.（2023年浙江，23）已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 【答案】3 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数乘法求出z和z的共轭复数，即可求出b. 【详解】， 则z的共轭复数为， 则， 故答案为：3 二、【考向感知】 复数是浙江中职单招数学很简单、最基础的小题考点，无论选择还是填空都位于试卷前几道送分题。命题核心以复数四则运算（尤其是除法实数化）为主，搭配复数概念、模、复平面象限基础设问；命题区分点不在于难度，而在于概念记忆精度与符号运算细心程度，复习只需吃透教材基础公式、规避典型概念陷阱，即可稳定拿满分。 2027–2029 未来三年命题预判 （1）分值、题型、位置不变：单选或填空，位于试卷前半段基础题； （2）核心考向不变：分式除法运算为第一高频，概念辨析、模与象限轮换搭配； （3）两大微调方向 ①一题多点题型增多：先化简复数，再同步设问虚部、模、所在象限，一道题覆盖 2–3 个考点； ②参数类小题小幅增加：结合复数相等、纯虚数条件求实数参数，考察方程思想； （4）难度无提升：仅增加一步化简步骤，不新增超纲知识点； （5）命题导向：重基础概念、重符号运算规范，区分粗心学生与基础扎实学生。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $