第三单元 数与运算的再认识 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

本讲义聚焦“数与运算的再认识”，系统梳理数的计数单位（整数、小数、分数均为计数单位累加）、分数与小数基本性质（内在逻辑统一）、四则运算关系（逆运算及层级联系）、运算一致性（相同计数单位加减，计数单位与个数乘除），构建从概念到运算的连贯学习支架。 该资料以“一致性”为核心亮点，通过“数由计数单位累加”等内容培养抽象能力与数感（数学眼光），结合“计数单位组成”典例及变式训练发展运算能力与推理意识（数学思维），综合训练中的购物预算等问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，深化知识理解。

第三单元 数与运算的再认识 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、数的意义与计数单位 1 二、分数与小数的基本性质 2 三、四则运算的意义与相互关系 2 四、数的运算的一致性 3 考点讲练 4 考点一：数的计数单位与数的组成 4 考点二：分数与小数的基本性质及应用 6 考点三：四则运算的互逆关系与各部分关系 7 考点四：运算的一致性与简便计算 9 综合训练 10 知识梳理 一、数的意义与计数单位 计数单位是数的核心组成基础，整数、小数、分数虽然表现形式不同，但本质上都是 “对应计数单位的累加”，这是数的概念的一致性。 1. 整数的计数单位 整数的计数单位从低到高依次为：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿…… 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10，即十进制计数法。 一个整数有多少个计数单位，它的数值就是多少。例如 320 是由 3 个百、2 个十组成，也就是 320 个一。 2. 小数的计数单位 小数是十进制分数的另一种表示形式，小数的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）…… 每相邻两个计数单位之间的进率也是 10，与整数的计数规则完全统一。 例如 0.45 的计数单位是 0.01，它包含 45 个这样的计数单位。 3. 分数的计数单位 把单位 “1” 平均分成若干份，表示其中 1 份的数叫作这个分数的分数单位，也就是分数的计数单位。 分数单位的大小由分母决定：分母是几，分数单位就是几分之一；分子是几，就表示有几个这样的分数单位。 例如的分数单位是，它有 5 个这样的分数单位。 4. 计数单位的本质统一 无论是整数、小数还是分数，数的组成逻辑完全一致：数都是计数单位的累加，数的大小由计数单位的类型和个数共同决定。 二、分数与小数的基本性质 1. 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 应用 1：约分 —— 把分数化成分子、分母更小但大小不变的最简分数； 应用 2：通分 —— 把异分母分数化成同分母分数，统一分数单位。 注意：分数大小不变，但分数单位会发生变化：分子分母同时乘几，分数单位就变小；同时除以几，分数单位就变大。 2. 小数的基本性质 在小数的末尾添上 0 或者去掉 0，小数的大小不变。 应用 1：化简小数 —— 去掉小数末尾多余的 0； 应用 2：改写小数 —— 根据需要把小数改写成指定计数单位的数。 注意：小数大小不变，但计数单位会发生变化：末尾添 0，计数单位变小；末尾去 0，计数单位变大。 3. 两条性质的内在联系 小数的基本性质是分数基本性质的特殊形式。因为小数本质上是分母为 10、100、1000…… 的分数，小数末尾添 0，相当于分数的分子分母同时乘 10、100……，符合分数的基本性质，二者底层逻辑完全一致。 三、四则运算的意义与相互关系 1. 加法与减法的关系 加法：把两个数合并成一个数的运算，是最基础的运算。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 核心关系：减法是加法的逆运算。 各部分等量关系： 2. 乘法与除法的关系 乘法：求几个相同加数和的简便运算（整数乘法）；一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 核心关系：除法是乘法的逆运算。 各部分等量关系： 3. 四则运算的层级联系 乘法是相同加数加法的简便运算，除法是相同减数连减的简便运算。所有四则运算最终都可以回溯到加法的基本逻辑，运算之间可以相互转化，这是运算关系的本质统一。 四、数的运算的一致性 整数、小数、分数的运算规则看似不同，但底层逻辑完全一致，都是围绕 “计数单位” 展开的运算。 1. 加减法的一致性 加减法的核心规则：只有相同计数单位的数，才能直接相加减。 整数加减法：相同数位对齐，本质是让相同计数单位对齐，个位加个位、十位加十位； 小数加减法：小数点对齐，本质也是让相同计数单位对齐，十分位加十分位、百分位加百分位； 分数加减法：同分母分数直接分子相加减，因为分数单位相同；异分母分数先通分，统一分数单位后再加减。 2. 乘除法的一致性 乘除法的本质：计数单位与计数单位相乘除，计数单位的个数与计数单位的个数相乘除。 整数乘法：先算计数单位的个数相乘，再确定最终的计数单位； 小数乘法：先按整数乘法算出个数的积，再根据因数的小数位数确定积的计数单位； 分数乘法：分子乘分子是计数单位的个数相乘，分母乘分母是计数单位相乘； 分数除法：除以一个数等于乘它的倒数，把除法统一转化为乘法运算，底层逻辑保持一致。 3. 运算律的一致性 整数加法、乘法的所有运算律，对小数、分数完全适用，包括： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 运算律的通用，进一步体现了数的运算在本质上的一致性。 考点讲练 考点一：数的计数单位与数的组成 【典例精讲】 一个数由 4 个十、6 个十分之一和 9 个千分之一组成，这个数写作多少？它的计数单位是什么？它包含多少个这样的计数单位？ 【分析】 本题考查整数、小数的计数单位与数的组成。先对应数位写出每一位上的数字，补全数位得到完整的数；再根据最低位确定计数单位；最后通过数值计算出包含多少个计数单位。 【详解】 第一步：写数 4 个十，十位上是 4；6 个十分之一，十分位上是 6；9 个千分之一，千分位上是 9；个位、百分位没有计数单位，写 0 占位。 这个数写作：40.609 第二步：确定计数单位 这个数的最低位是千分位，对应的计数单位是 0.001（千分之一）。 第三步：计算计数单位的个数 ，即包含 40609 个 0.001。 【答案】写作 40.609；计数单位是 0.001（千分之一）；包含 40609 个这样的计数单位。 【变式训练 1】 的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【分析】 分数单位由分母决定，分母是几分数单位就是几分之一；最小的质数是 2，转化为分母是 12 的分数后，计算分子的差值就是需要添加的分数单位个数。 【详解】 的分母是 12，所以分数单位是。 最小的质数是 2，，已有 7 个分数单位，还需要个。 【答案】；17 【变式训练 2】 判断：两个计数单位之间的进率都是 10。（ ） 【分析】 十进制计数法的前提是 “相邻” 两个计数单位之间的进率是 10，不相邻的计数单位进率不是 10，例如个和百之间的进率是 100。 【详解】 缺少 “相邻” 的限定，计数单位不相邻时进率不是 10，例如十和千之间的进率是 100，因此说法错误。 【答案】× 【变式训练 3】 下面关于 0.3 和 0.30 的说法，正确的是（ ）。 A. 大小相等，计数单位相同 B. 大小相等，计数单位不同 C. 大小不等，计数单位相同 【分析】 根据小数的基本性质判断大小关系，再根据小数的最低位判断计数单位，对比得出结论。 【详解】 根据小数的基本性质，，大小相等； 0.3 的计数单位是 0.1，0.30 的计数单位是 0.01，计数单位不同。 【答案】B 考点二：分数与小数的基本性质及应用 【典例精讲】 按要求完成下面各题。 （1）把化成分母是 36 而大小不变的分数； （2）把 0.7 改写成以百分之一为计数单位的数。 【分析】 第（1）题利用分数的基本性质，分母乘 4，分子也同时乘 4，分数大小不变；第（2）题利用小数的基本性质，在 0.7 末尾添一个 0，计数单位就变成百分之一，大小不变。 【详解】 （1）分母 9 变成 36，是乘了 4，根据分数的基本性质，分子也要乘 4： ，所以。 （2）百分之一是 0.01，也就是要把 0.7 改写成两位小数。根据小数的基本性质，在末尾添 1 个 0： ，0.70 的计数单位是百分之一。 【答案】（1）；（2）0.70 【变式训练 1】 一个分数的分子除以 2，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 A. 乘 2 B. 除以 2 C. 不变 【分析】 根据分数的基本性质，分子和分母要同时乘或除以相同的数（0 除外），分数大小才不变。 【详解】 分子除以 2，分母也必须同时除以 2，分数的大小才能保持不变。 【答案】B 【变式训练 2】 判断：在小数点的后面添上 0 或者去掉 0，小数的大小不变。（ ） 【分析】 小数的基本性质是 “小数的末尾” 添 0 去 0 大小不变，不是 “小数点的后面”，小数点后面中间的 0 不能随意去掉或添加。 【详解】 举反例：2.05 去掉小数点后面的 0 变成 2.5，，大小改变了。因此说法错误，必须是小数末尾的 0。 【答案】× 【变式训练 3】 把约分成最简分数是多少？约分后分数的大小和分数单位分别发生了什么变化？ 【分析】 约分依据分数的基本性质，分子分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数；再对比约分前后的分数单位，判断变化情况。 