2026年安徽省中考数学 第23题讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦函数与分类讨论压轴题，覆盖二次函数顶点、方程求解、分类讨论等核心考点，构建“二次函数与一元二次方程关联、分类讨论思想应用”的知识架构，通过审题关键信息提取、知识点系统梳理、真题分步解析、常见错误归纳等环节，帮助学生突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于“问题拆解-分类讨论-规范表达”的创新教学策略，如通过求根公式推导培养推理能力，用整数点计数模板强化运算能力，结合真题规范书写示例提升数学语言表达。设置a=1到5的分层验证及避坑口诀，保障复习效果，助力学生突破压轴题，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

中考数学压轴题辅导讲义：2026年安徽省中考数学第23题 函数与分类讨论压轴题 2026年安徽省中考数学第23题辅导讲义 （函数与分类讨论压轴题） 题目再现： 23．（14分）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 一、审题方法与关键信息提取 📖 题目完整转译 【已知条件】 给定抛物线的解析式为：，其中 （ 是一个正数）。 【第（1）问】 求抛物线顶点的纵坐标。 【第（2）问】 已知两点： - 点 - 点 ， 且满足： - - 点 和点 都在抛物线上 第（2）(i)问： 求 的值。 第（2）(ii)问： 设 为正整数，线段 上横坐标为整数的点的个数为 ，请比较 与 的大小，并说明理由。 【标准答案】 小问 答案 （1） （2）(i) （2）(ii) 当 时，；当 时， 🔍 审题示范：像老师一样圈画关键信息 第一步：读题时圈画的关键词 关键词 意义解读 我的标注 “” 是正数，这是参数 的取值范围 ⚠️ 可以是任意正数 “” 这是一个二次函数，可以展开成一般式 ⚠️ 注意系数 “” 是较小的根， 是较大的根 ⚠️ 区分两个根的大小 “都在抛物线上” 代入解析式后等式成立 ⚠️ 可以建立方程 “ 为正整数” 不仅是正数，还是整数 ⚠️ 这个条件很关键！ “ 与 的大小” 要比较两个数的大小，需要分类讨论 ⚠️ 可能出现三种情况：、、 “线段 上” 只考虑 到 之间的点 ⚠️ 不是整个 轴 💬 条件翻译：把数学语言变成口语 原文一： “抛物线 ” 翻译： “这条抛物线的解析式看起来有点复杂，有 ，有 ，还有 和 。咱们可以把它展开成 的形式，这样就能看出它是一个开口向下的二次函数。” 原文二： “点 ，点 ，都在抛物线上” 翻译： “这两个点的纵坐标都是 ，也就是说它们在同一条水平线上。这条水平线和抛物线相交于两点，就是 和 。” 原文三： “设 为正整数，线段 上横坐标为整数的点的个数为 ” 翻译： “ 不仅是一个正数，而且必须是整数（正整数），比如 。线段 上有好多点，有的横坐标是整数，有的不是。我们要把横坐标是整数的点找出来，数一数有多少个，这个个数就叫做 。” 原文四： “请比较 与 的大小” 翻译： “我们要比较两个数：（横坐标为整数的点的个数）和 。由于 可以取不同的值，所以这两个数的大小关系可能不一样。有的 使得 ，有的 使得 。我们需要把它们都找出来。” 📍 图形标注：在图上标什么？ 审题时在草稿纸上画图标注： 1. 抛物线：开口向下，顶点坐标 ，与 轴交于 和 1. 水平线 ：在 轴上方的一条水平线 1. 交点 和 ： · 的横坐标 · 的横坐标 1. 线段 ：从 到 的一段 1. 整数点：在 和 之间，横坐标为整数的点 二、知识点梳理与回顾 📚 本章涉及的核心知识点 序号 知识点 所在章节 重要程度 1 二次函数的一般式与顶点式 九年级上册 ⭐⭐⭐⭐⭐ 2 抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴 九年级上册 ⭐⭐⭐⭐⭐ 3 一元二次方程的解法（求根公式） 九年级上册 ⭐⭐⭐⭐⭐ 4 分类讨论思想 九年级 ⭐⭐⭐⭐⭐ 5 整数点的计数方法 七年级上册 ⭐⭐⭐⭐ 6 比较大小 七年级 ⭐⭐⭐⭐ 🔔 基础唤醒：核心公式速记 1. 二次函数的一般式与顶点式 一般式： 顶点式： 其中 是抛物线的顶点坐标。 顶点坐标公式（一般式的顶点）： 若 ，则顶点坐标为： 应用场景： 第（1）问求抛物线顶点的纵坐标。 2. 抛物线与 轴的交点 求交点： 令 ，解方程 。 交点坐标： 和 ，其中 是方程的两个根。 对称轴公式： 应用场景： 第（1）问先求与 轴的交点，再利用对称性求顶点。 3. 一元二次方程的求根公式 标准形式： 求根公式： 根的判别式： · ：两个不相等的实数根 · ：两个相等的实数根 · ：无实数根 应用场景： 第（2）(i) 问解方程求 和 。 4. 整数点的计数方法 线段上整数点的个数： 如果一条线段从 到 （），那么这条线段上横坐标为整数的点的个数为： 其中 表示不超过 的最大整数， 表示不小于 的最小整数。 应用场景： 第（2）(ii) 问求线段 上横坐标为整数的点的个数 。 ⚠️ 难点预判：这道题难在哪里？ 难点一：解析式的处理 题目给出的解析式是 ，这个形式看起来不是标准的二次函数形式，需要展开和化简。 破解方法： 展开后得到 ，这样就能清楚地看到二次项系数、一次项系数和常数项了。 难点二：第（2）(i) 问的方程求解 需要解方程 ，其中含有参数 ，需要用求根公式。 破解方法： 按照求根公式一步步计算：先算判别式 ，再算 。 难点三：第（2）(ii) 问的分类讨论 这是本题最难的部分！需要根据 的不同取值，比较 和 的大小。 关键发现： 通过分析可以得到 ，而 ，所以当 时， 恒成立。 分类标准： - 时， - 时，需要具体计算 - 时， 破解方法： 1. 先证明当 时， 恒成立 2. 再逐一检验 的情况 三、分步解析与评分点 📝 第（1）问：求抛物线顶点的纵坐标 【目标】 求出抛物线 顶点的纵坐标。 【知识】 · 二次函数与 轴的交点 · 抛物线的对称性 · 代入求值 【推导过程】 第一步：展开解析式 第二步：求抛物线与 轴的交点 令 ： 解得： 所以抛物线与 轴的交点为 和 。 第三步：求对称轴 由抛物线的对称性，对称轴是 和 的中点： 第四步：代入求顶点纵坐标 把 代入解析式： 【规范书写】 解： 令 ，则 解得 ，。 抛物线与 轴的交点为 和 。 对称轴为 。 把 代入解析式： 抛物线顶点的纵坐标为 。 📝 第（2）(i) 问：求 的值 【目标】 根据点 和点 在抛物线上，求出 的值。 【知识】 · 点在函数图像上的含义 · 一元二次方程的解法 · 求根公式 【推导过程】 第一步：理解”点在抛物线上”的含义 点 在抛物线 上， 意味着把 ， 代入解析式后，等式成立。 第二步：建立方程 两边同时除以 ： 展开： 移项，化为标准形式： 第三步：解这个方程 这是一个关于 的一元二次方程。 先算判别式： 再用求根公式： 第四步：确定 的值 题目条件 ，所以 是较小的根，取”减号”： 第五步：求 【规范书写】 解： 点 在抛物线 上， 。 两边同时除以 ，得： 展开得： 移项，得： 用求根公式： ， 。 。 📝 第（2）(ii) 问：比较 与 的大小 【目标】 当 为正整数时，比较线段 上横坐标为整数的点的个数 与 的大小。 【知识】 · 整数点的计数 · 不等式的应用 · 分类讨论思想 · 二次函数的性质 【推导过程】 第一步：求出 和 的表达式 由第（2）(i) 问的结论： 第二步：求出线段 的长度 第三步：估计 的上界 线段 上横坐标为整数的点的个数 ，最多等于线段长度加上 1： 为什么 ？ 考虑一个最简单的例子：如果线段从 到 ，长度为 ，但整数点是 ，共 2 个。长度是 ，但个数是 ，还是 ？ 更准确地说，如果线段长度为 ，那么整数点的个数 满足： 第四步：比较大小的策略 要比较 和 ，我们先看什么时候 恒成立。 假设 ， 解这个不等式： 结论： 当 时， 恒成立。 第五步：逐一检验 的情况 由于当 时结论已经确定，我们只需要检验 。 列表计算： 整数点范围 比较 1 1 0 2 3 2 3 5 4 4 5 6 5 7 8 逐个验证： 1. 当 时： · ， · 整数 满足 ，即 · ， · 1. 当 时： · ， · 整数 满足 ，即 · ， · 1. 当 时： · ， · 整数 满足 ，即 · ， · 1. 当 时： · ， · 整数 满足 ，即 · ， · 1. 当 时： · ， · 整数 满足 ，即 · ， · 第六步：总结结论 · 当 时， · 当 时， 【规范书写】 解： 由第（2）(i) 问，，。 。 线段 上横坐标为整数的点的个数 ，满足： 令 ，解得： 当 时， 恒成立。 下面逐一检验 的情况： 整数点 比较 1 1 0 2 3 2 3 5 4 4 5 6 5 7 8 综上所述： 当 时，； 当 时，。 四、常见错误与辅导建议 ❌ 错误类型一：审题错误 错误 1.1：忽略 的条件 错误示例： 直接用求根公式，不考虑 的符号。 错误原因： 题目明确给出 ，这意味着 是正数，在计算 时应该等于 ，而不是 。 避坑口诀： “看到参数 ，先看它的取值范围！” 错误 1.2：混淆 和 错误示例： 直接写 ，取”加号”作为较小的根。 正确理解： 因为 ，所以 。因此取”减号”得到较小的根，取”加号”得到较大的根。 避坑口诀： “谁小谁取减号，谁大谁取加号！” 错误 1.3：漏掉 为正整数这个条件 错误示例： 只用不等式 得到 ，就以为完成了。 正确理解： 虽然不等式告诉我们当 时 ，但题目要求 是正整数，所以 可能是 。对于 ，我们必须逐一验证。 避坑口诀： “参数是正整数，别忘逐个来讨论！” ❌ 错误类型二：知识错误 错误 2.1：展开解析式出错 错误示例： 展开为 。 正确展开： 避坑口诀： “展开要仔细，每项都要乘！” 错误 2.2：求根公式记错 错误示例：写 （分母少了个 2）。 正确公式： 避坑口诀：“求根公式分母是 ，不是 ！” 错误 2.3：根的判别式计算错误 错误示例：方程 的判别式写成 。 正确计算： 注意： 这里 是完全平方，等于 ，而不是 。 避坑口诀：“判别式是 ，每个字母看清楚！” 错误 2.4：整数点计数错误 错误示例：线段从 到 ，认为整数点个数是 （四舍五入）。 正确方法：整数点必须满足 且 。所以要找满足 的整数。 当 ， 时： - - - 整数点只有 ，共 1 个。 避坑口诀：“整数点要数一数，不是简单用长度！” ❌ 错误类型三：过程错误 错误 3.1：不等式运算符号错误 错误示例：解 时，写成 ，然后得到 ，两边同除以 时不改变方向（实际上 ，应该变号）。 正确做法： 因为 ，所以不等号方向不变。 避坑口诀：“移项要细心，变号要小心！” 错误 3.2：分母有理化错误 错误示例：（分母应该是 ）。 正确计算： 避坑口诀： > “有理化要仔细，平方差公式记清楚！” 错误 3.3：漏掉 的情况 错误示例：只检验到 ，没有检验 。 正确做法：因为 时结论已经确定，所以我们需要检验的是 ，共 5 种情况，缺一不可！ 避坑口诀：“分类讨论要完整，从头到尾不能漏！” 💡 辅导建议 建议 1：理解题目的”套路” 这道题其实有一个很清晰的”套路”： 1. 第（1）问：求抛物线的顶点——先求与 轴的交点，再利用对称性 1. 第（2）(i)问：求比例 ——把纵坐标代入，建立方程，解方程 1. 第（2）(ii)问：比较大小——利用 建立不等式，再分类讨论 掌握这个套路，以后遇到类似的题就知道怎么下手了！ 建议 2：建立”整数点计数”的思维模板 遇到”线段上整数点个数”的问题时，按照以下步骤： 1. 画数轴：在数轴上标出 和 的位置 1. 找范围：确定 和 1. 写公式： 1. 代入算：把 和 的表达式代入 建议 3：分类讨论的”三步法” 遇到需要分类讨论的问题时，用”三步法”： 1. 找临界点：先找什么时候结论会发生变化 1. 确定范围：根据临界点把参数分成几个区间 1. 逐一验证：对每个区间（或每个具体的值）进行验证 在本题中： - 临界点：（由不等式 解出） - 分成三类：、 - 时直接用不等式， 时逐一验证 建议 4：养成检查的习惯 每做完一步，就问自己三个问题： 1. 计算对了吗？（验算一遍关键步骤） 1. 条件用完了吗？（回顾题目给出的所有条件） 1. 答案合理吗？（比如 应该是正整数， 应该是正整数） 五、给同学的一句话总结 🎯 这道题虽然有两个小问，但它考查的核心就是四个字：方程与分类！ 第（1）问考的是”求顶点”，方法是”先找与 轴的交点，再利用对称轴代入求值”。这是求抛物线顶点的基本方法。 第（2）(i)问考的是”解方程”，方法是”把点代入解析式，建立方程，用求根公式求解”。这是处理参数问题的基本方法。 第（2）(ii)问考的是”分类讨论”，方法是”先找临界点，再分情况验证”。这是处理比较大小问题的基本方法。 三个基本方法，串起了整道压轴题！ 别看这道题字数多、条件复杂，它考查的全都是我们平时练过无数遍的基本功。只要你一步一步来，把每个基本方法都用对用准，这道题一定能做出来！ 相信自己！方程你会解，分类讨论你会做，这道题你能行！ 💪 附录：2026年安徽省中考数学第23题答题卡模板 第（1）问答题区域 解： 令 ，则 解得 ，。 抛物线与 轴的交点为 和 。 对称轴为 。 把 代入解析式： 抛物线顶点的纵坐标为 。 第（2）(i) 问答题区域 解： 点 在抛物线 上， 。 两边同时除以 ，得： 展开得： 移项，得： 用求根公式： ， 。 。 第（2）(ii) 问答题区域 解： 由第（2）(i) 问，，。 。 线段 上横坐标为整数的点的个数 ，满足： 令 ，解得： 当 时， 恒成立。 下面逐一检验 的情况： 当 时： ，， 整数点 满足 ，即 ， ，， 。 当 时： ，， 整数点 满足 ，即 ， ，， 。 当 时： ，， 整数点 满足 ，即 ， ，， 。 当 时： ，， 整数点 满足 ，即 ， ，， 。 当 时：，， 整数点 满足 ，即 ， ，， 。 综上所述： 当 时，； 当 时，。 📝 答题卡书写要点提醒 ✅ 格式规范 1. 每问开头写”解：“ 1. 推理过程用”∵“、”∴“连接 1. 方程求解要写清楚”由…得”、“解方程”、“代入得” 1. 分类讨论要分情况写清楚，最后要”综上所述” ✅ 代数计算规范 1. 分数运算：写成 的形式，不要写成 1. 根号运算：写成 的形式，不要写成 1. 求根公式：分子是 ，分母是 ✅ 分类讨论规范 1. 找临界点：先说明临界点是怎么来的 1. 分情况讨论：每种情况单独成段 1. 最后总结：用”综上所述”或”综上”总结 ✅ 逻辑规范 1. 每一步有依据：用”由题意得”、“已知”、“代入得”等 1. 最后写结论：用”“写出最终结论 1. 检查单位：本题无单位，但如果有要写清楚 祝同学们中考顺利，金榜题名！ 🎓✨ ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $