第六单元 多边形的面积 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版五年级上册（新教材）

第六单元 多边形的面积 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、平行四边形的面积 2 1. 面积公式推导 2 2. 计算公式 2 3. 核心注意事项 2 二、三角形的面积 3 1. 面积公式推导 3 2. 计算公式 3 3. 核心注意事项 3 三、梯形的面积 3 1. 面积公式推导 3 2. 计算公式 3 3. 拓展公式 3 四、组合图形的面积 4 1. 组合图形的定义 4 2. 常用计算方法 4 3. 解题步骤 4 五、不规则图形的面积估算 4 1. 数方格法 4 2. 转化估算法 4 六、面积单位及换算 4 1. 常用面积单位 4 2. 单位换算关系 5 考点讲练 5 考点一：平行四边形面积的计算 5 考点二：平行四边形面积的应用 5 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 6 考点四：三角形面积的计算 8 考点五：三角形面积的应用 8 考点六：平行线间三角形的面积问题 10 考点七：梯形面积的计算 11 考点八：梯形面积的应用 11 考点九：与梯形相关的重叠问题 12 考点十：含多边形的组合图形的面积 14 考点十一：求组合图形中阴影部分的面积 15 考点十二：不规则图形的面积 17 综合训练 18 知识梳理 一、平行四边形的面积 1. 面积公式推导 采用割补转化法：沿着平行四边形的一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。 长方形的长 = 平行四边形的底 长方形的宽 = 平行四边形的高 长方形面积 = 长 × 宽，由此推导出平行四边形的面积公式。 2. 计算公式 平行四边形的面积 = 底 × 高 字母公式：（表示底，表示这条底对应的高） 3. 核心注意事项 底和高必须一一对应，高必须是指定底边上的垂直高度； 等底等高的平行四边形，面积一定相等，但形状不一定相同； 平行四边形的面积只由底和对应高决定，与周长、倾斜角度无关； 已知面积和底，求高：；已知面积和高，求底：。 二、三角形的面积 1. 面积公式推导 用拼组法：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 三角形的底 平行四边形的高 = 三角形的高 每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 2. 计算公式 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 字母公式：（表示底，表示这条底对应的高） 3. 核心注意事项 计算三角形面积时，切记不要忘记除以 2，这是高频易错点； 等底等高的三角形，面积一定相等，形状不一定相同； 面积相等的三角形，底和高不一定对应相等； 等底等面积的三角形，高一定相等；等高等面积的三角形，底一定相等。 三、梯形的面积 1. 面积公式推导 用拼组法：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 平行四边形的高 = 梯形的高 每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 2. 计算公式 梯形的面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2 字母公式：（表示上底，表示下底，表示高） 3. 拓展公式 已知梯形面积、上底、下底，求高： 已知梯形面积、高、上底，求下底： 已知梯形面积、高、下底，求上底： 四、组合图形的面积 1. 组合图形的定义 由长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形组合而成的图形，叫作组合图形。 2. 常用计算方法 分割法（求和法）：把组合图形分割成几个规则的基本图形，分别计算每个图形的面积，再相加得到总面积。适用于图形由几个部分拼接而成的情况。 添补法（求差法）：给组合图形补上一部分，使其变成一个大的规则图形，用大图形的面积减去补上部分的面积，得到原图形面积。适用于图形有凹陷、空缺的情况。 3. 解题步骤 观察图形特征，选择合适的分割或添补方案； 找出计算各基本图形面积所需的边长、高等条件； 分别计算各部分面积，最后求和或求差得到结果。 五、不规则图形的面积估算 1. 数方格法 将不规则图形放在方格纸中，遵循 “满格算 1 格，不满格算半格” 的规则，统计总格数估算面积。 2. 转化估算法 把不规则图形近似看成与之形状接近的规则图形（如长方形、梯形、三角形等），计算规则图形的面积，作为不规则图形的估算结果。 六、面积单位及换算 1. 常用面积单位 平方厘米（）、平方分米（）、平方米（）、公顷（）、平方千米（）。 2. 单位换算关系 平方分米 平方厘米 平方米 平方分米 平方厘米 公顷 平方米 平方千米 公顷 平方米 换算规律：高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。 考点讲练 考点一：平行四边形面积的计算 【典例精讲】如图，刘爷爷家有一块平行四边形菜地，这块菜地的面积是( )平方米，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆( )米。 【变式训练】平行四边形的面积是24cm2，底不变，高扩大为原来的3倍后，面积是( )cm2。 【变式训练】如图，把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的面积是( )，原来长方形的面积是( )。 【变式训练】如图（单位：cm），把一个长方形拉成了一个平行四边形后，面积减少了，长方形的长是( )cm。 考点二：平行四边形面积的应用 【典例精讲】刘叔叔家的果园是一个平行四边形，它的底是240米，高是85米，平均每公顷果园可以收水果8.5吨，这个果园共收水果多少吨？ 【变式训练】如下图所示，王叔叔靠墙边用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为27平方米。王叔叔一共需要篱笆多少米？ 【变式训练】李爷爷家有一块平行四边形的菜地，底是4.5米，高是1.6米，已知每平方米收青菜6千克，这块菜地一共可以收青菜多少千克？ 【变式训练】小区改造儿童游乐区，需要铺设一块平行四边形橡胶地垫，底是18米，高是底的0.5倍，每平方米橡胶地垫的价格是65.8元，购买这块地垫一共需要多少元？ 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【变式训练】如图是一块长方形草坪，中间有两条小路，一条是长方形，一条是平行四边形，求草坪的面积。（单位：米） 下面是一位同学的想法： 笑笑：用长方形的面积减去中间两条小路的面积，列式：16×10－16×2－2×10＝108（平方米） （1）你认为他的想法 。（填“正确”或“不正确”） （2）请你正确列式解答。 【变式训练】把一个平行四边形沿高剪开拼成一个长方形，然后测量出拼成的长方形长8厘米，宽4.5厘米，原来的平行四边形面积是( )平方厘米，拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长变( )了（填“长”或“短”）。 【变式训练】把图的平行四边形沿高剪开，可以分成图形①和图形②。将①平移后，和②拼成一个周长是36cm的正方形，那么这个平行四边形的面积是( )cm2。 考点四：三角形面积的计算 【典例精讲】三角形的底是8分米，高是6分米，如果底增加a分米，高不变，面积增加( )平方分米。 【变式训练】如图，平行四边形ABCD的面积是98平方厘米，甲乙两个三角形的面积相差( )平方厘米。 【变式训练】一个直角三角形绿化带，是长城步道配套景观，三条边长分别是6m、8m、10m，它的面积是( )。 【变式训练】小林从长为4.5cm、6cm、7.5cm的小棒中选了三根，搭成了三角形ABC，且三个内角的度数关系为，按角分这个三角形一定是( )三角形，它的面积为( )。 考点五：三角形面积的应用 【典例精讲】如图，已知长方形ABCD的长是8厘米，宽是4厘米，阴影三角形GEC的面积是10平方厘米，求OF的长。 【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？ 【变式训练】如图，张杨从下面的这张梯形彩纸中剪出一个直角三角形，这个梯形的高是多少厘米？ 【变式训练】如下图，张大爷把他家的梯形菜地分为两部分，在平行四边形菜地种菜心，在三角形菜地种番茄。已知种番茄的面积是300平方米，那么种菜心的面积是多少平方米？ 考点六：平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】如图，小聪通过测量发现，两条虚线之间的距离处处相等，已知涂色的平行四边形的面积是29平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【变式训练】如图，a∥b，平行四边形的底与三角形的底相等。如果平行四边形的面积等于25cm2，则三角形的面积等于( )cm2。 【变式训练】如图，三角形的高是6cm，三角形的面积是( )，平行四边形的面积是( )。 【变式训练】如下图，在一组平行线间有4个等底的三角形。这些三角形的面积总和是( )平方厘米。 考点七：梯形面积的计算 【典例精讲】有一个梯形，它的上底是5厘米，下底是7厘米，如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加了4.5平方厘米，原来梯形的面积是__________。 【变式训练】把一张长方形纸折叠成梯形（如图）。这个梯形的面积是( )cm2。 【变式训练】一个梯形的下底是16厘米，高是10厘米，当上底延长4厘米时，梯形变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )平方厘米。 【变式训练】把梯形沿线段AB剪开，如下图，图形ABCD绕B点( )时针旋转( )°后，将梯形转化为平行四边形。平行四边形的底和原来梯形的( )相等。平行四边形的高和原来梯形的( )相等。 考点八：梯形面积的应用 【典例精讲】十堰市某林场有一块近似梯形的林地，上底是0.8千米，下底是1.2千米，高是0.5千米。这块林地可通过碳汇交易实现减排，已知每平方千米林地每年减排0.12万吨，这块林地每年共减排多少万吨？ 【变式训练】一块梯形麦田的上底是27米，下底是53米，高是12米，如果这块麦田共收小麦960千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 【变式训练】如图所示，张伯伯圈了一块直角梯形菜地用来种大白菜。这块菜地一面靠墙，共用篱笆72米。如果每平方米收大白菜14千克，张伯伯这块地一共可以收大白菜多少千克？ 【变式训练】一块梯形广告牌，上底是7米，下底是11.8米，高是6米。如果要油饰这块广告牌，每平方米用油漆0.6千克，共需多少千克油漆？ 考点九：与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】有一条小河，原来河面宽18m，河底宽3m，深4m。河床清理后河面宽不变，河底宽增加1m，深也增加1m。这条小河的横截面增加了多少平方米？ 【变式训练】如图，在一组平行线间有两个平行四边形相重叠（如图），形成一个三角形①（重叠部分）和两个梯形②、③（空白部分）。那么，②、③的面积相比（    ）。 A．梯形②的面积最大 B．梯形③的面积最大 C．梯形②、③的面积相等 D．无法确定 【变式训练】如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 【变式训练】如图，有两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 考点十：含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】按要求计算。 计算下面图形的面积。 【变式训练】求组合图形的面积。 【变式训练】计算下面图形的周长和面积。（单位：dm） 【变式训练】求下面组合图形的面积（单位：厘米）。 考点十一：求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】计算阴影部分的面积。 【变式训练】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】计算下面图形中阴影部分的面积。 【变式训练】如图，两个正方形拼在一起，求阴影部分的面积。（单位：cm） 考点十二：不规则图形的面积 【典例精讲】一个池塘的形状如下图（涂色部分），图中每个小方格的面积是1平方米，请你估计这个池塘的面积。 【变式训练】下图中每个小方格的面积是1平方厘米，计算涂色部分的面积。 【变式训练】你能求出下图的面积吗？（每个小方格的面积是1平方厘米） 【变式训练】估计下面图形的面积。（每个小方格的面积表示1平方分米） 综合训练 1．下图中，涂色部分甲的面积（    ）乙的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 2．把一个边长为7厘米的正方形拉成一个高为h厘米的平行四边形后，面积减少了20平方厘米。下面根据题意列出的方程中，正确的是（    ）。 A．7－h＝20 B．7×7－h×h＝20 C．7×7－7h＝20 D．7h＝20 3．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，它的面积是（    ）cm2。 A．50 B．25 C．100 D．105 4．下图中三角形、平行四边形、长方形和梯形，面积相等的是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 5．图中长方形的面积是26cm2，那么阴影部分的面积（    ）13cm2。 A．等于 B．大于 C．小于 D．不能比较 6．学校图书角有一批相同的故事书，管理员将它们按规律整齐堆叠，形成了一个类似梯形的造型（如图）。从侧面看，最下层摆放了18本，最上层摆放了5本，且相邻两层的书籍数量相差1本。这堆书一共有（    ）本。 A．207 B．190 C．150 D．161 7．一个梯形的上底是3米，下底是5米，现在将它的下底延长1米，面积增加1.5平方米。原来这个梯形的高是( )米，面积是( )平方米。 8．如下图，长方形的面积为72平方分米，三角形①的面积为9平方分米，三角形②的面积为18平方分米。阴影部分的面积是( )平方分米。 9．下图所示的平行四边形空白部分的面积比阴影部分多20平方厘米，则图中阴影部分的高是( )厘米，面积是( )平方厘米。 10．一个平行四边形的底是6cm，高是5cm，它的面积是( )cm2，与它等底等高的三角形的面积是( )cm2。 11．军军在剪纸活动中，把一个下底是26cm的梯形纸片的下底缩短10cm，就剪成了一个平行四边形，梯形纸片面积减少，原梯形的高是( )cm。 12．如图所示，三角形的面积是( )cm2，整个图形的面积是( )cm2。 13．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是4cm。在这个梯形中剪出一个最大的平行四边形，面积是( )平方厘米；在这个梯形中画一个最大的三角形，面积是( )平方厘米。 14．春节期间，光明社区张叔叔把橙子堆成一个梯形形状用于装饰，最顶层有4个橙子，最底层有12个橙子，每相邻两层都相差1个橙子。这堆橙子一共有( )个。 15．五年级（1）班手工小组的同学们正在设计一款窗花底稿。如下图，窗花底稿由4个边长都是2分米的正方形拼成，底稿中的三角形B的面积是( )平方分米，平行四边形C的面积是( )平方分米，这张底稿的空白部分面积是( )平方分米。 16．一块三角形的玻璃，底是12.5分米，高是7.2分米，它的面积是( )平方分米：每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要花( )元。 17．计算下面图形的面积。（单位：分米）          18．计算下面各图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 19．一块梯形菜地，上底是12米，下底是18米，高是10米。如果每平方米收白菜8.5千克，这块地一共可以收白菜多少千克？ 20．学校有一块近似平行四边形的空地，计划设计成一个花园种植月季和芍药。平均每株花大约占地0.5平方米，学校需要购买多少株花苗？ 21．一条拦河坝的横断面是梯形，上、下底之和是45米，高是6米，这条拦河坝的长是35米。修这条拦河坝共需要土石多少方？ 22．张叔叔家有一块三角形油菜地，底为30米，对应的高为20米。如果每平方米可收油菜籽3.5千克，这块地可收获油菜籽共多少千克？ 23．一个梯形的下底是15厘米，把上底的一端延长6厘米，就成为一个平行四边形，这时面积将增加30平方厘米。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 24．如图，大正方形的面积是64平方厘米，③号三角形的面积是24平方厘米，涂色的小正方形面积是多少平方厘米？ 25．某农场利用房屋的一面墙，用45米长的篱笆围成了一块梯形菜地（如下图）。如果每平方米菜地收1.4千克蔬菜，这块菜地一共可以收蔬菜多少千克？ 26．高铁站为了增加绿地面积，在原来平行四边形草坪旁边又扩建了一块21.6平方米的三角形草坪。扩建后草坪的面积一共是多少平方米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 多边形的面积 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、平行四边形的面积 2 1. 面积公式推导 2 2. 计算公式 2 3. 核心注意事项 2 二、三角形的面积 3 1. 面积公式推导 3 2. 计算公式 3 3. 核心注意事项 3 三、梯形的面积 3 1. 面积公式推导 3 2. 计算公式 3 3. 拓展公式 3 四、组合图形的面积 4 1. 组合图形的定义 4 2. 常用计算方法 4 3. 解题步骤 4 五、不规则图形的面积估算 4 1. 数方格法 4 2. 转化估算法 4 六、面积单位及换算 4 1. 常用面积单位 4 2. 单位换算关系 5 考点讲练 5 考点一：平行四边形面积的计算 5 考点二：平行四边形面积的应用 6 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 9 考点四：三角形面积的计算 11 考点五：三角形面积的应用 13 考点六：平行线间三角形的面积问题 16 考点七：梯形面积的计算 18 考点八：梯形面积的应用 20 考点九：与梯形相关的重叠问题 23 考点十：含多边形的组合图形的面积 25 考点十一：求组合图形中阴影部分的面积 28 考点十二：不规则图形的面积 31 综合训练 34 知识梳理 一、平行四边形的面积 1. 面积公式推导 采用割补转化法：沿着平行四边形的一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。 长方形的长 = 平行四边形的底 长方形的宽 = 平行四边形的高 长方形面积 = 长 × 宽，由此推导出平行四边形的面积公式。 2. 计算公式 平行四边形的面积 = 底 × 高 字母公式：（表示底，表示这条底对应的高） 3. 核心注意事项 底和高必须一一对应，高必须是指定底边上的垂直高度； 等底等高的平行四边形，面积一定相等，但形状不一定相同； 平行四边形的面积只由底和对应高决定，与周长、倾斜角度无关； 已知面积和底，求高：；已知面积和高，求底：。 二、三角形的面积 1. 面积公式推导 用拼组法：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 三角形的底 平行四边形的高 = 三角形的高 每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 2. 计算公式 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 字母公式：（表示底，表示这条底对应的高） 3. 核心注意事项 计算三角形面积时，切记不要忘记除以 2，这是高频易错点； 等底等高的三角形，面积一定相等，形状不一定相同； 面积相等的三角形，底和高不一定对应相等； 等底等面积的三角形，高一定相等；等高等面积的三角形，底一定相等。 三、梯形的面积 1. 面积公式推导 用拼组法：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 平行四边形的高 = 梯形的高 每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 2. 计算公式 梯形的面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2 字母公式：（表示上底，表示下底，表示高） 3. 拓展公式 已知梯形面积、上底、下底，求高： 已知梯形面积、高、上底，求下底： 已知梯形面积、高、下底，求上底： 四、组合图形的面积 1. 组合图形的定义 由长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形组合而成的图形，叫作组合图形。 2. 常用计算方法 分割法（求和法）：把组合图形分割成几个规则的基本图形，分别计算每个图形的面积，再相加得到总面积。适用于图形由几个部分拼接而成的情况。 添补法（求差法）：给组合图形补上一部分，使其变成一个大的规则图形，用大图形的面积减去补上部分的面积，得到原图形面积。适用于图形有凹陷、空缺的情况。 3. 解题步骤 观察图形特征，选择合适的分割或添补方案； 找出计算各基本图形面积所需的边长、高等条件； 分别计算各部分面积，最后求和或求差得到结果。 五、不规则图形的面积估算 1. 数方格法 将不规则图形放在方格纸中，遵循 “满格算 1 格，不满格算半格” 的规则，统计总格数估算面积。 2. 转化估算法 把不规则图形近似看成与之形状接近的规则图形（如长方形、梯形、三角形等），计算规则图形的面积，作为不规则图形的估算结果。 六、面积单位及换算 1. 常用面积单位 平方厘米（）、平方分米（）、平方米（）、公顷（）、平方千米（）。 2. 单位换算关系 平方分米 平方厘米 平方米 平方分米 平方厘米 公顷 平方米 平方千米 公顷 平方米 换算规律：高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。 考点讲练 考点一：平行四边形面积的计算 【典例精讲】如图，刘爷爷家有一块平行四边形菜地，这块菜地的面积是( )平方米，现在要在这块菜地的四周围上一圈篱笆，至少需要篱笆( )米。 【答案】 27 24 【分析】根据平行四边形面积公式“面积＝底×高”，用已知的底7.5米和对应的高3.6米计算面积；再根据面积和另一条高6米，求出对应的底边长；最后根据平行四边形周长公式“周长＝2×相邻边的和。”，计算篱笆的长度。 【详解】面积：7.5×3.6＝27（平方米） 另一条底边长：27÷6＝4.5（米） 周长：（7.5＋4.5）×2 ＝12×2 ＝24（米） 这块菜地的面积是27平方米，至少需要篱笆24米。 【变式训练】平行四边形的面积是24cm2，底不变，高扩大为原来的3倍后，面积是( )cm2。 【答案】72 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，底保持不变，高扩大为原来的3倍，此时新的高为原来的高×3，代入面积公式可得新面积。 【详解】新的面积＝底×高×3，24×3＝72（）。 【变式训练】如图，把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的面积是( )，原来长方形的面积是( )。 【答案】 15 24 【分析】把长方形框架拉成平行四边形后，平行四边形的底就是原来长方形的长，平行四边形的斜边就是原来长方形的宽。根据“平行四边形的面积＝底×高”、“长方形的面积＝长×宽”，求出平行四边形的面积和原来长方形的面积。 【详解】平行四边形面积：6×2.5＝15（） 原来长方形的面积：6×4＝24（） 【变式训练】如图（单位：cm），把一个长方形拉成了一个平行四边形后，面积减少了，长方形的长是( )cm。 【答案】7.5 【分析】由题意知，将这个长方形拉成一个平行四边形后，由于长（底）没变而宽（高）减少了5－3＝2cm，导致面积减少了15；可设原来长方形的长是xcm，可列出方程：（5－3）x＝15，求出方程的解即可。 【详解】设原来长方形的长为xcm。 （5－3）x＝15 2x＝15 x＝15÷2 x＝7.5 即长方形的长是（7.5）cm。 考点二：平行四边形面积的应用 【典例精讲】刘叔叔家的果园是一个平行四边形，它的底是240米，高是85米，平均每公顷果园可以收水果8.5吨，这个果园共收水果多少吨？ 【答案】17.34吨 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出果园的面积，再用果园的面积×平均每公顷收水果的重量，即可解答，注意单位换算。 【详解】240×85＝20400（平方米） 20400÷10000＝2.04（公顷） 2.04×8.5＝17.34（吨） 答：这个果园共收水果17.34 吨。 【变式训练】如下图所示，王叔叔靠墙边用篱笆围一块平行四边形菜地，面积为27平方米。王叔叔一共需要篱笆多少米？ 【答案】17米 【分析】因为围成平行四边形菜地靠墙的一侧不需要篱笆，将其余的三边相加即可；根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形高（4.5米）对应底的长，再乘2，最后再加上5米即可解答。 【详解】27÷4.5×2＋5 ＝6×2＋5 ＝12＋5 ＝17（米） 答：王叔叔一共需要篱笆17米。 【变式训练】李爷爷家有一块平行四边形的菜地，底是4.5米，高是1.6米，已知每平方米收青菜6千克，这块菜地一共可以收青菜多少千克？ 【答案】43.2千克 【分析】先根据平行四边形面积＝底×高，求出菜地面积；再用面积乘每平方米收青菜的重量，得到这块菜地收青菜的总重量。 【详解】4.5×1.6×6 ＝7.2×6 ＝43.2（千克） 答：这块菜地一共可以收青菜43.2千克。 【变式训练】小区改造儿童游乐区，需要铺设一块平行四边形橡胶地垫，底是18米，高是底的0.5倍，每平方米橡胶地垫的价格是65.8元，购买这块地垫一共需要多少元？ 【答案】10659.6元 【分析】先用乘法，求出高的长度，再根据平行四边形面积＝底×高，求出橡胶地垫的面积，再根据总价＝单价×数量，用橡胶地垫的面积×每平方米橡胶地垫的价格，即可解答。 【详解】18×0.5＝9（米） 18×9×65.8 ＝162×65.8 ＝10659.6（元） 答：购买这块地垫一共需要10659.6元。 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【答案】152平方米 【分析】将石子路两侧的种菜区域向中间平移，能拼成一个新的平行四边形。用原平行四边形的底减去石子路的底即可求出新平行四边形的底，即20－1＝19米；新平行四边形的高与原平行四边形的高相同，为8米；最后根据“平行四边形的面积＝底×高”即可求出种菜的面积。据此解答。 【详解】（20－1）×8 ＝19×8 ＝152（平方米） 答：种菜的面积是152平方米。 【变式训练】如图是一块长方形草坪，中间有两条小路，一条是长方形，一条是平行四边形，求草坪的面积。（单位：米） 下面是一位同学的想法： 笑笑：用长方形的面积减去中间两条小路的面积，列式：16×10－16×2－2×10＝108（平方米） （1）你认为他的想法 。（填“正确”或“不正确”） （2）请你正确列式解答。 【答案】（1）不正确 （2）112平方米 【分析】（1）这位同学是用大长方形面积减去中间小长方形和小平行四边形的面积，忽略了小长方形和小平行四边形重叠的部分，所以想法错误； （2）用平移法，把小路平移，草坪可拼成平行四边形，原长16米、宽10米，小路宽2米，平移小路后的平行四边形底为（16－2）米、高为（10－2）米，然后根据“平行四边形面积＝底×高”计算出平行四边形的面积，即草坪的面积。 【详解】（1）我认为他的想法不正确。 （2）（16－2）×（10－2） ＝14×8 ＝112（平方米） 答：草坪的面积是112平方米。 【变式训练】把一个平行四边形沿高剪开拼成一个长方形，然后测量出拼成的长方形长8厘米，宽4.5厘米，原来的平行四边形面积是( )平方厘米，拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长变( )了（填“长”或“短”）。 【答案】 36 短 【分析】把一个平行四边形沿高剪开拼成一个长方形后形状改变但面积不变，所以原来的平行四边形的面积等于拼成的长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，将长和宽的数值代入公式计算即可求出原来的平行四边形的面积；平行四边形的周长由两条底和两条斜边组成，拼成长方形后，周长由两条长和两条宽组成，在拼接过程中，平行四边形的底经过平移后成为长方形的长，所以长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，根据直角三角形中斜边大于直角边，可知平行四边形的斜边长度大于高（即长方形的宽）的长度，所以拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长短；据此解答。 【详解】根据分析可知： 8×4.5＝36（平方厘米） 拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长短。 原来的平行四边形面积是36平方厘米，拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长变短了。 【变式训练】把图的平行四边形沿高剪开，可以分成图形①和图形②。将①平移后，和②拼成一个周长是36cm的正方形，那么这个平行四边形的面积是( )cm2。 【答案】81 【分析】由题意可知：把一个平行四边形沿高剪开后得到两个图形，这两个图形可以拼成一个周长是36cm的正方形，可知出正方形的边长，因为这个平行四边形的面积就等于拼成的正方形的面积，根据正方形的面积公式：S＝a²，把数据代入公式解答即可。 【详解】36÷4＝9（厘米） 9×9＝81（平方厘米） 【点睛】本题考查了平行四边形的面积，解答此题关键是理解平行四边形与正方形的面积是相等的。 考点四：三角形面积的计算 【典例精讲】三角形的底是8分米，高是6分米，如果底增加a分米，高不变，面积增加( )平方分米。 【答案】 【分析】增加部分的面积是一个三角形，这个增加的三角形底是分米，高是6分米，根据三角形面积＝底×高÷2进行计算。 【详解】 （平方分米） 【变式训练】如图，平行四边形ABCD的面积是98平方厘米，甲乙两个三角形的面积相差( )平方厘米。 【答案】7 【分析】根据图形可知，先用6＋8，求出平行四边形的底，根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高；高＝面积÷底，代入数据，求出平行四边形的高；也就是三角形甲、乙的高；再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，分别求出三角形甲、乙的面积，进而求出两个三角形的面积差。 【详解】98÷（6＋8） ＝98÷14 ＝7（厘米） 8×7÷2－6×7÷2 ＝56÷2－42÷2 ＝28－21 ＝7（平方厘米） 甲、乙两个三角形的面积相差7平方厘米。 【变式训练】一个直角三角形绿化带，是长城步道配套景观，三条边长分别是6m、8m、10m，它的面积是( )。 【答案】24 【分析】因为在直角三角形中，斜边大于直角边，则可知这个直角三角形的直角边分别是6米和8米，从而可以求其面积。 【详解】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方米） 【变式训练】小林从长为4.5cm、6cm、7.5cm的小棒中选了三根，搭成了三角形ABC，且三个内角的度数关系为，按角分这个三角形一定是( )三角形，它的面积为( )。 【答案】 直角 13.5 【分析】三角形的内角和为180°，已知，即，据此算出的度数可得第一问；第一问可能这个三角形是直角三角形，根据直角三角形斜边最长，可判断两条直角边，即底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算。 【详解】 按角分这个三角形一定是直角三角形。 6和4.5分别是三角形的底和高 三角形面积：（cm2） 考点五：三角形面积的应用 【典例精讲】如图，已知长方形ABCD的长是8厘米，宽是4厘米，阴影三角形GEC的面积是10平方厘米，求OF的长。 【答案】3厘米 【分析】如图：连接OA，OB。三角形AEO与三角形GEO同底等高，它们的面积相等；三角形BEO与三角形CEO的面积也相等，因此阴影部分的面积与三角形ABO的面积相等，那么三角形ABO的面积也是10平方厘米。EO是三角形ABO的高，根据三角形的面积＝底×高÷2，可知三角形的面积×2÷底＝高，据此求出OE的长，再用8减去OE的长就是OF的长。 【详解】10×2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 8－5＝3（厘米） 答：OF的边长是3厘米。 【点睛】连接OA，OB，利用三角形AEO与三角形GEO同底等高，把阴影部分的面积转化为三角形ABO的面积是解题的关键。 【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】根据题意：如图，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，则三角形EFG的面积＋10平方厘米＋梯形BCFG的面积＝平行四边形ABCD的面积，又因为三角形EFG的面积＋梯形BCFG的面积＝三角形BCE的面积，所以三角形BCE的面积＋10平方厘米＝平行四边形ABCD的面积；CF是平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，则高CF＝平行四边形的面积÷底，EF＝CE－CF。 【详解】10×8÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 40＋10＝50（平方厘米） 50÷10＝5（厘米） 8－5＝3（厘米） 答：EF的长是3厘米。 【变式训练】如图，张杨从下面的这张梯形彩纸中剪出一个直角三角形，这个梯形的高是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】通过观察图可以发现，直角三角形以50厘米这条边为底，它所对应的高等于这个梯形的高； 已知直角三角形的两条直角边分别是30厘米和40厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，先求出这个直角三角形的面积； 再根据三角形的高＝面积×2÷底，代入数据计算，求出以50厘米这条边为底，它所对应的高，也就是梯形的高，据此解答。 【详解】30×40÷2 ＝1200÷2 ＝600（平方厘米） 600×2÷50 ＝1200÷50 ＝24（厘米） 答：这个梯形的高是24厘米。 【变式训练】如下图，张大爷把他家的梯形菜地分为两部分，在平行四边形菜地种菜心，在三角形菜地种番茄。已知种番茄的面积是300平方米，那么种菜心的面积是多少平方米？ 【答案】500平方米 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，用300×2÷30即可求出菜地的高度，然后根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可求出种菜心的面积。 【详解】300×2÷30＝20（米） 25×20＝500（平方米） 答：种菜心的面积是500平方米。 考点六：平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】如图，小聪通过测量发现，两条虚线之间的距离处处相等，已知涂色的平行四边形的面积是29平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】14.5 【分析】根据两条虚线之间的距离处处相等，可知该三角形和平行四边形的高是相等的，同时根据对图的观察，三角形和平行四边形的底也是相等的，根据平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，可知，同底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，用平行四边形面积除以2，即为该图中三角形的面积。 【详解】由分析可得： 29÷2＝14.5（平方厘米） 综上所述：小聪通过测量发现，两条虚线之间的距离处处相等，已知涂色的平行四边形的面积是29平方厘米，则三角形ABC的面积是14.5平方厘米。 【变式训练】如图，a∥b，平行四边形的底与三角形的底相等。如果平行四边形的面积等于25cm2，则三角形的面积等于( )cm2。 【答案】12.5 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，已知三角形和平行四边形的底相同，而a和b互相平行，则三角形和平行四边形的高均相同。三角形面积＝平行四边形面积÷2，据此作答即可。 【详解】25÷2＝12.5 （cm2） 三角形的面积等于12.5 cm2。 【变式训练】如图，三角形的高是6cm，三角形的面积是( )，平行四边形的面积是( )。 【答案】 10.5 21 【分析】观察图形可知，三角形和平行四边形等底等高，再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，平行四边形的面积公式：S＝ab，据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.5×6÷2 ＝21÷2 ＝10.5（cm2） 3.5×6＝21（cm2） 则三角形的高是6cm，三角形的面积是10.5，平行四边形的面积是21。 【点睛】本题考查三角形和平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 【变式训练】如下图，在一组平行线间有4个等底的三角形。这些三角形的面积总和是( )平方厘米。 【答案】44 【分析】根据题意可知，四个三角形在一组平行线间，已知四个三角形都是等底，则它们的高都等高，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出一个三角形面积，再乘4，即可解答。 【详解】4×5.5÷2×4 ＝22÷2×4 ＝11×4 ＝44（平方厘米） 这些三角形的面积总和是44平方厘米。 考点七：梯形面积的计算 【典例精讲】有一个梯形，它的上底是5厘米，下底是7厘米，如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加了4.5平方厘米，原来梯形的面积是__________。 【答案】18平方厘米/18cm2 【分析】增加的面积部分相当于一个以增加的长度为底、梯形的高为高的三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，高＝面积÷底×2，据此求出三角形的高，即梯形的高，再根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【详解】4.5÷3×2 ＝1.5×2 ＝3（厘米） （5＋7）×3÷2 ＝12×3÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 【变式训练】把一张长方形纸折叠成梯形（如图）。这个梯形的面积是( )cm2。 【答案】18 【分析】由图可知，梯形的上底是8－2－2＝4（cm），高是3cm，下底是8cm，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2计算即可。 【详解】8－2－2＝4（cm） （4＋8）×3÷2 ＝12×3÷2 ＝36÷2 ＝18（cm2） 【变式训练】一个梯形的下底是16厘米，高是10厘米，当上底延长4厘米时，梯形变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】 140 【分析】当梯形上底延长4厘米时，梯形变成了一个平行四边形，因平行四边形对边平行且相等，说明延长前梯形的上底比下底短4厘米，则可先求出梯形的上底，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可求出梯形的面积。 【详解】（16－4＋16）×10÷2 ＝（12＋16）×10÷2 ＝28×10÷2 ＝280÷2 ＝140（平方厘米） 【变式训练】把梯形沿线段AB剪开，如下图，图形ABCD绕B点( )时针旋转( )°后，将梯形转化为平行四边形。平行四边形的底和原来梯形的( )相等。平行四边形的高和原来梯形的( )相等。 【答案】 逆/顺 180 上下底之和 高的一半 【分析】要让剪开的上半部分图形和下半部分梯形拼接成完整的平行四边形，需要将上半部分绕B点顺时针旋转180°或逆时针旋转180°，这样原本朝上的梯形上底就可以和下半部分梯形的下底处在同一条水平线上。拼接完成后，平行四边形的底的总长度，刚好等于原梯形的上底长度加下底长度，因此平行四边形的底和原来梯形的上下底之和相等。线段AB是平行于梯形上下底、位于梯形高度中点位置的线段，拼接之后平行四边形的高度，刚好是原梯形总高度的一半，因此平行四边形的高和原来梯形的高的一半相等。 【详解】把梯形沿线段AB剪开，如下图，图形ABCD绕B点顺时针旋转180°或逆时针旋转180°后，将梯形转化为平行四边形。平行四边形的底和原来梯形的上下底之和相等。平行四边形的高和原来梯形的高的一半相等。 考点八：梯形面积的应用 【典例精讲】十堰市某林场有一块近似梯形的林地，上底是0.8千米，下底是1.2千米，高是0.5千米。这块林地可通过碳汇交易实现减排，已知每平方千米林地每年减排0.12万吨，这块林地每年共减排多少万吨？ 【答案】0.06万吨 【分析】先根据梯形的面积公式，求出梯形林地的面积；再用林地面积乘每平方千米每年减排量，求出这块林地每年的总减排量。 【详解】（0.8＋1.2）×0.5÷2 ＝2×0.5÷2 ＝1÷2 ＝0.5（平方千米） 0.12×0.5＝0.06（万吨） 答：这块林地每年共减排0.06万吨。 【变式训练】一块梯形麦田的上底是27米，下底是53米，高是12米，如果这块麦田共收小麦960千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】2千克 【分析】根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，先求出麦田的面积，再用总收成的小麦重量除以面积，即可求出平均每平方米收小麦的重量。 【详解】（27＋53）×12÷2 ＝80×12÷2 ＝960÷2 ＝480（平方米） 960÷480＝2（千克） 答：平均每平方米收小麦2千克。 【变式训练】如图所示，张伯伯圈了一块直角梯形菜地用来种大白菜。这块菜地一面靠墙，共用篱笆72米。如果每平方米收大白菜14千克，张伯伯这块地一共可以收大白菜多少千克？ 【答案】4368千克 【分析】篱笆总长72米，斜边20米，靠墙不用篱笆，72－20算出梯形上底加下底的和，用梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2求面积，再乘每平方米白菜产量得到总收成。 【详解】72－20＝52（米） 52×12÷2 ＝624÷2 ＝312（平方米） 312×14＝4368（千克） 答：一共可以收大白菜4368千克。 【变式训练】一块梯形广告牌，上底是7米，下底是11.8米，高是6米。如果要油饰这块广告牌，每平方米用油漆0.6千克，共需多少千克油漆？ 【答案】 33.84千克 【分析】首先需要计算梯形广告牌的面积，利用梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2。求出面积后，再用面积乘每平方米所需油漆的质量，即可得到共需油漆的总质量。 【详解】 （千克） 答：共需33.84千克油漆。 考点九：与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】有一条小河，原来河面宽18m，河底宽3m，深4m。河床清理后河面宽不变，河底宽增加1m，深也增加1m。这条小河的横截面增加了多少平方米？ 【答案】13m² 【分析】从图中可知，，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】 答：这条小河的横截面增加了13m²。 【变式训练】如图，在一组平行线间有两个平行四边形相重叠（如图），形成一个三角形①（重叠部分）和两个梯形②、③（空白部分）。那么，②、③的面积相比（    ）。 A．梯形②的面积最大 B．梯形③的面积最大 C．梯形②、③的面积相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】平行四边形的面积＝底×高，由于一组平行线间的距离相等，即两个平行四边形的高相等，它们的底都可以看作是三角形①的底，由此可知两个平行四边形的面积大小关系，梯形②、③的面积分别等于两个平行四边形面积与三角形①的面积差，据此判断②、③的大小。 【详解】假设一组平行线间的距离为h，三角形①的底为a 则，①和②组成的平行四边形面积S1＝ah； ①和③组成的平行四边形面积S2＝ah。 所以，两个平行四边形的面积相等， 梯形②的面积＝ah－三角形①面积；梯形③的面积＝ah－三角形①面积。 那么，②、③的面积相比是相等的。 故答案为：C 【变式训练】如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 【答案】520平方厘米 【分析】两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，所以涂色部分的面积与梯形ABEG面积相等，AB＝DE＝32厘米，则GE＝DE－DG＝32－12＝20厘米，再根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形ABEG面积，即是涂色部分的面积。 【详解】梯形ABEG的上底是32－12＝20（厘米），下底是32厘米，高是20厘米； 面积：（20＋32）×20÷2 ＝52×20÷2 ＝520（平方厘米） 答：涂色部分梯形CFDG的面积是520平方厘米。 【变式训练】如图，有两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 【答案】99平方厘米 【分析】因为两个梯形的面积相等，减去中间重叠部分的面积，则可得阴影部分的面积就等于空白梯形下半部分的梯形的面积，且下半部分这个梯形的下底和高已知，上底可以求出，从而可以求其面积，也就求得了阴影部分的面积。 【详解】空白部分下半部分梯形：上底＝19－5＝14cm；下底等于19cm；高＝6cm （14＋19）×6÷2 ＝33×3 ＝99（平方厘米） 答：阴影部分的面积是99平方厘米。 【点睛】此题考查不规则图形的问题的求法，一般都是利用转换成规则图形来求解。 考点十：含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】按要求计算。 计算下面图形的面积。 【答案】97cm2 【分析】图形面积＝长是8cm，宽是4cm的长方形面积＋上底是（15－4）cm，下底是15cm，高是（8－3）cm的梯形面积，根据长方形面积＝长×宽；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【详解】8×4＋（15－4＋15）×（8－3）÷2 ＝8×4＋（11＋15）×5÷2 ＝8×4＋26×5÷2 ＝32＋130÷2 ＝32＋65 ＝97（cm2） 【变式训练】求组合图形的面积。 【答案】208cm2 【分析】观察图形：这个组合图形是由一个三角形和一个平行四边形组成，分别计算面积再相加即可。由图可知：三角形的底为16cm，高为8cm，根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入底和高的数值，求出三角形的面积。平行四边形的底为16cm，高为9cm，根据平行四边形的面积公式：平行四边形面积＝底×高，代入底和高的数值，求出平行四边形的面积。最后将三角形面积和平行四边形面积相加，即可求出组合图形的面积。 【详解】16×8÷2＋16×9 ＝128÷2＋144 ＝64＋144 ＝208（cm2） 所以组合图形的面积是208cm2。 【变式训练】计算下面图形的周长和面积。（单位：dm） 【答案】周长：38dm 面积：52 【分析】由图可知，图形的周长等于长12dm、宽()dm的长方形的周长，该图形的面积等于长为12dm、宽为3dm的长方形的面积加上边长为4dm的正方形的面积，据此计算即可。 【详解】周长： （dm） （dm） 面积： （） 所以该图形的周长是38dm，面积是52。 【变式训练】求下面组合图形的面积（单位：厘米）。 【答案】665平方厘米 【分析】由图可知，这个组合图形是由一个底为35厘米，高为16厘米的三角形和一个底为35厘米，高为22厘米的三角形组成的。根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】35×16÷2＋35×22÷2 ＝560÷2＋770÷2 ＝280＋385 ＝665（平方厘米） 这个组合图形的面积为665平方厘米。 考点十一：求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】计算阴影部分的面积。 【答案】226cm2 【分析】阴影部分的面积＝平行四边形面积－三角形面积，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2。 【详解】20×14－12×9÷2 ＝280－54 ＝226（cm2） 【变式训练】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】12平方厘米 【分析】根据图可知，阴影部分面积＝上底是3厘米，下底是5厘米，高是3厘米的梯形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【详解】（3＋5）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 【变式训练】计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】44平方厘米；104平方厘米 【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积＝大正方形的面积＋小正方形的面积－空白大三角形的面积。正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 （2）阴影部分的面积＝平行四边形的面积－空白三角形的面积。平行四边形的面积＝底×高，据此解答。 【详解】（1）8×8＋6×6－（8＋6）×8÷2 ＝64＋36－14×8÷2 ＝64＋36－56 ＝44（平方厘米） 则阴影部分的面积是44平方厘米。 （2）16×13－16×13÷2 ＝208－104 ＝104（平方厘米） 则阴影部分的面积是104平方厘米。 【变式训练】如图，两个正方形拼在一起，求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】53cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝边长是9cm的正方形面积＋边长是5cm的正方形面积＋底是（9－5）cm，高是5cm的三角形面积－底是9cm，高是（9＋5）cm的三角形面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】9×9＋5×5＋（9－5）×5÷2－9×（9＋5）÷2 ＝9×9＋5×5＋4×5÷2－9×14÷2 ＝81＋25＋10－63 ＝53（cm2） 阴影部分的面积是53cm2。 考点十二：不规则图形的面积 【典例精讲】一个池塘的形状如下图（涂色部分），图中每个小方格的面积是1平方米，请你估计这个池塘的面积。 【答案】101平方米 【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。 【详解】观察图形可知，整格83个，不足格36个， 83＋36÷2 ＝83＋18 ＝101（平方米） 这个池塘大约是101平方米。 【变式训练】下图中每个小方格的面积是1平方厘米，计算涂色部分的面积。 【答案】24平方厘米；32平方厘米 【分析】图一涂色部分的面积＝一个边长为8厘米的正方形面积－一个底为8厘米、高为4厘米的三角形面积－一个底为6厘米、高为8厘米的三角形面积，根据正方形面积公式和三角形面积公式，代入数据解答； 图二用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。 【详解】8×8－8×4÷2－6×8÷2 ＝64－16－24 ＝24（平方厘米） 图一的面积是24平方厘米。 观察图形可知，整格28个，不足格8个， 28＋8÷2 ＝28＋4 ＝32（平方厘米） 图二的面积大约是32平方厘米。 【变式训练】你能求出下图的面积吗？（每个小方格的面积是1平方厘米） 【答案】38.5平方厘米 【分析】通过分析得下图，因为每个小方格的面积是1平方厘米，上图不规则图形面积＝长方形面积－5个大小不同的小三角形面积即可解答。 【详解】由分析得， 8×7－4×2÷2－5×1÷2－3×2÷2－4×3÷2－4×1÷2 ＝56－4－2.5－3－6－2 ＝38.5（平方厘米） 【变式训练】估计下面图形的面积。（每个小方格的面积表示1平方分米） 【答案】10.5平方分米；13.5平方分米 【分析】用数格子估计不规则图形面积的方法：分别数出整数格数和不完整格数，把不完整格按半格计算加上整数格，即可估算出面积。 【详解】（1）有7个整方格，有7个不是整方格，大约是3.5个整方格，每个方格的面积是1平方分米，所以面积大约为： （7＋3.5）×1 ＝10.5×1 ＝10.5（平方分米） （2）有4个整方格，有19个不是整方格，大约是9.5个整方格，每个方格的面积是1平方分米，所以面积大约为： （4＋9.5）×1 ＝13.5×1 ＝13.5（平方分米） 【点睛】本题考查组合图形的面积，解答本题的关键是掌握用数格子法估算面积的方法。 综合训练 1．下图中，涂色部分甲的面积（    ）乙的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】C 【分析】由图可知，长方形和平行四边形同底、等高；长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，因此长方形和平行四边形的面积相等；甲的面积＝长方形面积－空白三角形面积，乙的面积＝平行四边形面积－空白三角形面积。据此解答。 【详解】根据分析，长方形面积＝平行四边形面积，减去的是同一个空白三角形的面积，所以剩下的甲和乙的面积相等，因此涂色部分甲的面积等于乙的面积。 2．把一个边长为7厘米的正方形拉成一个高为h厘米的平行四边形后，面积减少了20平方厘米。下面根据题意列出的方程中，正确的是（    ）。 A．7－h＝20 B．7×7－h×h＝20 C．7×7－7h＝20 D．7h＝20 【答案】C 【分析】正方形拉成平行四边形后，边长不变，即平行四边形的底等于正方形的边长。根据“面积减少了20平方厘米”可知，正方形的面积减去平行四边形的面积等于20，据此找出等量关系列出方程。 【详解】正方形的面积为7×7平方厘米。 把正方形拉成平行四边形，平行四边形的底等于正方形的边长，即底是7厘米，高是h厘米。 平行四边形的面积为7×h＝7h平方厘米。 列方程为：7×7－7h＝20。 3．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，它的面积是（    ）cm2。 A．50 B．25 C．100 D．105 【答案】B 【分析】根据梯形的面积公式，其中表示上底，表示下底，表示高。题目已给出上底、下底和高的具体数值，直接代入公式进行综合算式计算，得出结果后与选项对比即可。 【详解】梯形的面积公式为： 代入题干数据列综合算式如下： 计算结果为，对比选项，B选项符合。 4．下图中三角形、平行四边形、长方形和梯形，面积相等的是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D 【分析】由图可知三角形、平行四边形、长方形和梯形都在两条平行线之间，所以高相等，根据三角形、平行四边形、长方形和梯形的面积公式代入数据即可。 【详解】因为三角形、平行四边形、长方形和梯形都在两条平行线之间，所以高相等，假设三角形、平行四边形、长方形和梯形高都为h。 三角形的面积：12×h÷2＝6h 平行四边形面积：12×h＝12h 长方形的面积：18×h＝18h 梯形的面积：（18＋6）×h÷2＝12h 所以平行四边形和梯形面积相等。 5．图中长方形的面积是26cm2，那么阴影部分的面积（    ）13cm2。 A．等于 B．大于 C．小于 D．不能比较 【答案】A 【分析】三角形的底与长方形的长相等，三角形的高与长方形的宽相等，三角形是与它等底等高平行四边形面积的一半，所以长方形（特殊的平行四边形）的面积除以2等于阴影部分的面积。 【详解】26÷2＝13（cm2） 所以，阴影部分的面积等于13cm2。 6．学校图书角有一批相同的故事书，管理员将它们按规律整齐堆叠，形成了一个类似梯形的造型（如图）。从侧面看，最下层摆放了18本，最上层摆放了5本，且相邻两层的书籍数量相差1本。这堆书一共有（    ）本。 A．207 B．190 C．150 D．161 【答案】D 【分析】根据图可知：这个图形是一个上底是5，下底是18，高是（18－5＋1）的梯形，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算。 【详解】（5＋18）×（18－5＋1）÷2 ＝23×（13＋1）÷2 ＝23×14÷2 ＝322÷2 ＝161（本） 这堆书一共有161本。 7．一个梯形的上底是3米，下底是5米，现在将它的下底延长1米，面积增加1.5平方米。原来这个梯形的高是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 3 12 【分析】由题图示知将下底延长1米，面积增加1.5平方米，增加的面积是三角形的面积，根据三角形求高的公式：（底为1米，面积为1.5平方米），可求出三角形的高是多少，求出的高也就是原梯形的高，知道原梯形的上底、下底和高，根据梯形面积公式，即可求出原梯形面积。 【详解】梯形的高： 1.5×2÷1 ＝3÷1 ＝3（米） 梯形的面积： （平方米） 8．如下图，长方形的面积为72平方分米，三角形①的面积为9平方分米，三角形②的面积为18平方分米。阴影部分的面积是( )平方分米。 【答案】33 【分析】长方形面积＝长×宽，假设长方形长12分米、宽6分米；三角形面积＝底×高÷2。 如图，用三角形①的面积乘2除以高（AD）求出底（DE）； 用DC的长度减去DE的长度求出EC的长度，用三角形②的面积乘2除以底（EC）求出高（FC）； 用BC的长度减去FC的长度求出BF的长度，代入数值算出三角形③的面积； 最后用长方形的面积依次减去①②③的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】假设长方形长12分米、宽6分米。 DE的长度：9×2÷6 ＝18÷6 ＝3（分米） EC的长度：12－3＝9（分米） FC的长度：18×2÷9 ＝36÷9 ＝4（分米） BF的长度：6－4＝2（分米） 三角形③的面积：12×2÷2 ＝24÷2 ＝12（平方分米） 阴影部分的面积：72－9－18－12 ＝63－18－12 ＝45－12 ＝33（平方分米） 9．下图所示的平行四边形空白部分的面积比阴影部分多20平方厘米，则图中阴影部分的高是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 5 20 【分析】①空白部分比阴影部分多出图中红色部分： 此平行四边形面积为20平方厘米，底为（厘米），用面积除以底求高。 ②把求出的高代入，算出阴影面积。 【详解】①（厘米） ②（平方厘米） 图中阴影部分的高是5厘米，面积是20平方厘米。 10．一个平行四边形的底是6cm，高是5cm，它的面积是( )cm2，与它等底等高的三角形的面积是( )cm2。 【答案】 30 15 【分析】平行四边形的面积＝底×高，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 【详解】平行四边形的面积：6×5＝30（cm2） 三角形的面积：30÷2＝15（cm2） 11．军军在剪纸活动中，把一个下底是26cm的梯形纸片的下底缩短10cm，就剪成了一个平行四边形，梯形纸片面积减少，原梯形的高是( )cm。 【答案】7 【分析】 如上图，把一个梯形的下底缩短，就剪成了一个平行四边形，梯形纸片面积减少，减少的面积是一个三角形的面积，已知梯形纸片的下底缩短10cm，梯形纸片面积减少，则三角形底是10cm，三角形面积是，且三角形的高等于梯形的高，根据梯形的高＝三角形的高＝三角形面积×2÷三角形底进行计算。 【详解】梯形的高为： 12．如图所示，三角形的面积是( )cm2，整个图形的面积是( )cm2。 【答案】 25 85 【分析】三角形的底为10cm，高为5cm，长方形的长为10cm，宽为6cm，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积，长方形的面积＝长×宽，三角形的面积加长方形的面积等于整个图形的面积。 【详解】10×5÷2 ＝50÷2 ＝25（cm2） 10×6＋25 ＝60＋25 ＝85（cm2） 13．一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是4cm。在这个梯形中剪出一个最大的平行四边形，面积是( )平方厘米；在这个梯形中画一个最大的三角形，面积是( )平方厘米。 【答案】 12 14 【分析】最大平行四边形的底是梯形的上底，高是梯形的高，平行四边形的面积＝底×高。最大三角形的底是梯形的下底，高是梯形的高，三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】3×4＝12（cm2） 7×4÷2 ＝28÷2 ＝14（cm2） 14．春节期间，光明社区张叔叔把橙子堆成一个梯形形状用于装饰，最顶层有4个橙子，最底层有12个橙子，每相邻两层都相差1个橙子。这堆橙子一共有( )个。 【答案】72 【分析】把最顶层的数量看作梯形的上底，最底层的数量看作梯形的下底，层数看作梯形的高，先通过“底层数－顶层数＋1”求出层数，再根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可求出橙子总数。 【详解】12－4＋1＝9（层） （4＋12）×9÷2 ＝16×9÷2 ＝144÷2 ＝72（个） 15．五年级（1）班手工小组的同学们正在设计一款窗花底稿。如下图，窗花底稿由4个边长都是2分米的正方形拼成，底稿中的三角形B的面积是( )平方分米，平行四边形C的面积是( )平方分米，这张底稿的空白部分面积是( )平方分米。 【答案】 2 4 8 【分析】如图所示，四个边长是2分米的正方形中三个图形三角形A、三角形B、平行四边形C的高相等都是正方形的边长，底相等都是正方形的边长，根据三角形面积＝底×高÷2和平行四边形面积＝底×高分别代入具体数值计算；如图所示，空白部分面积＝4个正方形总面积－A面积－B面积－C面积，根据正方形面积＝边长×边长代入数值可计算总面积。 【详解】三角形B面积：2×2÷2＝2（平方分米） 平行四边形C面积：2×2＝4（平方分米） 三角形A面积：2×2÷2＝2（平方分米） 4个正方形面积：4×2×2＝16（平方分米） 空白部分面积：16－2－2－4＝8（平方分米） 16．一块三角形的玻璃，底是12.5分米，高是7.2分米，它的面积是( )平方分米：每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要花( )元。 【答案】 45 3060 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2算出三角形的面积；再用面积乘单价即可。 【详解】12.5×7.2÷2＝45（平方分米） 45×68＝3060（元） 17．计算下面图形的面积。（单位：分米）          【答案】37.2平方分米；150.5平方分米 【分析】组合图形的面积＝三角形的面积＋平行四边形的面积；组合图形的面积＝梯形的面积＋长方形的面积＋三角形的面积。 【详解】6×3÷2＋6×4.7 ＝18÷2＋28.2 ＝9＋28.2 ＝37.2（平方分米） 图形的面积是37.2平方分米。 （5＋18）×5÷2＋12×5＋（3＋5＋3）×6÷2 ＝23×5÷2＋12×5＋11×6÷2 ＝115÷2＋60＋66÷2 ＝57.5＋60＋33 ＝117.5＋33 ＝150.5（平方分米） 图形的面积是150.5平方分米。 18．计算下面各图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1368平方厘米；37.5平方厘米 【分析】左图：该图形是梯形，上底是40厘米、下底是90厘米、高是24厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出梯形的面积；中间空白部分是平行四边形，底是8厘米、高是24厘米，根据“平行四边形面积＝底×高”求出平行四边形的面积；最后用梯形的面积减去平行四边形的面积即可求出阴影部分的面积。 右图：大正方形边长是10厘米，小正方形边长是5厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”分别求出两个正方形的面积，相加求出面积和；左上角空白部分三角形底和高均为10厘米，右下角三角形的底是10＋5＝15厘米、高是5厘米，根据“三角形面积＝底×高÷2”分别求出两个三角形的面积；最后用两个正方形的面积和依次减去两个三角形的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】左图：（40＋90）×24÷2 ＝130×24÷2 ＝3120÷2 ＝1560（平方厘米） 8×24＝192（平方厘米） 1560－192＝1368（平方厘米） 所以图中阴影部分的面积是1368平方厘米。 右图：10×10＋5×5 ＝100＋25 ＝125（平方厘米） 10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） （10＋5）×5÷2 ＝15×5÷2 ＝75÷2 ＝37.5（平方厘米） 125－50－37.5 ＝75－37.5 ＝37.5（平方厘米） 所以图中阴影部分的面积是37.5平方厘米。 19．一块梯形菜地，上底是12米，下底是18米，高是10米。如果每平方米收白菜8.5千克，这块地一共可以收白菜多少千克？ 【答案】1275千克 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，先计算出这块梯形菜地的面积。再根据总产量＝面积×每平方米收白菜的质量，代入数值，即可求出这块地一共可以收白菜的质量。 【详解】梯形面积：（12＋18）×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（平方米） 150×8.5＝1275（千克） 答：这块地一共可以收白菜1275千克。 20．学校有一块近似平行四边形的空地，计划设计成一个花园种植月季和芍药。平均每株花大约占地0.5平方米，学校需要购买多少株花苗？ 【答案】 44株 【分析】先利用平行四边形的面积＝底×高，计算出空地的面积，再用空地的面积除以每株花的占地面积，就可以计算出需要购买的花苗株数。 【详解】5.5×4÷0.5 ＝22÷0.5 ＝44（株） 答：学校需要购买44株花苗。 21．一条拦河坝的横断面是梯形，上、下底之和是45米，高是6米，这条拦河坝的长是35米。修这条拦河坝共需要土石多少方？ 【答案】4725方 【分析】求土石方量即求其体积。根据体积计算公式：体积＝横截面面积×长，先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2求出横截面面积，题目已知上、下底之和，可直接代入计算，最后乘拦河坝的长。注意1立方米＝１方。 【详解】 （立方米） 4725立方米＝4725方 答：修这条拦河坝共需要土石4725方。 22．张叔叔家有一块三角形油菜地，底为30米，对应的高为20米。如果每平方米可收油菜籽3.5千克，这块地可收获油菜籽共多少千克？ 【答案】1050千克 【分析】根据三角形面积公式“面积＝底×高÷2”，先计算出三角形油菜地的面积，再用计算出的面积乘每平方米可收获油菜籽的质量，即可求出这块地总共可收获油菜籽的质量。 【详解】30×20÷2 ＝600÷2 ＝300（平方米） 300×3.5＝1050（千克） 答：这块地可收获油菜籽共1050千克。 23．一个梯形的下底是15厘米，把上底的一端延长6厘米，就成为一个平行四边形，这时面积将增加30平方厘米。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】120平方厘米 【分析】把梯形的上底延长变成平行四边形，增加的部分是一个三角形。这个三角形的底是延长的长度，高与梯形的高相等。根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的高＝面积×2÷底，求出三角形的高，也是梯形的高。 平行四边形对边相等，所以下底长度等于延长后的上底长度，从而用下底减去延长的长度求出原来梯形的上底。最后利用梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算原梯形的面积。 【详解】梯形的高： 30×2÷6 ＝60÷6 ＝10（厘米） 梯形原来的上底：15－6＝9（厘米） 梯形的面积： （9＋15）×10÷2 ＝24×10÷2 ＝240÷2 ＝120（平方厘米） 答：原来梯形的面积是120平方厘米。 24．如图，大正方形的面积是64平方厘米，③号三角形的面积是24平方厘米，涂色的小正方形面积是多少平方厘米？ 【答案】1平方厘米 【分析】正方形的面积是64平方厘米，则正方形的边长是8厘米，正方形面积的一半是32平方厘米，则涂色的小正方形面积＋①号三角形的面积＋②号三角形的面积＋③号三角形的面积＝32，设小正方形的边长是x厘米，①号三角形的面积＝x×（8－x）÷2，②号三角形的面积＝x×（8－x）÷2，涂色小正方形的面积＝x×x＝x2，则①号三角形的面积＋②号三角形的面积＋小正方形面积＝大正方形面积的一半－③号三角形的面积，据此列方程并求解，再根据正方形的面积计算公式计算即可求出小正方形的面积。 【详解】正方形的面积是64平方厘米，因为8×8＝64，所以正方形的边长是8厘米， 解：设涂色小正方形的边长是x厘米。 ①号三角形的面积：x×（8－x）÷2， ②号三角形的面积：x×（8－x）÷2， 涂色小正方形的面积：x×x＝x2， x×（8－x）÷2＋x×（8－x）÷2＋x2＝64÷2－24 x×（8－x）÷2×2＋x2＝32－24 8x－x2＋x2＝8 8x＝8 x＝8÷8 x＝1 1×1＝1（平方厘米） 答：涂色的小正方形面积是1平方厘米。 25．某农场利用房屋的一面墙，用45米长的篱笆围成了一块梯形菜地（如下图）。如果每平方米菜地收1.4千克蔬菜，这块菜地一共可以收蔬菜多少千克？ 【答案】252千克 【分析】篱笆长－15米＝梯形上下底的和，梯形面积＝上下底的和×高÷2，据此计算出菜地面积，菜地面积×每平方米收蔬菜质量＝这块菜地收蔬菜总质量。 【详解】（45－15）×12÷2×1.4 ＝30×12÷2×1.4 ＝360÷2×1.4 ＝180×1.4 ＝252（千克） 答：这块菜地一共可以收蔬菜252千克。 26．高铁站为了增加绿地面积，在原来平行四边形草坪旁边又扩建了一块21.6平方米的三角形草坪。扩建后草坪的面积一共是多少平方米？ 【答案】 129.6平方米 【分析】根据三角形的面积公式，反推出三角形的高（也就是平行四边形的高）：三角形面积＝底×高÷2，所以高＝面积×2÷底。 再用平行四边形的面积公式（底×高），算出原来平行四边形草坪的面积。 最后把平行四边形的面积和扩建的三角形面积相加，得到扩建后的总面积。 【详解】三角形的高：21.6×2÷6 ＝21.6÷3 ＝7.2（米） 平行四边形面积：15×7.2＝108（平方米） 总面积：108＋21.6＝129.6（平方米） 答：扩建后草坪的面积一共是129.6平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $