河南安阳市林州市林虑中学2025-2026学年高一下学期6月练习数学试题

高一数学练习题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.下列各数中，是纯虚数的是() A.0 B.1+V3 C.(1+V3)i D.1+3i 2.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障“，则表示电路故障的 事件为() A.EUF B.EnF C.EUF D.EnF 3.下列说法正确的是() A.若一条直线平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若直线l上有两点到平面a的距离相等，则//a D.若直线l平行于平面a内的无数条直线，则l/a 4.已知单位向量d,的夹角为，则与d-的夹角为() A. B C. D.9 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,2 ccosA=a(3-2cosC),则b=() A.2 B.3 c D 6.如图，在△ABC中，BD=3DC,AF=2F元，E是AD的中点，则EF=() A台A丽+AC B.-名A丽+c C.2A正+AC B D.-台A正+4AC 7从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽 样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是() A子君 B后 c京 D. 8.如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h米的点A处时，测 得塔尖C的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b米后至点B处时，测得塔尖C的俯角为B,则塔 尖C距离地面() 7777777777777777777777777777 A.h-bang-an2米 B.h- btanctang米 tana-tanB tanB-tana C.h-b(tana+tan)米 D.h-b(tanaxtan2米 tana-tanB tana+tanB 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列调查中，适合用抽样调查的是() A.调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B.调查某班学生的身高 C.调查全国居民使用某款手机的情况 D.调查飞机零部件的质量情况 10.已知向量=(cos15°，sin15),万=(？，-号)，则() A.d.= B.(a,可=60° c.a1d-2D.a-2=v3 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱C1D1,C1C的中点，AB=1,则() A.AM//BN 0 B.异面直线MW与AC所成的角为60° C.四边形MNBA,的面积为号 B N D.沿正方体的表面从点A到点N的最短路线的长度为 2 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 D 12.已知某扇形的圆心角为2rad,弧长为6，则该扇形的面积为_ B 13.一组数据25,23,26,19,17,21,20的第40百分位数为 14.在△ABC中，AB+AC=6,BC=4,D是BC的中点，E是△ABC的内心，则AD·A正= 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消防安 全知识测试，将他们的得分（满分：100分）分组为 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并按上述分组方法得到如图所示的频率分布 直方图 (1)求m的值； (2)在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层 随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数； (3)若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代 表，估计当地中学生评级为优秀的人数， ↑频率/组距 0.030 0.020 0 0.010 0.005 0405060708090100得分 16.已知一元二次方程px2+qx+1=0(p,q∈R)的一个根是1+2i, (I)求p,q的值； (IⅡ)若复数z1=10psin0-i与z2=V3+(5qcos0)i相等，求tan0的值. 17.已知函数f(x)=-2V3 sinxcosx+cos2x-sin2x. (I)求f(x)图象的对称轴方程； (I)若f(?-孕)=子，求sin(28-)的值. 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=1,AD=2,PA=2V2, E,F分别是BC,PA的中点. (I)求证：EF/平面PCD: (IⅡ)求三棱锥A一DEF的外接球的表面积； (I)求平面PAB与平面EFD所成锐二面角的大小. A… ·D E 19.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2+c2=4ab. (1)若c=5,cosC=3,求△ABC的面积； (2)求C的取值范围； (3)求品+品。+品的取值范围， 高一数学练习题答案 1.【答案】C 【解析】解：由0,1+√3为实数，故AB错误；由复数1+√3i 中实部为1，故D错误；由纯虚数的概念可知(1+√3)i是纯虚数， 故C正确.故选：C 根据纯虚数的概念，可得答案 本题考查复数的基本概念，是基础题， 2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查电路故障的事件的求法，考查并联 电路的性质、事件的并、事件的交等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障， 【解答】解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=甲元件故障” F=乙元件故障“，则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，∴ 表示电路故障的事件为E∩F.故选：D. 3.【答案】A 【解析】解：对于A,由直线与平面平行的性质定理可知该直 线与这两个平面的交线平行，故A正确； 对于B,当一个平面内的三点共线或三点在另一个平面的两侧 时，这两个平面可能相交，有可能平行，故B错误； 对于C,若直线l上有两点到平面的距离相等，距离为0时， 则直线1在面内，若两，点的平面的两侧，可得直线1与平面相交， 若两点在平面的同侧，则1与平行，故C错误 对于D,若直线1平行于平面内的无数条直线，则//a或lcx, 故D错误. 故选：A. 由线面位置关系及面面位置关系逐项判断即可 本题考查线面平行，面面平行的判定定理的应用，属于基础题， 4.【答案】A 【解析】解：因为单位向量à，的夹角为： 所以a方=1×1×(-)=-2，a-1=、d-2= -2a.i+2=√3， a频-的夹角为，则c9=器-诗-得 因为8∈[0，，所以0=石故选：A 由已知结合向量数量积的运算及向量夹角公式即可求解， 本题考查向量的夹角公式的应用，属于基础题 5.【答案】B 【解析】解：因为2 ccosA=a(3-2cosC), 由正弦定理得2 sinCosA=sinA(3-2cosC)=3sinA-2 sinAcosC, 2sinCcosA 2sinAcosC 3sinA, 所以2sin(A+C)=3sinA=2sinB, 又由正弦定理，可得2b=3a, 故b=a=3故选：B. 由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解 本题主要考查了正弦定理，和差角公式的应用，属于基础题 6.【答案】D 【解析】解：因为△ABC中，BD=3DC, 所以AD-AB=3(AC-AD),化简得AD=AB+AC, 又因为AF=2F元=AC,E是AD的中点， 所以EF=A征-AE=AC-AD=AC-(AB+AG= AC-AB故选：D. 根据题意，运用平面向量的线性运算法则进行求解，即可得到 本题的答案， 本题主要考查平面向量的加减与数乘运算法则等知识，属于基 础题 7.【答案】A 【解析】解：根据题意，将两名男生编号为α，b,两名女生 编号为1,2，记抽到的两人都是男生”为事件A, 在有放回简单随机抽样方式下，2= {(a,a),(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,1) -1 (2,a),(2,b),(2,1),(2,2)},共16个样本点， A={(a,a,(a,b),(b,a),(b,b)},有4个样本点， 所以P④=总= 无放回简单随机抽样方式下，的样本空间为：2= {(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,1),(b,2), (1,a),(1,b),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1)},共12个样本点， (a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,2), (2,a),(2,b),(2,1)共16个样本点， A={(a,b),(b,a)},有2个样本点， 所以P0=品=吉 故选：A. 分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解即可· 本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题， 8.【答案】B 【解析】解：点A处，测得塔尖C的俯角为α，点B处，测得 塔尖C的俯角为B, 作CD⊥AB于D,如图： A D 则AD三，BD=C0 品而AD-BD=b,即品-品=b, 解得CD=btanatan ,所以塔尖C距离地面h-btang-tan米】 tanB-tana tanp-tana 故选：B 根据给定条件，求出塔尖C到飞行线路AB的距离即可. 本题考查了解三角形，属于中档题 9.【答案】AC 【解析】解：对于A:调查某款新能源汽车电池的使用寿命， 测试电池使用寿命会对电池造成破坏， 且全面测试成本高、耗时久，适合抽样调查； 对于B:调查某班学生的身高，班级学生数量相对较少， 能够方便、准确地对每个学生进行身高测量， 适合普查； 对于C:调查全国居民使用某款手机的情况， 全国居民数量极其庞大，全面调查难度极大、成本过高，适合抽样 调查；对于D:调查飞机零部件的质量情况，飞机零部件质量关乎 飞行安全，必须进行全面、精确的检查，确保每个零部件都合格， 适合普查， 故选：AC. 根据抽样调查的定义直接判断即可· 本题考查抽样调查相关知识，属于基础题 10.【答案】BCD 【解析】解：对于A,因为5=(？，-)=(cos45,-sin45), 所以a.b=cos15°cos45°-sin15°sin45°=c0s(15°+45)= c0s60°=，选项A错误； 对于B,因为d=V√cos215°+sin215°=1，= 92+(-2=1, 所以cos<a,方>=6 =会即a与的夹角为60，进项B正确； 对于C,因为a.d-2=-2a.万=1-2×2=0，所以a1 G-2b,选项C正确： 对于D,a-2=√2-4a.方+46=1-4×+4=V3, 选项D正确 故选：BCD. 根据向量数量积的坐标表示，以及垂直，夹角，模的公式，即可判 断选项 本题考查了平面向量的数量积运算与应用问题，是基础题， 11.【答案】BC 【解析】解：对于A,取DD1的中点E,连接AE,如图所示： D M 由正方体的性质可知AE/BN,若AM//BN,则AE/AM, 显然这与AE,AM相交于点A矛盾，故A错误； 对于B,连接CD1和AD1,如图所示： D 可得MN/CD1,所以∠ACD1为异面直线MN与AC所成的角， 且∠ACD1=60°，所以异面直线MN与AC所成的角为60°，故B 确； 对于C,易知四边形MNBA1为等腰梯形，且A1B=√2，MN= BN- 1+()2=, 则等腰梯形的高为（受2-（竖）=3平 4 因此S四边形MNBA1 =W2+)×-?放C正确： 对于D,如图所示： N B 若将正方体的表面展开至面BCC1B1与面ABB1A1共面， 则AN=VAc+Cm=、22+(2=罗 若将正方体的表面展开至面ABCD与面CDD1C1共面， D -2 则AN=VAB2+BN=12+()2=压<，故D错误。 2 2 故选：BC A中，取DD1的中点E,连接AE,由正方体的性质可得AE/BN, 易证得AM与BN不平行，判断出A的真假；B中，连接CD1和AD1, 可得∠ACD1为异面直线MN与AC所成的角，由等边三角形的性质 可得此角的大小，判断出B的真假；C中，易知四边形MNBA1为等 腰梯形，由梯形的面积公式，可得它的大小，判断出C的真假；D 中，将正方体的表面展开至面BCC1B1与面ABB1A1共面，将正方体 的表面展开至面ABCD与面CDD1C1共面，可得AN的大小，比较可 得A到N的距离的最短路线，判断出D的真假， 正 本题考查空间线面位置关系及空间角、空间距离的计算，属于中档 题」 12.【答案】9 【解析】解：由题可知该扇形的半径为=3，所以该扇形的 面积为×6×3=9.故答案为：9. 根据扇形的弧长与面积公式即可求解 本题考查扇形的弧长与面积公式，属于基础题， 13.【答案】20 【解析】解：一组数据25,23,26,19,17,21,20， 则从小到大排序为17,19,20,21,23,25,26， 因为0.4×7=2.8，所以这组数据的第40百分位数为20. 故答案为：20. 应用百分位数的求法求数据的第40百分位数， 本题考查百分位数相关知识，属于中档题. 14.【答案】3 【解析】解：已知在△ABC中，AB+AC=6,BC=4,D是 BC的中点，E是△ABC的内心， 令△ABC的内角A,B,C新对边分别为a,b,c,延长AE交BC 于O,连接BE,CE, 由E是△ABC的内心，得AE,BE,CE分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB, 则0=4m=；B0+C0=a, C0S△AC0 即E0=aA正， btc 令E0=(1-x)EB+xEC, 则x=e 即E0=历+武。 因此aA正=bEB+cEC=b(AB-A正)+c(AC-AE,AE= r丽+iAC. 又而=丽+A©， 于是Ad·A正=E+AG·品(bAB+cAC) =[bc2+cb2+(b+c)A正.AG=bc+A正.AG, 16=a2 b2 +c2-2bccosBAC =(b+c)2-2(bc AB.AC), 则bc+AB.AC=10, 所以AD.AE=3. 故答案为：3. 根据给定条件，结合三角形面积定理可得正=。8丽++AC, 再利用数量积的运算律及余弦定理求解 本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了余弦定理，属中档 题， 15.【答案】0.015；20人；16000人 【解析】(1)由频率分布直方图可得10×(0.005+0.01+m+ 2×0.02+0.03)=1,解得m=0.015. (2)参加了消防安全知识测试的中学生中， 得分在[40,50)内的频率为10×0.01=0.1，则学生人数为1000× 0.1=100 得分在[80,90)内的频率为10m=0.15,则学生人数为1000× 0.15=150, 放抽取的得分在[40,50)内的学生人数为1090×50=20， (3)参加了消防安全知识测试的中学生中， 得分不低于70分的频率为10×(0.02+0.015+0.005)=0.4， 以参加了消防安全知识测试的中学生为代表， 估计当地中学生评级为优秀的人数为0.4×40000=16000人. (1)根据频率和为1列方程求参数值； (2)(3)根据直方图估计对应区间频率，进而估计人数即可； 本题考查频率分布直方图的应用、分层随机抽样等，属于基础题， 16.【答案】(I)p=号9=-号；(I)tan9=V3. 【解析】(I)因为1+2i是方程px2+qx+1=0的一个根， 所以1-2i是该方程的另一个根， 1+2i+1-2i=2=-9 = 由韦达定理可得， (1+20·(1-2)=5=,解得} (II)由(1)可知z1=10psin0-i=2sin8-i,z2=V3+ (5qcose)i=v3-(2cos0)i, 因为z1=z2,所以2sin9=V3 (-2c0s0=-1 解得sin0=?,cos0= 所以an9=器=V3 (I)根据题意列出方程组，计算即可； (Ⅱ)由复数相等列出方程组，计算即可. 本题主要考查了实系数一元二次方程虚根成对定理，考查了复数相 等的定义，属于中档题， 17.【答案】0x=经-k∈刃： 0号 【解析】(I)f(x)=-2V3 sinxcosx+cos2x-sin2x= 3sin2x+cos2x=2cos(2x+). 由2x+号=km(ke2).可得x=受-k∈). 所以f)图象的对称轴方程为x=经-k∈刀： (II)由(I)知f()=2cos(2x+), 由f(8)=子可得cos(0+爱)=号 -3 所以sin(28-)=sin[(20+g)-]=-cos(28+) =1-2o20+7)=1-2×(3- ()先利用二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的 对称性即可求解； ()由已知结合二倍角进行化简即可求解。 本题考查二倍角公式与诱导公式，还考查了正弦函数性质的应用， 属于中档题 18.【答案】(I)证明见解答；()6m;(Ⅲ)60°. 【解析】(I)证明：取PD的中点G,连接GF,CG,如图， D B E 因为F是PA的中点，所以GF/IAD且GF=2AD 因为E是BC的中点，底面ABCD为矩形，所以CE/AD且CE=AD, 所以CE/GF且CE=GF, 则四边形EFGC为平行四边形， 所以EF/CG,又因为CGc平面PCD,EF￠平面PCD, 所以EF/平面PCD: (II)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AE. 在Rt△AFD中，AF=√2，AD=2,所以DF=V6, 易知AE=DE=V2, 所以EF=VAF2+AE=V4=2, 显然DF2=DE2+EF2,即△DEF为直角三角形，DF为斜边， 由此可知，三棱锥A一DEF的外接球的球心为线段DF的中点，半 径为DF= 故外接球的表面积为S=4r×(?)2=6m; (⑩因为底面ABCD为矩形，所以AD1AB, 又PA⊥AD,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以AD1平面PAB. 如图，延长AB,DE交于点K,连接FK,则FK为平面PAB与平 面EFD的交线， H K 过点A作AH⊥FK,垂足为H,连接DH. 因为AD⊥平面PAB,FKC平面PAB, 所以AD⊥FK, 因为AH⊥FK,AD∩AH=A,所以FK⊥平面ADH, 因为DHc平面ADH,所以FK⊥DH, 所以LAHD为平面PAB与平面EFD所成锐二面角的平面角， 因为BE/IAD,BE=2AD,所以AB=BK=1, 又因为AF=√2，所以FK=√AF2+AKZ=V6. 因为SAFAK=AF·AK=FK·AH, 所以×V2×2=×V6×AH, 解得AH=23, 3 在Rt△DAH中，DH=√AD2+AH=4 3 所以COS-AHD=侣=即LAHD=60 即平面PAB与平面EFD所成锐二面角的大小为60°， (I)先证明四边形EFGC为平行四边形，得出EF/ICG,即可得证； (II)先证明△DEF为直角三角形，根据DF为斜边，求出外接球的 半径，即可求解； (四)先证明∠AHD为平面PAB与平面EFD所成锐二面角的平面角， 再解三角形即可求解 本题考查线面平行的证明，三棱锥外接球的表面积、二面角的计算， 属于中档题 19.l答案】解：(a)cosc==则&2+b-2=曾 3 结合a2+b2+c2=4ab,故2c2=ab3ab=15, 又cosC=},CE(0,m),故sinc=V1-cos2C=2y2, 3 故面积为号absinC=×15×2y=5V2; 3 (a2+b2>c2 (2)由于ABC是锐角三角形，故c2+b2>a2,结合 (a2+c2>b2 (a2+b2>4ab-a2-b2 4ab-a2-+B>2→<号<2号≠1， a2+4ab-a2-b2>b2 cosC-te--ae9=号+片-2. 2ab 2ab 由于对勾函数y=t+在（行，1）单调递减，在(1,2)单调递增， t=2或t=t+= y=t+≥2，当且仅当t=1时取等号， 故当tE(61)u(1,2)时，y=t+e(2,), 故2<后+台<号因此cosC=号+2-2∈(0，) 由于CE(0,m,故<C<8 c2+b2-a2 (3)由于cos4= =c2+b2-a2 sinA 25 5“,其中S为三角形的面积， bc 同理可得os=2+c2-,osC=a2+62-2 sinB 4s-’sinc 45 因此品+品+立-+器+器-4g+兰 5二c0sA 4S 4S a2+-c=2+b2+c 45 45 由于a2+2+c2=4ab,故品+。 品+品- 45 4ab 2 2absincsinG' h于号<C<登所以学<sinc<1, 故位+品+品c=品e(么，9 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 4