【详解】 12 和 18 的最大公因数是 6，分子分母同时除以 6： 约分后分数大小不变；原分数单位是，约分后分数单位是，分数单位变大了。 【答案】最简分数是；分数大小不变，分数单位变大。 考点三：四则运算的互逆关系与各部分关系 【典例精讲】 根据，直接写出下面两道题的得数。 【分析】 本题考查乘法与除法的互逆关系：积 ÷ 一个因数 = 另一个因数，直接利用乘法算式的结果写出除法的商。 【详解】 根据 “因数 × 因数 = 积”，可得 “积 ÷ 一个因数 = 另一个因数”。 对应的另一个因数是 36，所以结果是 36； 对应的另一个因数是 14，所以结果是 14。 【答案】36；14 【变式训练 1】 在括号里填上合适的数。 （ ） （ ） 【分析】 根据减法和除法各部分的关系推导：被减数 = 差 + 减数；除数 = 被除数 ÷ 商。 【详解】 第一题：求被减数，； 第二题：求除数，。 【答案】12.2；4 【变式训练 2】 小马虎在计算一道加法题时，把一个加数 2.3 看成了 23，算得的结果是 45.6，正确的结果应该是多少？ 【分析】 可以先根据错误的加数和结果，用减法求出另一个正确的加数，再加上正确的 2.3，得到正确结果，利用加法与减法的互逆关系解题。 【详解】 第一步：求另一个正确的加数 第二步：计算正确结果 【答案】正确的结果是 24.9。 【变式训练 3】 下面不能用来验算的算式是（ ）。 A. B. C. 【分析】 减法的验算方法有两种：一是用被减数减差，看是否等于减数；二是用差加减数，看是否等于被减数，都依据加减法的互逆关系。 【详解】 A 选项：被减数 - 差 = 减数，可以验算； B 选项：差 + 减数 = 被减数，可以验算； C 选项：被减数 + 差没有意义，不能验算减法。 【答案】C 考点四：运算的一致性与简便计算 【典例精讲】 用简便方法计算： 【分析】 本题可以利用乘法结合律，把 3.2 拆成，分别和 2.5、1.25 结合凑整。整数的乘法结合律在小数运算中同样适用，体现了运算规则的一致性。 【详解】 【答案】10 【变式训练 1】 用简便方法计算： 【分析】 逆用乘法分配律，提取相同的因数，先算两个分数的和，再相乘。乘法分配律对分数运算同样适用。 【详解】 【答案】 【变式训练 2】 计算最简便的方法是（ ），这个方法在小数、分数运算中同样适用。 A. B. C. 【分析】 把 99 看成，利用乘法分配律展开计算最简便，这是整数运算中常用的技巧，同样可以迁移到小数、分数运算中。 【详解】 A 选项错误，漏乘了 126；C 选项也可以计算，但不是最简便的。 【答案】B 【变式训练 3】 用简便方法计算： 【分析】 把后面的 4.8 看成，逆用乘法分配律提取公因数 4.8，简化计算。乘法分配律的拓展形式在小数运算中同样成立。 【详解】 【答案】480 综合训练 1．下面算式中的“7”和“2”，可以直接相减的是（    ）。 A．37－21 B．3.7－1.2 C． D．37%－21% 【答案】B 【分析】只有计数单位相同的数，即相同数位上的数才能直接相减。需要分别判断每个选项中数字“7”和“2”所在的数位或分数单位是否相同。 【详解】A． 中的“7”在个位，表示7个一；中的“2”在十位，表示2个十。两个数所在数位不同，即计数单位不同，不能直接相减。此选项错误。 B． 中的“7”在十分位，表示7个 0.1；中的“2”在十分位，表示2 个0.1。两个数所在数位相同，即计数单位相同，可以直接相减。此选项正确。 C． 的分数单位是，的分数单位是。分数单位不同，不能直接相减，需要先通分。此选项错误。 D． ，。中的“7”在百分位，中的“2”在十分位。两个数所在数位不同，即计数单位不同，不能直接相减。此选项错误。 2．淘气在用计算器计算6.9×8时，发现计算器的按键“6”坏了，淘气想到了下面4种不同的输入方法，错误的是（    ）。 A．2.3×3×8 B．（4＋2.9）×8 C．7×8－8 D．（7－0.1）×8 【答案】C 【分析】计算出选项中各式的结果，找出和6.9×8结果相同的选项，据此解答。 【详解】6.9×8＝55.2 A．2.3×3×8＝55.2 B．（4＋2.9）×8＝6.9×8＝55.2 C．7×8－8＝56－8＝48 D．（7－0.1）×8＝7×8－0.1×8＝56－0.8＝55.2 所以，计算错误的是7×8－8。 3．妈妈买了一本汉语词典和3本童话书，共用去43.4元。童话书的单价是汉语词典的，每本童话书（    ）元。 A．6.1 B．6.2 C．6.3 D．6.4 【答案】B 【分析】确定单位“1”为汉语词典的单价，汉语词典和童话书的单价都未知，可以设单位“1”的量汉语词典的单价为元，根据童话书单价＝汉语词典的单价×得：童话书的单价为元； 最后根据买一本汉语词典的钱＋买3本童话书的钱＝共用去的43.4元列出方程并解方程即可。 【详解】解：设汉语词典的单价为元，那么童话书的单价为元。 （元） 每本童话书6.2元。 4．李阿姨在商场促销活动中买了3件办公用具。在这三件工具中，最便宜的是103元，最贵的297元。估一估李阿姨付出总价的范围，比较合理的是（    ）。 A．300～500 B．400～500 C．500～700 D．700～800 【答案】C 【分析】根据题意，李阿姨买了3件办公用具，其中最便宜的是103元，最贵的是297元，则第三件用具的价格在103元到297元之间。分别计算总价的最小可能值和最大可能值，计算时将103元看作100元，297元看作300元，进行估算，确定总价的大概范围。 【详解】把103元看作100元，297元看作300元； 总价的最小值约为： 103＋103＋297 ≈100＋100＋300 ＝500（元） 总价的最大值约为： 103＋297＋297 ≈100＋300＋300 ＝700（元） 李阿姨付出总价的范围，比较合理的是500～700元。 5．联欢会上，老师准备了144块奶糖分给同学们。老师先把这些奶糖平均分给8个小组，每个小组再把奶糖平均分给6名同学，每名同学能分到（    ）块奶糖。 A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，需先将144块奶糖平均分给8个小组，求出每个小组分到的块数；再将每个小组分到的块数平均分给6名同学，求出每名同学分到的块数。利用连除运算即可解答。 【详解】 （块） 联欢会上，老师准备了144块奶糖分给同学们。老师先把这些奶糖平均分给8个小组，每个小组再把奶糖平均分给6名同学，每名同学能分到3块奶糖。 6．将纸带A平均分成5份，每份长度为a米；将纸带B平均分成10份，每份长度为b米。下列说法中正确的是（    ）。 A．若a＝b＋b，则A纸带比B纸带长 B．若a＝b＋b，则A、B两根纸带长度相等 C．若b＝a＋a，则A纸带比B纸带长 D．若b＝a＋a，则A、B两根纸带长度相等 【答案】B 【分析】首先根据“总长度每份长度份数”分别表示出纸带A纸带B的总长度。然后分别将选项中的条件代入总长度表达式，计算出两根纸带的具体长度关系，最后与选项中的结论进行对比，判断选项正误。 【详解】A的总长度为：5×a；纸带B的总长度为：10×b。 A．若a＝b＋b，即a是b的2倍，则纸带A的总长度为5×（b＋b）＝5×2×b＝10×b。此时纸带A与纸带B长度相等，选项中称“纸带A比纸带B长”，此选项错误； B．若a＝b＋b，即a是b的2倍，则纸带A的总长度为5×（b＋b）＝5×2×b＝10×b。此时纸带A与纸带B长度相等，选项中称“两根纸带长度相等”，此选项正确； C．若b＝a＋a，即b是a的2倍，则纸带B的总长度为10×（a＋a）＝10×2×a＝20×a。因为20×a＞5×a，所以纸带B比纸带A长，选项中称“纸带A比纸带B长”，此选项错误； D．若b＝a＋a，即b是a的2倍，则纸带B的总长度为10×（a＋a）＝10×2×a＝20×a。因为20×a＞5×a，所以纸带B比纸带A长，选项中称“两根纸带长度相等”，此选项错误。 7．某商场“五一”期间所有商品一律打九折，也就是降价( )%出售。小明花了180元买到一台电风扇，原价应是( )元。 【答案】 10 200 【分析】九折就是现价是原价的90%；把原价看作单位“1”，少花了（1－90%），即降价了10%；根据现价＝原价×折扣，可知原价＝现价÷折扣，即可求出商品原价。 【详解】根据分析可知，1－90%＝10%； 180÷90% ＝180÷0.9 ＝200（元） 8．小林模仿“曹冲称象”来称重。小林站在船上，船下沉0.3cm；换成哥哥站在船上，船下沉0.7cm。小林的体重是35.4千克，哥哥的体重是( )千克。 【答案】82.6 【分析】列比例解答本题，小林的体重∶0.3＝哥哥的体重∶0.7，假设哥哥的体重为x ,然后根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，解比例即可。 【详解】解：设哥哥的体重为x千克。 35.4∶0.3＝x∶0.7 0.3x＝0.7×35.4 0.3x＝24.78 0.3x÷0.3＝24.78÷0.3 x＝82.6 所以哥哥的体重为82.6千克。 9．琪琪在计算一道乘法算式时，把其中一个因数22看成了2，结果得到的积是576，正确的积是多少？下面是两位同学不同的解题思路，请你完成填空。 乐乐 丁丁 先根据错误的结果求出另一个因数，列式为576÷（    ）＝（    ），再求出正确的积，列式为（    ）×22＝（    ）。 因为22÷2＝11，所以正确的积应是576的（    ）倍，求正确的积，只需列式为（                ），正确的积是（    ）。 【答案】 乐乐：2；288；288；6336； 丁丁：11；576×11；6336 【分析】乐乐的思路是利用乘法各部分间的关系：积÷一个因数＝另一个因数，先用得到的错误积除以错误的因数，求出另一个因数，再乘上正确的因数即可； 丁丁的思路是利用积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍。先求出正确的因数是错误因数的几倍，再用错误的积乘几得到正确的积。 【详解】乐乐：先根据错误的结果求出另一个因数，列式为576÷2＝288，再求出正确的积，列式为288×22＝6336。 丁丁：因为22÷2＝11，所以正确的积应是576的11倍，求正确的积，只需列式为576×11，正确的积是6336。 10．李老师要临摹一幅字帖，已经临摹了249个字，还剩下186个字没有临摹。这幅字帖一共有多少个字？应用( )法计算，列式为( )。 【答案】 加 249＋186＝435（个） 【分析】根据题意，要计算李老师临摹的字帖一共多少字，用已经临摹的字数加上还没有临摹的字数，即为一共的字数，所以应用的是加法计算，据此解答。 【详解】根据分析可得： 249＋186＝435（个） 所以应用加法计算，列式为249＋186＝435（个）。 11．人民公园有230盆花卉盆景，树木盆景比花卉盆景多174盆。树木盆景有( )盆，花卉盆景和树木盆景一共有( )盆。 【答案】 404 634 【分析】根据求比一个数多几的数，用加法计算，用花卉盆景的数量加上树木盆景比花卉盆景多的数量即可求出树木盆景的数量，然后用求出树木盆景的数量加上花卉盆景的数量即可求出花卉盆景和树木盆景的总数量。 【详解】230＋174＝404（盆） 404＋230＝634（盆） 则树木盆景有（404）盆，花卉盆景和树木盆景一共有（634）盆。 12．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是20厘米，水面高是5厘米。把一个长10厘米、宽8厘米、高3.14厘米的长方体铁块浸没在水中（水未溢出），此时水面高度是( )厘米。已知这个长方体铁块的体积是圆柱形容器容积的，圆柱形容器的容积是( )毫升。 【答案】 5.8 2009.6 【分析】第一空铁块浸入水中上升水的体积等于铁块体积，先根据长方体的体积公式算出铁块体积，再由圆柱的体积公式可知求出水面上升高度，加上原有水面高度得到现在水面高度；第二空把圆柱容积看作单位“1”，根据求单位“1”的量用除法计算，用铁块体积除以对应分率得到容积，再根据1立方厘米＝1毫升换算单位。 【详解】10×8×3.14＝251.2（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝314（平方厘米） 251.2÷314＝0.8（厘米） 5＋0.8＝5.8（厘米） 10×8×3.14 ＝10×8×3.14×8 ＝80×3.14×8 ＝251.2×8 ＝2009.6（立方厘米） 2009.6立方厘米＝2009.6毫升 所以此时水面高度是5.8厘米；圆柱形容器的容积是2009.6毫升。 13．定义运算符号“※”，满足，已知2x※3x＝17，则x的值是( )。 【答案】12 【分析】已知a※b＝，则2x※3x＝，由此解答本题。 【详解】2x※3x＝ 解： 14．小张在计算5.35加上一个一位小数时，由于错误将一位小数的小数点向左移动了一位，结果得7.28，正确的结果是( )。 【答案】 24.65 【分析】将一个小数的小数点向左移动一位，相当于把这个数缩小到了原来的，我们先用7.28减去5.35求出这个错误的加数，然后将小数点向右移动一位求出这个正确加数，最后相加得出正确结果。 【详解】7.28－5.35＝1.93，1.93×10＝19.3，19.3为一位小数，符合题意。5.35＋19.3＝24.65。 15．小明期中考试语文、数学、英语三科平均成绩为92分。已知语文成绩为87分，数学94分，英语成绩为( )分。 【答案】 95 【分析】把三科的平均成绩乘3，就能求出三科的总成绩，然后用三科的总成绩分别减去语文的成绩，再减去数学的成绩，（或者用三科的总成绩减去语文成绩加数学成绩的和）即可求出英语的成绩。 【详解】92×3＝276（分） 276－87－94＝95（分） 或者：276－（87＋94） ＝276－181 ＝95（分） 英语成绩为95分。 16．王红用计算器计算3.75×86时，发现小数点键坏了，但她仍用计算器算出了正确结果。请你把她的方法用算式表达出来( )。 【答案】或 【分析】小数点键损坏无法直接输入3.75，根据小数点的移动规律，可将3.75转化为不带小数点的数通过运算得到，再计算得数。 【详解】 所以，也可以写成。 17．口算。                                                                                       【答案】 ；；；；； ；；；； 【解析】略 18．脱式计算，能简算的要简算。                                                                         【答案】；；；； ；；； 【分析】（1）找到32和24的最大公因数8，先约分再计算； （2）根据除法法则转化为乘除数的倒数，再按分数乘法规则计算； （3）交叉约分再计算； （4）根据除法法则转化为乘除数的倒数，再按分数乘法规则计算； （5）先找到分母9、6、2的最小公倍数18，通分后再计算； （6）先运用减法的性质去括号，再通分计算； （7）运用加法交换律，先计算，再减； （8）去括号后变号，变形为，先计算同分母分数加法，再通分进行计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 19．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时行60千米，乙车每时行45千米。当甲车行驶了全程的时，两车还相距150千米。则A、B两地相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】把A、B两地的距离看作单位“1”，根据甲、乙两车的速度，求出两车的速度比是4∶3，即乙车的速度是甲的；因为两车是同时出发，当甲车行了全程的时，乙车行了全程的；用单位“1”分别减去甲车和乙车行驶了全程的分率，得到还未行驶的分率；最后用150千米除以未行驶的分率即可求出全程的距离。 【详解】 乙车的速度是甲的 ＝360（千米） 答：A、B两地相距360千米。 20．暑假快到了，淘气妈妈正在计划全家出游的旅行预算。她发现其中机票费用4300元，旅游景点门票费用800元，这两项花费加起来，正好占了旅行总预算的。聪明的你，能帮淘气妈妈算出这次旅行的总预算是多少元吗？ 【答案】12750元 【分析】把旅行总预算看作单位“1”，机票费用和门票费用的和是具体数量，对应的分率是。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算，即对应量除以对应分率等于单位“1”的量。 【详解】 （元） 答：这次旅行的总预算是12750元。 21．某道路施工公司准备修一条2800米长的乡村道路。开工5天后完成了全部的，照这样的进度，剩下的道路13天能修完吗？写出你的思考过程。 【答案】剩下天数需要修12.5天，12.5天＜13天，可以修完。 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，据此求出工作效率，再用剩下的量除以效率和13比较即可。 【详解】（1－）÷（） ＝（1－）÷（） ＝÷ ＝× ＝12.5（天） 12.5＜13 答：剩下的工程13天能完成。 22．目前中国人民解放军海军是西太平洋地区最大规模的海上武装力量。蓝海小学为发展学生对航海的兴趣，组建海模小组。其中舰艇小组有48人，潜艇小组人数比舰艇小组多，海航小组人数是舰艇小组的75%。 (1)潜艇小组有多少人？ (2)海航小组有多少人？ 【答案】(1)60人 (2)36人 【分析】（1）潜艇小组人数比舰艇小组多，将舰艇小组的人数看作单位“1”，那么潜艇小组人数是舰艇小组人数的（1＋），所以，潜艇小组的人数＝舰艇小组的人数×（1＋）。 （2）海航小组人数是舰艇小组的75%，即海航小组人数＝舰艇小组人数×75%。 【详解】（1）48×（1＋） ＝48× ＝60（人） 答：潜艇小组有60人。 （2）48×75% ＝48×0.75 ＝36（人） 答：海航小组有36人。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、数的意义与计数单位 1 二、分数与小数的基本性质 2 三、四则运算的意义与相互关系 3 四、数的运算的一致性 4 考点讲练 4 考点一：数的计数单位与数的组成 4 考点二：分数与小数的基本性质及应用 5 考点三：四则运算的互逆关系与各部分关系 6 考点四：运算的一致性与简便计算 7 综合训练 7 知识梳理 一、数的意义与计数单位 计数单位是数的核心组成基础，整数、小数、分数虽然表现形式不同，但本质上都是 “对应计数单位的累加”，这是数的概念的一致性。 1. 整数的计数单位 整数的计数单位从低到高依次为：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿…… 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10，即十进制计数法。 一个整数有多少个计数单位，它的数值就是多少。例如 320 是由 3 个百、2 个十组成，也就是 320 个一。 2. 小数的计数单位 小数是十进制分数的另一种表示形式，小数的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）…… 每相邻两个计数单位之间的进率也是 10，与整数的计数规则完全统一。 例如 0.45 的计数单位是 0.01，它包含 45 个这样的计数单位。 3. 分数的计数单位 把单位 “1” 平均分成若干份，表示其中 1 份的数叫作这个分数的分数单位，也就是分数的计数单位。 分数单位的大小由分母决定：分母是几，分数单位就是几分之一；分子是几，就表示有几个这样的分数单位。 例如的分数单位是，它有 5 个这样的分数单位。 4. 计数单位的本质统一 无论是整数、小数还是分数，数的组成逻辑完全一致：数都是计数单位的累加，数的大小由计数单位的类型和个数共同决定。 二、分数与小数的基本性质 1. 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 应用 1：约分 —— 把分数化成分子、分母更小但大小不变的最简分数； 应用 2：通分 —— 把异分母分数化成同分母分数，统一分数单位。 注意：分数大小不变，但分数单位会发生变化：分子分母同时乘几，分数单位就变小；同时除以几，分数单位就变大。 2. 小数的基本性质 在小数的末尾添上 0 或者去掉 0，小数的大小不变。 应用 1：化简小数 —— 去掉小数末尾多余的 0； 应用 2：改写小数 —— 根据需要把小数改写成指定计数单位的数。 注意：小数大小不变，但计数单位会发生变化：末尾添 0，计数单位变小；末尾去 0，计数单位变大。 3. 两条性质的内在联系 小数的基本性质是分数基本性质的特殊形式。因为小数本质上是分母为 10、100、1000…… 的分数，小数末尾添 0，相当于分数的分子分母同时乘 10、100……，符合分数的基本性质，二者底层逻辑完全一致。 三、四则运算的意义与相互关系 1. 加法与减法的关系 加法：把两个数合并成一个数的运算，是最基础的运算。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 核心关系：减法是加法的逆运算。 各部分等量关系： 2. 乘法与除法的关系 乘法：求几个相同加数和的简便运算（整数乘法）；一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 核心关系：除法是乘法的逆运算。 各部分等量关系： 3. 四则运算的层级联系 乘法是相同加数加法的简便运算，除法是相同减数连减的简便运算。所有四则运算最终都可以回溯到加法的基本逻辑，运算之间可以相互转化，这是运算关系的本质统一。 四、数的运算的一致性 整数、小数、分数的运算规则看似不同，但底层逻辑完全一致，都是围绕 “计数单位” 展开的运算。 1. 加减法的一致性 加减法的核心规则：只有相同计数单位的数，才能直接相加减。 整数加减法：相同数位对齐，本质是让相同计数单位对齐，个位加个位、十位加十位； 小数加减法：小数点对齐，本质也是让相同计数单位对齐，十分位加十分位、百分位加百分位； 分数加减法：同分母分数直接分子相加减，因为分数单位相同；异分母分数先通分，统一分数单位后再加减。 2. 乘除法的一致性 乘除法的本质：计数单位与计数单位相乘除，计数单位的个数与计数单位的个数相乘除。 整数乘法：先算计数单位的个数相乘，再确定最终的计数单位； 小数乘法：先按整数乘法算出个数的积，再根据因数的小数位数确定积的计数单位； 分数乘法：分子乘分子是计数单位的个数相乘，分母乘分母是计数单位相乘； 分数除法：除以一个数等于乘它的倒数，把除法统一转化为乘法运算，底层逻辑保持一致。 3. 运算律的一致性 整数加法、乘法的所有运算律，对小数、分数完全适用，包括： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 运算律的通用，进一步体现了数的运算在本质上的一致性。 考点讲练 考点一：数的计数单位与数的组成 【典例精讲】 一个数由 4 个十、6 个十分之一和 9 个千分之一组成，这个数写作多少？它的计数单位是什么？它包含多少个这样的计数单位？ 【变式训练 1】 的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【变式训练 2】 判断：两个计数单位之间的进率都是 10。（ ） 【变式训练 3】 下面关于 0.3 和 0.30 的说法，正确的是（ ）。 A. 大小相等，计数单位相同 B. 大小相等，计数单位不同 C. 大小不等，计数单位相同 考点二：分数与小数的基本性质及应用 【典例精讲】 按要求完成下面各题。 （1）把化成分母是 36 而大小不变的分数； （2）把 0.7 改写成以百分之一为计数单位的数。 【变式训练 1】 一个分数的分子除以 2，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 A. 乘 2 B. 除以 2 C. 不变 【变式训练 2】 判断：在小数点的后面添上 0 或者去掉 0，小数的大小不变。（ ） 【变式训练 3】 把约分成最简分数是多少？约分后分数的大小和分数单位分别发生了什么变化？ 考点三：四则运算的互逆关系与各部分关系 【典例精讲】 根据，直接写出下面两道题的得数。 【变式训练 1】 在括号里填上合适的数。 （ ） （ ） 【变式训练 2】 小马虎在计算一道加法题时，把一个加数 2.3 看成了 23，算得的结果是 45.6，正确的结果应该是多少？ 【变式训练 3】 下面不能用来验算的算式是（ ）。 A. B. C. 考点四：运算的一致性与简便计算 【典例精讲】 用简便方法计算： 【变式训练 1】 用简便方法计算： 【变式训练 2】 计算最简便的方法是（ ），这个方法在小数、分数运算中同样适用。 A. B. C. 【变式训练 3】 用简便方法计算： 综合训练 1．下面算式中的“7”和“2”，可以直接相减的是（    ）。 A．37－21 B．3.7－1.2 C． D．37%－21% 2．淘气在用计算器计算6.9×8时，发现计算器的按键“6”坏了，淘气想到了下面4种不同的输入方法，错误的是（    ）。 A．2.3×3×8 B．（4＋2.9）×8 C．7×8－8 D．（7－0.1）×8 3．妈妈买了一本汉语词典和3本童话书，共用去43.4元。童话书的单价是汉语词典的，每本童话书（    ）元。 A．6.1 B．6.2 C．6.3 D．6.4 4．李阿姨在商场促销活动中买了3件办公用具。在这三件工具中，最便宜的是103元，最贵的297元。估一估李阿姨付出总价的范围，比较合理的是（    ）。 A．300～500 B．400～500 C．500～700 D．700～800 5．联欢会上，老师准备了144块奶糖分给同学们。老师先把这些奶糖平均分给8个小组，每个小组再把奶糖平均分给6名同学，每名同学能分到（    ）块奶糖。 A．3 B．2 C．1 D．4 6．将纸带A平均分成5份，每份长度为a米；将纸带B平均分成10份，每份长度为b米。下列说法中正确的是（    ）。 A．若a＝b＋b，则A纸带比B纸带长 B．若a＝b＋b，则A、B两根纸带长度相等 C．若b＝a＋a，则A纸带比B纸带长 D．若b＝a＋a，则A、B两根纸带长度相等 7．某商场“五一”期间所有商品一律打九折，也就是降价( )%出售。小明花了180元买到一台电风扇，原价应是( )元。 8．小林模仿“曹冲称象”来称重。小林站在船上，船下沉0.3cm；换成哥哥站在船上，船下沉0.7cm。小林的体重是35.4千克，哥哥的体重是( )千克。 9．琪琪在计算一道乘法算式时，把其中一个因数22看成了2，结果得到的积是576，正确的积是多少？下面是两位同学不同的解题思路，请你完成填空。 乐乐 丁丁 先根据错误的结果求出另一个因数，列式为576÷（    ）＝（    ），再求出正确的积，列式为（    ）×22＝（    ）。 因为22÷2＝11，所以正确的积应是576的（    ）倍，求正确的积，只需列式为（                ），正确的积是（    ）。 10．李老师要临摹一幅字帖，已经临摹了249个字，还剩下186个字没有临摹。这幅字帖一共有多少个字？应用( )法计算，列式为( )。 11．人民公园有230盆花卉盆景，树木盆景比花卉盆景多174盆。树木盆景有( )盆，花卉盆景和树木盆景一共有( )盆。 12．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是20厘米，水面高是5厘米。把一个长10厘米、宽8厘米、高3.14厘米的长方体铁块浸没在水中（水未溢出），此时水面高度是( )厘米。已知这个长方体铁块的体积是圆柱形容器容积的，圆柱形容器的容积是( )毫升。 13．定义运算符号“※”，满足，已知2x※3x＝17，则x的值是( )。 14．小张在计算5.35加上一个一位小数时，由于错误将一位小数的小数点向左移动了一位，结果得7.28，正确的结果是( )。 15．小明期中考试语文、数学、英语三科平均成绩为92分。已知语文成绩为87分，数学94分，英语成绩为( )分。 16．王红用计算器计算3.75×86时，发现小数点键坏了，但她仍用计算器算出了正确结果。请你把她的方法用算式表达出来( )。 17．口算。                                                                                       18．脱式计算，能简算的要简算。                                                                         19．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时行60千米，乙车每时行45千米。当甲车行驶了全程的时，两车还相距150千米。则A、B两地相距多少千米？ 20．暑假快到了，淘气妈妈正在计划全家出游的旅行预算。她发现其中机票费用4300元，旅游景点门票费用800元，这两项花费加起来，正好占了旅行总预算的。聪明的你，能帮淘气妈妈算出这次旅行的总预算是多少元吗？ 21．某道路施工公司准备修一条2800米长的乡村道路。开工5天后完成了全部的，照这样的进度，剩下的道路13天能修完吗？写出你的思考过程。 22．目前中国人民解放军海军是西太平洋地区最大规模的海上武装力量。蓝海小学为发展学生对航海的兴趣，组建海模小组。其中舰艇小组有48人，潜艇小组人数比舰艇小组多，海航小组人数是舰艇小组的75%。 (1)潜艇小组有多少人？ (2)海航小组有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $