3.3 相似三角形判定定理的证明课时2（课件）2026-2027学年北师大九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，课堂导入从回顾已探索的“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”三个判定命题切入，引导学生从直观探索过渡到逻辑证明，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“构造全等三角形—证相似—传递相似”为主线，每个定理证明体现转化思想，如用定理1证定理2、定理2证定理3，培养学生推理能力。随堂练习通过平行四边形、折叠等实例强化应用，发展数学思维。学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可借助清晰证明思路和多样化资源提高教学效率。

第三章 图形的相似 3.3 相似三角形判定定理的 证明课时2 九上数学北师 1.了解相似三角形判定定理的证明过程，进一步发展推理能力。 2.在解决相似三角形判定问题的过程中，体会方法的多样性。 学习目标 2 在之前的学习中，我们通过探索得到了相似三角形的三个判定命题： 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 下面我们对它们进行证明。 课堂导入 3 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题1 证明：两角分别相等的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， = (平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例)。 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则 = (平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例)。 A B C A′ B′ C′ D E F 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 ∴= 。 ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形。 ∴DE = CF。 ∴= 。 ∴ = = 。 而∠ADE = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠AED = ∠C， ∴ △ADE∽△ABC(相似三角形的定义)。 ∵ ∠A = ∠A′，∠ADE = ∠B = ∠B′，AD = A′B′， A B C A′ B′ C′ D E F ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题2 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则 ∠B = ∠ADE，∠C = ∠AED， ∴ △ABC∽△ADE(两角分别 相等的两个三角形相似)。 ∴ = 。 ∵ ，AD = A′B′， ∴ = 。∴ = 。 ∴ AE = A′C′。 A A′ B C B′ C′ D E 而∠A = ∠A′， ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题3 证明：三边成比例的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， 。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD = A′B′，AE = A′C′，连接DE。 ∵ ，AD = A′B′，AE = A′C′， ∴ 。 而 ∠BAC = ∠DAE， ∴ △ABC∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。 ∴ 。 A B C A′ B′ C′ D E 新知讲解 知识点1 相似三角形判定定理的证明 又，AD = A′B′， ∴ 。 ∴ 。 ∴ DE = B′C′。 ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 A B C A′ B′ C′ D E 新知讲解 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 三边成比例的两个三角形相似。 相似三角形判定定理的证明思路： 第一步：构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形； 第二步：证明另一个三角形与所构造的三角形相似； 第三步：利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 新知讲解 回顾相似三角形判定定理的证明过程，你对几何证明有哪些新的认识? 证明过程中，需要通过作辅助线用定理1证明定理2， 同样的定理3的证明用到了定理2，体现了数学转化的思想。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 新知讲解 跟踪训练 你能类比判定定理2的证明过程，给出另一种证明方法吗? 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠BAC = ∠A′，。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 证明：如图，在BA的延长线上取AD = A′B′， 过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E。 由判定定理1，易知△ABC∽△ADE， 则。 ∵ ，AD = A′B′， 知识点1 相似三角形判定定理的证明 新知讲解 ∴ ， ∴ ， ∴ AE = A′C′。 又∵ ∠A′ = ∠BAC = ∠DAE， ∴ △A′B′C′≌△ADE(SAS)。 故△ABC∽△A′B′C′。 你能类比判定定理2的证明过程，给出另一种证明方法吗? 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠BAC = ∠A′，。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 跟踪训练 知识点1 相似三角形判定定理的证明 新知讲解 1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE = 2ED，CD = 3 cm，则AF的长为( ) A．5 cm 　 B．6 cm　 　C．7 cm　　　D．8 cm B 随堂练习 2.将三角形纸片ABC按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF。已知AB = AC = 3，BC = 4，若△B′FC与△ABC相似，则BF = 。 随堂练习 3.已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD， 以BC为边在△ABC外作 ∠CBE = ∠ABD，∠BCE = ∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。 . . 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE = ∠ABD，∠BCE = ∠BAD， ∴△CBE∽△ABD， ∴ ，即 。 在△DBE和△ABC中，∠CBE = ∠ABD， ∴∠CBE＋∠DBC = ∠ABD＋∠DBC， ∴∠DBE = ∠ABC且 ∴△DBE∽△ABC。 随堂练习 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 证明思路： ①构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形； ②证明另一个三角形与所构造的三角形相似； ③利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。 相似三角形 的判定定理 课堂小结 $