第六单元 大数的运算 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版四年级上册（新教材）

本讲义聚焦“大数的运算”核心知识，系统梳理三位数乘两位数的笔算法则（分步相乘错位相加、特殊情况处理）、积的变化规律（同向、积不变、双乘数变化）、估算方法及购物、行程、工程问题等数量关系，衔接用计算器的按键功能、操作步骤与规律探究，构建从基础计算到实际应用的完整学习支架。 该资料以“知识梳理-考点讲练-综合训练”为框架，知识梳理结构化呈现培养抽象能力（数学眼光），考点中经济问题（买五本送一）、行程问题等实际案例提升运算能力与推理意识（数学思维），计算器规律探究（如33×34=1122）引导用数学语言表达规律（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第六单元 大数的运算 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、三位数乘两位数 1 二、用计算器计算 3 考点讲练 4 考点一：三位数与两位数的乘法 4 考点二：经济问题 7 考点三：基础行程问题 9 考点四：积的变化规律（整数乘法） 10 考点五：三位数乘两位数（乘数末尾有0） 13 考点六：三位数乘两位数的实际问题 14 考点七：有具体量的工程问题 16 考点八：计算器的初步认识与使用 18 考点九：计算器的复杂运算 19 考点十：用计算器探究规律 21 综合训练 24 知识梳理 一、三位数乘两位数 1. 笔算计算法则 三位数乘两位数的笔算核心是 “分步相乘、错位相加”，具体步骤为： 第一步：个位相乘 先用两位数个位上的数去乘三位数的每一位，乘得的积的末位要和两位数的个位对齐。计算时从三位数的个位乘起，满几十就向前一位进几。 第二步：十位相乘 再用两位数十位上的数去乘三位数的每一位，乘得的积的末位要和两位数的十位对齐。本质是用 “几个十” 去乘三位数，得到的结果是多少个十，因此末位要落在十位上。 第三步：求和得结果 最后把两次乘得的积相加，相加时注意相同数位对齐，满十向前一位进一，最终的结果就是三位数乘两位数的积。 特殊情况处理： 乘数中间有 0：0 也要参与相乘，不能省略。用 0 乘三位数时，这一步的积全是 0，注意数位对齐后再和另一部分积相加。 乘数末尾有 0：可使用简便算法。先把 0 前面的数对齐相乘，再看两个乘数末尾一共有几个 0，就在乘得的积的末尾添上相同个数的 0。 2. 积的变化规律 同向变化规律：在乘法算式中，一个乘数不变，另一个乘数乘几（或除以几，0 除外），得到的积就等于原来的积乘几（或除以几）。 例：已知，则（15 乘 2，积也乘 2）。 积不变规律：在乘法算式中，一个乘数乘几（0 除外），另一个乘数除以相同的数，积保持不变。 例：已知，则。 双乘数变化规律：两个乘数分别乘 a 和乘 b（a、b 均不为 0），积就乘。 3. 估算方法 三位数乘两位数的估算，核心是将乘数凑成接近的整十、整百数，通过口算快速得到近似结果。 基本估算步骤：把三位数看作接近的整百数（或几百几十数），把两位数看作接近的整十数，再用整百数乘整十数口算出结果。 实际问题的估算策略： 解决 “带的钱够不够” 类问题，通常选择往大估，保证估算结果比实际结果大，避免钱不够； 解决 “大约能做多少” 类问题，可根据实际情况选择往小估或往大估，结果符合实际即可。 注意：估算结果是近似数，要用 “≈” 连接；估算没有唯一标准答案，合理即可。 4. 常见数量关系 购物问题（单价、数量、总价） 单价：每件商品的价格；数量：购买商品的件数；总价：一共花的钱数。 核心公式： 推导公式：； 行程问题（速度、时间、路程） 速度：单位时间内行驶的路程，单位为千米 / 时、米 / 分等，读作 “千米每时”“米每分”；时间：行驶所用的时长；路程：一共行驶的总长度。 核心公式： 推导公式：； 工程问题（工作效率、工作时间、工作总量） 工作效率：单位时间内完成的工作量；工作时间：做工的时长；工作总量：完成的总工作量。 核心公式： 二、用计算器计算 1. 计算器常用按键与功能 小学阶段常用的简易计算器，核心按键及功能如下： 按键类型 按键标识 具体功能 电源键 ON 开机键，按下后启动计算器，进入可计算状态 OFF 关机键，按下后关闭计算器，停止工作 清除键 AC 全清键，清除所有已输入的数据和运算，重置计算器 CE 清除输入键，仅清除当前正在输入的数字，不清除之前的运算和数据 数字键 0 ~ 9 输入 0 到 9 的阿拉伯数字，是计算的基础按键 符号键 +、-、×、÷ 运算符号键，选择对应的加、减、乘、除运算 . 小数点键，用于输入小数 结果键 = 等号键，按下后执行运算，屏幕显示最终计算结果 2. 基本计算操作步骤 一步计算操作 ① 按开机键ON，启动计算器，确认屏幕显示为 0； ② 按数字键，从高位到低位依次输入第一个数； ③ 按对应的运算符号键（+、-、×、÷），选择运算类型； ④ 按数字键，依次输入第二个数； ⑤ 按等号键=，屏幕上显示的数字就是本次运算的结果。 混合运算操作 科学计算器会自动遵循 “先乘除、后加减，有括号先算括号里” 的四则运算顺序，只需按算式从左到右依次输入数字、符号、括号，最后按等号即可得到正确结果。 若使用无括号功能的简易计算器，需要手动分步计算，先算出乘除部分的结果，记录后再计算加减部分。 3. 用计算器探索规律 利用计算器计算速度快、结果准的特点，可以快速发现算式中的数字规律，步骤为： 先用计算器计算前 3~4 道简单、有规律的算式，得到准确结果； 观察算式中乘数、加数的变化规律，同时对应观察结果的数字变化（如位数、数字排列、增减幅度）； 总结出通用规律，不使用计算器，直接推导后续更复杂算式的结果； 用计算器验证推导的结果，确认规律是否正确。 4. 使用注意事项 输入数字时要看清按键，按错数字可按CE键清除当前数字后重新输入，无需全部重输； 计算大数时，注意屏幕数字的位数，避免看错数位； 长时间不使用时，按OFF键关机，节省电量； 计算器仅为计算工具，解决问题时仍需先理清数量关系、列对算式，再用计算器计算。 考点讲练 考点一：三位数与两位数的乘法 【典例精讲】用竖式计算。 307×18＝            429×31＝            378÷42＝            905÷36＝ 【答案】5526；13299；9；25……5 【分析】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数字与三位数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用两位数的十位上的数字与三位数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加； 多位数除法，从被除数的高位除起，除数有几位，就看被除数的前几位，如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，如果不够除，就在这一位上商0， 每次除得的余数必须比除数小，并在余数右边一位落下被除数在这一位上的数，再继续除即可。每一次的余数都要比除数小。 【详解】307×18＝5526 429×31＝13299         378÷42＝9     905÷36＝25……5           【变式训练】列竖式计算。 314×28＝                                205×16＝ 424÷53＝                                615÷17＝ 【答案】 ；； ；； 【分析】三位数乘两位数的笔算方法：先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位和个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位和十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。 除数是两位数的除法笔算方法：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数必须比除数小。 【详解】                                                     【变式训练】用竖式计算。 38×417＝         106×28＝          507×80＝          27×90＝ 175×24＝         520×32＝          320×20＝          903×17＝ 【答案】15846；2968；40560；2430； 4200；16640；6400；15351 【分析】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数与三位数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用两位数的十位上的数与三位数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可；两位数乘两位数的计算方法同理；据此解答。 【详解】38×417＝15846      106×28＝2968      507×80＝40560      27×90＝2430                                           175×24＝4200     520×32＝16640      320×20＝6400      903×17＝15351                                             【变式训练】列竖式计算。 124×71＝    603×34＝    350×40＝ 【答案】 8804；20502；14000 【分析】先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位与个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位与十位对齐；最后把两次乘得的积相加。 对于因数末尾有0的乘法，可以先忽略末尾的0，只计算0前面的数相乘，最后再看两个因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【详解】124×71＝8804 603×34＝20502 350×40＝14000         考点二：经济问题 【典例精讲】新华书店为了庆六一开展了买五本送一本的优惠活动，李老师买了30本《经典童话》，每本26元，要付多少钱？ 【答案】650元 【分析】根据“买五本送一本”的优惠规则，可知每6本书为一组，其中只需付5本的钱。先求出30本书可以分成多少组，再计算实际需要付款的本数，最后根据“总价单价数量”求出总金额。 【详解】 （元） 答：要付650元。 【变式训练】华亭镇盛产枇杷，被誉为“枇杷之乡”，某超市以批发价购进9箱枇杷，每箱20千克。如果按零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 枇杷 批发价：每箱100元 零售价：每千克8元 【答案】540元 【分析】根据题意，用每箱枇杷的批发价乘批发价购进的箱数，求出批发价购进枇杷的钱数，用每箱枇杷的质量乘购进枇杷的箱数，求出购进枇杷的总质量，再用购进枇杷的总质量乘每千克枇杷的零售价，求出按零售价全部卖完的钱数，最后再用按零售价全部卖完的钱数减去批发价购进枇杷的钱数，即可求出可以赚多少钱。 【详解】20×9×8－100×9 ＝180×8－100×9 ＝1440－100×9 ＝1440－900 ＝540（元） 答：可以赚540元。 【变式训练】莆田卤面是福建莆田传统的地方美食。某卤面馆每份卤面40元，上午卖了36份，下午卖出45份。这一天一共卖了多少元？ 【答案】元 【分析】先求出这一天卖出的总份数，即上午的份数加下午的份数，再根据数量关系总价＝单价×数量，求出总价。 【详解】40×（36＋45） ＝40×81 ＝3240（元） 答：这一天一共卖了3240元。 【变式训练】手持小风扇作为夏季便携降温工具，深受大家欢迎。李老板购买了4箱手持小风扇，每箱装25个、一共花了1600元，这款手持小风扇平均每个多少元？ 【答案】16元 【分析】先算一共有多少个小风扇。4箱，每箱25个，总数就是4个25，用乘法。一共花了1600元，求平均每个多少元，用总价除以数量，总价÷数量＝单价。 【详解】1600÷（4×25） ＝1600÷100 ＝16（元） 答：这款手持小风扇平均每个16元。 考点三：基础行程问题 【典例精讲】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶32千米，须5小时到达，如果每小时行驶40千米，需要几小时？ 【答案】 4小时 【分析】首先根据“速度乘时间等于路程”，利用原来的速度和时间求出甲地到乙地的总路程；然后根据“时间等于路程除以速度”，用总路程除以新的速度，即可求出需要的时间。 【详解】  32×5÷40 ＝160÷40 ＝4（小时） 答：需要4小时。 【变式训练】一辆车从 城经 城开往城，行驶情况如图1所示。这辆车从 城到 城的平均速度如图2所示，这辆车从 城到城的速度是多少？ 【答案】75千米/时 【分析】由图可知，从A城到B城的速度是70千米/时，行驶了3小时。根据路程＝速度×时间，把数据代入计算出A城到B城的路程。然后用总路程360千米减去A城到B城的路程，得出B城到C城的路程，再根据速度＝路程÷时间，用B城到C城的路程除以2小时计算即可。 【详解】3×70＝210（千米） 360－210＝150（千米） 150÷2＝75（千米/时） 答：这辆车从B城到C城的速度是75千米/时。 【变式训练】甲乙两艘轮船从同一地点同时出发，相背而行，甲轮船每小时行驶65千米，4小时后，两艘轮船相距556千米。乙轮船每小时行驶多少千米？ 【答案】 74千米 【分析】这是相背而行行程问题，行驶4小时后甲乙轮船之间的距离等于甲乙船各自行驶的路程和，即“556千米＝甲船的速度×4小时＋乙船的速度×4小时”。用总距离减去甲船行驶的距离后除以4小时就可得到乙船每小时行驶的距离。 【详解】 （千米） 答：乙轮船每小时行驶74千米。 【变式训练】轩轩他们从家骑电动车去剧院，每分钟行驶312米，12分钟到剧院；返回时只用了9分钟，返回时平均每分钟行驶多少米？ 【答案】416米 【分析】根据题意，从家到剧院的路程与从剧院返回家的路程是相等的。先根据路程＝速度×时间，用312乘12，求出总路程，再除以9，求出返回时的速度；列式计算即可。 【详解】312×12÷9 ＝3744÷9 ＝416（米） 答：返回时平均每分钟行驶416米。 考点四：积的变化规律（整数乘法） 【典例精讲】根据18×5＝90，直接写出下面各式的得数。 36×5＝( )        360×5＝( )        18×500＝( )        180×50＝( ) 【答案】 180 1800 9000 9000 【分析】题目给出基础算式18×5＝90，根据积的变化规律计算：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几；如果两个因数都变化，积的变化是两个因数变化的乘积。 【详解】36×5对比18×5＝90，因数18乘2变成36，因数5不变，所以积也乘2：90×2＝180。 360×5对比18×5＝90，因数18乘20变成360，因数5不变，所以积也乘20：90×20＝1800。 18×500对比18×5＝90，因数5乘100变成500，因数18不变，所以积也乘100：90×100＝9000。 180×50对比18×5＝90，因数18乘10变成180，因数5乘10变成50，所以积乘10×10＝100：90×100＝9000。 【变式训练】如果×＝300，那么（×2）×＝( )，（×2）×（÷2）＝( )，（×5）×（△÷3）＝( )。 【答案】 600 300 500 【分析】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几；一个因数乘几，另一个因数同时除以相同的数（0除外），积不变；两个因数分别乘、除以不同的数，积先乘再除以对应数字，进行解答。 【详解】（□×2）×△：一个因数□乘2，另一个因数△不变，积也要乘2。 （□×2）×△ ＝□×△×2 ＝300×2 ＝600 （□×2）×（△÷2）：一个因数乘2，另一个因数除以2，一乘一除抵消，积不变，（□×2）×（△÷2） ＝□×2×△÷2 ＝□×△×2÷2 ＝□×△ ＝300 （□×5）×（△÷3） 一个因数乘5，积跟着×5；另一个因数÷3，积跟着÷3，最终积＝原来的积×5÷3。 （□×5）×（△÷3）​ ＝□×△×5÷3 ＝300×5÷3 ＝1500÷3 ＝500​ 【变式训练】如果，那么( )。 【答案】 600 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几；两个因数都乘几，积就乘这两个因数所乘的数的乘积；由此解答即可。 【详解】由题意可知： （△×2）×（☆×5） ＝△×2×☆×5 ＝△×☆×2×5 ＝△×☆×（2×5） ＝60×10 ＝600 【变式训练】我们学过商不变、积不变等规律，小欢用18÷6＝（18×a）÷（6×a）＝3（a不为0）来表示商不变；小乐用18×6＝（18×a）×（6÷a）＝108（a不为0）来表示积不变；我也会用这样的方式表示“差不变”：( )。 【答案】18－6＝（18＋a）－（6＋a）＝12（答案不唯一） 【分析】首先理解差不变规律，然后类比以上商不变、积不变的表达式构造差不变的算式。 【详解】以“18－6＝12”为例： 18－6 ＝（18＋a）－（6＋a） ＝18＋a－6－a ＝12 18－6 ＝（18－a）－（6－a） ＝18－a－6＋a ＝12 （答案不唯一，举例合理即可） 【点睛】差不变规律：被减数和减数同时加上或减去同一个数，差不变。 考点五：三位数乘两位数（乘数末尾有0） 【典例精讲】用竖式计算。          【答案】 13975；11661；6900 【分析】三位数乘两位数，把数位对齐，从个位乘起，用哪一位上的数去乘，乘得的数的个位就和那一位对齐；乘到哪一位满几十，就向前一位进几；因数末尾有0的，可以先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在得数末尾写上几个0；因数中间有0也要乘。据此计算。 【详解】43×325＝13975        23×507＝11661          460×15＝6900 【变式训练】竖式计算。          【答案】 7740；34000；12048 【分析】三位数乘两位数的竖式计算，要注意相同数位对齐。用两位数个位和十位上的数分别去乘三位数，再把两次乘得的积相加。对于因数末尾有0的乘法，可先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添上几个0。 【详解】215×36＝7740       680×50＝34000        502×24＝12048               【变式训练】用竖式计算。 23×145＝                    450×80＝                    78×405＝ 【答案】3335；36000；31590 【分析】三位数乘两位数，先将第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得到的积的末位与个位对齐，再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得到的积的末位与十位对齐，再将两次得到的积相加即可；因数中有0的乘法，先将0前面的数相乘，得到的积看因数中有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【详解】23×145＝3335          450×80＝36000          78×405＝31590                【变式训练】列竖式计算。 40×390＝                         208×45＝                        17×315＝ 【答案】15600；9360；5355 【分析】在进行乘法竖式计算时，要注意数位对齐，用第二个因数的每一位分别去乘第一个因数，再把所得的积相加。对于因数末尾有0的乘法，可先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添上几个0。 【详解】40×390＝15600     208×45＝9360     17×315＝5355            考点六：三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】三门峡灵宝市的函谷关，是老子著述《道德经》的道家文化发源地。阳光小学23名老师带四年级231名学生去研学。如何买门票最省钱？至少需要多少元钱？ 成人：35元/人 学生：20元/人 团体（20人及20人以上）：27元/人 【答案】老师买团体票，学生买学生票；5241元 【分析】成人票35元/人，学生票20元/人，团体票27元/人且20人及以上可以购买。老师有23人，满足购买团体票的条件，且团体票比成人票便宜，所以老师买团体票；学生票比团体票便宜，所以学生买学生票。再分别求老师和学生的门票钱，最后相加。 【详解】23人＞20人，符合购买团体票人数要求 27＜35 20＜27 23×27＝621（元） 231×20＝4620（元） 621＋4620＝5241（元） 答：老师买团体票，学生买学生票最省钱，至少需要5241元。 【变式训练】一个修路队每天修路120米，今年从3月20日早上8：00修路队开始修路，到4月15日18：00结束，共修路多少米？ 【答案】 3240 米 【分析】根据题意，已知一个修路队每天修路120米，从3月20日开始修路，到4月15日结束。首先明确3月份一共有31天，用31减去20，再加上1，求出3月份修路的时间，再加上15，就是修路用的总天数；最后再乘120，就是这个修路队共修路的长度；列式计算即可。 【详解】 （天） （天） （米） 答：共修路3240米。 【变式训练】一块长方形草坪，长30米，宽20米，如果每平方米草坪每天能释放氧气15克，吸收二氧化碳20克，这块草坪每天能释放氧气多少克？吸收二氧化碳多少克？ 【答案】 释放氧气克；吸收二氧化碳克 【分析】首先根据长方形面积公式求出草坪的面积，再分别用草坪的面积乘每平方米释放氧气的质量和吸收二氧化碳的质量，即可求出这块草坪每天释放氧气和吸收二氧化碳的总质量。 【详解】草坪的面积：（平方米） 释放氧气的质量：（克） 吸收二氧化碳的质量：（克） 答：这块草坪每天能释放氧气克，吸收二氧化碳克。 【变式训练】盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性。张阿姨直播开盲盒，平均每天可以在线开234个盲盒。连续工作两个星期（中途休息两天），张阿姨一共开了多少个盲盒？ 【答案】2808个 【分析】一个星期有7天，用2乘7求出两个星期的总天数，再减去中途休息的2天，求出张阿姨实际工作的天数，最后用平均每天开的盲盒数量乘实际工作的天数，即可求出张阿姨一共开的盲盒数量。 【详解】2×7－2 ＝14－2 ＝12（天） 234×12＝2808（个） 答：张阿姨一共开了2808个盲盒。 考点七：有具体量的工程问题 【典例精讲】一家工厂生产一批产品，每生产一件产品需要4小时，如果生产50件产品，请问完成这批产品需要多少小时？ 【答案】200小时 【分析】工作效率×工作时间＝工作总量，用每一件产品用的时间乘产品的总数即可。 【详解】4×50＝200（小时） 答：完成这批产品需要200小时。 【变式训练】工程队修一条公路，原计划每天修42米，10天完成，实际只用了7天就完成了任务。实际每天比计划多修多少米？ 【答案】 18米 【分析】本题考查整数四则混合运算的应用以及工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。解题思路如下：首先，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，利用计划每天修的米数和计划天数求出公路的总长度；其次，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，利用公路总长度和实际天数求出实际每天修的米数；最后，用实际每天修的米数减去计划每天修的米数，即可求出实际每天比计划多修多少米。 【详解】42×10＝420（米） 420÷7＝60（米） 60−42＝18（米） 答：实际每天比计划多修18米。 【变式训练】某加工组5名工人4小时可以加工300个零件，照这样计算，如果工人增加到8人，工作时间减少到3小时，共可加工多少个零件？ 【答案】360个 【分析】工作总量÷工作时间＝工作效率。用加工零件总个数除以时间再除以人数，就是每人每小时加工多少个零件。用每人每小时加工的个数乘现在的人数乘现在工作时间，就是一共可加工多少个零件。 【详解】300÷4÷5 ＝75÷5 ＝15（个） 15×8×3 ＝120×3 ＝360（个） 答：共可加工360个零件。 【变式训练】莆仙戏作为中国古老剧种之一，是在福建影响最大的戏曲剧种。某团队接到制作800个莆仙戏脸谱的任务，前14天平均每天生产25个，由于情况紧急，剩下的要求15天完成，剩下的平均每天生产多少个才能按时完成任务？ 【答案】30个 【分析】工作效率×工作时间＝工作总量，求出前14天生产的数量。再用总任务量减去已生产的数量求出剩下的任务量，最后根据工作总量÷工作时间＝工作效率。求出剩下的平均每天生产的数量。 【详解】（800－14×25）÷15 ＝（800－350）÷15 ＝450÷15 ＝30（个） 答：剩下的平均每天生产30个才能按时完成任务。 考点八：计算器的初步认识与使用 【典例精讲】进行比较复杂的计算时，人们通常用( )进行计算。 【答案】计算器 【分析】根据计算器的用途，可得在进行比较复杂的计算时，人们通常使用计算器进行计算，据此解答即可。 【详解】进行比较复杂的计算时，人们通常用（计算器）进行计算。 【变式训练】计算器上1、2、3、4、5……这些叫( )键，＋、－、×、÷叫( )键。 【答案】 数字 运算符号 【分析】在计算器上，1、2、3、4、5……是数字键，“＋”、 “－”、 “×”、 “÷”叫做运算符号键，“AC”叫清除键，“ON/C”叫做开关及清除屏键；据此解答。 【详解】由分析可知：计算器上1、2、3、4、5……这些叫数字键，＋、－、×、÷叫运算符号键。 【变式训练】小刚想要用计算器计算654321×9时，发现计算器上数字键“9”坏了。你能用这个计算器算出正确的得数吗？你想的方法用算式表示是( )。 【答案】654321×3×3 【分析】9＝3×3，由于按键“9”坏了，所以654321×9不能直接用计算器计算，654321×9可以写成654321×3×3，计算出654321×3×3的值也就知道了654321×9的值。 【详解】根据分析可知，用计算器计算654321×9时，发现计算器上数字键“9”坏了，用算式表示是654321×3×3。（答案不唯一） 【变式训练】明明准备用计算器计算一道乘法算式，但是他的计算器上数字8键坏了，按“×48”时，按成了“×4”，得到的积是140，正确的积是( )。 【答案】1680 【分析】由题意得，明明准备用计算器计算一道乘法算式，但是他的计算器上数字8键坏了，按“×48”时，按成了“×4”，得到的积是140。48÷4＝12，即一个乘数除以了12，那么得到的积也除以了12。得到的积是140，所以直接用140乘12即可算出正确的积。 【详解】48÷4＝12 140×12＝1680 明明准备用计算器计算一道乘法算式，但是他的计算器上数字8键坏了，按“×48”时，按成了“×4”，得到的积是140，正确的积是1680。 考点九：计算器的复杂运算 【典例精讲】观察算式：3×4＝12；33×34＝1122；333×334＝111222；根据你发现的规律再写出一道这样的算式：( ) 【答案】3333×3334＝11112222 【分析】观察已知算式可以总结规律：如果第一个因数是n个3组成的数，第二个因数比第一个因数大1，那么乘积就是n个1后面接n个2组成的数。按照规律，我们就可以写出符合要求的算式。 【详解】3×4＝12；33×34＝1122；333×334＝111222；3333×3334＝11112222（答案不唯一） 【变式训练】用计算器计算（100－25）÷25时，按到“÷”的时候，显示屏上显示( )，接着按“25”，再按“＝”，显示屏上显示的是( )。 【答案】 75 3 【分析】按到“÷”的时候计算的是括号里的减法，接着按“25”，再按“＝”后则为最后的计算结果。 【详解】100－25＝75 75÷25＝3 所以用计算器计算（100－25）÷25时，按到“÷”的时候，显示屏上显示75，接着按“25”，再按“＝”，显示屏上显示的是3。 【变式训练】用计算器计算，再填一填。 【答案】48852；49501；47733；42000；60 【分析】先用计算器算出的积，接着求积加649的和，然后求和减1768的差，再求差减5733的差，最后用差除以700，据此解答。 【详解】 【变式训练】1万平方米的森林每天大约可吸收二氧化碳1000千克，释放氧气730千克，根据这些数据填写下表。 森林面积/平方米 10000 100000 100000000 吸收二氧化碳质量/千克 释放氧气质量/千克 【答案】1000；10000；10000000 730；7300；7300000 【分析】1万平方米也就是10000平方米；已知1万平方米的森林每天大约可吸收二氧化碳1000千克，释放氧气730千克，要求100000平方米的森林每天大约可吸收二氧化碳多少千克，释放氧气多少千克，只要求出100000平方米里面有几个10000平方米，就每天大约可吸收二氧化碳几个1000千克，释放氧气几个730千克；要求100000000平方米的森林每天大约可吸收二氧化碳多少千克，释放氧气多少千克，只要求出100000000平方米里面有几个10000平方米，就每天大约可吸收二氧化碳几个1000千克，释放氧气几个730千克；据此解答。 【详解】1万平方米＝10000平方米 100000÷10000×1000 ＝10×1000 ＝10000（千克） 100000÷10000×730 ＝10×730 ＝7300（千克） 100000000÷10000×1000 ＝10000×1000 ＝10000000（千克） 100000000÷10000×730 ＝10000×730 ＝7300000（千克） 森林面积/平方米 10000 100000 100000000 吸收二氧化碳质量/千克 1000 10000 10000000 释放氧气质量/千克 730 7300 7300000 考点十：用计算器探究规律 【典例精讲】先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 273273÷1001＝ 354354÷1001＝ 473473÷1001＝ 569569÷1001＝ 686686÷1001＝ 【答案】273； 354； 473； 569； 686 【分析】计算发现273273÷1001＝273，354354÷1001＝354，473473÷1001＝473，观察发现被除数是由两个一样的三位数前后排列组成的，除数都是1001，商是被除数中两个一样的三位数中，其中的一个三位数；据此解答。 【详解】根据分析： 273273÷1001＝273 354354÷1001＝354 473473÷1001＝473 569569÷1001＝569 686686÷1001＝686 【变式训练】先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 3×8＝ 33×68＝ 333×668＝ 3333×6668＝ 33333×66668＝ 【答案】24 2244 222444 22224444 2222244444 【分析】计算得出3×8＝24，33×68＝2244，333×668＝222444，观察发现第一个乘数按照3、33、333、…的顺序排列，第二个乘数个位上都是8，其他数位上都是6，位数与第一个乘数的位数相同，积的位数是两个乘数的位数之和，左边一半数字都是2、右边一半数字都是4；据此解答。 【详解】根据分析： 3×8＝24 33×68＝2244 333×668＝222444 3333×6668＝22224444 33333×66668＝2222244444 【变式训练】用计算器算出每组前三题的得数，找一找规律，直接写出后两题的得数。 （10－2）÷8＝ （100－12）÷8＝ （1000―112）÷8＝ （100000－11112）÷8＝ （10000000－1111112）÷8＝ 【答案】1 ；11 ；111 ；11111 ；1111111 【分析】通过观察：（10－2）÷8＝1，（100－12）÷8＝11，（1000－112）÷8＝111，…，发现：除数都是8，被除数是两个数的差，其中被减数的最高位为1，其它数位为0的数；减数是个位是2，其它数位为1的数；商是由若干个1（按数位）组成的数，商的1的个数和括号中0的个数相同；据此解答。 【详解】（10－2）÷8＝1 （100－12）÷8＝11 （1000－112）÷8＝111 （100000－1112）÷8＝11111 （10000000－1111112）÷8＝1111111 【变式训练】先用计算器算出每题前四个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 （1）1×8＋1＝                  12×8＋2＝                             123×8＋3＝                            1234×8＋4＝                           12345×8＋5＝                          123456×8＋6＝                         1234567×8＋7＝                        12345678×8＋8＝                       （2）81÷9＝ 882÷9＝ 8883÷9＝ 88884÷9＝ 888885÷9＝ 8888886÷9＝ 88888887÷9＝ 888888888÷9＝ 【答案】（1）9；98；987；9876；98765；987654；9876543；98765432 （2）9；98；987；9876；98765；987654；9876543；98765432 【分析】先计算出前4个算式的结果，发现两个计算的规律都是结果从9开始的整数降序排列，每个结果比上一个结果增加一位。 【详解】（1）1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 12345×8＋5＝98765 123456×8＋6＝987654 1234567×8＋7＝9876543 12345678×8＋8＝98765432 （2）81÷9＝9 882÷9＝98 8883÷9＝987 88884÷9＝9876 888885÷9＝98765 8888886÷9＝987654 88888887÷9＝9876543 888888888÷9＝98765432 【点睛】本题主要是利用计算器计算出的结果后，利用规律巧妙计算。 综合训练 1．一辆汽车前3个小时共行驶了170千米，后4个小时共行驶了250千米，这辆汽车平均每小时行驶（    ）千米。 A．50 B．70 C．60 D．55 【答案】C 【分析】先计算汽车行驶的总路程和总时间，再根据“速度＝路程÷时间”求出汽车平均每小时行驶的千米数。 【详解】 （千米） 2．一套科普书的单价是145元，要买36套，一共需要多少钱。下边用竖式计算时箭头所指的这一步表示买（    ）套书的钱数。 A．3 B．30 C．36 D．145 【答案】B 【分析】计算145×36时，先用个位上的6去乘145，得到870，表示6套书的钱数；再用十位上的3去乘145，这里的3代表30，所以145×30＝4350（竖式里写435是省略了末尾的0），这一步表示买30套书的钱数。 【详解】箭头所指的这一步表示买30套书的钱数。 3．某景区的门票是30元/人，某天上午售出214张门票，下午售出308张门票，该景区这天上午和下午一共售出门票（    ）元。 A．15660 B．15550 C．5660 D．1566 【答案】A 【分析】先求出上午和下午售出门票的总张数，再用每张门票的价格乘门票的总张数，即可求出一共售出门票多少元。 【详解】214＋308＝522（张） 522×30＝15660（元） 该景区这天上午和下午一共售出门票15660元。 4．小巧在用计算器计算“496050＋250348”时，因为按错了一个键，计算结果比正确答案少了30000。她出错的原因可能是（    ）。 A．将496050中的6按成了3 B．将250348中的0按成了3 C．将250348中的5按成了2 D．将496050中的4按成了7 【答案】C 【分析】根据数字在不同的数位表示的意义，496050＋250348时，因为按错了一个键，这样计算结果比正确答案少了30000，所以根据整数数字在不同的数位上表示的意义，该题是在一个加数的万位上少按了“3”，即少按了30000，据此解答即可。 【详解】A．将496050中的6按成了3，这样计算结果少了3000，不符合题意。 B．将250348中的0按成了3，这样计算结果多出了3000，不符合题意。 C．将250348中的5按成了2，这样计算结果少了30000；符合题意。 D．将496050中的4按成了7，这样计算结果多出了300000；不符合题意。 5．用计算器计算“123＋456”时，不小心把“456”按成了“455”，下列操作正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器各个按键的功能分析判断，AC是全部清除键，可以清除全部数据，使用后需要重新输入所有数据。CE是部分清除键，只清除当前输入数据，使用后需要重新输入当前部分的数据。 【详解】题中用计算器计算时把“123＋456”中“456”输错为“455”，只需要清除“455”，是清除部分数据，所以在“455”后面按CE键，然后输入正确数据“456”再按“＝”键即可。对比各选项可知A正确；B和D用的是AC按键，不符合题意；C虽然用CE按键清除“455”这部分数据，但是后面输入的是“6”，不符合题意。 6．小明在用计算器计算9958×16时，不小心把“6”按成了“3”，他按哪个按键可以只消除“13”改为“16”。（    ） A．ON B．OFF C．AC D．CE 【答案】D 【分析】ON是开机键，OFF是关机键，AC是清除键（清除全部），CE是清除输入键（清除当前）。题目要求只消除刚输错的“13”，保留前面的运算，应选用清除输入键。 【详解】按CE可以只消除“13”改为“16”。 7．在计算器上进行“945÷54CE45＝”的操作，最后在显示屏上会出现( )。 【答案】21 【分析】首先认识简易计算器上各键的功用，“CE”键是改错键，因此按完945÷54后，再按“CE”键就消除54了，再按45，显示屏上显示945÷45的结果，由此解答。 【详解】由分析可得： 945÷54CE45 ＝945÷45 ＝21 因此，最后会在显示屏上出现21。 8．根据算式中的规律，直接写出下面算式的得数。 7×9＝63    77×99＝7623    777×999＝776223    7777×9999＝77762223 77777×99999＝( )    777777×999999＝( ) 【答案】 7777622223 777776222223 【分析】观察算式可总结规律：n个7组成的数×n个9组成的数，结果的结构是：（n－1）个7→1个6→（n－1）个2→1个3。据此计算解答。 【详解】77777×99999时，n＝5，4个7＋1个6＋4个2＋1个3，结果是7777622223。 777777×999999时，n＝6，5个7＋1个6＋5个2＋1个3，结果是777776222223。 9．如图所示。 一个数乘11的小技巧。 324×11＝3564          548×11＝6028 两头一拉中间相加，能进位的要进位。 请利用上面的小技巧直接写出下面算式的结果。 452×11＝( )；11×894＝( )。 【答案】 4972 9834 【分析】根据题目给出的巧算规则两头一拉，中间相加，能进位的要进位计算。452×11：两头一拉：把原数首位4放积的最左边，末位2放积的最右边；中间相加：相邻两位依次相加，4＋5＝9，5＋2＝7，都不需要进位，按顺序组合得到结果4972。11×894（即894×11）：两头一拉：把原数首位8放积的最左边，末位4放积的最右边；中间相加：相邻两位依次相加得8＋9＝17，9＋4＝13，再处理进位：从右往左，13留3进1；17加进位1得18，留8进1；首位8加进位1得9，按顺序组合得到结果9834。 【详解】一个数乘11的小技巧。 324×11＝3564 548×11＝6028 两头一拉中间相加，能进位的要进位。 请利用上面的小技巧直接写出下面算式的结果。 452×11＝4972；11×894＝9834。 10．小明的计算器上的数字键“3”坏了，要计算，可以按( )( )来代替。 【答案】 62 26 【分析】由于计算器上的数字键3坏了，所以在输入数字时不能出现数字3。原式为124×13，其中因数13含有数字3，无法直接输入。根据积不变的规律：在乘法里，一个因数乘几（0 除外），另一个因数除以相同的数，积不变。利用积不变的规律，将一个因数缩小为原来的二分之一，另一个因数扩大到原来的2倍，积不变。 【详解】根据积不变的规律，124÷2＝62，13×2＝26，62×26乘积与124×13相等，并且这两个新因数都不含数字3，可以在计算器上输入。 11．计算器上的“ON”键是( )键，“AC”键是( )键，用计算器计算“386＋547”时，应先按( )，再按( )，接着按( )，最后按( )得出结果。 【答案】 开机 清除 386 ＋ 547 ＝ 【分析】计算器上ON为开机键，AC为清除键；使用计算器计算加法时，操怍顺序为：输入第一个数→输入运算符号→输入第二个数→按等号出结果。 【详解】计算器上ON为开机键、AC为清除键；计算386＋547操作顺序：先按数字键输入386；再按运算符号键＋；接着按数字键输入547；最后按＝键得出结果。 12．高铁时代的到来，极大地缩短了人们的出行时间，请根据下图列出一个乘法算式是( )，一个除法算式是( )。 【答案】 233×10＝2330（千米） 2330÷233＝10（小时） 【分析】根据速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，据此代入数据即可。 【详解】233×10＝2330（千米） 2330÷233＝10（小时） 13．两个数相乘，如果第一个因数增加8，第二个因数不变，那么积增加120；如果第一个因数不变，第二个因数增加12，那么积增加216。原来的积是( )。 【答案】270 【分析】第一个因数增加8、第二个因数不变时，增加的积 ＝ 8×第二个因数，因此第二个因数为：120÷8＝15；第一个因数不变、第二个因数增加12时，增加的积＝12×第一个因数，因此第一个因数为：216÷12＝18；原来的积＝两个原因数相乘：18×15＝270。 【详解】（216÷12）×（120÷8） ＝18×15 ＝270 两个数相乘，如果第一个因数增加8，第二个因数不变，那么积增加120；如果第一个因数不变，第二个因数增加12，那么积增加216。原来的积是270。 14．下图是两位数与三位数的乘法算式，部分数字被污渍遮盖。若已知两个因数个位数字相同，在横线上写出完整算式：____________________。 【答案】27×117＝3159 【分析】积个位是9，两个因数个位相同，两种可能：3×3＝9、7×7＝49，个位可以是3或7，根据积÷乘数＝另一个乘数，分别试算113、117即可解答。 【详解】3159÷113＝27……108，除不尽，不符合题意； 3159÷117＝27，27个位是7，和117个位7相同，符合条件。 所以算式是：27×117＝3159。 15．要使□0×25的积大于1000，□里最小可以填( )；405×20的积是( )位数，积的末尾有( )个0。 【答案】 5 四 2 【分析】因数＝积÷另一个因数，用1000÷25＝40，即当□＝4时，□0×25＝1000，要使□0×25的积大于1000，□里的数字要大于4；再根据三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数字与三位数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用两位数的十位上的数字与三位数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可。据此计算出结果，即可解答。 【详解】405×20＝8100 要使□0×25的积大于1000，1000÷25＝40，即□＞4，□里可填5、6、7、8、9，□里最小可以填5；405×20的积是四位数，积的末尾有2个0。 16．1949年10月1日，毛主席在天安门城楼上向世界庄严宣告：中华人民共和国成立了！今年（2025年）10月1日中华人民共和国成立( )周年，这中间经过( )个闰年。从1949年10月1日到2025年10月1日一共有( )天。 【答案】 76 19 27759 【分析】根据“经过时间＝结束时间－开始时间”求出中华人民共和国成立了多少周年；公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但公历年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年，按顺序列举出1949年到2025年所有闰年的年份，再数出闰年的数量；闰年全年有366天，平年全年有365天，闰年全年的天数比平年全年的天数多1天，76周年先全部按平年计算天数，再加上闰年多出的天数就是总天数。 【详解】2025－1949＝76（周年） 1949年到2025年闰年有1952年、1956年、1960年、1964年、1968年、1972年、1976年、1980年、1984年、1988年、1992年、1996年、2000年、2004年、2008年、2012年、2016年、2020年、2024年，一共19个闰年。 76×365＋19 ＝27740＋19 ＝27759（天） 17．口算。 50×40＝            15×30＝            300×25＝            25×40＝ 24×20＝            600×5＝            25×5－25＝            102×5＝ 【答案】2000；450；7500；1000 480；3000；100；510 【解析】略 18．用竖式计算。              【答案】3672；8256；77400；27000 【分析】这几道题是三位数乘两位数、末尾有0的乘法计算。计算时要注意数位对齐，末尾有0的可以先算0前面的数，最后补上0；三位数乘两位数要先用两位数个位、十位上的数分别去乘三位数，再把两次乘得的积相加，就能得出结果。 【详解】204×18＝3672   32×258＝8256   900×86＝77400    75×360＝27000         19．用计算器计算。 5641287×5＝                     124659879－25641＋65874＝ 567×89＋345＝　　 　      　　689＋8544÷89＝　 907－2295÷27＝    　         　2352÷（387－363）＝ 1792÷（448÷16）＝             178×（3087÷49）＝ 【答案】28206435；124700112； 50808；785； 822；98； 64；11214 【详解】用计算器计算算式时，依次按出数字和运算符号，再按等号得到结果。 【分析】5641287×5＝28206435                  124659879－25641＋65874＝124700112 567×89＋345＝50808　　 　      　　689＋8544÷89＝785　 907－2295÷27＝822    　            　2352÷（387－363）＝98 1792÷（448÷16）＝64                 178×（3087÷49）＝11214 【点睛】本题考查计算器的使用，需熟练掌握。 20．当你用计算器计算446×22和5160÷40时，发现数字键“4”坏了，该怎么办呢？请用算式写出你的思考过程。 【答案】446×22＝223×2×22＝9812 5160÷40＝5160÷5÷8＝129 【分析】根据题意可知，数字键“4”坏了，可以把446和40看成一个不含数字4的数； （1）446＝223×2，可以改为446×22＝223×2×22； （2）一个数连续除以两个数，可以除以后两个数的积，40＝5×8，可以改为5160÷40＝5160÷5÷8即可。 【详解】（1） （2） 21．一部长篇小说共210万字，小军每分钟打70个字。照这样计算，他把这部小说全部输入电脑，共需要多少小时？（用计算器计算） 【答案】500小时 【分析】由题意得，一部长篇小说共210万字，小军每分钟打70个字。可以先把210万转化为2100000，然后再除以70算出小军把这部小说全部输入电脑一共需要多少分钟。然后再除以60即可算出一共需要多少小时。 【详解】210万＝2100000 2100000÷70＝30000（分钟） 30000÷60＝500（小时） 答：一共需要500小时。 22．用2、4、5、9、0这5个数字组成一个三位数乘两位数的算式，你能用计算器分别找出乘积最大和乘积最小的算式吗？ 【答案】最大：92×540＝49680；最小：459×20＝9180 【分析】要使乘积最大，将最大的数字放在两位数首位，次大的数字放在三位数的首位，中间的数字做三位数的十位，最小的数字做三位数的个位，剩下一个数字做两位数的个位。若最小的数字是0，则放在哪个数的后面都一样； 要使乘积最小，就要使这两个因数尽量小，则这个三位数与两位数的最高位上的数字尽量小，因为三位数的位数多，数值大，所以应使两位数的最高位尽量小，据此解答。 【详解】最大：92×540＝49680 最小：459×20＝9180 【点睛】此题主要考查了最大与最小问题，考查了分析推理能力，解答此题的关键是熟练掌握乘法运算的性质和方法。 23．益智玩具能够提高儿童的智力水平，通过玩益智游戏，儿童可以锻炼思维能力和认知能力，从而提高智商水平。中国古代就有益智类玩具，如：华容道和鲁班锁。买12个华容道的钱正好能买9个鲁班锁，一个鲁班锁多少元？ 【答案】32元 【分析】根据总价＝单价×数量，用每个华容道的单价乘买的个数，求出购买华容道需要的总钱数，再用购买华容道需要的总钱数除以购买鲁班锁的个数，即可求出一个鲁班锁多少元。 【详解】24×12÷9 ＝288÷9 ＝32（元） 答：一个鲁班锁32元。 24．为了响应绿色出行的号召。聪聪的爸爸每天骑电动车或步行去上班。电动车每分钟行驶220米，8分钟可以到单位。步行2分钟可走160米，照这样计算，步行多少分钟可以到单位？ 【答案】22分钟 【分析】先用电动车每分钟行驶的路程乘需要的时间，求出总路程，再用2分钟步行的路程除以2，求出每分钟步行的路程，最后用总路程除以每分钟步行的路程，即可求出步行到单位所需要的时间。 【详解】220×8＝1760（米） 1760÷（160÷2） ＝1760÷80 ＝22（分钟） 答：步行22分钟可以到单位。 25．游乐园推出一日游两种价格方案。欢欢一家（成人6人，儿童3人）去游玩，怎样买票更省钱？省多少钱？ 方案一：成人每人300元，儿童每人160元。 方案二：团体9人及以上，每人220元。 【答案】购买团体票更省钱，省300元。 【分析】方案一：用成人、儿童各自的票价乘成人、儿童各自的人数，分别计算出各自需要的钱数，最后相加，计算出该方案需要的总钱数； 方案二：团体票的价钱乘总人数，计算出该方案需要的总钱数；然后将两个方案买票的钱进行比较，就可以知道哪种方案更省钱，再求出两种方案的票钱差即等于省多少钱。 【详解】方案一：300×6＋160×3 ＝1800＋480 ＝2280（元） 方案二：220×（6＋3） ＝220×9 ＝1980（元） 2280＞1980，方案二更省钱。 2280－1980＝300（元） 答：购买团体票更省钱，省300元。 26．五一期间，乐乐一家和朋友到海洋世界游玩，有两种购买门票的方案（如图所示），4个大人和6个儿童用哪种方案购买更省钱？要花多少钱？ 方案一：成人每人180元  儿童每人90元 方案二：团体票（10人及以上）每张120元 【答案】方案二购买更省钱；需要元 【分析】方案一：成人票每张的票价乘购买的张数加上儿童票每张的票价乘购买的张数等于方案一要花费的钱。 方案二：有个大人个儿童，。满足团体票，用团体票的票价乘人数等于方案二要花的钱，最后再比较即可。 【详解】 （元） （人） （元） 答：用方案二购买更省钱，至少需要元。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 大数的运算 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、三位数乘两位数 1 二、用计算器计算 3 考点讲练 4 考点一：三位数与两位数的乘法 4 考点二：经济问题 5 考点三：基础行程问题 6 考点四：积的变化规律（整数乘法） 7 考点五：三位数乘两位数（乘数末尾有0） 7 考点六：三位数乘两位数的实际问题 8 考点七：有具体量的工程问题 9 考点八：计算器的初步认识与使用 10 考点九：计算器的复杂运算 10 考点十：用计算器探究规律 11 综合训练 12 知识梳理 一、三位数乘两位数 1. 笔算计算法则 三位数乘两位数的笔算核心是 “分步相乘、错位相加”，具体步骤为： 第一步：个位相乘 先用两位数个位上的数去乘三位数的每一位，乘得的积的末位要和两位数的个位对齐。计算时从三位数的个位乘起，满几十就向前一位进几。 第二步：十位相乘 再用两位数十位上的数去乘三位数的每一位，乘得的积的末位要和两位数的十位对齐。本质是用 “几个十” 去乘三位数，得到的结果是多少个十，因此末位要落在十位上。 第三步：求和得结果 最后把两次乘得的积相加，相加时注意相同数位对齐，满十向前一位进一，最终的结果就是三位数乘两位数的积。 特殊情况处理： 乘数中间有 0：0 也要参与相乘，不能省略。用 0 乘三位数时，这一步的积全是 0，注意数位对齐后再和另一部分积相加。 乘数末尾有 0：可使用简便算法。先把 0 前面的数对齐相乘，再看两个乘数末尾一共有几个 0，就在乘得的积的末尾添上相同个数的 0。 2. 积的变化规律 同向变化规律：在乘法算式中，一个乘数不变，另一个乘数乘几（或除以几，0 除外），得到的积就等于原来的积乘几（或除以几）。 例：已知，则（15 乘 2，积也乘 2）。 积不变规律：在乘法算式中，一个乘数乘几（0 除外），另一个乘数除以相同的数，积保持不变。 例：已知，则。 双乘数变化规律：两个乘数分别乘 a 和乘 b（a、b 均不为 0），积就乘。 3. 估算方法 三位数乘两位数的估算，核心是将乘数凑成接近的整十、整百数，通过口算快速得到近似结果。 基本估算步骤：把三位数看作接近的整百数（或几百几十数），把两位数看作接近的整十数，再用整百数乘整十数口算出结果。 实际问题的估算策略： 解决 “带的钱够不够” 类问题，通常选择往大估，保证估算结果比实际结果大，避免钱不够； 解决 “大约能做多少” 类问题，可根据实际情况选择往小估或往大估，结果符合实际即可。 注意：估算结果是近似数，要用 “≈” 连接；估算没有唯一标准答案，合理即可。 4. 常见数量关系 购物问题（单价、数量、总价） 单价：每件商品的价格；数量：购买商品的件数；总价：一共花的钱数。 核心公式： 推导公式：； 行程问题（速度、时间、路程） 速度：单位时间内行驶的路程，单位为千米 / 时、米 / 分等，读作 “千米每时”“米每分”；时间：行驶所用的时长；路程：一共行驶的总长度。 核心公式： 推导公式：； 工程问题（工作效率、工作时间、工作总量） 工作效率：单位时间内完成的工作量；工作时间：做工的时长；工作总量：完成的总工作量。 核心公式： 二、用计算器计算 1. 计算器常用按键与功能 小学阶段常用的简易计算器，核心按键及功能如下： 按键类型 按键标识 具体功能 电源键 ON 开机键，按下后启动计算器，进入可计算状态 OFF 关机键，按下后关闭计算器，停止工作 清除键 AC 全清键，清除所有已输入的数据和运算，重置计算器 CE 清除输入键，仅清除当前正在输入的数字，不清除之前的运算和数据 数字键 0 ~ 9 输入 0 到 9 的阿拉伯数字，是计算的基础按键 符号键 +、-、×、÷ 运算符号键，选择对应的加、减、乘、除运算 . 小数点键，用于输入小数 结果键 = 等号键，按下后执行运算，屏幕显示最终计算结果 2. 基本计算操作步骤 一步计算操作 ① 按开机键ON，启动计算器，确认屏幕显示为 0； ② 按数字键，从高位到低位依次输入第一个数； ③ 按对应的运算符号键（+、-、×、÷），选择运算类型； ④ 按数字键，依次输入第二个数； ⑤ 按等号键=，屏幕上显示的数字就是本次运算的结果。 混合运算操作 科学计算器会自动遵循 “先乘除、后加减，有括号先算括号里” 的四则运算顺序，只需按算式从左到右依次输入数字、符号、括号，最后按等号即可得到正确结果。 若使用无括号功能的简易计算器，需要手动分步计算，先算出乘除部分的结果，记录后再计算加减部分。 3. 用计算器探索规律 利用计算器计算速度快、结果准的特点，可以快速发现算式中的数字规律，步骤为： 先用计算器计算前 3~4 道简单、有规律的算式，得到准确结果； 观察算式中乘数、加数的变化规律，同时对应观察结果的数字变化（如位数、数字排列、增减幅度）； 总结出通用规律，不使用计算器，直接推导后续更复杂算式的结果； 用计算器验证推导的结果，确认规律是否正确。 4. 使用注意事项 输入数字时要看清按键，按错数字可按CE键清除当前数字后重新输入，无需全部重输； 计算大数时，注意屏幕数字的位数，避免看错数位； 长时间不使用时，按OFF键关机，节省电量； 计算器仅为计算工具，解决问题时仍需先理清数量关系、列对算式，再用计算器计算。 考点讲练 考点一：三位数与两位数的乘法 【典例精讲】用竖式计算。 307×18＝            429×31＝            378÷42＝            905÷36＝ 【变式训练】列竖式计算。 314×28＝                                205×16＝ 424÷53＝                                615÷17＝ 【变式训练】用竖式计算。 38×417＝         106×28＝          507×80＝          27×90＝ 175×24＝         520×32＝          320×20＝          903×17＝ 【变式训练】列竖式计算。 124×71＝    603×34＝    350×40＝ 考点二：经济问题 【典例精讲】新华书店为了庆六一开展了买五本送一本的优惠活动，李老师买了30本《经典童话》，每本26元，要付多少钱？ 【变式训练】华亭镇盛产枇杷，被誉为“枇杷之乡”，某超市以批发价购进9箱枇杷，每箱20千克。如果按零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 枇杷 批发价：每箱100元 零售价：每千克8元 【变式训练】莆田卤面是福建莆田传统的地方美食。某卤面馆每份卤面40元，上午卖了36份，下午卖出45份。这一天一共卖了多少元？ 【变式训练】手持小风扇作为夏季便携降温工具，深受大家欢迎。李老板购买了4箱手持小风扇，每箱装25个、一共花了1600元，这款手持小风扇平均每个多少元？ 考点三：基础行程问题 【典例精讲】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶32千米，须5小时到达，如果每小时行驶40千米，需要几小时？ 【变式训练】一辆车从 城经 城开往城，行驶情况如图1所示。这辆车从 城到 城的平均速度如图2所示，这辆车从 城到城的速度是多少？ 【变式训练】甲乙两艘轮船从同一地点同时出发，相背而行，甲轮船每小时行驶65千米，4小时后，两艘轮船相距556千米。乙轮船每小时行驶多少千米？ 【变式训练】轩轩他们从家骑电动车去剧院，每分钟行驶312米，12分钟到剧院；返回时只用了9分钟，返回时平均每分钟行驶多少米？ 考点四：积的变化规律（整数乘法） 【典例精讲】根据18×5＝90，直接写出下面各式的得数。 36×5＝( )        360×5＝( )        18×500＝( )        180×50＝( ) 【变式训练】如果×＝300，那么（×2）×＝( )，（×2）×（÷2）＝( )，（×5）×（△÷3）＝( )。 【变式训练】如果，那么( )。 【变式训练】我们学过商不变、积不变等规律，小欢用18÷6＝（18×a）÷（6×a）＝3（a不为0）来表示商不变；小乐用18×6＝（18×a）×（6÷a）＝108（a不为0）来表示积不变；我也会用这样的方式表示“差不变”：( )。 考点五：三位数乘两位数（乘数末尾有0） 【典例精讲】用竖式计算。          【变式训练】竖式计算。          【变式训练】用竖式计算。 23×145＝                    450×80＝                    78×405＝ 【变式训练】列竖式计算。 40×390＝                         208×45＝                        17×315＝ 考点六：三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】三门峡灵宝市的函谷关，是老子著述《道德经》的道家文化发源地。阳光小学23名老师带四年级231名学生去研学。如何买门票最省钱？至少需要多少元钱？ 成人：35元/人 学生：20元/人 团体（20人及20人以上）：27元/人 【变式训练】一个修路队每天修路120米，今年从3月20日早上8：00修路队开始修路，到4月15日18：00结束，共修路多少米？ 【变式训练】一块长方形草坪，长30米，宽20米，如果每平方米草坪每天能释放氧气15克，吸收二氧化碳20克，这块草坪每天能释放氧气多少克？吸收二氧化碳多少克？ 【变式训练】盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性。张阿姨直播开盲盒，平均每天可以在线开234个盲盒。连续工作两个星期（中途休息两天），张阿姨一共开了多少个盲盒？ 考点七：有具体量的工程问题 【典例精讲】一家工厂生产一批产品，每生产一件产品需要4小时，如果生产50件产品，请问完成这批产品需要多少小时？ 【变式训练】工程队修一条公路，原计划每天修42米，10天完成，实际只用了7天就完成了任务。实际每天比计划多修多少米？ 【变式训练】某加工组5名工人4小时可以加工300个零件，照这样计算，如果工人增加到8人，工作时间减少到3小时，共可加工多少个零件？ 【变式训练】莆仙戏作为中国古老剧种之一，是在福建影响最大的戏曲剧种。某团队接到制作800个莆仙戏脸谱的任务，前14天平均每天生产25个，由于情况紧急，剩下的要求15天完成，剩下的平均每天生产多少个才能按时完成任务？ 考点八：计算器的初步认识与使用 【典例精讲】进行比较复杂的计算时，人们通常用( )进行计算。 【变式训练】计算器上1、2、3、4、5……这些叫( )键，＋、－、×、÷叫( )键。 【变式训练】小刚想要用计算器计算654321×9时，发现计算器上数字键“9”坏了。你能用这个计算器算出正确的得数吗？你想的方法用算式表示是( )。 【变式训练】明明准备用计算器计算一道乘法算式，但是他的计算器上数字8键坏了，按“×48”时，按成了“×4”，得到的积是140，正确的积是( )。 考点九：计算器的复杂运算 【典例精讲】观察算式：3×4＝12；33×34＝1122；333×334＝111222；根据你发现的规律再写出一道这样的算式：( ) 【变式训练】用计算器计算（100－25）÷25时，按到“÷”的时候，显示屏上显示( )，接着按“25”，再按“＝”，显示屏上显示的是( )。 【变式训练】用计算器计算，再填一填。 【变式训练】1万平方米的森林每天大约可吸收二氧化碳1000千克，释放氧气730千克，根据这些数据填写下表。 森林面积/平方米 10000 100000 100000000 吸收二氧化碳质量/千克 释放氧气质量/千克 考点十：用计算器探究规律 【典例精讲】先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 273273÷1001＝ 354354÷1001＝ 473473÷1001＝ 569569÷1001＝ 686686÷1001＝ 【变式训练】先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 3×8＝ 33×68＝ 333×668＝ 3333×6668＝ 33333×66668＝ 【变式训练】用计算器算出每组前三题的得数，找一找规律，直接写出后两题的得数。 （10－2）÷8＝ （100－12）÷8＝ （1000―112）÷8＝ （100000－11112）÷8＝ （10000000－1111112）÷8＝ 【变式训练】先用计算器算出每题前四个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 （1）1×8＋1＝                  12×8＋2＝                             123×8＋3＝                            1234×8＋4＝                           12345×8＋5＝                          123456×8＋6＝                         1234567×8＋7＝                        12345678×8＋8＝                       （2）81÷9＝ 882÷9＝ 8883÷9＝ 88884÷9＝ 888885÷9＝ 8888886÷9＝ 88888887÷9＝ 888888888÷9＝ 综合训练 1．一辆汽车前3个小时共行驶了170千米，后4个小时共行驶了250千米，这辆汽车平均每小时行驶（    ）千米。 A．50 B．70 C．60 D．55 2．一套科普书的单价是145元，要买36套，一共需要多少钱。下边用竖式计算时箭头所指的这一步表示买（    ）套书的钱数。 A．3 B．30 C．36 D．145 3．某景区的门票是30元/人，某天上午售出214张门票，下午售出308张门票，该景区这天上午和下午一共售出门票（    ）元。 A．15660 B．15550 C．5660 D．1566 4．小巧在用计算器计算“496050＋250348”时，因为按错了一个键，计算结果比正确答案少了30000。她出错的原因可能是（    ）。 A．将496050中的6按成了3 B．将250348中的0按成了3 C．将250348中的5按成了2 D．将496050中的4按成了7 5．用计算器计算“123＋456”时，不小心把“456”按成了“455”，下列操作正确的是（    ）。 A． B． C． D． 6．小明在用计算器计算9958×16时，不小心把“6”按成了“3”，他按哪个按键可以只消除“13”改为“16”。（    ） A．ON B．OFF C．AC D．CE 7．在计算器上进行“945÷54CE45＝”的操作，最后在显示屏上会出现( )。 8．根据算式中的规律，直接写出下面算式的得数。 7×9＝63    77×99＝7623    777×999＝776223    7777×9999＝77762223 77777×99999＝( )    777777×999999＝( ) 9．如图所示。 一个数乘11的小技巧。 324×11＝3564          548×11＝6028 两头一拉中间相加，能进位的要进位。 请利用上面的小技巧直接写出下面算式的结果。 452×11＝( )；11×894＝( )。 两头一拉中间相加，能进位的要进位。 请利用上面的小技巧直接写出下面算式的结果。 10．小明的计算器上的数字键“3”坏了，要计算，可以按( )( )来代替。 11．计算器上的“ON”键是( )键，“AC”键是( )键，用计算器计算“386＋547”时，应先按( )，再按( )，接着按( )，最后按( )得出结果。 12．高铁时代的到来，极大地缩短了人们的出行时间，请根据下图列出一个乘法算式是( )，一个除法算式是( )。 13．两个数相乘，如果第一个因数增加8，第二个因数不变，那么积增加120；如果第一个因数不变，第二个因数增加12，那么积增加216。原来的积是( )。 14．下图是两位数与三位数的乘法算式，部分数字被污渍遮盖。若已知两个因数个位数字相同，在横线上写出完整算式：____________________。 15．要使□0×25的积大于1000，□里最小可以填( )；405×20的积是( )位数，积的末尾有( )个0。 16．1949年10月1日，毛主席在天安门城楼上向世界庄严宣告：中华人民共和国成立了！今年（2025年）10月1日中华人民共和国成立( )周年，这中间经过( )个闰年。从1949年10月1日到2025年10月1日一共有( )天。 17．口算。 50×40＝            15×30＝            300×25＝            25×40＝ 24×20＝            600×5＝            25×5－25＝            102×5＝ 18．用竖式计算。              19．用计算器计算。 5641287×5＝                     124659879－25641＋65874＝ 567×89＋345＝　　 　      　　689＋8544÷89＝　 907－2295÷27＝    　         　2352÷（387－363）＝ 1792÷（448÷16）＝             178×（3087÷49）＝ 20．当你用计算器计算446×22和5160÷40时，发现数字键“4”坏了，该怎么办呢？请用算式写出你的思考过程。 21．一部长篇小说共210万字，小军每分钟打70个字。照这样计算，他把这部小说全部输入电脑，共需要多少小时？（用计算器计算） 22．用2、4、5、9、0这5个数字组成一个三位数乘两位数的算式，你能用计算器分别找出乘积最大和乘积最小的算式吗？ 23．益智玩具能够提高儿童的智力水平，通过玩益智游戏，儿童可以锻炼思维能力和认知能力，从而提高智商水平。中国古代就有益智类玩具，如：华容道和鲁班锁。买12个华容道的钱正好能买9个鲁班锁，一个鲁班锁多少元？ 24．为了响应绿色出行的号召。聪聪的爸爸每天骑电动车或步行去上班。电动车每分钟行驶220米，8分钟可以到单位。步行2分钟可走160米，照这样计算，步行多少分钟可以到单位？ 25．游乐园推出一日游两种价格方案。欢欢一家（成人6人，儿童3人）去游玩，怎样买票更省钱？省多少钱？ 方案一：成人每人300元，儿童每人160元。 方案二：团体9人及以上，每人220元。 26．五一期间，乐乐一家和朋友到海洋世界游玩，有两种购买门票的方案（如图所示），4个大人和6个儿童用哪种方案购买更省钱？要花多少钱？ 方案一：成人每人180元  儿童每人90元 方案二：团体票（10人及以上）每张120元 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $