专题43 复数的概念与运算（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为理念，按复数概念-几何意义-运算-综合应用逻辑递进，覆盖选择、填空、解答题型，结合真题溯源，构建从基础到综合的复习路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的概念|10题|判断虚部/共轭复数、求实数值/范围|从定义到性质，夯实概念基础| |复数的几何意义|8题|象限判断、轨迹方程、距离计算|概念与几何直观结合，体现数形结合| |复数的运算|11题|四则运算、模与共轭运算|运算规则应用，强化运算能力| |综合运算与最值|14题|综合运算、轨迹与最值问题|知识整合，提升综合应用能力| |真题溯源|2题|中考真题再现|对接考情，检验复习效果|

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题43 复数的概念与运算 【考点1 复数的概念】 1. 复数的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 2. 已知复数，那么共轭复数的虚部是（　　） A． B． C．5 D． 3. 已知，，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 5. 已知，其中x，，则x，y的值分别为（    ） A． B． C． D． 6. 若（为虚数单位），则______． 7. 若复数是实数，则________. 8. 若，则实数m的值为________. 9.求满足下列条件的实数m和n (1) (2) 10.已知复数（为虚数单位）,求满足下列条件的实数的值或范围. (1)是实数. (2)是虚数. (3)是纯虚数. 【考点2 复数的几何意义】 11. 在复平面内，复数 对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12. 已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 13. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为P，Q，若（O为坐标原点），则实数（    ） A． B． C．0 D．1 14. 若复数z满足，则z在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．一个椭圆 15 已知为虚数单位，在复平面上，，的对应点分别为和，则点与的距离＝（    ） A． B． C．3 D．4 16.已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（    ） A． B． C． D． 17.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数______________． 18.已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为. （1）若点位于虚轴上，求实数的值； （2）若点位于第一或第三象限，求实数的取值范围. 【考点3 复数的运算】 19. 设 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 20. 复数（其中为虚数单位）的实部为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 21. 已知为虚数单位，若，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 22. 若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 23. 已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为 C．复数z的模为1 D．复数z的共轭复数为 24. 已知，则（ ） A．3 B． C． D．2 25. 若实数满足(表示虚数单位)，则的值为_____． 26.已知复数满足（为虚数单位），则______． 27. 已知为虚数单位，若复数满足，则_____________. 28. 设、、为互不相等的复数，若，，则______. 29. 已知复数，求： (1) (2) (3) (4) (5) 30. 已知是虚数单位，复数满足. (1)求复数的共轭复数； (2)若，且，求实数的值. 【考点1复数的综合运算】 31.设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 32.若，则的模为（　　） A．2 B． C．4 D． 33.设复数满足，则_____. 34.已知，，，则z＝________． 35.已知复数，若； (1)求； (2)求实数的值； 36.已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足. (1)求. (2)已知为纯虚数，求的值. 【考点2 复数几何意义与最值】 37.在复平面内，满足的复数z对应的点P的集合构成的图形是（   ） A．一条线段 B．两条射线 C．两个圆 D．圆环 38.若复数满足，则复数的轨迹是（    ） A．线段 B．双曲线一支 C．双曲线 D．椭圆 39.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数___________. 40.已知复数满足，则的最大值为______． 41.若复数为虚数单位，，则 ______ 42.已知复数满足，的虚部为． (1)求复数； (2)当复数的虚部大于零，设复数，， 在复平面上对应的点分别为，，，求 的值． 43. 已知，，，. (1)问以上4个复数对应的点是否在同一个圆上？ (2)设. （ⅰ）求，； （ⅱ）求. 44. 已知关于x的方程有实数根b (1)求实数a，b的值． (2)若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值． 【真题溯源】 1.（2026年浙江，4）计算复数的结果，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2023年浙江，23）已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题43 复数的概念与运算 【考点1 复数的概念】 1. 复数的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的定义求解即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：A. 2. 已知复数，那么共轭复数的虚部是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意，先求出共轭复数，结合虚部的定义，即可求解. 【详解】因为复数的共轭复数为， 所以共轭复数的虚部是5. 故选：C． 3. 已知，，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的基本概念 【分析】虚数不可比较大小，故A、B答案无法判断，分别求出两虚数的模，可比较其大小，从而可判断选项. 【详解】虚数不可比较大小，故A、B选项不正确； 由题意可得：，， 所以，故C选项错误，D选项正确. 故选：D. 4. 若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部、复数的基本概念 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 5. 已知，其中x，，则x，y的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的类型，列方程可求解. 【详解】由可知， 且， 解得. 故选：B 6. 若（为虚数单位），则______． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数模的计算公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 7. 若复数是实数，则________. 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据题意，结合复数的概念和分类，即可求解. 【详解】因为为实数， 所以，解得. 故答案为：. 8. 若，则实数m的值为________. 【答案】0 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的虚部为0，实部大于0列方程求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：0. 9.求满足下列条件的实数m和n (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】（1）由题意、根据复数相等的条件，列方程组可求解； （2）由题意、根据复数为零的条件，列方程组可求解. 【详解】（1）由题意根据复数相等的条件可得： ，解得，； （2）由题意根据复数为零的条件可得： ，解得，. 10.已知复数（为虚数单位）,求满足下列条件的实数的值或范围. (1)是实数. (2)是虚数. (3)是纯虚数. 【答案】(1). (2). (3). 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（）由实数的定义即可得解. （）由虚数的定义即可得解. （）由纯虚数的定义即可得解. 【详解】（1）当复数是实数时. 只需. 解得. （2）当复数是虚数时. 需满足. 解得. ∴实数的范围为． （3）当复数是纯虚数时. 需满足解得． 【考点2 复数的几何意义】 11. 在复平面内，复数 对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，复数 对应的点位于第二象限. 故选：B. 12. 已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、根据复数对应坐标的特点求参数、复数的坐标表示 【分析】由题意可得，由解出a的值，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意知， ， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为， 又该点在实轴上，所以，解得， 所以，则. 故选：D. 13. 已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为P，Q，若（O为坐标原点），则实数（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】复数的向量表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据已知得出，，根据向量垂直的坐标运算得出答案. 【详解】复数， 则，， 则，， ， ，解得， 故选：D. 14. 若复数z满足，则z在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．一个椭圆 【答案】C 【知识点】求复数的模 【详解】本题考查复数模的几何意义，结合圆的定义即可判断． 【分析】∵， ∴复数z对应的点到原点的距离为定值2， ∴根据圆的定义可知，其轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆． 故选：C． 15 已知为虚数单位，在复平面上，，的对应点分别为和，则点与的距离＝（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求平面直角坐标系中两点间的距离、复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义，得对应点和的坐标，利用两点间的距离公式可求解. 【详解】因为在复平面上，，的对应点分别为和， 所以， 所以. 故选：B 16.已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的向量表示、复数的坐标表示、复数的相等 【分析】利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出 【详解】解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为， 所以， 设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 故选：A 17.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数______________． 【答案】 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、求复数的模 【分析】由图复平面内点的坐标求出复数，再求模长. 【详解】由图可知复平面内点的坐标为，则对应的复数为，所以． 故答案为：． 18.已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为. （1）若点位于虚轴上，求实数的值； （2）若点位于第一或第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、实轴、虚轴上点对应的复数、在各象限内点对应复数的特征 【解析】（1）根据虚轴上的点的横坐标为零得出等式，可求出实数的值； （2）由点位于第一或第三象限知，点的横坐标和纵坐标同号，可得出关于的不等式，解出即可. 【详解】（1）由题意知，点的坐标为， 若点位于虚轴上，则，解得； （2）若点位于第一或第三象限，则，即， 解得或，因此，实数的取值范围为. 【考点3 复数的运算】 19. 设 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的加减法以及复数的模求解即可. 【详解】因为设 ， ，所以. 进而. 故选：C. 20. 复数（其中为虚数单位）的实部为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的乘法运算法则计算，再由实部的概念即可解答. 【详解】因为， 所以复数的实部为， 故选：B. 21. 已知为虚数单位，若，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】先求出复数，再求出其共轭复数，最后计算它们的乘积. 【详解】，则， 所以. 故选：C. 22. 若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数除法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的混合运算即可解得. 【详解】由可得. 故选：C 23. 已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为 C．复数z的模为1 D．复数z的共轭复数为 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数除法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先利用复数的四则运算化简，再利用复数的实部、虚部、模与共轭复数的定义逐一判断各选项即可得解. 【详解】因为， 则复数z的实部为，故A错误；虚部为，故B错误； 模为，故C错误；共轭复数为，故D正确. 故选：D. 24. 已知，则（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】由复数的除法结果求复数或参数 【分析】利用复数的乘法运算，求出，然后可求. 【详解】由，可得， 所以，解得，所以， 故选：D. 25. 若实数满足(表示虚数单位)，则的值为_____． 【答案】2 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数除法的代数运算 【分析】去分母化简，由复数相等得到方程组解出，然后求出答案. 【详解】解：因为，所以 所以，即 所以 故答案为2. 26.已知复数满足（为虚数单位），则______． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 则， 所以. 故答案为： 27. 已知为虚数单位，若复数满足，则_____________. 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】设，根据复数的加减法及乘法运算求出，再根据复数的乘法运算即可得解. 【详解】设，则， 所以， 因为， 所以，所以， 所以， 则. 故答案为：. 28. 设、、为互不相等的复数，若，，则______. 【答案】0 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意得，，结合、为互不相等的复数，消去即可得到. 【详解】由，， 得， 因、、为互不相等的复数， 所以，故. 故答案为：0. 29. 已知复数，求： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】复数除法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】（1）根据复数加法运算易得答案； （2）根据复数减法运算易得答案； （3）根据复数乘法运算易得答案； （4）根据复数除法运算易得答案； （5）根据复数乘法运算易得答案. 【详解】（1）∵， ∴==； （2）==； （3）===； （4）=； （5）. 30. 已知是虚数单位，复数满足. (1)求复数的共轭复数； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、由复数模求参数 【分析】（1）利用复数的除法运算即可化简复数，由共轭复数的定义即可求解， （2）由复数的除法运算化简，由模长公式即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴复数的共轭复数， （2），∴， 又，即， ∴. 【考点1复数的综合运算】 31.设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求共轭复数的复数特征、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部. 【详解】， 则，所以的虚部为. 故选：B 32.若，则的模为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】先化简复数，再由复数的乘法运算和模长公式计算即可. 【详解】， ∴， ∴， ∴的模为. 故选：B. 33.设复数满足，则_____. 【答案】 【知识点】复数加减法几何意义的运用、坐标计算向量的模、已知内积求模、内积的运算律 【分析】原问题等价于平面向量满足，，求．根据求解. 【详解】原问题等价于平面向量满足，，求. 由， 可得，即， 故，即. 故答案为：. 34.已知，，，则z＝________． 【答案】 【知识点】复数除法的代数运算、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的运算公式，即可求解. ，， 所以，所以. 故答案为： 35.已知复数，若； (1)求； (2)求实数的值； 【答案】(1) (2)； 【知识点】复数除法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）根据复数的运算法则即可化简求解. （2）根据两个复数相等即可求解. 【详解】（1）由题，； （2）把代入， 即，整理得到， 因为，所以， 解得， 所以实数. 36.已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足. (1)求. (2)已知为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数、由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得. （2）利用复数除法运算、复数的模以及纯虚数的知识求得. 【详解】（1）设，且， 由解得. （2）由（1）得， 则为纯虚数， 所以，. 【考点2 复数几何意义与最值】 37.在复平面内，满足的复数z对应的点P的集合构成的图形是（   ） A．一条线段 B．两条射线 C．两个圆 D．圆环 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的坐标表示 【分析】根据题意，结合复数的模及复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为在复平面内，复数z满足， 设，则，对应点P的坐标， 所以，即， 所以点P的集合构成的图形是圆环. 故选：D. 38.若复数满足，则复数的轨迹是（    ） A．线段 B．双曲线一支 C．双曲线 D．椭圆 【答案】B 【知识点】复数加减法几何意义的运用、由复数模求参数、复数的坐标表示、双曲线定义的理解 【分析】先假设复数，再根据可得，再根据双曲线的定义即可做出选择. 【详解】设复数， ， ， ， 即点到的距离减点到的距离为， 复数的轨迹为以为焦点的双曲线的左半只， 故选：B. 39.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数___________. 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的向量表示 【分析】根据复数的几何意义，结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】根据复数的几何意义可得， 又，. 故答案为： 40.已知复数满足，则的最大值为______． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、由复数模求参数、求复数的模、由圆心到点的距离求值或最值 【分析】根据复数的几何意义，将转化为复平面的圆，再将转化为圆上点到定点的距离即可得解. 【详解】令，由，得， 复数在复平面内所对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上， ，表示圆上的点到点的距离， 的最大值为， 故答案为：. 41.若复数为虚数单位，，则 ______ 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到复数对应点，设，由，得到，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数，所以复数对应复平面内的点， 设，则复数对应复平面内的点， 由，可得， 在复平面内，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，如图所示， 所以． 故答案为：．    42.已知复数满足，的虚部为． (1)求复数； (2)当复数的虚部大于零，设复数，， 在复平面上对应的点分别为，，，求 的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、由复数模求参数、复数的坐标表示、内积的坐标表示 【分析】（1）设出复数，利用模的运算及复数的乘法运算可求； （2）利用复数的运算求出，，，然后利用向量的坐标表示，向量坐标的线性运算及向量内积的坐标表示可求. 【详解】（1）设复数， 由题可知，，因为的虚部为， 则，解得或， 则或； （2）因为复数的虚部大于零，则， ，， 则，，， 则，，， 则. 43. 已知，，，. (1)问以上4个复数对应的点是否在同一个圆上？ (2)设. （ⅰ）求，； （ⅱ）求. 【答案】(1)不共圆 (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【知识点】复数综合运算、复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示、求圆的一般方程 【分析】（1）根据复数的几何意义确定复数对应的点，再根据圆的一般方程求出过其中三点的圆的方程，代入第四个点即可判定是否在同一圆上； （2）（ⅰ）根据复数的乘法运算求出，，（ⅱ）找到的周期规律即可求的值. 【详解】（1）已知，，， 所以在复平面内，复数对应的点为，，，， 设经过三点，，的圆方程为， 可得，解得，，， 故圆的方程为， 将代入得， 所以不满足圆的方程，即点不在圆上， 故四点，，，不共圆. （2）（ⅰ）已知， ， ， （ⅱ）由（ⅰ）得， 又由，，，， 则，且，，1为周期的循环， 故. 44. 已知关于x的方程有实数根b (1)求实数a，b的值． (2)若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等、根据复数对应坐标的特点求参数、求复数的模 【分析】（1）由关于x的方程有实数根b，将b代入方程，进而求解的值即可. （2）设复数，代入条件化简，根据化简后方程的几何意义，方程表示圆，利用数列形结合，即可知的最小值． 【详解】（1）关于x的方程有实数根b， 即，整理得， 因为，b为方程的实数根， 所以，解得， 所以实数的值分别为. （2）设复数，由（1）， 则， 可得，即， 所以z点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 如图，当z点在直线上时，有最小值或最大值， 直线方程为， 联立，解得或， 由图可知，当，取最小值， 所以当，有最小值，的最小值为. 【真题溯源】 1.（2026年浙江，4）计算复数的结果，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 2.（2023年浙江，23）已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 【答案】3 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数乘法求出z和z的共轭复数，即可求出b. 【详解】， 则z的共轭复数为， 则， 故答案为：3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $