专题08 复数、概率与统计初步-内蒙古自治区对口招生（2022-2026）《数学真题分类汇编》

**基本信息** 中职高考复数、概率统计等专题试题汇编，精选2022-2026年内蒙古真题，涵盖排列组合、概率计算、复数运算等核心考点，情境贴近生活（如体检教室安排、世乒赛事件），适配中职升学备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|----------|----------|----------| |选择|7题|复数概念、古典概型、抽样方法|结合真题，如世乒赛事件考查互斥事件关系| |填空|6题|二项式定理、概率计算、统计量|情境真实，如工厂分层抽样考查统计应用，梯度分明|

专题08 复数、概率与统计初步 复数 1.理解虚数单位和复数的概念； 2.了解复数的代数形式与复数的几何意义； 3.理解共轭复数，初步掌握两个复数相等的条件； 4.理解复数代数形式的加法、减法和乘法运算； 5.了解复数加法和减法运算的几何意义； 6.在复数范围内，了解实系数一元二次方程的解法。 概率与统计初步 理解随机现象、随机事件及有关概念；了解事件的频率与概率的区别与联系 理解古典概型；初步掌握古典概率的计算方法 了解互斥事件的概念；初步掌握互斥事件的加法公式 了解统计的基本思想，理解总体、个体、样本和样本容量等概念； 理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，了解抽样方法的应用； 了解频率分布表和频率直方图等数据可视化描述方法； 了解选择恰当的统计图表对数据进行分析的方法； 理解均值、方差和标准差的含义；掌握均值、方差和标准差的计算方法念及概率计算； 6.掌握复数的相关计算。 考点01 排列、组合、计数原理 1.（2026·内蒙古·真题T09）从数字 ， ， ， 中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 2.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 考点02 概率 3.（2026·内蒙古·真题T16）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 4.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 5.（2024·内蒙古·真题T10）学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·内蒙古·真题T15）其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 7.（2022·内蒙古·真题T11）从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于的概率是（ ） A. B. C. D. 考点03 复数 8.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 考点04 二项式定理 9.（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 10.（2023·内蒙古·真题T16）已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 11.（2022·内蒙古·真题T16）的二项展开式中的系数是80，则______. 考点05 统计初步 12.（2026·内蒙古·真题T07）在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件 为“甲两盘都胜”， 为“甲两盘都负”， 为“甲恰有一盘胜”， 为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 13.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 复数、概率与统计初步 复数 1.理解虚数单位和复数的概念； 2.了解复数的代数形式与复数的几何意义； 3.理解共轭复数，初步掌握两个复数相等的条件； 4.理解复数代数形式的加法、减法和乘法运算； 5.了解复数加法和减法运算的几何意义； 6.在复数范围内，了解实系数一元二次方程的解法。 概率与统计初步 理解随机现象、随机事件及有关概念；了解事件的频率与概率的区别与联系 理解古典概型；初步掌握古典概率的计算方法 了解互斥事件的概念；初步掌握互斥事件的加法公式 了解统计的基本思想，理解总体、个体、样本和样本容量等概念； 理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，了解抽样方法的应用； 了解频率分布表和频率直方图等数据可视化描述方法； 了解选择恰当的统计图表对数据进行分析的方法； 理解均值、方差和标准差的含义；掌握均值、方差和标准差的计算方法念及概率计算； 6.掌握复数的相关计算。 考点01 排列、组合、计数原理 1.（2026·内蒙古·真题T09）从数字 ， ， ， 中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按组成三位数的三个数字的重复情况分类，分别计算每类对应的三位数个数后求和. 【详解】由题意，各位数字取自，且三个数字之和为6，分三类讨论： ① 三个数字完全相同：仅满足条件，可组成1个三位数222； ② 两个数字相同、一个数字不同：设相同数字为 ，不同数字为 ，则，其中且， 解得，即组合为，从3个数位中选1个放置4，剩余位置放置1，共个三位数； ③ 三个数字均不同：三个不同的正整数和为6，仅满足条件，三个不同数字的全排列为个， 对应6个不同的三位数。 综上，符合条件的三位数总个数为. 故选：A. 2.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由插空法求解即可. 【详解】由题意可知，有三个空教室不需要安排检查项目， 则可以看成三个空教室会产生四个空位， 则将四个检查项目安排在四个空位全排列即可，即有种安排方案. 故选：C. 考点02 概率 3.（2026·内蒙古·真题T16）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，总的基本事件个数为， 两次的点数之和除以4的余数为3有， 共个基本事件， 所以其概率为， 故答案为：. 4.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 5.（2024·内蒙古·真题T10）学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算，及组合数的应用，即可求解. 【详解】6名男生和4名女生，共计10人， 选出的3人中，恰有1名女生入选的概率是. 故选：A. 6.（2023·内蒙古·真题T15）其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】两人随机选择班级就读的选法共有（种）， 两人恰好选择同一班级的选法有种， 则两人恰好选择同一班级的概率是． 所以. 故答案为：6 7.（2022·内蒙古·真题T11）从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意试验是从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,满足条件的事件可以列举出有个,根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含事件是从中任取两个不同的数字, 构成一个两位数,共有种结果,满足条件的事件可以列举出有共个, 根据古典概型概率公式得到 故选:A 考点03 复数 8.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 详解】. 故选：B. 考点04 二项式定理 9.（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 10.（2023·内蒙古·真题T16）已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 【答案】16 【解析】 【分析】利用二项式系数的增减性，与二展展开式中项的系数即可得解. 【详解】因为， 所以二项式系数的最大值为，则， 含项为，则， 所以. 故答案为：16 11.（2022·内蒙古·真题T16）的二项展开式中的系数是80，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式的通项求解． 【详解】二项式的通项为：， 令，故， 则展开式中的系数为，解得． 故答案为：2． 考点05 统计初步 12.（2026·内蒙古·真题T07）在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件 为“甲两盘都胜”， 为“甲两盘都负”， 为“甲恰有一盘胜”， 为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确各事件对应的比赛结果，再逐一判断事件的包含、交、并运算是否成立． 【详解】甲参加两盘比赛的所有结果对应3个互斥事件：A（两盘都胜）、C（恰有1盘胜）、B（两盘都负）， 事件D“至少有1盘胜”包含“恰有1盘胜”和“两盘都胜”两种情况，即． 对选项A：若事件A发生，则必然满足“至少有1盘胜”，即D一定发生，故，故A正确． 对选项B：事件B（两盘都负）和事件D（至少1盘胜）不可能同时发生，故，故B正确． 对选项C：A是两盘都胜，C是恰有1盘胜，二者的并集就是所有“至少1盘胜”的情况，故，故C正确． 对选项D：左边表示“两盘都胜或两盘都负”，右边，即所有比赛结果，二者不相等，故D错误． 故选：D． 13.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算即可解得. 【详解】甲产品型号所占比例为， 又知抽样中甲产品为件，则样本容量为. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $