第1章 反比例函数 单元复习讲义 2025--2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义通过分点梳理与表格对比构建反比例函数知识体系，涵盖定义、图像性质、k的几何意义、待定系数法及实际应用，用表格呈现k的符号与图像象限、增减性的对应关系，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点是分层典例与巩固练习，基础题如判断反比例函数，中等题涉及k的几何意义应用，提优题包含一次函数与反比例函数综合题，培养几何直观与推理能力，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学。

例 1 解析：根据反比例函数的定义进行判断： （1）是反比例函数，，符合 的形式； （2）不是，是正比例函数； （3）是反比例函数，，符合 的形式； （4）是反比例函数，，符合 的形式； （5）不是，是一次函数。 变式训练答案 1、答案：B 解析：根据反比例函数的定义，只有 符合 的形式，因此选 B。 2、答案： 或 解析：根据反比例函数的定义，需满足： 解得 ，即 ，且 ，因此 的值为 或 。 3、答案： 解析：设反比例函数的解析式为 ，将点 代入，得 ，解得 ，因此解析式为 。 例 2 解析：首先，，因此反比例函数的图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小。 点 、 的横坐标为负，因此两点都在第三象限，且 ，所以 ，且 、 均为负数； 点 的横坐标为正，因此在第一象限， 为正数。 因此，三者的大小关系为：。 变式训练答案 1、答案： 解析：，因此图像在第二、四象限，在每个象限内 随 的增大而增大。 点 、 在第四象限，，所以 ，且均为负数；点 在第二象限， 为正数，因此 。 2、答案： 解析：由题意可知，反比例函数的比例系数 ，解得 。 3、答案： 解析：根据 的几何意义， 的面积为 ，因此 ，又因为 ，图像在第一象限，所以 ，因此 。 例 3 解析：（1）将 代入反比例函数解析式，得 ，解得 ，因此反比例函数的解析式为 。 将 、 代入一次函数解析式，得： 解得 ，因此一次函数的解析式为 。 （2）对于一次函数 ，令 ，得 ，即一次函数与 轴的交点为 ，。 的面积可以分割为 和 的面积之和： （3）不等式 的几何意义是：一次函数的图像在反比例函数图像的上方，结合两个交点的坐标，可得解集为： 或 。 变式训练答案 1、答案：，另一个交点为 解析：将 代入一次函数，得 ，所以 ，代入反比例函数，得 ，因此反比例函数为 。 联立两个函数的解析式：，解得 或 ，因此另一个交点为 。 2、答案：电阻 的最小值为 Ω 解析：设反比例函数解析式为 ，将 代入，得 ，因此解析式为 。 由题意，，即 ，解得 ，因此电阻 的最小值为 Ω。 巩固练习答案 1. 答案：B 解析：根据反比例函数的定义，只有 符合，因此选 B。 2. 答案：B 解析：，因此图像位于第一、三象限，选 B。 3. 答案：B 解析：，因此选 B。 4. 答案： 解析：反比例函数的自变量不能为 0，因此取值范围是 。 5. 答案：（答案不唯一，只要 即可） 解析：图像在第二、四象限，说明 ，因此任意 的反比例函数都可以。 6. 答案：B 解析：，图像在一、三象限， 在第三象限，；、 在第一象限，，所以 ，因此 ，选 B。 7. 答案：A 解析：由题意，，解得 ，选 A。 8. 答案： 解析：矩形的面积为 ，本题默认图像在第四象限，因此 。 9. 答案： 解析：，在第一象限内， 随 的增大而减小，当 时，；当 时，，因此当 时，。 10. 答案： 解析：设 ，当 时，，所以 ，因此当 时，。 11. 答案：D 解析：联立两个函数的解析式，得 ，整理得 ，判别式 ，当 时，有 2 个交点；当 时，有 1 个交点；当 时，有 0 个交点，因此选 D。 12. 答案：C 解析：联立两个函数的解析式，解得交点为 和 ，因此不等式 的解集是 或 ，选 C。 13. 答案： 解析：平行四边形的面积等于 ，且图像在第一象限，所以 。 14. 答案： 解析：矩形的面积为 ，因此 ，。 15. 答案： 解析：根据 的几何意义，四边形 的面积为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学九年级上册第1章反比例函数单元复习讲义 一、学习目标 1. 梳理反比例函数的核心知识点，构建完整的知识体系； 2. 能熟练判断反比例函数，利用待定系数法求函数解析式； 3. 掌握反比例函数的图像与性质，能比较函数值的大小，解决 k 的几何意义相关问题； 4. 能解决反比例函数与一次函数的综合问题，以及反比例函数的实际应用问题； 5. 体会数形结合、分类讨论的数学思想，提升解决问题的能力。 二、知识点梳理 1. 反比例函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中 是自变量， 是函数。 反比例函数的三种常见形式： 自变量 的取值范围是 ，函数值 的取值范围是 。 2. 反比例函数的图像与性质 反比例函数的图像是双曲线，它具有以下性质： 的符号 图像所在象限 函数的增减性（每个象限内） 对称性 第一、三象限 随 的增大而减小 中心对称（对称中心为原点）；轴对称（对称轴为 、） 第二、四象限 随 的增大而增大 同上 注意：比较反比例函数值的大小时，必须先判断点是否在同一个象限内，若不在同一个象限，不能直接用增减性比较，可通过正负性判断。 3. 反比例函数中 的几何意义 过反比例函数 图像上任意一点 ，作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、，则： 矩形 的面积为 ； （或 ）的面积为 。 4. 待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数只有一个待定系数 ，因此只需知道图像上任意一个点的坐标，即可代入解析式求出 ，从而确定函数的解析式。 5. 反比例函数的实际应用 在实际问题中，若两个变量的乘积为定值，则这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型解决问题，常见的应用场景有： 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例； 面积问题：面积一定时，矩形的长与宽成反比例； 物理应用：杠杆原理、欧姆定律、气压与体积的关系等。 三、分层典例精讲 （一）基础过关：反比例函数的定义与解析式 例 1 判断下列函数是否为反比例函数，若是，请指出比例系数 的值。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 变式训练 1、下列函数中，是 关于 的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2、若函数 是反比例函数，求 的值。 3、已知反比例函数的图像经过点 ，求这个反比例函数的解析式。 （二）中等提升：反比例函数的性质与 的几何意义 例 2 已知点 ，， 都在反比例函数 的图像上，比较 、、 的大小关系。 变式训练 1、已知点 ，， 都在反比例函数 的图像上，比较 、、 的大小关系。 2、已知反比例函数 ，在每个象限内， 随 的增大而减小，求 的取值范围。 3、如图，过反比例函数 的图像上一点 作 轴于点 ，连接 ，若 的面积为 ，求 的值。 （三）提优拓展：反比例函数的综合应用 例 3 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 的面积； （3）根据图像，直接写出不等式 的解集。 变式训练 1、已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，求 的值，并求两个函数的另一个交点坐标。 2、某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流 （A）与电阻 （Ω）成反比例关系，其图像过点 。若此蓄电池供电的电路中，电流不能超过 A，求电阻 的最小值。 四、巩固练习（共 15 题） 基础题（1-5 题） 1、下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2、反比例函数 的图像位于（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 3、已知点 在反比例函数 的图像上，则 的值为（　　） A. B. C. D. 4、函数 的自变量的取值范围是 。 5、写出一个图像在第二、四象限的反比例函数解析式： 。 中等题（6-10 题） 6、已知点 ，， 都在反比例函数 的图像上，则（　　） A. B. C. D. 7、若反比例函数 的图像在每个象限内， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8、如图，过反比例函数 图像上一点 作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 ，则 的值为 。 9、已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是 。 10、已知 与 成反比例，当 时，，则当 时， 。 提优题（11-15 题） 11、一次函数 与反比例函数 的图像的交点个数为（　　） A. B. C. D. 、 或 12、如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. 或 D. 或 13、如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 、 在 轴上，若平行四边形的面积为 ，则 的值为 。 14、某农场要建一个面积为 的矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用木栏围成，设垂直于墙的一边长为 m，平行于墙的一边长为 m，则 关于 的函数解析式为 。 15、已知反比例函数 ，点 是该函数图像上的动点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，则四边形 的面积为 。 学科网（北京）股份有限公司 $