1.2 有理数及其大小比较-【教材笔记】2026-2027学年七年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

1.2有理数及其大比较 新知解读 引入负数后，数的范围就扩大了.与小学对数的学习类似，我们进一步在这 个范围内学习数的表示以及大小比较等问题 1.2.1有理数的概念 會思考 在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数.回想一下，到目前为止， 我们认识了哪些数？ 正整数、0、负整表、正分数、负分最 我们学习过正整数，如1,2,3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，….正 整数、0、负整数统称为整数. o 0201,532. 我们还学习过正分数，如，2,15 0.1=1 10, -0.5= 03,…；负分数，如-5，-2-1 23-7-05,-1505, 2， 03- 3, 它们都是分数 事实上，有限小数和 进一步地，正整数可以写成正分数的形式，例如 无限循环小数都可以 化为分数，因此它们 2；负整数可以写成负分数的形式。例如-3=-；0 也可以看成分数 也可以写成分数的形式.这样，整数可以写成分数的形式 ~)整数、分数、有限小数、无限循环小数 可以写成分数形式的数称为有理数(rational number).其中，可以写成正分 数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.>有理鬟 正有理裁 0 这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围 负有理数 例1指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、 负整数： 都是有理裁 13,4.3, 8,8.5%,-30,-12%, -7.5,20,-60,1.2. 解：正有理数：1343,85%，号，20,1,2：其中正整数有13,20 负有理数：-&，-30，-12%，-7.5，-60；其中负整数有-30，-60 第一章有理数 练习 1.所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合.把 下面的有理数填入它们属于的集合内： 15,- 9 -5,7,0.5,-80,12,-4.2,2.3. 正有理数集合：{ .15,7,0.5,12,2.3 负有理数集合：{ g-5.-80,42 2.指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： -15,+62-04,1,号0,3分068，-9 3 3.在-12， 号，19%，50，-3.i2,-1,-5%,63,202中，正有理数的 个数为 其中正整数的个数为 一；负有理数的个数为 其中负整数的个数为 2正有理发+6,1.}3号06的，负有理装-15,2,04 10 整数：-15，+6，-2,1,0.3.5242 1.2.2数轴 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直 观理解和分析问题.下面我们在此基础上直观表示有理数.看下面的问题 问题在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3m和 7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3m和4.8m处分别 有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境. 如图1.2-1，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线 上任取一点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（线段OA的长）代表 1m长.于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C, 分别表示柳树和交通标志杆的位置；在点O左边，与点O距离3个和4.8个单位 长度的点D和点E,分别表示槐树和电线杆的位置， 因为柳树、交通标志杆、槐树和电线杆都是相对于汽车站牌而确定的位置，所以以汽车 站牌为点O 8教材笔记数学七年级上册 4.8 7.5 图1.2-1 ?思考 怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相 对位置关系（方向、距离)？ 在上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义.如图 1.2-2,在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度（线段OA的长) 代表1长，再用0表示点O,用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右 边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点 E D OA B -4.8 -3 0 1 3 7.5 图1.2-2 用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与 汽车站牌的相对位置关系表示出来了.例如，3表示位于汽车站牌东 5 10 侧3m处的柳树的位置，-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线 杆的位置，等等 0 5 思考 10 图1.2-3中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线.它和 图1.2-2有什么共同点？ 图1.2-3 >为了读画方便，通常把直线画成水平或竖直的 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足 o 以下三个条件： 0是正数和负数 (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原 的分界；原点是数轴 点(origin); 的“基准点” (2)通常规定直线上从原点向右（或上)为正方向， 从原点向左（或下）为负方向； 第一章有理数 0 》同一条数轴上的单位长度必须是统一的 (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取 一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2， -3,…（图1.2-4) -多 6.5 -5 -4-3-2-1 0 12345 67→ 7数轴三要素图1.2-4 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number axis). 原，点将数轴（原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正 半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴，之负半轴上表示的裁都是负裁 有理数可以用数轴上的点表示，例如，在数轴的正半轴上，距离原点6.5个 单位长度的点表示数65；在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度的点表示 数-3（图1.2-4）. 2 2归纳 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上， 与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的 距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数 轴上与原点的距离是a的点. 〉有两个 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图 形直观地表示很多与数相关的问题， 例2画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 数形结合 3,-4,4,05,0,- 2-1 解：如图1.2-5所示. 4 -多 -1 00.5 -3 2 012 3 图1.2-5 10教材笔记数学七年级上册 练习 1.如图，写出数轴上点A,B,C,D,E表示的数， B A C D -3 -2 -1 0 1 22.53 2.画出数轴，并在数轴上表示下列有理数： -5,35,- ,9 3.在数轴上，表示-2与4的点之间（包括这两个点）有个点表示的数 是整数，它们表示的数分别是 ,其中负整数有个 4.在数轴上，点A表示的数是-3，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4 个单位长度到达点B,则点B表示的数是多少？ >1.0,-2,1,2.5,-3.2.路 3.7-2,-1,0,1,2,3424.1或-7. 1.2.3 相反数 Q探究 在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这 些数之间有什么关系？与原点的距离是】的点呢？ 2 可以发现，数轴上与原点的距离是3的点有两个，它们表示的数是3和-3， 这两个数只有符号不同；与原点的距离是上的点也有两个，它们表示的数是上和 1 这两个数也只有符号不同. 急归纳 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分 别在正、负半轴上，表示a和-a(图1.2-6)，这两个数只有符号不同. 1 1 -22 -3 0 图1.2-6 第一章有理数 11 像3和-3， 1和-】这样只有符号不同的两个数，互为相反数(opposite 2 number).这就是说，3的相反数是-3，-3的相反数是3,3与-3互为相反数； 二和-1互为相反数. 其他完全相同 相反裁成对出现 同样地， 不能单独存在 0的相反数是0. 般地，a和-a互为相反数.这里，a表示任意一个 数，可以是正数、负数，也可以是0.例如，当a=1时， 设a表示一个 数，-a一定是负数吗？ -a=-1,1的相反数是-1；同时，-1的相反数是1. 容易看出，在正数前面添上“-”号，就得到这个 你能借助数轴说 正数的相反数.在任意一个数前面添上“-”号，新的 明-(-5)=+5吗？ 数就表示原数的相反数，例如， -(+5)=-5,-(-5)=+5,-0=0 1.(1)×(2)×(3)V(4)V (5)×(6)V 例3(1)分别写出-7和1的相反数； 2 ,-6,8,3.5,- -,-10 (2)a的相反数是2.4，写出a的值 解：(1)-7的相反数是7,4的相反数是- 4 100 3 3.原点 3 4.7，-0.5,68,-3.8. (2)因为2.4与-2.4互为相反数，所以a的值是-2.4. 练习 1.判断题 (1)-6是相反数； (2)+6是相反数； (3)6是-6的相反数； (4)-6与+6互为相反数； (5)正数和负数互为相反数； (6)任何一个数都有相反数 2.写出下列各数的相反数： 6,-8.-35,10,-10,号 3.如果a=-a,那么表示数a的，点在数轴上的什么位置？ 4.化简下列各数： -(-7),-(+0.5),-(-68),-(+3.8). 教材笔记数学七年级上册 1.2.4绝对值 我们知道，互为相反数的两个数（除0以外)只有符号不同.这两个数的相 同部分在数轴上表示什么？ 看一个具体例子.10和-10互为相反数，在数轴上分别用点A,B表示这两 个数，可以发现，点A,B与原点的距离都是10（图1.2-7). B 10 0 10 A -10 0 10 图1.2-7 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数 o a的绝对值（absolute value),记作a例如，图1.2-7 这里的数a可以 是正数、负数和0. 中表示10和-10的点与原点的距离都是10，所以10 和-10的绝对值都是10，即 距离不能是负裁，所以任何裁 10=10,-10=10. 的绝对值一定是非负数 显然0=0. Q探究 一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试，看 能不能发现规律. 可以得到：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.即 》任何裁的绝对值都 不小于它本身，即 (1)如果a>0,那么a=a; o a≥a 用字母表示数 (2)如果a=0,那公a=0; 后，可以用含字母的 式子表达一般规律 (3)如果a<0,那公a=-a. 例4(1)写出1，-0.5，-7的绝对值： (2)如图1.2-8，数轴上的点A,B,C,D分别表示有理数a,b,c,d,这 四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 1 图1.2-8 第一章有理数 13 分析：对于(2)，一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反 过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小 解：(1)1川=1.-0s到=05，-=子 (2)因为在点A,B,C,D中，点C离原点最近，所以在有理数a,b,c, d中，c的绝对值最小 21.8,3.9 2 100,7.5,0,13,18 练习 11 2.(1)×(2)V(3)× 1.写出下列各数的绝对值： 8,-3.9,2 100,75,0，-(13，-+18 2.判断题 （1)绝对值是它本身的数是正数；（2)当a0时，a总是大于0； (3)绝对值小于2的整数是1和-1. 3.如果a=-2,那么a= ；如果m是负数，且m=10,那么 m= 4.化简下列各数： 32-0435.吾.15.79 +-35+--15(-,-(4 1.2.5有理数的大小比较 我们已经知道两个正数（或0)之间怎样比较大小，例如，0<1,1<2， 2<3，…. 引入负数后，任意两个有理数（例如，-4和-3，-2和0，-1和1） 之间怎样比较大小呢？ 负数和负数 负裁和0巴 负裁和正裁 思考 -4℃ 图1.2-9给出了未来一星期中 每天的最高气温和最低气温，其中最 星期 星期白 08℃ 29℃ 星期六 低气温是多少？最高气温呢？你能将 34℃ 星期二 这七天中每天的最低气温按从低到高 未来一星期天气预报 7℃ 的顺序排列吗？ 9℃ 星期三 星期四 星期五 1~6℃ -25℃ 43℃ 图1.2-9 14 教材笔记数学七年级上册 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 -4,-3,-2,-1,0,1,2 按照这个顺序排列的温度，在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的， 依次把这些数表示在水平的数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的（图 1.2-10）. -4-3-2-1012 图1.2-10 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从 你在小学学过的正 左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于 数及0的大小比较符合 右边的数 这个规定吗？ 由这个规定可知： -6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1,… 官思考 对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之 间如何比较大小？前面最低气温从低到高的排列与你的结论一致吗？ 在数轴上表示两个负数，绝对值大的数在绝对值小的数的 一般地， 左边，即绝对值大的负姜小子绝对值小的负裁 (1)正数大于0,0大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小。 例5比较下列各组数的大小： (1)5和-2； (2)-3和-7； (3)-（-1)和-(+2)； (4)-（-0.5)和-1.5. 解：（1)因为正数大于负数，所以5>-2. (2)先求绝对值，-3=3，-7=7. 因为 3<7, 0 即 -3<-7, 异号两数比较大 小，要考虑它们的正负； 所以 -3>-7. 同号两数比较大小，要 (3)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2. 考虑它们的绝对值， 因为正数大于负数，所以 1>-2, 即 -(-1)>-（+2). 第一章有理数 15 (4)先化简，-（-0.5)=0.5，-1.5=1.5. 因为 0.5<1.5, 1.(1)3>-5.(2)-3>-5 所以 -(-0.5)<-1.5 3)22 练习 4)-、3 4 (5)+8(9】 1.比较下列各组数的大小： (6)-(-0.3K (1)3和-5； (2)-3和-5； (3)-2.5和 2 4月 (4)-3和3 5 (5)-(+8)和-(-9)； (6）-(-0.3)和 2.将下列各组数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接： (1)-3,+2,+5,0,-10,8; (2)-4+23,-03,0, 31 2’-2 3.下面是我国几个城市某年1月份的平均气温，把这些温度按从高到低的 顺序排列。 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6℃ 3.8℃ 13.1C -19.4C 2.4℃ 2.(1)-10<-3<0<+2<458(2)-3<-1 <-0.3<-1 <0<+2.3. 22 3.13.1℃，3.8℃，2.4℃，-4.6℃，-19.4℃. 习题1.2 复习巩固 1.313 1.把下列各有理数填在相应的集合内： 045,120,0.3 -.26 4 3年0.04512m,n256,12时 ，0.3. -123 3,0,120.-77 正有理数集合：{ …} 负有理数集合：{ …} 整数集合：{ …} 16 教材笔记数学七年级上册 2.如图，数轴上点A表示的数是 点B表示的数2.02-2.5-32.5 是 点C表示的数是 点D表示的数 是 点E表示的数是 D C B E 3-2.5-2 0 22.53 (第2题) 3.7的相反数是 1是 的相反数，相反 3.-7 0 4 数是它本身的数是 4.写出下列各数的绝对值，并指出哪个数的绝对值最 49,3.75,0,4 ,0.001,1. 大，哪个数的绝对值最小： -9的绝对值最大 9,3.75,0,特 -0.001,-1. 0的绝对值最小 5.比较大小： 5.(1)<(2)< (1)-210; (2）-10--5; (3)>(4)> (5)>(6)> (3)-2 4 22 (4)-3 (5)-5 6 7 (6)-(-3)--3.01· 6 综合运用 6.在数轴上表示下列各数： 6.如图所示 2,240.5,-2,0,-2 41 2号205021222爱 5’21.2 -3-2-10123 7.如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视.在 7.有两位同学需要持续 验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近 佩戴眼镜 视程度，例如，将近视50度记录为“-0.50D”,近 视100度记录为“-1.00D”,等等.现有6位同学 的验光记录如下： -0.50D,-1.25D,-2.50D,-0.75D,-1.75D,-2.25D 通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视 力矫正，在这6位同学中，有几位同学需要持续 配戴眼镜？ 第一章有理数 17 拓广探索 8.这两个点所表示的：8.在数轴上，如果点A,B分别表示互为相反数的两个 分别是2.5和-2.5. 数，并且这两个点的距离是5，那么这两个点所表 示的数分别是多少？ 9.(1）a=0 9.如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时， (2)a<0. (3)a>0 (1)a=-a?（2)-a>a?(3)-a<a? 图说数学史 漫漫长路识负数 今天，负数在我们的日常生活中无处不在，比如温度、海拔、账户收支的表 示等.你肯定想不到这种对于负数的“自然而然”的使用，在数学史上却是“一 波三折”的，让我们一起来重温负数走过的漫漫长路吧 在我国，《九章算 术》的“方程”章明确 在印度，数学家婆 提出了“正负术” 罗摩笈多在算术运算中 正数、负数的加减运算 使用了负数.他研究了关 法则.这种源于方程解法 于“财产”（正数）、“债 的探究，突破了正数的 务”（负数）的和、差、 限制，引入了负数. 刘徽（魏晋时期） 倍数、分割等问题· 1世纪 3世纪 7世纪 刘徽在为《九章算术》作注 时写道：“今两算得失相反，要令 正负以名之，正算赤，负算黑”即 明确正负数是表示相反意义的量， 并用算筹的颜色区分正负数 婆罗摩笈多 《九章算术》中的“正负术” (Brahmagupta,约598一约665) 18 教材笔记数学七年级上册 在欧洲，对于负 数的认识和使用进程缓 随着数学的发展，代 慢而又艰难.意大利数 数越来越抽象，与数字的 学家斐波那契在《算盘 “实际”意义相比，抽象运 书》(1202年)中面对 算越来越重要，对于负数 “一个相对较小的数减 的质疑消失了，负数完全 去一个更大的数”时使 笛卡儿 成了数字系统中的一员· 用了负数 (Descartes,1596-1650) 12-13世纪 16-17世纪 19世纪 面对负数，欧洲大多数数学家一 方面使用着负数，另一方面又不理解负 数，如笛卡儿，虽然他接受并比较全面和 系统地使用了负数，但他把方程的负根 称作“假根”. 斐波那契 (Fibonacci,约1170-约1250) 欧洲人迟迟不肯接受负数和他们自古以来对“数”的观念有关，比如0表示 一无所有，“世界上怎么还有比一无所有小的量？”而我国古代是在方程背景下， 从“相对”角度认识正负数，于是自然地接受并使用负数.不过，欧洲人的“质 疑”“争论”也促使他们不断地探寻负数及其他新数的意义，并最终建立了关于 数的严密的理论 第一章 有理数 19