暑假结业测试卷（范围：前3章）（暑假预习举一反三学情自测·基础篇）新九年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 暑假结业基础篇测试卷，聚焦苏科版前3章核心内容，通过24题分层设计（单选10/40、填空6/30、解答8/80），精准量化学生基础掌握程度，适配暑假巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程一般形式、反比例函数图像、圆的弦长计算|结合各地期中期末真题，注重概念辨析与几何直观| |填空题|6/30|代数式求值、反比例函数性质、圆的角度计算|设置开放结论题，考查符号意识与空间观念| |解答题|8/80|方程求解、函数表达式、几何证明、利润模型|含“邻根方程”新定义题（创新意识）、动态几何问题（推理能力），贴合中考命题趋势|

暑假结业测试卷（范围：前3章）（基础篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 4．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 7．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 8．（2026·广东深圳·三模）某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后，分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 13．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________． 15．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，点的坐标是，点的坐标是为的中点，将绕点顺时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值是_____． 16．（2026·河南·二模）如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知反比例函数的图象经过点 (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请判断点与是否在这个函数的图像上，并说明理由． 19．（8分）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（10分）（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 21．（10分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)则反比例函数的解析式为 ； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求点的坐标． 22．（12分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 23．（12分）（25-26九年级上·山西临汾·期末）永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． (1)每箱红枣应定价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 24．（12分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点．    (1)__________； (2)当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； (3)当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷（范围：前3章）（基础篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，关键是掌握“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数”．先通过已知点求出反比例函数的比例系数，再分别计算各选项中点的横纵坐标乘积，与值对比，相等则该点在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴将，代入中，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为． A选项：，故该点不在函数图象上； B选项：，故该点在函数图象上； C选项：，故该点不在函数图象上； D选项：，故该点不在函数图象上； 故选：B． 3．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 4．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 5．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义求出的面积，再根据中心对称性和平行线分线段成比例得出与的面积关系，即可进行后续求解． 【详解】解：直线与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴轴， 轴，即， ∴ ∴ 是的中点， ， ∵ ， 点在双曲线上，轴， ， ， ． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接，先由圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理求出圆心角，再由径、弦、弧关系得出，然后借助圆的半径相等证得是等边三角形，得到弦的长等于圆的半径即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 7．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】A 【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k值，再分别验证两个结论即可． 【详解】解：∵原方程为，嘉嘉抄错的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为， 将代入错方程得：，解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于，两根之和为，这里，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 8．（2026·广东深圳·三模）某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关于半径的方程求解即可． 【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ． ， ， ． 过点 作 于点 ，连接 ， ，且 ，， 三点共线 ． 在 中，． 设 的半径为 ，则 ， ， 在 中，， 解得 ． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后，分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，求出点D的坐标为，点B的坐标为，当时，即D为的中点，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 令，解得， ∴点B的坐标为， 当时，即D为的中点， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得． 10．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】先根据是方程的根得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ，则， 将代入得原式． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，再结合反比例函数的性质得到函数值随自变量的变化规律，最后根据自变量的大小关系比较函数值大小. 【详解】解：∵，， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点，都在第一象限，且， . 13．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 15．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，点的坐标是，点的坐标是为的中点，将绕点顺时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 过点作轴于点D，证明，可得，从而得到点，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点D， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴． 故答案为： 16．（2026·河南·二模）如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】先根据正六边形的性质求得，， ，得出是等边三角形，从而可得，然后得出，然后利用勾股定理求得，从而可求得，再求出，然后利用圆面积减去即可． 【详解】解：镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，如图，连接，，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：移项，得， 因式分解，得， ∴， ∴； （2）解：移项，得， ， ， ∴， ∴，． 18．（8分）已知反比例函数的图象经过点 (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请判断点与是否在这个函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在，点在． 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出k的值即可； （2）判断点是否在函数图像上 对于反比例函数 ​，满足关系 ：若点的横纵坐标乘积为，则点在函数图像上，反之不在． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：对点：，因此点不在该函数图像上； 对点：，因此点在该函数图像上． 19．（8分）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 20．（10分）（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【答案】(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 21．（10分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)则反比例函数的解析式为 ； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，熟练运用函数交点坐标的求法和面积分割法是解题的关键． （1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值，进而确定反比例函数的解析式； （2）先求出一次函数与轴的交点的坐标，设出点的坐标，用面积分割法表示出的面积，结合已知面积列方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入一次函数中可得， ， ， 将代入反比例函数中可得， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得， ， 设，则， ， ， ，， ， ，， 或． 22．（12分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2), 【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解； （2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 23．（12分）（25-26九年级上·山西临汾·期末）永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． (1)每箱红枣应定价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)每箱红枣应定价54元或58元 (2)应按原售价的九折出售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每箱红枣降价x元，利用销售量×每件利润元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）解：设每箱红枣应降价x元， 根据题意，得， 解得，， ∴，， 答：每箱红枣应定价54元或58元； （2）解：由（1）可知每箱红枣可降价2元或6元， ∵要尽可能让利于顾客， ∴每箱红枣应降价6元， 此时，售价为：（元）， ， 答：该店应按原售价的九折出售． 24．（12分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是过点且平行于边的射线上一点（点不与点重合），以点为圆心，长为半径的交边于点．    (1)__________； (2)当为中点时， ①在备用图中利用尺规作图作出；保留作图痕迹； ②求的长； ③劣弧的长为__________； (3)当与线段恰好有且只有一个公共点时，直接写出的取值． 【答案】(1) (2)①如图，即为所求（答案不唯一）．    ②；③ (3) 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）①作的垂直平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，长为半径作，交边于点，即为所求； ②根据平行线的性质得出，利用勾股定理求出，得出，利用三角函数求出，进而求出； ③连接，根据等腰三角形的性质求出，利用弧长公式即可求出劣弧的长． （3）根据与线段恰好有且只有一个公共点得出与相切，分两种情况：①当线段与相切时，设切点为，则，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案，②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵是的垂直平分线，， ∴点在以为直径的圆上， ∵点是的中点， ∴即为所求； ②∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． ③如图，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴劣弧的长为． （3）解：∵与线段恰好有且只有一个公共点， ∴分下面2种情况讨论： ①当线段与相切时， 如图，设切点为，连接，过点作于，    ∵与相切，切点为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当线段与相交，而且与线段恰好有且只有一个公共点时，点一定在圆外，点在圆内，但不符合长为半径的交边于点，故此情况不存在． 综上所述：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $