（暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练 -2026-2027学年人教版数学七升八暑期进阶全攻略

**基本信息** 聚焦初中数学六大核心考点，通过30道高频易错题实现暑假巩固，覆盖几何直观、运算能力、数据意识等核心素养，知识逻辑从基础概念到综合应用递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|5题|几何计算与推理|从角的计算到平移性质，强化空间观念| |实数|5题|概念辨析与运算|从平方根到规律探究，培养抽象能力| |平面直角坐标系|5题|坐标表示与变换|结合图形与坐标，发展几何直观| |二元一次方程组|5题|解法与实际应用|从解的意义到建模，提升应用意识| |不等式与不等式组|5题|参数范围与应用|从性质应用到实际决策，训练推理能力| |数据收集与描述|5题|统计分析与推断|从数据整理到估计预测，培养数据观念|

2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一相交线与平行线 1 考点二实数 2 考点三平面直角坐标系 2 考点四二元一次方程组 3 考点五不等式与不等式组 4 考点六数据的收集、整理与描述 4 考点一相交线与平行线 1．如图，直线 ， 交于点，已知于点，平分，若，则的度数是________． 2．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 3．如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 4．如图，在中，，将沿射线向右平移得到，则的长为__________． 5．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为________． 考点二实数 6．已知，则的值为________． 7．已知：若，，则 __________________． 8．已知两个正方体水槽的体积分别为和，则大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长_____． 9．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 10．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 考点三平面直角坐标系 11．已知平面直角坐标系中，点在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则P点坐标为______． 12．在平面直角坐标系中，点A为，点B为，直线轴，则________ 13．数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”，将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点两点的坐标分别为，则点的坐标为______； 14．在平面直角坐标系中，将，两点先同时向左平移2个单位长度，再向下平移k个单位长度得到R，S两点（点P对应点R，点Q对应点S）．连接，过Q作的垂线l，E是直线l上一点，连接，且的最小值为2．下列结论正确的有______（只填序号）． ①；②P、Q、R三点可能在同一条直线上；③直线轴；④当取最小值时，点E的坐标为． 15．如图，轮船航行到处时，观测到小岛的方向是北偏东，那么同时从小岛观测轮船的方向是南偏西_____度． 考点四二元一次方程组 16．若关于，的方程组的解是，则________，________． 17．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 18．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 19．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 20．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 考点五不等式与不等式组 21．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则_______（填“”“”或“”）． 22．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 23．正整数满足，，且a与b的最大公因数为3．把所有可能的a相加，所得和为____． 24．按照如下操作程序，如果恰好只需要运行一次“否”后就能输出结果，那么输入的的取值范围是________． 25．某校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有____________个班级． 考点六数据的收集、整理与描述 26．某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 27．下列抽样调查： ①在某大城市调查我国居民的环保意识； ②随机在100所中学里调查我国中学生的视力情况； ③在一个鱼塘里随机捕了50条鱼，了解鱼塘里鱼的生长情况； ④在某一农村小学里抽查100名学生，调查我国小学生的健康状况．其中，样本具有代表性的是__________．（填序号） 28．在人工智能技术飞速发展的今天，作为当下最热门的语言模型，是教师们提升教学质量和创新课堂教学的得力助手．某教研组织对本县区内名数学教师的使用熟练情况进行了调查了解，分等级如下：非常熟练，比较熟练，简单了解，很少使用，没有操作，并结合相关数据制作了如图所示不完整的频数分布图．若将该调查情况制作成扇形统计图，则等级所占的圆心角为______度． 29．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行分析，将竞赛成绩分成五个等级（，；；；），并根据分析结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于分的人数约有______名． 30．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 10 8 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一相交线与平行线 1 考点二实数 4 考点三平面直角坐标系 5 考点四二元一次方程组 8 考点五不等式与不等式组 11 考点六数据的收集、整理与描述 14 考点一相交线与平行线 1．如图，直线 ， 交于点，已知于点，平分，若，则的度数是________． 【答案】/74度 【分析】设，根据角平分线得到，根据对顶角相等有，根据垂直的定义有，因此可得，，根据列出方程，求解即可解答． 【解答】解：设， ∵平分， ， ， ， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 2．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 【答案】 【解答】解：∵，， ∴点到直线的距离是． 3．如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 【答案】70 【分析】根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【解答】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 4．如图，在中，，将沿射线向右平移得到，则的长为__________． 【答案】7 【分析】根据平移的性质得出，，根据线段的和差关系即可求出的长． 【解答】解：∵，将沿射线向右平移得到， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】先根据图形平移的性质得出，，根据得出的长，再根据即可得出结论． 【解答】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点二实数 6．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式变形即可求出所求式子的值． 【解答】解：由题意可得，，即 ， 由， 可得， ， ， ． 7．已知：若，，则 __________________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此规律计算即可． 【解答】解：， 与相比，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点向右移动2位， 所以． 8．已知两个正方体水槽的体积分别为和，则大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长_____． 【答案】2 【解答】解：∵两个正方体水槽的体积分别为和 ∴大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， ∴大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长． 9．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：根据题意得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的长和宽分别为和， 阴影部分的面积． 10．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 【答案】 【分析】分别从符号、分子的被开方数、分母三个维度寻找数字变化规律，归纳得到第n个数的一般形式，再代入化简计算即可. 【解答】解：，，，，，，， 观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为，分母为， ∵， 故第35个数的符号为负，分子为，分母为， 故第35个数是. 考点三平面直角坐标系 11．已知平面直角坐标系中，点在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则P点坐标为______． 【答案】 【分析】先根据第二象限内点的符号特征和题目给出的数量关系列方程求出的值，再代入计算得到点的横纵坐标即可． 【解答】解：点在第二象限， 点的横坐标小于，纵坐标大于，则点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，到轴的距离为横坐标的绝对值，即， 根据题意得， 解得：， 将代入得横坐标，纵坐标， 点坐标为． 12．在平面直角坐标系中，点A为，点B为，直线轴，则________ 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线的点的纵坐标相等，据此列出关于a的一元一次方程求解即可． 【解答】解：∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 移项得，解得． 13．数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”，将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点两点的坐标分别为，则点的坐标为______； 【答案】 【分析】首先根据顶点，两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出点的坐标． 【解答】解：∵顶点，两点的坐标分别为， ∴小方格的边长为1个单位长度，且点C在x轴正半轴1个单位，y轴正半轴1个单位， 点A在x轴负半轴3个单位，y轴正半轴2个单位， 由此建立坐标系如图： ∴点B的坐标为． 14．在平面直角坐标系中，将，两点先同时向左平移2个单位长度，再向下平移k个单位长度得到R，S两点（点P对应点R，点Q对应点S）．连接，过Q作的垂线l，E是直线l上一点，连接，且的最小值为2．下列结论正确的有______（只填序号）． ①；②P、Q、R三点可能在同一条直线上；③直线轴；④当取最小值时，点E的坐标为． 【答案】①③ 【分析】利用平移的性质：连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等，进而可得①正确；先求出点，的坐标，得出点与点不在同一条直线上，再根据平移的性质可得，进而可得②错误；得出轴，进而可得③正确；先求出直线上的点的纵坐标都与点的纵坐标相等，即为，再根据垂线段最短可得当与直线垂直时，的值最小，则可得此时点的横坐标与点的横坐标相等，即为，进而可得④错误． 【解答】解：∵将，两点先同时向左平移2个单位长度，再向下平移k个单位长度得到R，S两点 ∴根据平移可知，结论①正确； 由题意得：点的坐标为，点的坐标为，即， ∵点与点的横坐标相等、纵坐标不相等， ∴点与点不在同一条直线上， 由平移的性质可知，， ∴点、、三点不可能在同一条直线上，结论②错误； ∵点与点的横坐标相等、纵坐标不相等， ∴轴， ∵过作的垂线， ∴直线轴，结论③正确； ∴直线上的点的纵坐标都与点的纵坐标相等，即为， ∵点是直线上一点， ∴点的纵坐标为， 由垂线段最短可知，当与直线垂直时，的值最小， ∴此时轴， ∴此时点的横坐标与点的横坐标相等，即为， ∴当取最小值时，点的坐标为，结论④错误； 综上，结论正确的有①③． 15．如图，轮船航行到处时，观测到小岛的方向是北偏东，那么同时从小岛观测轮船的方向是南偏西_____度． 【答案】25 【解答】以小岛为原点，建立平面直角坐标系，观测轮船的方向是南偏西． 考点四二元一次方程组 16．若关于，的方程组的解是，则________，________． 【答案】 【分析】把代入原方程组中得到关于m，n的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵若关于，的方程组的解是， ∴， ∴． 17．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】利用整体思想，对比已知方程组与所求方程组的结构，得到关于，的等式，将求得的，值代入计算即可． 【解答】解：关于，的二元一次方程组的解是． 若令，则方程组的解与方程组的解相同， 则，解得， ． 18．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 【答案】 【分析】本题根据行程问题中追及和相遇的路程关系列方程组，同向追及时，相同时间内甲车行驶路程比乙车多A、B两地的距离；相向相遇时，两车行驶路程和等于A、B两地的距离，据此即可列出方程组． 【解答】解： 已知甲车速度为，乙车速度为，A、B两地相距， 当两车匀速同向而行，甲车后追上乙车，可得甲车行驶路程减去乙车行驶路程等于两地距离，列方程得， 当两车匀速相向而行，后相遇，可得两车行驶路程和等于两地距离，列方程得， 因此可列方程组为． 19．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【解答】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 20．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 【答案】1150 15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【解答】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 考点五不等式与不等式组 21．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可． 【解答】由数轴可知，， 则， 两边都除以得，即． 故答案为：． 22．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相加，整理得到关于的表达式，再结合得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【解答】解： 得 等式两边同除以3得 ∵ ∴ 解得 23．正整数满足，，且a与b的最大公因数为3．把所有可能的a相加，所得和为____． 【答案】 【分析】先将代入，求出与的值，再根据，的最大公因数为，设，，得到，结合的条件找出所有符合条件的，最后计算所有的和． 【解答】解：∵，， ∴ 解得， ∴， ∵，的最大公因数为， ∴设，，其中为互质的正整数， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵， ∴满足条件的数为1和6，2和5，3和4， ∴值为，，， ∴所有可能的和为． 24．按照如下操作程序，如果恰好只需要运行一次“否”后就能输出结果，那么输入的的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据程序列出不等式组即可求解． 【解答】解：第一次计算得，其值不超过64， 第二次计算得，其值大于64， 由题意得：， 解第一个不等式，得，解第二个不等式，得， ∴不等式组的解集为． 即输入的的取值范围是． 25．某校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有____________个班级． 【答案】 【分析】设学校七年级共有x个班级，根据题意，得，求不等式组的正整数解即可． 【解答】解：设学校七年级共有x个班级， 根据题意，得， 解得， 是正整数， 故， ∴学校七年级共有6个班级． 考点六数据的收集、整理与描述 26．某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 【答案】240 【分析】先求出抽取的样本中肺活量等级为良好及以上的频率，再用九年级男生总人数乘该频率，即可估计出对应人数． 【解答】解：由题意可知，抽取的样本容量为50，样本中肺活量等级达到良好及以上的人数为（人）， ∴样本中良好及以上人数的频率为， 估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数为：（人）． 27．下列抽样调查： ①在某大城市调查我国居民的环保意识； ②随机在100所中学里调查我国中学生的视力情况； ③在一个鱼塘里随机捕了50条鱼，了解鱼塘里鱼的生长情况； ④在某一农村小学里抽查100名学生，调查我国小学生的健康状况．其中，样本具有代表性的是__________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了抽样调查，抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现，据此求解即可． 【解答】解：①在某大城市调查我国居民的环保意识，样本不符合随机性，大城市不能代表全国居民，因此不具有代表性； ②随机抽取100所中学里调查我国中学生的视力情况，随机选择学校，具有代表性； ③在一个鱼塘里随机捕了50条鱼，了解鱼塘里鱼的生长情况，随机捕鱼，对于该鱼塘具有代表性； ④在某一农村小学里抽查100名学生，调查我国小学生的健康状况，样本不符合随机性，农村小学不能代表所有小学生，因此不具有代表性． 故答案为②③． 28．在人工智能技术飞速发展的今天，作为当下最热门的语言模型，是教师们提升教学质量和创新课堂教学的得力助手．某教研组织对本县区内名数学教师的使用熟练情况进行了调查了解，分等级如下：非常熟练，比较熟练，简单了解，很少使用，没有操作，并结合相关数据制作了如图所示不完整的频数分布图．若将该调查情况制作成扇形统计图，则等级所占的圆心角为______度． 【答案】80 【分析】先根据总人数和已知等级的人数，求出等级的人数；再计算等级人数占总人数的比例；最后用该比例乘以，得到等级所占的圆心角度数． 【解答】解：∵调查的总人数为名， 等级人数为，等级人数为，等级人数为，等级人数为， ∴等级的人数为：． ∴等级所占的圆心角为：． 29．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行分析，将竞赛成绩分成五个等级（，；；；），并根据分析结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于分的人数约有______名． 【答案】 【分析】根据抽查的人数和各组的频数求出的人数，利用样本百分比求出全校名学生中成绩低于分的人数． 【解答】解：由图可知有名，有名，有名，有名， 的人数为名， 全校名学生大约有名． 30．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 10 8 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟． 【答案】 29 48 【分析】本题主要考查统计的知识，理解题意是解题的关键；在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和． 【解答】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为（分）； 若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房“打扫卫生”需40分钟，甲完成一间客房“打扫卫生”需10分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需32分钟，可再完成两间客房检查设备的工作，一人完成四间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成两间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要（分）； 故答案为29；48． 学科网（北京）股份有限公司 $