29.2.3 圆周角 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质，通过回顾圆心角引出圆周角，再由圆周角定理探究同弦所对圆周角关系，构建知识递进学习支架。 以观察猜想、分类证明深化理解，如圆周角定理分圆心在边上、内部、外部三种位置证明，培养几何直观与推理能力。圆内接四边形性质探究结合反证法，发展抽象思维与模型意识，助力学生逻辑推理，为教师提供结构化教学范例。

29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 课题 圆周角定理及其推论 课型 新授课 教学内容 教材第127-130页的内容 教学目标 1.理解圆周角的概念，有机渗透“由特殊到一般”思想、 “分类”思想、“化归”思想，培养学生以严谨求实的态度思考。 2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90�°的圆周角所对的弦是直径． 4.引导学生能主动地通过观察、实验、探究“圆周角定理及其推论”，培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题的能力，从而提高数学素养. 教学重难点 教学重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 教学难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 什么是圆心角？ 【师生活动】教师提出问题，全班学生回顾并作答：“顶点在圆心的角叫作圆心角(如下图).”然后教师可追问：一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有什么位置关系？ 2.类比探究，学习新知 【观察思考】 【问题1】如图，△ABC内接于⊙O，观察图中的A，它有什么特点？ 预设答案：①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点. 【师生活动】教师以A为例引导学生观察思考，找出A的顶点、两条边分别与圆的位置关系.进而归纳出圆周角的定义： 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 教师适当强调，圆周角应该满足两个条件，①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点.这两个条件缺一不可. 【想一想】 判断下列各图中，哪些是圆周角？ 预设答案：(1)√，(2)×，(3)×，(4)×，(5)×，(6)√. 【问题2】如图，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆.你能发现BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？ 预设答案：BACBOC 【师生活动】教师提出问题，引导学生思考，因为△ABC是等边三角形，不难得出∠BAC=60°，∠AOB=∠BOC= ∠AOC=120°.从而∠BAC=∠BOC.进而教师追问：当△ABC是任意三角形时，这个结论还成立吗？ 如图，△ABC是⊙O的任一内接三角形.继续探究∠BAC和∠BOC的大小关系. 【师生活动】教师提出问题，组织学生动手测量，得出结论：BACBOC.然后小组交流讨论，通过得出的结论，提出猜想. 【猜想】 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【追问】你能证明这个猜想吗？ 【师生活动】教师提出问题后，先让学生在圆中画出同弧所对的圆心角和圆周角，引导学生观察圆心与圆周角位置，发现圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种： （1）圆心在圆周角的一条边上； （2）圆心在圆周角的内部； （3）圆心在圆周角的外部. 【证明】 在第（1）种情况下，如何证明？ 预设答案：∵OAOC，∴∠A∠C. 又∠BOC∠A∠C， ∴. 【师生活动】教师提出问题，带领学生分析第(1)种情况的证明思路，然后让学生自行完成第(2)、(3)种情况的证明，最终教师PPT展示. 第(2)种情形： . 第(3)种情形： . 【归纳】 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【做一做】 如图，在⊙O中，BOC50°，求A的大小. 答：25°. 【问题3】“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？ 预设答案：相等. 【师生活动】教师提出问题后，先让学生试着猜想，然后再验证. 证明：如图，连接OA，OB. 由圆周角定理得， ，. ∴∠AC1B∠AC2B∠AC3B. 【追问1】等弧所对的圆周角呢？相等吗？ 【师生活动】教师提出问题，学生仿照前面的思路证明，教师PPT展示过程. 证明：如图，连接OA，OB，OC，OD. ∵ =，∴∠AOC=∠BOD. 又，， ∴∠ADC∠BAD. 结论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 【追问2】反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那它们所对的弧相等吗？ 预设答案：相等. 【师生活动】教师引导学生理解由圆周角相等，可推出所对的圆心角相等，结合“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”可得：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.从而 得出圆周角定理的推论： 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等. 【做一做】 如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)，求∠ACB °. 预设答案：90. 【师生活动】教师提出问题，学生应用所学知识作答.在学生得到结果后，教师追问：如果∠ACB90°，能得出AB是直径吗？引导学生得出答案后，归纳总结圆周角定理的另一个推论： 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【归纳】 3.学以致用，应用新知 【例】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6。 ∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、 圆周角、直径和弦之间的关系。由AB是直径，可知圆周 角∠ACB=∠ADB=90°；由圆周角∠ACD=∠BCD，可 知它们相应的圆心角相等，进而得到弦AD=BD. 解:如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB= ∠ADB=90°. ∵在Rt△ABC中，AB=10, AC=6, ∴BC==8, ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD. ∵在⊙O中,∠AOD=2∠ACD, ∠ BOD=2∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=+AB2， ∴AD=BD=AB=5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿. 答案：50°. （2）如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与1、2、3、4相等的角. 解：1CBD；2ACB；3CAB；4ABD. （3）已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AOB=2BOC. 求证：ACB2BAC. 解：∵AOB2ACB， AOB=2BOC， ∴ACBBOC. ∵BOC=2BAC， ∴ACB2BAC. （4）证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知：△ABC中，OB是AC边的中线， 且OBAC. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：由题意得：OAOBOC. 即△ABC三个顶点都在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上. ∵AC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是90°可得：ABC90°，即△ABC是直角三角形. （5） 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，ACD60°，ADC70°. 求∠APC的度数. 解：如图，连接BC，则ACB90°， DCBACBACD90°60°30°. 又∵BAD∠DCB30°， ∴APCBADADC30°70°100°. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？ 6.布置作业 教材P129练习第1-3题，P131习题29.2第2-4题. 通过回忆圆心角的定义及特点，引发学生思考新问题，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受. 观察所给图形，找出A的顶点、两条边分别与圆的位置关系，引出圆周角的定义. 巩固圆周角的定义. 从特殊情形入手，便于学生观察得出结论，再对一般情形进行合理猜想，使学生在学习新知的同时感知由特殊到一般的数学思想. 培养学生的动手能力，使学生在自主探索，合作交流的过程中完成学习任务. 通过证明使学生对圆周角定理的认识从感性上升到理性. 培养学生的逻辑思维能力以及分类讨论的数学思想. 及时巩固圆周角定理. 让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系. 由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论2. 梳理本节课的重点内容，加深对圆周角定理及其推论的理解. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 加深认识，深化提高. 板书设计 圆周角定理及其推论 1.圆周角的概念 2.圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 圆内接四边形 课题 圆内接四边形 课型 新授课 教学内容 教材第130-131页的内容 教学目标 1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； 2.掌握圆内接四边形的概念及其性质定理，通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； 3.熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明，进一步提高学生的应用能力和思维能力．  教学重难点 教学重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法。 教学难点：论证圆内接四边形对角互补。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 什么是圆周角？你还记得圆周角定理及其推论吗？ 预设答案：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【师生活动】引导学生回顾上节课的内容，教师追问直径是特殊的弦，它所对的圆周角相等，都是90°，那对于一般的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？也就是说，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 接下来我们以同弦为例进行探究. 【问题1】BD是⊙O的弦(不是直径)，则它所对的圆周角都相等吗？ 猜想：∠A∠E，∠C∠F. 【追问1】能否验证你的猜想呢？ 预设答案：∵∠A，∠E所对的弧都是； ∠C，∠F所对的弧都是； 根据同弧所对的圆周角相等，得： ∠A∠E，∠C∠F. 【师生活动】教师PPT展示，任意作出弦BD所对的4个圆周角，引导学生发现，根据角的顶点在弦的上方还是下方，把4个角归为两类，让学生提出猜想，并验证，最终教师PPT展示验证的过程. 【追问2】∠A∠C吗？ 预设答案：不一定相等. 【师生活动】教师提出问题后，引导学生先观察图形： 不难发现，∠A是锐角，∠C是钝角.显然不相等.并进一步引导学生发现，若BD是直径，则它所对的圆周角∠A∠C，从而得出结论：∠A∠C不一定相等. 【追问3】∠A和∠C有什么数量关系呢？ 【师生活动】教师引导学生把问题转化为四边形的一组对角的数量关系，进一步让学生观察这个四边形有什么特点，引导学生发现四边形的四个顶点都在圆上，从而引出圆内接多边形的概念. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形.这个圆叫作这个多边形的外接圆. 如上图中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆. 【追问3】就转化为了：圆内接四边形的一组对角有什么关系？ 猜想：互补. 证明：如图，连接OB，OD. ∵，. 又∵∠1∠2360°， ∴∠A∠C180°. 同理：∠ABC∠ADC180°. 【师生活动】教师引导学生猜想，然后学生自主验证、小组交流后，尝试用语言归纳总结出所得结论.教师汇总并补充. 圆内接四边形的对角互补. 【追问4】现在，你能回答课程刚开始的问题了吗？同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 预设答案：同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补. 【师生活动】教师提出问题，引导学生回顾刚才探究的过程，然后得出结论，需要提醒的是，前面只探究了同弦所对的圆周角，对于同圆或等圆中等弦的情况，学生可自行探究. 【思考】 【问题2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE有什么关系？ 预设答案：相等. 证明：∵∠DCE∠DCB180°，∠A ∠DCB180°. ∴∠A∠DCE. 【师生活动】教师引导学生自主探究，小组交流后，尝试用语言总结出所得结论，选代表回答，教师补充. 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 【归纳】 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角. 【做一做】 1.如图在圆内接四边形ABCD中， (1)若∠B=30°，则∠D=＿＿. (2)若∠A∶∠C5∶4，则∠A＿＿. 答：(1)150°；(2)100°. 【延伸】 【问题3】所有的圆都有内接四边形，反过来，所有的四边形都有外接圆吗？ 【师生活动】教师提出问题后，先引导学生独立思考，然后适当提醒，比如，以四边形ABCD为例(如下图)，可以先假设四边形ABCD有外接圆⊙O.也就是说，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.则应满足AC180°， BD180°.这显然与已知图形相矛盾，故假设不成立，四边形ABCD没有外接圆. 结论： 所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 【追问】什么样的四边形才有外接圆呢？ 【师生活动】教师引导学生从“圆内接四边形的对角互补”入手，提出猜想“对角互补的四边形有外接圆”，并尝试让学生仿照前面用反证法进行验证，若学生没有思路，教师适当提醒. 已知：如图，四边形ABCD中，AC180°， BD180°. 求证：四边形ABCD内接于一个圆. 证明：如图，过点A，B，D作⊙O ，假设C不在⊙O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于点C'，连接DC'， 根据圆内接四边形的性质得： ADC'B180° . ∵AC180°， ∴DC'BC. 这与三角形外角定理矛盾， 故点C不可能在圆外. 类似地可证点C不可能在圆内. ∴点C在⊙O上，也即A，B，C，D四点共圆. 【归纳】 1.所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 2.对角互补的四边形有外接圆.这也是证明四点共圆的一种常用方法. 3.学以致用，应用新知 【例】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BOD100°，求A与C的度数. 解：∵在⊙ O中，∠ A 与∠ BOD 所对的弧都是弧BD，∴ABOD×100°=50°. 又四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， ∴∠ C+ ∠ A ＝ 180°. ∴∠ C ＝ 130°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）若四边形ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( ) A. A∶B∶C∶D 1∶2∶3∶4 B. A∶B∶C∶D 4∶3∶2∶1 C. A∶B∶C∶D 4∶1∶3∶2 D. A∶B∶C∶D 4∶3∶1∶2 答案：D （2）已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P，APB20°，求四边形各个角的度数. 解：∵ BC是⊙O的直径，∴BDC90°. ∵AD//BC，∴=， ∴ADBCAD. 又APBADBCAD20°， ∴ADBCAD10°. ∴ADCADBBDC10°90°100°， BCD180°100°80°. 同理可得：DAB100°，ABC80°. （3）证明：圆内接平行四边形是矩形. 已知：▱ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵▱ABCD是⊙O的内接四边形. ∴AC，AC180°. ∴AC90°.即▱ABCD是矩形. （4） 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是2 3 6，求这个四边形各角的度数. 解：设A，B，C的度数分别等于2x°，3x°，6x°. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ACBD180°. ∵2x6x180，∴x22.5， ∴A45°，B67.5° ，C135°， D180°67.5°112.5°. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）圆内接四边形有哪些性质？ 6.布置作业 教材P131练习第1-3题，P131习题29.2第10题. 先复习回顾已学知识，在此基础上提出问题，引导学生思考新知识，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受. 让学生经历观察、猜想、验证、归纳总结等过程.充分理解圆内接四边形的性质，培养学生大胆猜想，勇于探究的数学精神. 探究圆内接四边形性质的推论. 及时巩固所学知识. 通过思考、猜想、验证，归纳等过程，使学生明白所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆.进一步得出四点共圆的条件. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力. 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 圆的内接多边形 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $