第三单元 分数除法 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版六年级上册（新教材）

本讲义聚焦分数除法核心知识点，构建“倒数认识（定义、求法、特殊数）—分数除法意义与计算（意义、法则、商与被除数关系）—四则混合运算（顺序、运算律、性质）—实际应用（基础、进阶、和倍差倍、工程问题）”的学习支架，系统梳理前后知识脉络。 资料以“知识梳理+考点讲练+综合训练”为特色，通过倒数定义的相互依存性培养抽象能力，分数除法计算“三步法”提升运算能力，工程问题等实际应用强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式训练查漏补缺，夯实知识。

第三单元 分数除法 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、倒数的认识 2 1. 倒数的定义 2 2. 求倒数的方法 2 3. 特殊数的倒数 2 二、分数除法的意义与计算法则 3 1. 分数除法的意义 3 2. 分数除法的计算法则 3 3. 商与被除数的大小关系（被除数不为0） 3 三、分数四则混合运算 3 1. 运算顺序 3 2. 运算律与简便计算 4 3. 减法与除法的性质 4 四、分数除法的实际应用 4 1. 基础题型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 4 2. 进阶题型：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 4 3. 和倍/差倍问题（两个量都未知） 4 4. 工程问题 5 考点讲练 5 考点一：倒数的认识 5 考点二：分数除法的基本计算 6 考点三：分数四则混合运算与简便计算 6 考点四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 7 考点五：稍复杂的分数除法应用题 8 考点六：工程问题 8 综合训练 9 知识梳理 一、倒数的认识 1. 倒数的定义 乘积是1的两个数互为倒数。 倒数表示两个数的关系，是相互依存的，不能单独说某个数是倒数，必须说“谁是谁的倒数”或“谁和谁互为倒数”。 例如：，我们就说和互为倒数，或者说的倒数是。 2. 求倒数的方法 求真分数、假分数的倒数：交换分子和分母的位置。 例：的倒数是。 求整数的倒数：先把整数看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置。 例：6的倒数是。 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 例：，倒数是。 求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。 例：，倒数是4。 3. 特殊数的倒数 1的倒数是1，因为。 0没有倒数，因为0乘任何数都得0，不可能等于1。 真分数的倒数都大于1；大于1的假分数的倒数都小于1。 二、分数除法的意义与计算法则 1. 分数除法的意义 分数除法的意义与整数除法的意义完全相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 例：表示已知两个因数的积是，其中一个因数是，求另一个因数是多少。 2. 分数除法的计算法则 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 计算三步法：一不变（被除数不变），二变（除号变乘号，除数变成它的倒数），三计算（按分数乘法计算）。 （1）分数除以整数 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 公式：（） 例： （2）一个数除以分数 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 整数除以分数：整数乘分数的倒数； 分数除以分数：被除数不变，除数变倒数，再相乘。 例：； 3. 商与被除数的大小关系（被除数不为0） 除数大于1，商小于被除数； 除数等于1，商等于被除数； 除数小于1（真分数），商大于被除数。 三、分数四则混合运算 1. 运算顺序 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全一致： 不含括号：同级运算从左往右依次计算；既有乘除又有加减时，先算乘除，后算加减。 含有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 运算律与简便计算 整数加法、乘法的运算律在分数四则运算中同样适用，合理运用可以使计算简便： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：；逆用： 3. 减法与除法的性质 减法的性质： 除法的性质：（均不为0） 四、分数除法的实际应用 1. 基础题型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 题型特征：单位“1”的量未知，已知对应量和对应分率，求单位“1”。 数量关系： 两种解法： ① 算术法：直接用对应量除以对应分率； ② 方程法：设单位“1”的量为，根据“单位‘1’的量 × 对应分率 = 对应量”列方程求解。 2. 进阶题型：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 解题关键：先找准单位“1”，再求出已知量对应的分率。 数量关系： 比单位“1”多几分之几： 比单位“1”少几分之几： 3. 和倍/差倍问题（两个量都未知） 题型特征：已知两个量的和（或差），以及两个量的倍比关系，分别求两个量。 解题方法：设单位“1”的量为，用含的式子表示另一个量，再根据和（或差）列方程解答。 4. 工程问题 解题思路：把工作总量看作单位“1”，用单位时间完成总工作量的几分之一表示工作效率。 核心数量关系： 常见场景：两队合作完成一项工程、合作完成一部分后剩余由单独完成等。 考点讲练 考点一：倒数的认识 【典例精讲】 写出下面各数的倒数。 8 0.4 【变式训练1】 判断题：是倒数，也是倒数。（ ） 【变式训练2】 下面各组数中，互为倒数的是（ ）。 A. 0.5和2 B. 和 C. 1和0 【变式训练3】 填空：；；最小质数的倒数是（ ）。 考点二：分数除法的基本计算 【典例精讲】 计算下面各题。 （1） （2） （3） 【变式训练1】 不计算，在里填上“”“”或“”。 【变式训练2】 计算： 【变式训练3】 判断：一个数除以分数，商一定大于被除数。（ ） 【分析】 考点三：分数四则混合运算与简便计算 【典例精讲】 用简便方法计算： 【变式训练1】 计算： 【变式训练2】 计算： 【变式训练3】 计算： 考点四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】 小明有20本故事书，是科技书本数的。科技书有多少本？ 【变式训练1】 水果店运来一批苹果，卖出，正好卖出了120千克。这批苹果一共有多少千克？ 【变式训练2】 一根绳子，用去了，还剩18米。这根绳子全长多少米？ 【变式训练3】 养殖场有鸡360只，鸭的只数是鸡的，同时又是鹅的。鹅有多少只？ 考点五：稍复杂的分数除法应用题 【典例精讲】 某工厂十月份用电1200千瓦时，比九月份节约了。九月份用电多少千瓦时？ 【变式训练1】 今年小麦亩产660千克，比去年增产。去年小麦亩产多少千克？ 【变式训练2】 一件上衣现价180元，比原价降低了。原价多少元？现价比原价便宜了多少元？ 【变式训练3】 六（1）班男生有24人，比女生人数多。六（1）班一共有多少人？ 考点六：工程问题 【典例精讲】 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，多少天可以完成？ 【变式训练1】 一批货物，大卡车单独运8小时运完，小卡车单独运12小时运完。两车一起运，多少小时能运完这批货物的？ 【变式训练2】 修一条公路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。两队合修8天后，剩下的由乙队单独修，还需要多少天完成？ 【变式训练3】 一个水池，单开甲进水管6小时可以注满，单开乙排水管8小时可以放完。两管同时打开，多少小时可以注满空水池？ 综合训练 1．若，下面式子中，结果最大的是（    ）。 A．m B． C．0.3m D． 2．a是一个大于0的数，下面各式中，（    ）的结果最大。 A．a× B．a×0.92 C．a÷1.7 D． 3．李老师用两根绳子测同一口井的深度，第一根有露在井外，第二根有露在井外，你认为这两根绳子（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法确定 4．餐厅购进一批鸡蛋，拿出总数的还多10个，正好拿出了70个。餐厅共购进（    ）个鸡蛋。 A．240 B．270 C．290 D．320 5．一份文稿，甲单独打需要4小时完成，乙单独打需要5小时完成，如果先由甲单独打2小时，剩下的甲、乙两人合作，那么剩下的需要（    ）小时完成。 A． B． C． D． 6．一部书稿，甲打字员打完要12天，乙打字员用同样的时间只能完成书稿的，甲、乙两人合打这部书稿要( )天完成。 7．一辆汽车行千米需要汽油升。照这样计算，1升汽油可行( )千米，行千米需要汽油( )升。 8．川剧变脸是川剧表演的特技之一，用脸谱的变化表现剧中人物的情绪。若表演者分钟可以变脸40张，平均变一张脸用时( )分钟，平均每分钟变脸( )张。 9．王老师从北京乘火车去广州，行驶10小时走完全程的，平均每小时时走全程的( )，按照这样的速度，从北京到广州全程需要( )小时。 10．1时的是( )分；( )米比米少米；( )的是。 11．修一条长10千米的公路，如果每天修千米，( )天可以修完。 12．一根长米的木材，平均截成5段，每段占全长的( )，每段长( )米。 13．一辆公交车从火车站始发，出发时车上还有3个空座位，中途第一次停站时的乘客下车，又有14人上车，这时车上座位正好坐满。这辆公交车一共有________个座位。 14．芍药的花期是32天，玫瑰的花期比芍药的花期少，又比水仙的花期多，水仙的花期是( )天。 15．学校科技节布置展台，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时。两人合作组装2小时后，完成了全部任务的( )，剩下的由小蓝单独做，还需要( )小时完成。 16．直接写得数。 10－0.99＝    0.24÷0.8＝                      17．计算下面各题，能简算的要用简算，并写出必要的简算过程。 （1）120×[0.54÷（3.12－1.32）]           （2） （3）                  （4） 18．王哲的爸爸钓到了一条大鱼，王哲很想知道这条鱼的重量。爸爸告诉他：“千克再加上这条鱼重量的，就是鱼的重量。”你能帮王哲算出这条鱼的重量吗？请列式解答。 19．李老师开车从甲地去乙地，用30分行驶了全程的，接着又用20分行驶了全程的，最后用10分到达目的地。 (1)请你用画图的方法表示李老师的行驶过程。 (2)最后10分行驶的路程是全程的几分之几？ (3)李老师在前30分，中间20分和最后10分三段时间内，哪一段行驶得最快？请说明理由。 20．友谊小学和奉献小学为印度洋海啸灾区共捐款3000元，已知友谊小学捐款的比奉献小学捐款的少50元。两个小学各捐款多少元？ 21．某工厂的女工人数是男工人数的，因工作需要，又调入女工30人，这时女工人数比男工人数多。这个工厂原来共有工人多少人？ 22．白腹锦鸡雄鸟的羽毛颜色艳丽，有较高的观赏价值，可作装饰品及羽毛画等工艺品的原料。白腹锦鸡成年雌鸟体长约为60厘米，比成年雄鸟体长短。则白腹锦鸡成年雄鸟体长约多少厘米？（用方程解答） 23．甲、乙两列高速列车同时从相距1440千米的两地相对开出，经过4小时两车相遇，已知甲车每小时比乙车多行，乙车每小时行多少千米？ 24．轩轩看一本文艺书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下56页没有看完，这本书一共有多少页？ 25．制瓷师傅制作一件瓷器需经过“制胎——施釉——烧制”三个阶段，其中制胎阶段所用时间占，施釉阶段所用时间占，烧制阶段用了12天，制作这件瓷器共用了多少天？ 26．2025年是“五四”运动百年纪念，某校举办了以“百年星火•青春回响——永不熄灭的民族觉醒”为主题的演讲比赛。五年级参加这次演讲比赛的学生有35人，是六年级参加这次演讲比赛学生人数的，六年级参加这次演讲比赛的学生有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数除法 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、倒数的认识 2 1. 倒数的定义 2 2. 求倒数的方法 2 3. 特殊数的倒数 2 二、分数除法的意义与计算法则 3 1. 分数除法的意义 3 2. 分数除法的计算法则 3 3. 商与被除数的大小关系（被除数不为0） 3 三、分数四则混合运算 3 1. 运算顺序 3 2. 运算律与简便计算 4 3. 减法与除法的性质 4 四、分数除法的实际应用 4 1. 基础题型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 4 2. 进阶题型：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 4 3. 和倍/差倍问题（两个量都未知） 4 4. 工程问题 5 考点讲练 5 考点一：倒数的认识 5 考点二：分数除法的基本计算 7 考点三：分数四则混合运算与简便计算 8 考点四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 10 考点五：稍复杂的分数除法应用题 12 考点六：工程问题 14 综合训练 16 知识梳理 一、倒数的认识 1. 倒数的定义 乘积是1的两个数互为倒数。 倒数表示两个数的关系，是相互依存的，不能单独说某个数是倒数，必须说“谁是谁的倒数”或“谁和谁互为倒数”。 例如：，我们就说和互为倒数，或者说的倒数是。 2. 求倒数的方法 求真分数、假分数的倒数：交换分子和分母的位置。 例：的倒数是。 求整数的倒数：先把整数看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置。 例：6的倒数是。 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 例：，倒数是。 求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。 例：，倒数是4。 3. 特殊数的倒数 1的倒数是1，因为。 0没有倒数，因为0乘任何数都得0，不可能等于1。 真分数的倒数都大于1；大于1的假分数的倒数都小于1。 二、分数除法的意义与计算法则 1. 分数除法的意义 分数除法的意义与整数除法的意义完全相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 例：表示已知两个因数的积是，其中一个因数是，求另一个因数是多少。 2. 分数除法的计算法则 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 计算三步法：一不变（被除数不变），二变（除号变乘号，除数变成它的倒数），三计算（按分数乘法计算）。 （1）分数除以整数 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 公式：（） 例： （2）一个数除以分数 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 整数除以分数：整数乘分数的倒数； 分数除以分数：被除数不变，除数变倒数，再相乘。 例：； 3. 商与被除数的大小关系（被除数不为0） 除数大于1，商小于被除数； 除数等于1，商等于被除数； 除数小于1（真分数），商大于被除数。 三、分数四则混合运算 1. 运算顺序 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全一致： 不含括号：同级运算从左往右依次计算；既有乘除又有加减时，先算乘除，后算加减。 含有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 运算律与简便计算 整数加法、乘法的运算律在分数四则运算中同样适用，合理运用可以使计算简便： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：；逆用： 3. 减法与除法的性质 减法的性质： 除法的性质：（均不为0） 四、分数除法的实际应用 1. 基础题型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 题型特征：单位“1”的量未知，已知对应量和对应分率，求单位“1”。 数量关系： 两种解法： ① 算术法：直接用对应量除以对应分率； ② 方程法：设单位“1”的量为，根据“单位‘1’的量 × 对应分率 = 对应量”列方程求解。 2. 进阶题型：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 解题关键：先找准单位“1”，再求出已知量对应的分率。 数量关系： 比单位“1”多几分之几： 比单位“1”少几分之几： 3. 和倍/差倍问题（两个量都未知） 题型特征：已知两个量的和（或差），以及两个量的倍比关系，分别求两个量。 解题方法：设单位“1”的量为，用含的式子表示另一个量，再根据和（或差）列方程解答。 4. 工程问题 解题思路：把工作总量看作单位“1”，用单位时间完成总工作量的几分之一表示工作效率。 核心数量关系： 常见场景：两队合作完成一项工程、合作完成一部分后剩余由单独完成等。 考点讲练 考点一：倒数的认识 【典例精讲】 写出下面各数的倒数。 8 0.4 【分析】 根据不同类型数的倒数求法解答：真分数直接交换分子分母；整数看作分母为1的分数；带分数先化假分数；小数先化分数，再交换分子分母。 【详解】 ：交换分子分母，倒数是； · 8 = ，交换分子分母，倒数是； ，交换分子分母，倒数是； ，交换分子分母，倒数是。 【答案】；；； 【变式训练1】 判断题：是倒数，也是倒数。（ ） 【分析】 倒数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倒数，必须说明谁是谁的倒数。 【详解】 倒数表示两个数的依存关系，应该说和互为倒数，或者的倒数是，不能单独说某个数是倒数。因此题目说法错误。 【答案】× 【变式训练2】 下面各组数中，互为倒数的是（ ）。 A. 0.5和2 B. 和 C. 1和0 【分析】 根据“乘积是1的两个数互为倒数”，分别计算每组两个数的乘积，判断是否等于1。 【详解】 A选项：，乘积为1，互为倒数； B选项：，不互为倒数； C选项：0没有倒数，不互为倒数。 【答案】A 【变式训练3】 填空：；；最小质数的倒数是（ ）。 【分析】 求括号里的数就是求已知数的倒数；先确定最小的质数是2，再求它的倒数。 【详解】 的倒数是，所以； ，倒数是8，所以； 最小的质数是2，2的倒数是。 【答案】；8； 考点二：分数除法的基本计算 【典例精讲】 计算下面各题。 （1） （2） （3） 【分析】 根据分数除法计算法则：除以一个数等于乘它的倒数，先转化为乘法，能约分的先约分，再计算结果。 【详解】 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）25；（3） 【变式训练1】 不计算，在里填上“”“”或“”。 【分析】 根据商与被除数的大小关系判断：除数小于1，商大于被除数；除数大于1，商小于被除数；除数等于1，商等于被除数。 【详解】 ，所以商大于被除数，填； ，所以商小于被除数，填； 除数是1，商等于被除数，填。 【答案】；； 【变式训练2】 计算： 【分析】 分数连除属于同级运算，从左往右依次计算，每一步都按照“除以一个数等于乘它的倒数”转化为乘法，再约分计算。 【详解】 【答案】2 【变式训练3】 判断：一个数除以分数，商一定大于被除数。（ ） 【分析】 商与被除数的大小关系取决于除数的大小，分数可能大于1、等于1或小于1，结果不同。 【详解】 一个数除以小于1的分数，商大于被除数；除以大于1的分数，商小于被除数；除以等于1的分数，商等于被除数。因此“商一定大于被除数”的说法错误。 【答案】× 考点三：分数四则混合运算与简便计算 【典例精讲】 用简便方法计算： 【分析】 本题符合乘法分配律的形式，24是两个分母的公倍数，用乘法分配律展开计算更简便。 【详解】 【答案】10 【变式训练1】 计算： 【分析】 先把除法转化为乘法，发现两个乘法项有相同的因数，逆用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 【答案】 【变式训练2】 计算： 【分析】 本题包含加法和除法，属于两级运算，先算除法，再算加法。 【详解】 【答案】 【变式训练3】 计算： 【分析】 不含括号的混合运算，先算乘除，后算加减；乘除同级运算从左往右依次计算。 【详解】 【答案】 考点四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】 小明有20本故事书，是科技书本数的。科技书有多少本？ 【分析】 单位“1”是科技书的本数，未知。已知故事书20本对应科技书的，可以用算术法（对应量÷对应分率）或方程法求解。 【详解】 方法一：算术法 （本） 方法二：方程法 解：设科技书有本。 答：科技书有25本。 【答案】25本 【变式训练1】 水果店运来一批苹果，卖出，正好卖出了120千克。这批苹果一共有多少千克？ 【分析】 单位“1”是苹果总质量，未知。卖出的120千克对应总质量的，用对应量除以对应分率即可求出总质量。 【详解】 （千克） 答：这批苹果一共有280千克。 【答案】280千克 【变式训练2】 一根绳子，用去了，还剩18米。这根绳子全长多少米？ 【分析】 单位“1”是绳子全长，未知。剩下的18米对应的分率是，用剩下的长度除以对应分率得到全长。 【详解】 剩下的分率： 全长：（米） 答：这根绳子全长30米。 【答案】30米 【变式训练3】 养殖场有鸡360只，鸭的只数是鸡的，同时又是鹅的。鹅有多少只？ 【分析】 先以鸡的只数为单位“1”（已知），求出鸭的只数；再以鹅的只数为单位“1”（未知），用鸭的只数除以对应分率求出鹅的只数。 【详解】 鸭的只数：（只） 鹅的只数：（只） 答：鹅有400只。 【答案】400只 考点五：稍复杂的分数除法应用题 【典例精讲】 某工厂十月份用电1200千瓦时，比九月份节约了。九月份用电多少千瓦时？ 【分析】 单位“1”是九月份用电量，未知。十月份比九月份节约，说明十月份用电量对应九月份的，用十月份用电量除以对应分率得到九月份用电量。 【详解】 十月份对应分率： 九月份用电量：（千瓦时） 答：九月份用电1500千瓦时。 【答案】1500千瓦时 【变式训练1】 今年小麦亩产660千克，比去年增产。去年小麦亩产多少千克？ 【分析】 单位“1”是去年亩产量，未知。今年比去年增产，今年产量对应去年的，用今年产量除以对应分率求去年产量。 【详解】 今年对应分率： 去年亩产量：（千克） 答：去年小麦亩产600千克。 【答案】600千克 【变式训练2】 一件上衣现价180元，比原价降低了。原价多少元？现价比原价便宜了多少元？ 【分析】 先求出原价（单位“1”），现价对应原价的；再用原价减去现价得到便宜的钱数。 【详解】 现价对应分率： 原价：（元） 便宜的钱数：（元） 答：原价216元，现价比原价便宜36元。 【答案】原价216元，便宜36元 【变式训练3】 六（1）班男生有24人，比女生人数多。六（1）班一共有多少人？ 【分析】 先以女生人数为单位“1”，男生对应女生的，求出女生人数，再加上男生人数得到全班人数。 【详解】 男生对应分率： 女生人数：（人） 全班人数：（人） 答：六（1）班一共有44人。 【答案】44人 考点六：工程问题 【典例精讲】 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，多少天可以完成？ 【分析】 工程问题把工作总量看作单位“1”，先分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量除以工作效率和，得到合作时间。 【详解】 甲队工作效率： 乙队工作效率： 工作效率和： 合作时间：（天） 答：两队合作6天可以完成。 【答案】6天 【变式训练1】 一批货物，大卡车单独运8小时运完，小卡车单独运12小时运完。两车一起运，多少小时能运完这批货物的？ 【分析】 先求两车的工作效率和，再用需要完成的工作量除以效率和，得到工作时间。 【详解】 大卡车效率：，小卡车效率： 效率和： 时间：（小时） 答：4小时能运完这批货物的。 【答案】4小时 【变式训练2】 修一条公路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。两队合修8天后，剩下的由乙队单独修，还需要多少天完成？ 【分析】 先算两队8天完成的工作量，用总量1减去已完成的得到剩余工作量，再除以乙队的工作效率，得到乙单独修的时间。 【详解】 两队效率和： 8天完成： 剩余工作量： 乙还需时间：（天） 答：还需要10天完成。 【答案】10天 【变式训练3】 一个水池，单开甲进水管6小时可以注满，单开乙排水管8小时可以放完。两管同时打开，多少小时可以注满空水池？ 【分析】 甲管是进水，效率为正；乙管是排水，效率为负。先求实际每小时净进水量，再用总量1除以净效率得到注满时间。 【详解】 甲管进水效率： 乙管排水效率： 每小时净进水： 注满时间：（小时） 答：24小时可以注满空水池。 【答案】24小时 综合训练 1．若，下面式子中，结果最大的是（    ）。 A．m B． C．0.3m D． 【答案】B 【分析】已知。两数相乘，一个因数不变，另一个因数越大，积越小，另一个因数越小，积越大。，，，。比较1、3、0.3、的大小，哪个数大，那个数对应的算式的结果就大。 【详解】，，，，且 比较1、3、0.3、的大小： 所以，即。 所以最大的是3，与3对应的算式是，即结果最大的算式是。 2．a是一个大于0的数，下面各式中，（    ）的结果最大。 A．a× B．a×0.92 C．a÷1.7 D． 【答案】D 【分析】两个数相乘，一个因数不变，另一个因数越大，积就越大。先将除法转化为乘法，再比较另一个因数的大小，即可判断。 【详解】a÷1.7＝＝ ＝a× 因为，所以，即a÷1.7＜a×0.92＜a×＜。 选D。 3．李老师用两根绳子测同一口井的深度，第一根有露在井外，第二根有露在井外，你认为这两根绳子（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】可以设井深为1，首先分别计算出两根绳子在井内的长度占各自全长的分率，然后根据“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量，用除法”求出两根绳子的长度，最后比较大小即可解决。 【详解】设井深为为1， 1÷（1－） ＝1÷ ＝1× ＝ 1÷（1－） ＝1÷ ＝1× ＝ ，，＞， 所以，第一根绳子长。 4．餐厅购进一批鸡蛋，拿出总数的还多10个，正好拿出了70个。餐厅共购进（    ）个鸡蛋。 A．240 B．270 C．290 D．320 【答案】A 【分析】把餐厅共购进鸡蛋的总数看作单位“1”，则70与10的差所对应的分率是，根据分数除法的意义，即可计算出餐厅共购进多少个鸡蛋。 【详解】（70－10）÷ ＝60÷ ＝60×4 ＝240（个） 5．一份文稿，甲单独打需要4小时完成，乙单独打需要5小时完成，如果先由甲单独打2小时，剩下的甲、乙两人合作，那么剩下的需要（    ）小时完成。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把这份文稿看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用1÷4；1÷5，分别求出甲的工作效率和乙的工作效率；再根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率×2，求出甲2小时的工作量；再用1－甲2小时的工作量，求出剩余的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩余的工作量÷甲、乙的工作效率和即可。 【详解】甲工作效率：1÷4＝ 乙工作效率：1÷5＝ （1－×2）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 一份文稿，甲单独打需要4小时完成，乙单独打需要5小时完成，如果先由甲单独打2小时，剩下的甲、乙两人合作，那么剩下的需要小时完成。 6．一部书稿，甲打字员打完要12天，乙打字员用同样的时间只能完成书稿的，甲、乙两人合打这部书稿要( )天完成。 【答案】 【分析】本题解题核心公式：， 把整部书稿总页数看作单位“1”，先根据已知条件分别求出甲、乙各自的工作效率，再算出两人效率之和，最后用总工作量除以效率和，就能得到两人合打这部书稿要多少天完成。 【详解】甲的工作效率是 乙的工作效率是 合作完成时间： （天） 7．一辆汽车行千米需要汽油升。照这样计算，1升汽油可行( )千米，行千米需要汽油( )升。 【答案】 【分析】求1升汽油可行的路程，用行驶的路程÷需要汽油的耗油量，即÷解答。求千米需要汽油的耗油量，先求出1千米需要汽油的耗油量，用÷，求出1千米需要汽油的耗油量，再乘，即可解答。 【详解】÷ ＝×5 ＝（千米） ÷× ＝×× ＝× ＝（升） 8．川剧变脸是川剧表演的特技之一，用脸谱的变化表现剧中人物的情绪。若表演者分钟可以变脸40张，平均变一张脸用时( )分钟，平均每分钟变脸( )张。 【答案】 60 【分析】求变1张脸的时间，需将总用时平均分配到每一张脸，即用总时间除以脸谱总张数计算；求每分钟变脸的张数，需将总脸谱数平均分配到每分钟里，用脸谱总张数除以总用时计算。据此解答。 【详解】平均变一张脸的用时： ÷40 ＝× ＝（分钟） 平均每分钟变脸的张数： 40÷ ＝40× ＝60（张） 9．王老师从北京乘火车去广州，行驶10小时走完全程的，平均每小时时走全程的( )，按照这样的速度，从北京到广州全程需要( )小时。 【答案】 22 【分析】把全程看作单位“1”，10小时走了全程的，求每小时走全程的占比，用除以10可得；10小时对应的分率是，全程的时间为10除以。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝22（小时） 10．1时的是( )分；( )米比米少米；( )的是。 【答案】 12 【分析】1时＝60分钟，根据“求一个数的几分之几，用乘法”，列式解答； 根据“求一个数比另一个数少多少，用减法”，列式解答； 根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，列式解答。 【详解】1时＝60分钟 60×＝12（分钟） ＝＝（米） ＝＝ 11．修一条长10千米的公路，如果每天修千米，( )天可以修完。 【答案】 100 【分析】用公路全长除以每天修的长度，即可求出修完的天数。 【详解】10÷＝10×10＝100（天） 12．一根长米的木材，平均截成5段，每段占全长的( )，每段长( )米。 【答案】 /0.5 【分析】把这根木料的长度看作单位“1”。 根据分数的意义，把单位“1”平均分成5段，每段是全长的。根据除法的意义，把米平均分成5段，用除法计算。 【详解】 （米） 13．一辆公交车从火车站始发，出发时车上还有3个空座位，中途第一次停站时的乘客下车，又有14人上车，这时车上座位正好坐满。这辆公交车一共有________个座位。 【答案】47 【分析】根据题意，出发时车上还有3个空座位，则原有乘客的座位有（座位总数－3）个；把有乘客的座位看作单位“1”，中途第一次停站时的乘客下车，则此时有乘客的座位是原来有乘客座位的（1－）；又有14人上车，这时车上座位正好坐满，可得出等量关系：（座位总数－3）×（1－）＋14＝座位总数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这辆公交车一共有x个座位。 （x－3）×（1－）＋14＝x （x－3）×＋14＝x x－＋14＝x x－x＝14－ x＝ x＝÷ x＝×4 x＝47 14．芍药的花期是32天，玫瑰的花期比芍药的花期少，又比水仙的花期多，水仙的花期是( )天。 【答案】15 【分析】先把芍药的花期看作单位“1”，则玫瑰的花期是芍药花期的（），根据分数乘法的意义，即可计算出玫瑰的花期；再把水仙的花期看作单位“1”，则玫瑰的花期是水仙花期的（），根据分数除法的意义，即可计算出水仙的花期是多少天。 【详解】根据分析： 水仙的花期：    （天） 芍药的花期是32天，玫瑰的花期比芍药的花期少，又比水仙的花期多，水仙的花期是15天。 15．学校科技节布置展台，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时。两人合作组装2小时后，完成了全部任务的( )，剩下的由小蓝单独做，还需要( )小时完成。 【答案】 / 【分析】将工作总量看作单位“1”，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时，小蓝的工作效率是，小橙的工作效率是，两人合作组装2小时后，工作总量＝工作效率和×工作时间，求出两人合作的工作总量，剩下的工作总量＝“1”－已经完成的工作总量，剩下的由小蓝单独做，还需要的时间＝剩下的工作总量÷小蓝的工作效率。 【详解】合作两小时的工作总量： 剩下的由小蓝单独做，还需要： （小时） 16．直接写得数。 10－0.99＝    0.24÷0.8＝                      【答案】9.01；0.3；；0.09； ；；； 【解析】略 17．计算下面各题，能简算的要用简算，并写出必要的简算过程。 （1）120×[0.54÷（3.12－1.32）]           （2） （3）                  （4） 【答案】（1）36；（2）； （3）；（4）23 【分析】（1）先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算中括号外的乘法； （2）先将转化成，再根据乘法分配律进行简便运算； （3）先同时计算小括号里减法和加法，再计算乘法； （4）根据乘法分配律进行简便计算。 【详解】（1）120×[0.54÷（3.12－1.32）] ＝120×[0.54÷1.8] ＝120×0.3 ＝36 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝9＋20－6 ＝23 18．王哲的爸爸钓到了一条大鱼，王哲很想知道这条鱼的重量。爸爸告诉他：“千克再加上这条鱼重量的，就是鱼的重量。”你能帮王哲算出这条鱼的重量吗？请列式解答。 【答案】 （千克） 答：这条鱼的重量是7千克。 【分析】把这条鱼的重量看作单位“1”。根据题意，这条鱼的重量由两部分组成：一部分是具体的千克，另一部分是这条鱼重量的。这说明具体的千克对应的分率是。根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即具体数量除以对应的分率等于单位“1”的量。 【详解】略 19．李老师开车从甲地去乙地，用30分行驶了全程的，接着又用20分行驶了全程的，最后用10分到达目的地。 (1)请你用画图的方法表示李老师的行驶过程。 (2)最后10分行驶的路程是全程的几分之几？ (3)李老师在前30分，中间20分和最后10分三段时间内，哪一段行驶得最快？请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)，最后10分行驶得最快，数值大的行驶得快。 【分析】（1）把全程看作单位“1”，根据题意将线段分为三部分，分别标注对应的时间和占全程的分率。 （1）把全程看作单位"1"，用单位“1”减去前两段行驶路程占全程的分率，即可求出最后10分行驶的路程占全程的几分之几。 （3）本题考查分数除法及分数大小比较。根据“速度路程时间”，分别求出三段时间内平均每分钟行驶全程的几分之几，再通过通分比较分数大小，数值大的行驶得快。 【详解】（1）略 （2） 答：最后10分行驶的路程是全程的。 （3）前30分： 中间20分： 最后10分： 比较三个分数的大小： 因为，所以。 答：李老师在最后10分这段时间内行驶得最快。 20．友谊小学和奉献小学为印度洋海啸灾区共捐款3000元，已知友谊小学捐款的比奉献小学捐款的少50元。两个小学各捐款多少元？ 【答案】友谊小学：1200元，奉献小学：1800元 【分析】分析题目，分别把友谊小学和奉献小学的捐款数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法，设友谊小学捐款x元，则奉献小学捐款（3000－x）元，根据等量关系：奉献小学的捐款金额×－友谊小学的捐款金额×＝50列出方程，解出方程即可得到友谊小学的捐款金额，最后用捐款总金额减去友谊小学的捐款金额即可得到奉献小学的捐款金额。 【详解】解：设友谊小学捐款x元，则奉献小学捐款（3000－x）元。 （3000－x）×－x＝50 3000×－x－x＝50 750－x－x＝50 750－x＝50 750－x＋x＝50＋x 750＝50＋x 750－50＝50＋x－50 700＝x 700÷＝x÷ x＝700× x＝1200 3000－1200＝1800（元） 答：友谊小学捐款1200元，则奉献小学捐款1800元。 21．某工厂的女工人数是男工人数的，因工作需要，又调入女工30人，这时女工人数比男工人数多。这个工厂原来共有工人多少人？ 【答案】180人 【分析】设男工人数为单位“1”。原来女工人数是男工的，调入30名女工后，女工人数比男工多，此时女工人数是男工的（1＋）。调入的30名女工对应的分率是（1＋－），因此男工人数为：30÷（1＋－），原来女工人数是男工的，用男员工的人数乘可得原来女工人数。最后用男工人数加女工人数即为原来总人数。 【详解】30÷（1＋－） ＝30÷（1＋－） ＝30÷ ＝100（人） 100×＝80（人） 100＋80＝180（人） 答：这个工厂原来共有工人180人。 22．白腹锦鸡雄鸟的羽毛颜色艳丽，有较高的观赏价值，可作装饰品及羽毛画等工艺品的原料。白腹锦鸡成年雌鸟体长约为60厘米，比成年雄鸟体长短。则白腹锦鸡成年雄鸟体长约多少厘米？（用方程解答） 【答案】140厘米 【分析】首先确定单位“1”，根据“比成年雄鸟体长短”可知，成年雄鸟体长是单位“1”，且未知，适合设为；成年雌鸟体长相当于成年雄鸟体长的；根据等量关系“成年雄鸟体长成年雌鸟体长”列出方程求解即可。 【详解】解：设白腹锦鸡成年雄鸟体长约厘米。 答：白腹锦鸡成年雄鸟体长约140厘米。 23．甲、乙两列高速列车同时从相距1440千米的两地相对开出，经过4小时两车相遇，已知甲车每小时比乙车多行，乙车每小时行多少千米？ 【答案】160千米/时 【分析】相遇问题中，速度和＝总路程÷相遇时间，这也是题目的等量关系。可以设乙车每小时行千米，根据求比一个数多几分之几是多少，用这个数×（1＋分率），用千米表示甲车每小时行的路程，则速度和可以表示为千米/时，根据等量关系列方程求解。 【详解】解：设乙车每小时行千米，则甲车每小时行千米。 答：乙车每小时行 160 千米。 24．轩轩看一本文艺书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下56页没有看完，这本书一共有多少页？ 【答案】105页 【分析】把这本书的页数看作单位“1”。用1减去的差乘算出第二天看的分率；用1减去第一天的分率再减去第二天的分率，算出剩下的分率；根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 56÷（1－－） ＝56÷（1－－） ＝56÷ ＝56× ＝105（页） 答：这本书一共有105页。 25．制瓷师傅制作一件瓷器需经过“制胎——施釉——烧制”三个阶段，其中制胎阶段所用时间占，施釉阶段所用时间占，烧制阶段用了12天，制作这件瓷器共用了多少天？ 【答案】24天 【分析】把制作这件瓷器共用的天数看作单位“1”，则烧制阶段占（1－－），用除法计算，即可得制作这件瓷器共用了多少天。 【详解】12÷（1－－） ＝12÷ ＝24（天） 答：制作这件瓷器共用了24天。 26．2025年是“五四”运动百年纪念，某校举办了以“百年星火•青春回响——永不熄灭的民族觉醒”为主题的演讲比赛。五年级参加这次演讲比赛的学生有35人，是六年级参加这次演讲比赛学生人数的，六年级参加这次演讲比赛的学生有多少人？ 【答案】49人 【分析】把六年级参加这次演讲比赛的人数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用五年级参加这次演讲比赛的学生人数除以，即可计算出六年级参加这次演讲比赛的学生有多少人。 【详解】35 49（人） 答：六年级参加这次演讲比赛的学生有49人。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $