1.3勾股定理的应用 导学案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦勾股定理的应用，通过“温故”回顾直角三角形边长关系与逆定理，“知新”引导自主探究应用步骤，搭建从旧知到实际问题解决的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 特色在于融入《九章算术》古题与欧几里得解题规范，结合荷花、漂流点等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界，通过构造直角三角形列方程提升推理能力与运算能力，预习自测与问题记录设计促进自主学习，发展模型意识与应用意识。

1.3勾股定理的应用 1.回顾勾股定理、勾股逆定理的相关知识，结合新课内容，探究勾股定理及其逆定理的应用。 2.阅读课本P13—P14内容，自主探究勾股定理及其逆定理的应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.直角三角形两条直角边长度的 等于斜边长度的 .如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 . 2.如果三角形三条边的长度a，b，c，满足，那么这个三角形是 . 知新——课本研习梳理 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 1.《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 2.平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺.一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面.此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺.由此可知水池的深度是( ) A.7尺 B.尺 C.8尺 D.尺 3.学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化,测出, ,那么需要绿化部分的面积为______________. 4.《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平.当木棒下端沿地面从点C向右滑动1尺到点D时，木棒上端恰好沿墙壁从点A下滑到点B（如图所示）.问木棒长多少尺？ 5.笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点A、B,且点A到点B的距离等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修中,为方便游客,决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上）,并新建一条路,测得,,. (1)判断的形状,并说明理由； (2)求原路线的长. 欧几里得：将勾股实际应用规范化的几何大师 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，不仅严格证明了勾股定理，还整理了大量利用该定理测算长度、面积的应用题型.他首次规范了几何应用题的解题逻辑：先明确已知条件，再依托几何模型构造直角三角形，借助等量关系列式推导，这套解题流程和我们现在学习的四步解题法高度契合，沿用两千多年. 测绘学：勾股定理至今不变的底层工具 现代工程测绘、无人机定位、房产测绘依旧在用这套解题逻辑.测绘人员先收集方位、距离等已知数据，通过作辅助线构造直角三角形，建立边长方程，精准测算无法直接测量的峡谷宽度、楼房高度.几千年间，解题步骤不断传承，只是测量工具变得更加精密. 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.平方和 平方 2.直角三角形 知新——课本研习梳理 1.直角三角形 2.正整数 基础过关·课前自测 1.答案：D 解析：设为x尺，则尺，依题意得：， 故选：D. 2.答案：B 解析：设水池的深度为h尺，则， 解得：， 故选：B. 3.答案：96 解析：, , , 为直角三角形, , 故答案是：96. 4.答案：50.5尺. 解析：设木棒长为x尺，则木棒右端C离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得， 答：木棒的长为50.5尺. 5.答案：(1)是直角三角形,理由见解析 (2) 解析：(1)是直角三角形,理由如下： ,,, , 是直角三角形； (2)点A到点B的距离等于点A到点G的距离, , 又由(1)得：, , 即：, 解得：. 学科网（北京）股份有限公司 $