2026年福建中考数学第25题讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数压轴题，覆盖顶点坐标求解、判别式应用、中垂线性质、距离公式等中考核心考点，通过“审题方法-知识点梳理-分步解析-常见错误”四环节构建知识体系，帮助学生系统突破难点。 亮点在于“化繁为简”的教学策略，如通过关键词表格提取关键信息培养数学眼光，分步拆解复杂问题发展推理能力，配合答题卡标准书写模板强化数学语言表达。分层练习和错误诊断确保复习实效，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习指导。

中考数学压轴题辅导讲义： 2026年福建省中考数学第25题辅导讲义（二次函数压轴题） 适用对象：初三数学中下水平学生 | 难度：★★★★（压轴题） 压轴题不是”难题”，只是一道”步骤稍多的基础题”。 题目再现 已知抛物线 。 (1) 若 ，，求抛物线的顶点坐标； (2) 若抛物线上存在一点 在 轴上方，求证：抛物线与 轴有两个交点； (3) 抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，直线 与 相交于点 ， 是 轴上不与点 重合的点。若坐标平面内存在点 满足 ，试探究 和 的数量关系，并证明。 一、审题方法与关键信息提取 📌 第(1)问·审题 关键词 对应信息 抛物线解析式 ，注意这里 （开口向下） 给定 ， 直接把数代进去 顶点坐标 可以用”配方法”或”公式法” 🗣️ 咱们先写个”解”字，然后把 ， 代入，得到一个具体的二次函数，再配方或套公式求顶点——这一问就是送分的！先稳稳地拿到4分！ 📌 第(2)问·审题 关键词 对应信息 存在一点 在 轴上方 说明这个点的纵坐标 求证：抛物线与 轴有两个交点 说明判别式 已知条件很少：只有 是抛物线上的点 需要把 这个关系用上 🗣️ 要证明两个交点，就要证判别式 。这回 ，所以 。但题目没直接给 啊！别急——咱们利用 点在抛物线上这个条件，想办法把 表达出来。 📌 第(3)问·审题 条件梳理——先把条件”翻译”成咱们的话： 条件原文 翻译一下 抛物线 与 轴交于 、 、 是抛物线跟 轴的交点，纵坐标 与 轴交于点 把 代入得 直线 与 交于 两条直线相交，联立解方程组 是 轴上不与 重合的点 在 轴上，，设 存在点 使 点 到 、、、 距离都相等 求 和 的关系 需要证 或类似结论 🗣️ 第(3)问字好多！别怕，咱们一步一步来。先看条件中已经知道的—— 代进去得到 ，这个特别重要！然后 到 和 距离相等，说明 在 的中垂线上，也就是抛物线的对称轴上。 图形标注提示（在自己草稿纸上画）：1.画坐标系，标上 轴、 轴；2. 画开口向下的抛物线（大致形状）； 3. 标出 （ 轴正半轴上）； 4. 标出 （右零点）、（左零点）； 5. 画对称轴 ，在对称轴上标出 ；6. 画两条直线 （过 ）和 ，标出交点 ；7. 在 轴下半轴标出 。 二、知识点梳理与回顾 📚 核心知识点一览 知识点 用于哪一问 重要性 配方法求顶点 (1) ⭐⭐⭐ 判别式 (2) ⭐⭐⭐ 完全平方公式 (2) ⭐⭐ 求根公式 (3) ⭐⭐ 两点间距离公式 (3) ⭐⭐⭐ 中垂线（垂直平分线）性质 (3) ⭐⭐ 联立方程组求交点 (3) ⭐⭐ 🧠 逐个唤醒 知识点1：配方法求顶点（第(1)问专用） 对于 ，配方后得到 ，顶点就是 。 公式法（实在不会配方时用）： 顶点横坐标 ，顶点纵坐标 . 🐣 注意：这里的 是 前面的系数。本题中 ，不是 ！千万别弄错。 知识点2：判别式 （第(2)问专用） 对于二次方程 ，判别式 。 - ：两个不相等的实数根（抛物线与 轴有两个交点） - ：两个相等的实数根（抛物线与 轴有一个交点，即相切） - ：没有实数根（抛物线与 轴无交点） 知识点3：完全平方公式（第(2)问需要） 🔑 注意： 要变成 的形式，这可需要一些代数变形技巧。 知识点4：两点间距离公式（第(3)问关键） 设 、，则： 实际计算时，直接用平方形式更方便，比如： 知识点5：垂直平分线性质（第(3)问关键） 如果一条线段的垂直平分线上有一点，那么这个点到线段两端距离相等。 反过来：如果一个点到一条线段两端距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。 特别地：如果一个点同时到四个点距离相等，那它就处在多条中垂线的交点上。 🎯 第(3)问的灵魂： 告诉我们 在 的中垂线上。而 、 关于抛物线的对称轴对称，所以 的中垂线就是对称轴 ！ ⚠️ 难点预判 难点 为什么难 怎么办 第(2)问从 推出 要用代数变形”造”出完全平方 别怕——把 换成 ，然后耐心整理 第(3)问 、 含参数 带根号的字母运算，看着眼晕 没关系，我们只求平方，平方后根号就消失了 第(3)问要自己找 的坐标 设未知数列方程，有参数怕出错 先设 ，只要求出 第(3)问最后证明 四个点要建立关系，思路要绕弯 记住： 是中点，，然后垂直平分线一用就出来了 三、分步解析与评分点 🥇 第(1)问（4分）——送分题，必须全拿！ 目标：已知 ，，求顶点坐标。 知识：配方法求二次函数顶点。 【标准答题模板】 解：，， 抛物线的顶点坐标为 。 【慢动作讲解】 - 第1步：把 ， 代进去 → - 第2步：提取 ，括号里变成 （注意符号变化！） - 第3步：配方——加上一次项系数一半的平方： 的系数是 ，一半是 ，平方是 - 第4步：代回去 - 第5步：从顶点式直接读顶点坐标： ✅ 评分点：代入正确得1分，配方过程正确得2分，写出顶点坐标得1分。 🥈 第(2)问（4分）——巧用代数变形 目标：证明抛物线与 轴有两个交点。 知识：判别式 、完全平方公式。 🗣️ 要证两个交点，就是证 。注意 ，所以 。现在的问题是——我们不知道 是多少！但题目说抛物线上有一个点 在 轴上方，也就是 。我们把这个条件用上，把 表示出来。 【标准答题模板】 证明： 点 在抛物线 上， ， 。 点 在 轴上方，。 对于方程 ，判别式为： （任何数的平方都大于等于0），且 ， 。 方程 有两个不相等的实数根， 抛物线与 轴有两个交点。 【慢动作讲解】 第1步：把 的坐标代入抛物线解析式： 第2步：把 “解放”出来——移项： 🗣️ 就是把 移到左边，其他移到右边： → 。 第3步：写出判别式，把 代进去： 第4步：展开括号： 第5步：等等，看看这像什么？ 这不就是 吗！ 第6步：判断正负： （平方数非负，大家都懂！） （因为 ） 所以 ✅ ✅ 评分点：代入 点坐标并表达出 得1分，写出判别式 并化简到 得2分，正确判断 得1分。 🥉 第(3)问（6分）——拔高题，按步得分 目标：探究 与 的数量关系。 知识：求根公式、两点间距离公式、垂直平分线性质、联立方程组。 🗣️ 这一问是最难的，但是别怕！咱不求全对，能写几步是几步。前面几步分扣很足的！ 📌 分步拆解 第①步：求 的值 抛物线与 轴交于点 ， 把 ， 代入 ， ， 。 🗣️ 这一步就是送分的！ 轴上的点 ，代进去就得到 。 第②步：求 、 的坐标 抛物线 与 轴交于 、， 、 的纵坐标为0，横坐标是方程 的两个根。 设 ，，。 由求根公式： 所以： 第③步：利用 确定 在对称轴上 ， 点 在线段 的垂直平分线上。 对于抛物线 ，对称轴为 。 、 关于对称轴对称， 的垂直平分线就是对称轴。 设 （其中 待求的纵坐标）。 🗣️ 这里咱们用了一个关键结论： 和 是抛物线与 轴的两个交点，它们关于对称轴左右对称。所以 的中垂线就是对称轴 。设 的坐标为 ，那就只差一个 了！ 第④步：利用 求 ，。 由两点间距离公式： ， 两边同时减去 和 （消掉相同项）： 点 的坐标为 。 🗣️ 这里注意一个技巧——我们用了平方后的等式 ，这样就不用开根号了！然后列出来的式子中， 和 两边都有，直接消掉，发现 也消了！这告诉我们 的纵坐标是 ，跟 没关系！ 第⑤步：求 的坐标 直线 与 相交于点 ， 联立方程组： 把 代回去求 ： 🗣️ 注意这里 ，因为如果 两条直线就平行了，不会相交。 第⑥步：发现 与 的关系 观察 和 的坐标： - - 纵坐标相等（都是 ）， 轴，即 是水平线。 又 和 （ 轴上的点）， 在 轴上，是竖直线。 。 （题目条件）， 点 在线段 的垂直平分线上。 而 ，且 在 的中垂线上， 就是 的垂直平分线。 第⑦步：得出结论 垂直平分 ， 点 到 和 的距离相等（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， 。 ✅ 评分点：由 得 （1分）；利用对称性设 （1分）；由 列方程求 （2分）；求 的坐标（1分）；证明 （1分）。 四、常见错误与辅导建议 🔴 审题错误 错误1：第(1)问直接套公式时用错 的符号 · ❌ 错误写法：顶点横坐标 · ✅ 正确：，所以 · 🐛 原因：只看了公式没注意 的真正值， 中 不是 ！ · 💡 口诀：二次函数看系数，平方前面才是 ，负号千万别落下！ 错误2：第(2)问漏看“ 在 轴上方” · ❌ 错误写法：直接代 点坐标但没用到 · ✅ 正确：必须写出“ 点 在 轴上方，” · 🐛 原因：没把关键条件转化成数学符号 · 💡 口诀：看到上方下方，赶快写出大于小于！ 🔴 知识错误 错误3：第(3)问求根公式符号弄反 · ❌ 错误写法： → · ✅ 正确：公式 ，这里 所以 · 🐛 原因：公式中 分母的符号忘了，，分母应该是 · 💡 口诀：求根公式别硬背，先把 、、 找仔细，代入时候符号对！ 错误4：判别式公式记成 但忘记代入 · ❌ 错误写法： 中 （忘了 ） · ✅ 正确： · 🐛 原因：想当然以为 ，没看系数 · 💡 口诀：判别式里三大项，、、 一个都不能少！ 🔴 过程错误 错误5：第(3)问直接设 而不利用对称性 · ❌ 错误写法：设 ，然后列 方程，又列 方程，算得很复杂 · ✅ 正确：先利用 说明 在对称轴上，直接设 · 🐛 原因：没先思考几何意义就埋头硬算 · 💡 口诀：看到距离相等，先想中垂线！设一个未知数比设两个简单太多！ 错误6：第(2)问代数变形跳步导致符号错 · ❌ 错误写法：（忘了乘 ） · ✅ 正确： · 🐛 原因：跳步导致分配律出错 · 💡 口诀：多项式乘进去，每一项都照顾到，一个系数都不能漏！ 🔴 逻辑错误 错误7：最后一步结论写反 · ❌ 错误写法：证出来 （没用的结论） · ✅ 正确：要用垂直平分线性质得出 · 🐛 原因：没看清要求什么，最后的推理链条断了 · 💡 口诀：垂直平分线上一点，到线段两端距离相等——别忘了是哪条线段！ 五、给同学的一句话总结 第(1)问 题目给什么你就代什么，配方或套公式求顶点，稳稳的4分到手！ 第(2)问 要证两个交点→证 →把 用已知条件表示出来→用完全平方把式子变成平方加正数的形式。代数变形时，先写 ，再慢慢代入化简，不跳步！ 第(3)问 看到 ，立刻反应” 在对称轴上”——这是突破口！ 然后就设一个未知数去列方程、求 、求 。 最后用垂直平分线的性质收尾。参数 看着可怕，但最后都被消掉了，算出来 很漂亮！ 整体 中考压轴题不是要你一步跳到终点，而是： 分解成小问，一题多步走。能拿几分拿几分，写对过程就有分！ 🧾 中考数学答题卡标准书写模板 以下为第25题的”考场版”书写格式，请直接照着写在答题卡上。 第（1）问（约4行） 解： ， 抛物线的顶点坐标为 。 📝 答题卡写法提示：配方法过程每一步的等号对齐，最后结论单独一行。 第（2）问（约8行） 证明： 点 在抛物线 上， 点 在 轴上方， 对于方程 ，判别式： ，且 ， 方程 有两个不相等的实数根， 抛物线与 轴有两个交点。 📝 答题卡写法提示： 写清楚，“两个不相等的实数根”是标准用语。最后的结论单独一行写出。 第（3）问（约20行） 解：（1） 抛物线与 轴交于点 ， 将 代入得：， （2） 抛物线 与 轴交于 ， 是方程 的两根。 由求根公式得： （3）， 在线段 的垂直平分线上，即 在抛物线的对称轴 上。 设 。 （4），。 由 得： ， ， ， . （5）联立 与 ： ， ， ，， . （6） 纵坐标相同（均为 ）， 轴。 在 轴上， 轴。 。 又 ， 在线段 的垂直平分线上， 垂直平分 ， 。 💪 最后的话 同学，能坚持把这份讲义看到这里，你已经比大多数人有耐心了。第25题能完整做出第(1)问，第(2)问写出前几步，第(3)问能求出 和 坐标——就已经能拿到10分以上了！ 中考考场上，压轴题不是”全对才有分”，而是每一步都有分。用咱们这份讲义教你的方法，分解问题、条理书写，这道题你一定能赢！💪✨ 老师送你一句口诀： 压轴题，不怕难，拆成小问慢慢干； 写方程，画坐标，条件翻译别漏掉； 对称轴，垂直平，几何性质帮你清； 按步写，不跳步，阅卷老师给分足！ 资源标题 2026年福建省中考数学第25题辅导讲义（二次函数压轴题） 学段 初中 学科 数学 年级 九年级 适用地区 福建省 考点标签 二次函数；分类讨论；求根公式；中垂线；距离公式 资源类型 辅导讲义（压轴题） ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $