专题04 数列、平面向量-湖北省技能高考（2022-2026）《数学真题分类汇编》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学数列与平面向量单元复习真题汇编，整合湖北2022-2026年真题，以实际情境（如阴影正方形计数、乒乓球垒三棱锥）和综合应用题为核心，适配单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |非选择题|5大题|数列综合应用（等差等比通项、前n项和、存在性问题）|分层设计（由求通项到实际应用），结合图形情境（如三棱锥垒球）| |选择/填空|5小题|平面向量坐标运算、内积、共线垂直条件|直接考查核心概念（如向量共线求参数、单位向量内积计算）|

真题分类汇编 中职高考复习 9 AI职教 zhijiao.xkw.com 专题04数列、平面向量 抓考纲知考情 数列 :1.了解数列的概念： 2.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式： :4.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式； 6.了解数列的实际应用。 平面向量 1.了解平面向量的概念（向量的模、单位向量、相等向量等）： 2.理解平面向量的加法、减法、数乘运算： 3.了解平面向量的坐标表示： 4.理解平面向量的内积； 5理解平面向量共线、垂直的条件。 考点分类探规律 考点01数列的综合应用 1.(2026湖北真题)如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为 图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，，以此类推，图 中黑色阴影部分正方形个数记为 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 规律：(1+2+4+8+…)×2 (1)根据规律，写出4,4，a,a,4的值 (2)求数列a,}的通项公式： (3)若数列《a,}的前n项和为S。,是否存在一个正整数n,使得S,=2026?若存在，求出n的值； 若不存在，说明理由， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 9 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 2.(2025湖北真题)用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层1个，第二层1+2个， 第三层1+2+3个，共垒了n层. （山)第”层全了几个？求这”层共垒乒乓球个数S。 （参考公式：P+2+32++n2=n+12m+1) 6 S>2025 (2)当”>6时，求n的最小值 )+色2y+ě++y=(y(3uy (3)若a1a2a4 a,an1,当a+1为整数时，求n的取值 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 AI职教 中职高考复习 9 zhijiao.xkw.com 3.(2024湖北真题)已知数列a,}为等比数列，且4=1，a4=27 (山)求a,}的通项公式及其前”项和S。 (2)在与+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为的等差数列， 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习 9 AI职教 zhijiao.xkw.com (i)求证： 4s2x3 n+1; ()当m+p=2(m,kpeN）时，在数列{d,}中是否存在3项4d,4成等比数列若存在，求出这 样的3项：若不存在，请说明理由 4.(2023湖北真题)设5是等差数列a}前n项和，数列，}是等比数列，么=4，么，=2， b=-16 （1)求数列也，}的通项公式 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习● 6 AI职教 zhijiao.xkw.com (2)在0A+b,=4,②b,=a这两个条件中任选一个，问是否存在正整数k,使得S:>S1且 S1<S+2?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 5.(2022湖北真腿)已知等比数列a,}的前n项和为S。,且S:、S、S成等差数列， 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 9 AI职教 中职高考复习○ zhijiao.xkw.com a2+a3+a4=-18 山)求a,}的通项公式： (2)是否存在正整数”，使得，≥2022 若存在，求出”的最小值：若不存在，请说明理由. 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 AI职教 中职高考复习● 9 zhijiao.xkw.com 考点02平面向量的坐标运算 6(2026湖北真腰)若向量ā=（山-），6=(32)，a与万共线，则入的值为() A.3 B-3 C.5 D-5 7(2025湖北真题)已知向量a=(-1,),6=(2,k),若a1万，则实数k的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2024湖北真题)己知ā=(-1,2)，6=(-3，)，则a.6=（) A.1 B.3 C.5 D.7 考点04平面向量的内积 9(2023湖北真题)若单位向量，6的夹角为90，则-万 10.(202湖北真题)已知向量a=(（1,),6=(0,1),则 d (2)(a,6)= ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专题04 数列、平面向量 数列 1.了解数列的概念； 2.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式； 4.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式； 6.了解数列的实际应用。 平面向量 1.了解平面向量的概念（向量的模、单位向量、相等向量等）； 2.理解平面向量的加法、减法、数乘运算； 3.了解平面向量的坐标表示； 4.理解平面向量的内积； 5.理解平面向量共线、垂直的条件。 考点01 数列的综合应用 1.（2026·湖北·真题）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图 中黑色阴影部分正方形个数记为. （1）根据规律，写出的值； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前 项和为 ，是否存在一个正整数 ，使得？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）. （2）. （3）存在，9. 【解析】 【分析】（ ）根据图形规律求出的值. （ ）根据图形规律求出数列的通项公式. （ ）根据分组求和法求出，列出等式即可得解. 【小问1详解】 根据图形规律： 【小问2详解】 根据图形规律： ， 所以，数列 的通项公式为. 【小问3详解】 存在一个正整数 ，使得 . ， ， ， 令，则， 当时，. 所以，存在满足条件的正整数. 2．（2025·湖北·真题）用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. （1）第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） （2）当时，求的最小值. （3）若，当为整数时，求的取值. 【答案】（1）； （2）44 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求得；结合公式，即可求得； （2）根据题意，结合的公式，先表示出，即可列出不等式，继而求解； （3）根据题意，结合等差数列的前n项和公式及，先化简公式，得到，当时等式成立，即可因式分解得到，继而求解. 【小问1详解】 观察规律，第层个数； 【小问2详解】 由，即，化简得， 即， 当时，； 当时，， 所以最小值为. 【小问3详解】 因为，，则， 已知，即， 所以，所以， 所以， 所以， 化简整理得， 当时，， 因式分解得， 二次方程，判别式， 所以. 3．（2024·湖北·真题）已知数列为等比数列，且， （1）求 的通项公式及其前项和. （2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列， （i） 求证：； （ii）当 时，在数列中是否存在3项成等比数列?若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出公比，然后根据等比数列通项公式、等比数列前项和公式可求； （2）（i）利用等差数列的通项公式可求公差；（ii）利用反证法假设存在，通过结果与已知相互矛盾可证 【小问1详解】 ，， 设公比为，则，，， 则通项公式， 则前项和， 【小问2详解】 （i）与之间插入个数，设此等差数列为， 则可将看做，为， 为公差为的等差数列， ， ，， （ii）假设存在当时，，，成等比数列， 则，即，即， ， ， ，即，即， ， 联立方程，即，解得， 将代入，解得， 即为同一项，由已知可知为三项，与已知矛盾； 故不存在. 4．（2023·湖北·真题）设是等差数列前项和，数列是等比数列，，，． （1）求数列的通项公式； （2）在①，②这两个条件中任选一个，问是否存在正整数，使得且？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）选①，存在；选②不存在 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，利用通项公式，可求和，据此可求解； （2）设等差数列的公差为，求出通项公式后，利用且，解不等式组可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，，，则 ，解得， 所以数列的通项公式； 【小问2详解】 设等差数列的公差为， 若选①，由，可得 ，解得， 所以数列的通项公式. 假设存在正整数，使得且，则有 且，即且， 所以，解得， 所以存在正整数，使得且. 选②，由，，可得 ，解得， 所以数列的通项公式. 假设存在正整数，使得且，则有 且，即且， 所以，解得，此不等式组无解， 故不存在符合题意的正整数. 5．（2022·湖北·真题）已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，． （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；11 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差中项的性质，可得，结合等比数列的通项公式与前n项和，即可化简求出公比， 继而求出首项，即可求解； （2）根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解. 【小问1详解】 因为、、成等差数列， 所以， 即， 所以，即， 解得(舍)或， 又， 所以，即， 解得， 故的通项公式； 【小问2详解】 存在， 由（1）知，， 所以， 若，则为奇数，， 所以，又为奇数， 所以，即， 所以， 即最小为11． 考点02 平面向量的坐标运算 6.（2026·湖北·真题）若向量 ，， 与 共线，则 的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量 ，， 由 与 共线，得， 解得 ， 故选：B. 7.（2025·湖北·真题）已知向量，，若，则实数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直内积为零，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 即，解得. 故选：B. 8.（2024·湖北·真题）已知，，则=（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以， 故选：. 考点04 平面向量的内积 9.（2023·湖北·真题）若单位向量，的夹角为，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据平面向量内积的定义可求解. 【详解】由题可知， . 故答案为：0 10.（2022·湖北·真题）已知向量，，则 （1）_______； （2）________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）根据向量内积的坐标公式求解；（2）根据向量夹角坐标公式求解. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）， 又，所以. 故答案为：1；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $