专题07 立体几何-内蒙古对口招生（2022-2026）《数学真题分类汇编》

专题07 立体几何 简单几何体 1.理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图； 2.初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法； 3.了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念，理解直棱柱、正棱锥的侧面展开图； 4.掌握棱柱、棱锥的侧面积公式； 5.了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念，理解圆柱、圆锥的侧面展开图； 6.掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式； 7.理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 立体几何 1.了解平面的概念； 2.理解平面性质的三个公理； 3.了解空间中点、线、面关系的符号表示； 4.理解空间中直线与直线的位置关系； 5.理解异面直线的定义及判定方法； 6.了解异面直线所成的角的概念，理解异面直线垂直的判定方法； 7.理解空间中直线与平面的位置关系； 8.了解直线与平面所成的角的概念； 9.理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理； 10.理解空间中平面与平面的位置关系； 11.了解二面角及二面角的平面角的概念； 12.理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。 考点01 简单几何体 1.（2026·内蒙古·真题T12）一个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则它的高和斜高分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四棱锥的结构特征，结合勾股定理计算求解即可. 【详解】已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3， 侧棱、斜高以及底面正方形边长的一半构成直角三角形， 则斜高为， 斜高、高以及底面正方形边长的一半构成直角三角形， 则高为， 所以它的高和斜高分别为 ，， 故选：A. 2.（2026·内蒙古·真题T17）一个长方体形的铁块长、宽、高分别为6，4，9，将它熔化后铸成一个正方体形的铁块（不计损耗），则铸成的铁块的棱长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据熔化前后的体积不变，结合棱柱体积公式列出方程即可得解. 【详解】将长方体铁块熔化后铸成一个正方体形的铁块，则体积不变， 设正方体铁块的棱长为 ， 则，解得， 所以铸成的铁块的棱长为， 故答案为：. 考点02 立体几何相关概念、判定与性质 3.（2025·内蒙古·真题T12）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先找到异面直线和所成角，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示，取的中点T，连接. 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 所以为直线和所成角. 在三角形中，, 则三角形为直角三角形，所以. 故选：C. 4.（2024·内蒙古·真题T11）设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面之间的关系可判断C选项正确，A、B、D选项可通过反例进行判断. 【详解】对于A选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于B选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于D选项，如图，若，，则l不一定垂直于平面，该选项错误； 对于C选项，若，，根据两平行平面的性质定理证明可得，该选项正确. 故选：C. 5.（2023·内蒙古·真题T10）已知a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、线面垂直的性质可证. 【详解】已知a、b、c表示三条不同的直线，β表示平面， 若，，则，根据平行线的传递性可证，故①正确， 若，，则a与c相交、平行或异面，故②不正确； 若，，则a与b相交、平行或异面，故③不正确， 若，，根据线面垂直的性质可证，故④正确. 故选：C 6.（2022·内蒙古·真题T10）已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，连接，由已知条件推出是到的距离，即可求解. 【详解】 作，连接， ∵平面，平面， ∴. 而，且平面，平面 ∴平面，即，故是到的距离. ∵在矩形中，，，平面，且， ∴根据矩形面积公式得，， 即. ∴. 故选：B. 考点03 综合题 7.（2026·内蒙古·真题T24）如图，矩形 所在的平面与梯形所在的平面垂直，且，，，点 ， 分别是 ， 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点 ，连接通过证明四边形为平行四边形得到，进而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）先证明平面，从而确定 为 在平面上的射影，即为所求角，在中求解即可. 【小问1详解】 取的中点 ，连接， 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以， 因为 为矩形，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面 平面， 平面 平面， 因为 为矩形，所以， 所以平面，因为平面， 所以，因为， 所以，平面， 所以平面，即 为 在平面上的射影， 所以是直线 与平面所成角， 在中，，则， 因为， 所以，即直线 与平面所成角为. 8.（2025·内蒙古·真题T22）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线可得，再由线面平行的判定即可证明. （2）根据面面垂直的性质得平面，从而得出，再由勾股定理逆定理得出，由线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 如图，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点， 所以也为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又侧面， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为平面，， 所以平面. 9.（2024·内蒙古·真题T23） 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD； 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明就是要求的角即可求解． （2）要证明平面PCD，只要证明，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又因为，平面PAD， 所以平面PAD，从而是直线PB和平面PAD所成的角. 在中，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形，进而. 又因为是PC的中点，，所以. 因为底面，底面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. 10.（2023·内蒙古·真题T22）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点. 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PCD. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质，由线线平行证明线面平行即可. （2）先由面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为E，F分别是BD，PB的中点， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 【小问2详解】 因为底面ABCD为矩形，， 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面， 因为平面PCD，所以， 又因为，，平面PAB， 所以平面PAB， 因为平面PCD，所以平面平面PCD. 11.（2022·内蒙古·真题T22）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，与所成的角为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）由题意得为与所成的角，则，得是等边三角形，由求得答案． 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵，分别是，的中点，∴，， ∵是平行四边形，是的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵是中点，，∴是的平分线， ∵，∴为与所成的角，则， ∴，是等边三角形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $真题分类汇编 中职高考复习 9 AI职教 zhijiao.xkw.com 专题07立体几何 抓考纲知考情 简单几何体 :1.理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图： 2.初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法； 3.了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念，理解直棱柱、正棱锥的侧面展开图； 4.掌握棱柱、棱锥的侧面积公式： 5.了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念，理解圆柱、圆锥的侧面展开图： 6.掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式： 7.理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 立体几何 1.了解平面的概念； 2.理解平面性质的三个公理； 3.了解空间中点、线、面关系的符号表示： 4.理解空间中直线与直线的位置关系： 5理解异面直线的定义及判定方法： 6.了解异面直线所成的角的概念，理解异面直线垂直的判定方法； 7.理解空间中直线与平面的位置关系： 8.了解直线与平面所成的角的概念； 9.理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理； 10理解空间中平面与平面的位置关系； 11.了解二面角及二面角的平面角的概念： 12理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。 考点分类探规律 考点01简单几何体 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 ⊙A职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 12.(2026内蒙古真题T12)一个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则它的高和斜高分别为() A.1,5 B5,1 C.1,5 D.5,1 2.(2026:内蒙古真题T17)一个长方体形的铁块长、宽、高分别为6,4,9，将它熔化后铸成一个正方体 形的铁块（不计损耗），则铸成的铁块的棱长为 考点02立体几何相关概念、判定与性质 3(2025内蒙古真题T2如图，在楼长为2的正方体M8CD-ABCD中，O是底面ABCD的中心， E,F CC,AD 分别是 的中点，那么异面直线OE和FD所成角的余弦值为() D B E D以---- O 2 4 √15 √10 A.3 B.5 c.5 D.5 4.(2024内蒙古真题T11)设a、B是两个不同的平面，1是一条直线，以下命题正确的是() A若La,1B,则cB a.aB,则cB B.若 c.若ILa.a‖lBa11B 1I‖axa⊥B1⊥B ,则 D.若 ,则 B 5.(2023内蒙古真题T10)已知a、b、c表示三条不同的直线， 表示平面，则下列命题中正确的是( ①若ab,bc,则al/c； @若a1b,b1c,则a1c: all B bllB ③若 上P.bLB,则ab ④若 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 ⊙AI职教 中职高考复习● zhijiao.xkw.com A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 6.(2022内蒙古·真题T10)己知四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且 PA=1,则点P到对角线BD的距离是() V29 13 17 V119 A.2 B.5 C.5 D.5 考点02综合题 7.(2026内蒙古真题T24)如图，矩形ABCD所在的平面与梯形ABEF所在的平面垂直，且AB/EF, AB=2AF∠AFB=90 CF ,点O,M分别是AB,CF 的中点 B (1)求证：OM//平面DAF:· (2)求直线AB与平面BFC所成角的大小. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习 9 AI职教 zhijiao.xkw.com &(2025:内蒙古真腰T2)如图，在四楼锥P-ABCD中，底面BC 是正方形，E,F分 PC,BD 分别为 的点：剑面PAD1底面BCD,且PA=PD-2D E B (1)求证：EF/平面PAD: (2)求证：PA⊥平面PCD 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习 9 AI职教 zhijiao.xkw.com 9.(2024内蒙古真题T23)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC1CD,∠ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点. B (1)求直线PB和平面PAD所成的角的大小： (2)求证：直线AE⊥平面PCD: 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 9 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 10.(2023内蒙古真题T22)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥PD,E,F分别是BD,PB的中点 A -D 求证： (1)EF1/平面PCD: (2)平面PAB⊥平面PCD, 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 9 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 11.(2022内蒙古真题T22)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC 的中点 M MN∥ (1)求证： 平面PAD (2)若PA=AD=2,MN与PA所成的角为30°，求MN的长 个 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！