湖北武汉市吴家山中学2025-2026学年高一下学期数学周测(6.12)

**基本信息** 高一数学周测试卷聚焦立体几何、平面向量与解三角形核心内容，以基础巩固为底，能力提升为脉，创新应用为峰，通过球形冰淇淋模具等生活情境与梯度问题设计，培养空间想象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|向量运算、正方体截面、复数模最值|基础题占比62.5%，如向量垂直求正切值，夯实概念理解| |多选题|3题/15分|线面垂直判定、平面向量线性表示|选项分层设计，如三棱锥位置关系题考查空间想象与推理论证| |填空题|3题/15分|向量数量积最值、外接球截面面积|综合应用突出，如直角梯形动点数量积问题，融合函数思想| |解答题|5题/30分|解三角形、立体几何证明与二面角计算|梯度明显，19题三问从线面平行到二面角，考查逻辑推理与数学表达|

高一数学周测 2026.06.12 一.单选题: 1.下列向量运算错误的是( ) A. B. C. D. 2.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 3.已知|z1|=1,z2=3+4i,则|z1﹣z2|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知向量,若,则tan =( ) A. B.2 C.﹣2 D. 5.如图,在边长为2的正方形中,,分别是,的中点,若沿,及把这个正方形折成一个四面体,使,,三点重合,重合后的点记为,则四面体的外接球体积为( ) A. B. C. D. 6. ABC的外接圆圆心为O,,,则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.在三棱锥P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC=4,∠ABC=90 ,则下列错误的是( ) A.BC⊥PA B.点B到平面PAC的距离为 C.PA⊥平面ABC D.平面PAB⊥平面PAC 8.在给出的下列命题中,错误的是( ) A.O,A,B,C是一平面上的四点,若,则点A,B,C必共线B.若向量是平面 上的两个向量,则平面 上的任一向量都可以表示为,且表示方法是唯一的 C.平面向量满足,则 ABC为等腰三角形 D.已知平面向量满足,且,则 ABC是等边三角形 二.多选题: 9.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B的任一点,则下列结论中正确的是( ) A.PB⊥AC B.PC⊥BC C.平面ABC⊥平面PAC D.平面PBC⊥平面PAC 10.如图,点B是线段AC的中点,,点P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且,以下结论中正确的是( ) A.当P是线段CE的中点时, B.当时, C.当x+y为定值2时,点P的轨迹是一条线段 D.x﹣y的最大值为﹣1 11.在锐角 ABC中,A,B,C所对边分别为a,b,c,已知sin2B﹣sin2A=sinAsinC,则( ) A.若,则 B.B=2A C.b>2a D. 三.填空题: 12.在 ABC中,点D是边BC上异于端点的一点,若,则的最小值为 . 13.如图,在直角梯形ABCD中,.若M、N分别是AD、BC上的动点,满足,其中 ∈(0,1),则的最大值为 . 14.正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为,,则平面PCD截正四棱锥P﹣ABCD外接球所得截面的面积为 . 四.解答题: 15..在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2+c2﹣b2=ac. (1)求角B的大小; (2)若 ABC的面积,内切圆的半径为,求b; 16.已知菱形ABCD的边长为2,,E为DC边中点,且,G为线段BF的中点. (1)若,求 的值; (2)求的最小值. 17.在 ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,已知c=4,b=5,. (1)求AC边上的高;(2)若 ABC为锐角三角形,直线l与 ABC的边BC、AC分别相交于D,E,(DE不与顶点重合),DE把 ABC分成面积相等的两部分,求DE的最小值. 18.为满足市场对球形冰淇淋的需求,某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具,其内壁恰好是球体的表面,且内壁与棱柱的每一个面都相切(内壁厚度忽略不计),店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中,再通过按压的方式得到球形冰淇淋.已知该模具底面边长均为6cm. (1)求内壁的面积;(2)求制作该模具所需材料的体积;(3)求模具顶点到内壁的最短距离. 19.如图,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为菱形,∠A1AB=60 ,AB=A1C=2BC=2,∠ACB=90 ,M为AB中点,AC1与A1C的交点为N. (1)求证:MN∥平面BCC1B1;(2)求证:A1M⊥平面ABC;(3)求二面角B﹣AA1﹣C的正弦值