2026年伊朗数学奥林匹克国家队选拔考试试题

2026伊朗国家队选拔考试 译者注：在伊朗，自然数和自然数集N均不包括0. 第一天 题目1.对正整数的移位操作是指删去其（从左到右的）第一个非零 数码，并将其放在该数的右侧.例如，对13025进行三次移位操作后， 我们将得到5132.证明：对于所有满足gcd(a,10)=1的a,k∈N,都 存在k个两两不同的正整数n1,2,.,nk,使得gcd(n1,n2,.,nk)=a, 且对于它们中的任意两个数，其中一个数可以通过对另一个数进行若 干次移位操作得到. 题目2.在一棵n个顶，点上的树上定义三角形操作如下：从树T开 始，首先添加一条边使得存在一个长度为3的圈，然后从该圈中删除 另一条边，得到一棵新的树.所得到的新树就是对T进行三角形操作 的结果.图中展示了一个三角形操作的例子 证明：存在一个正整数N,使得对于所有满足n>N的整数n和 任意两棵n个顶，点上的树T1,T2,都可以通过使用至多2n-1405次 三角形操作从T1得到T2: 题目3.在三角形ABC中，，点D,E,F分别在边BC,AC,AB上，满足 BD=DE=EA且CD=DF=FA 设BE和CF交于，点P.证明：△PEF的垂心在BC上. 第二天 题目4.给定正实数a<b和正整数n.最初阿拉什在黑板上写下一 个次实系数多项式，然后他和巴拉玩以下的游戏： 在每轮中，阿拉什选择一个区间（α，b)中的数c,并将其告诉巴拉， 然后巴拉选择当前黑板上的多项式的n+1个系数中的一个，将c加 到该系数上，并把新的多项式写在黑板上，替换原本的多项式。证明： 无论阿拉什如何选择，巴拉总可以进行适当的操作，使得在有限步之 后，黑板上的多项式总有n个实根， 题目5.两圆w1和w2相交于点A和B.定点C在w1上，点P在 直线AB上且在线段AB外.点R和S分别是过点P作w2点切线， 切，点分别为点R和S,点Q是直线CP与ω1的第二个交点.设点O 是w2的圆心.证明：当，点P运动时，△QRS的外接圆总过一个直线 OC上的定点. 题目6.给定自然数n.阿里位于平面的一个点上，而平面中有n个点 已经被涂成了蓝色.他可以按照如下规则移动.他的目标是逃离蓝色 的点！ 在每次移动中，阿里可以选择一个等边三角形，满足三角形的一 个顶，点在他当前所在的位置，且没有蓝色的点在该三角形内部，然后 他可以移动到该三角形周界上的任意一，点.（注意：我们不认为周界上 的点是在三角形内部，阿里所在的位置也可能就是一个蓝色点.)如果 他到达了一个满足以下性质的点，则我们说他已经逃离了：对于每个 正实数C,他都可以进行一次移动，抵达一个与所有蓝色，点距离均至 少为C的点. 试求最小的k的值（用含n的式子表示)，使得无论初始的n个 蓝色点如何放置，阿里都可以在至多k步内逃离. 第三天 题目7.给定自然数n,k,粉红豹和大鼻子先生在一个n×n的棋盘上 玩回合制游戏.开始时，所有格子都是白色的.粉红豹先手.在粉红豹 的每个回合中，其选取一行或者一列，将其中所有格子染成粉色（无论 它们此前是白色还是粉色).在大鼻子先生的每个回合中，其选取一行 或一列中连续的n-1个格子，将它们染成白色. 若任何一次大鼻子先生的回合结束后，棋盘上至少有飞个粉色的 格子，则粉红豹获得游戏胜利.否则游戏继续.试求最大的飞的值（用 含的式子表示)，使得无论大鼻子先生如何操作，粉红豹都可以在有 限个回合内获得胜利. 题目8.给定正整数N和正实数a1,a2,,aw.对大于N的下标，我 们按如下方式递推地定义数列(a)1· 若对m≥N,数列中的数a1,a2,,am已定义，则我们考虑所有 m出个形如a+a的数，其中1≤i≤广≤m.将这些数按从大到小的 顺序排列，并记它们为i≥t互≥…≥tmm+山，现在我们定义am+1=tm: 证明：对所有实数C,都存在一个正整数M,使得对于所有n>M,都 有an+1>an+C. 题目9.对素数p>7定义 Sp={1,2,3,,p(p-1)} 试求所有函数f:Sp→Sp,使得对所有c∈{0,1，，p-1,都存在一 个a∈Sp满足f(a≡c(modp)且对所有m,n∈Sp,我们都有 (mfn)f+p-1m）三f(mm”(modp). 注意：f的输入都模p(p-1)考虑.例如若p=11,则f(120)=f(10) 第四天 题目10.设四边形ABCD内接于圆O.AC与BD相交于点P.点 X和Y满足PX‖AB和PY‖CD.已知AC平分LXCD,BD平分 LABY.证明：XY⊥OP. 题目11.对每个正整数n,若其素因数分解为n=pp.…p(其中 p1,p2,,Pk是其不同的素因子，1,2，，k∈N)定义 f(n)=a1Xa2×·Xak. 我们还定义对n∈N有fn)=f(-n),且f1)=f(O)=1.试求所有多 项式Q∈Zx]使得存在正整数N和a>1,使得对所有正整数n>N 都有 f(a”+1)lf(Qn). 题目12.给定函数f:C→C和实数c,使得对任意z∈C,都有不等 式 f(）-z<lk0.9+c 成立.此外，已知对任意四个不同的复数w1,w2,w3,w4,若它们在复 平面上对应的点（未必按此顺序)构成一个凸四边形的四个顶点，则 f(ω1)，f(ω2)，f(w3),f(ω4)在复平面上对应的点亦（未必按此顺序)构 成一个凸四边形的四个顶，点. 证明：存在一个复数a∈C,使得对所有z∈C,都有f(z)=z+a.