衔接点02 素因数分解与最大公因数、最小公倍数（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

衔接点02 素因数分解与最大公因数、最小公倍数 小学视角 初中展望 小学阶段初步认识了奇数、偶数，接下来要学习素数、合数，分解素因数等；核心素养侧重数感与初步的分类思想。 进入初中后，分解素因数是整式因式分解的“前奏”，最大公因数对应“公因式”，最小公倍数对应“公分母”。这些概念将贯穿整个代数学习，尤其是分式的通分、约分、分式加减运算，都需要熟练运用这部分知识。 衔接引导 本讲是在第1讲“因数与倍数”基础上的自然延伸。你已经知道了如何找一个数的因数，那么问题来了：是不是所有数的因数都一样“重要”？ 有些因数还能继续分解，有些则“拆无可拆”——这些“拆不动”的因数，就是素数（质数）。本讲的核心任务有两项：第一，学会判断一个数是素数还是合数；第二，掌握用短除法把一个合数分解成素因数乘积的形式。短除法是这一讲的关键技能，也是后续求最大公因数、最小公倍数的工具，务必熟练掌握。 考点阐释 一、素数（质数）与合数 1.素数（质数） ：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做素数（也叫做质数）。例如：2、3、5、7、11、13…… 2.合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如：4、6、8、9、10、12…… 3.特别重要：1既不是素数，也不是合数。正整数按因数个数分类，可分为三类：1、素数、合数。 4.最小素数：最小的素数是2，它也是素数中唯一的偶数。最小的合数是4。 5.素数表（20以内） ：2、3、5、7、11、13、17、19（共8个）。100以内素数表是后续学习的常用工具，建议熟记。 二、素因数与分解素因数 1.素因数（质因数） ：如果一个素数是某个合数的因数，那么就说这个素数是这个合数的素因数。例如：30＝2×3×5，其中2、3、5都是30的素因数。 2.分解素因数（分解质因数） ：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。例如：30＝2×3×5。 3.唯一性：任何一个合数分解素因数的结果是唯一的（不计素因数的排列顺序）。这是分解素因数最重要的性质之一。 4.书写格式：把要分解的合数写在等号的左边，素因数连乘的形式写在等号的右边。如30＝2×3×5，不能写成2×3×5＝30（那是乘法运算，不是分解素因数）。 三、分解素因数的方法（短除法——关键技能） 方法总结 短除法是分解素因数最常用、最可靠的方法。步骤如下： ① 把要分解的数写在短除号“∟”里面。 ② 用能整除这个合数的最小素数（通常从2开始）去除它。 ③ 把除得的商写在下面。 ④ 继续用素数去除商，一直除到商是素数为止。 ⑤ 把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 示例：用短除法将90分解素因数． 易错提醒：短除法过程中，每一步都要用素数去除（2、3、5、7、11…），不能直接用合数去除。除到商为素数时立即停止。 4、 公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数（Maximum Common Divisor，简写为M.C.D或gcd）。 互质：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。例如：8和9互质。 方法总结 求最大公因数的方法： 枚举法（适用于较小的数）：分别列出两个数的所有因数，找出公因数中最大的。 分解素因数法：分别分解素因数，公有的素因数的乘积即为最大公因数。 短除法（最常用）：用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数相乘。 5、 公因数与最大公因数 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数（Least Common Multiple，简写为L.C.M或lcm）。 方法总结 求最小公倍数的方法： 枚举法（适用于较小的数）：分别列出两个数的倍数，找出公倍数中最小的。 分解素因数法：分别分解素因数，公有的素因数取最高次幂相乘。 短除法（最常用）：用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数和最后的商相乘。 题型1 素数、合数的判断与分类 【解题技巧】识别标志：题目给出若干个数，要求“判断哪些是素数”“哪些是合数”或“按要求分类”。 解题技巧：逐个数写出它的所有因数，因数只有1和它本身的是素数；除了1和它本身还有别的因数的是合数；1两者都不是。 例1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）下列正整数中，属于合数的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（25-26六年级上·上海·开学考试）下列各组数，既是合数又是互素的数是（    ）． A．9和16 B．12和24 C．11和24 D．15和21 例3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下面各数中，与6互素的合数是（     ） A．5 B．10 C．21 D．25 变式1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列数中，既是合数又是奇数的是（    ） A．3 B．9 C．12 D．17 变式2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各对数①1和3、②5和6、③3和51，互素的是__________．（填序号） 变式3.（25-26六年级上·上海·阶段检测）把下列数按要求填入下图． 1，2，9，24，29，31，91 变式4.（25-26六年级上·上海·阶段检测）最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和为_____． 变式5.（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（） A．因为，所以3.6能被1.2整除 B．16的因数有2，4，8，16 C．自然数和负整数统称为整数 D．一个素数和一个合数一定互素 题型2 分解素因数（短除法） 【解题技巧】识别标志：题目明确要求“把下列各数分解素因数”或“用短除法分解素因数”。 解题技巧：严格按照短除法五步法操作——从最小素数开始依次试除，直到商为素数为止，最后把所有除数和最后的商连乘起来。 例1．（25-26六年级上·上海普陀·期中）下列算式中，能正确表示把60分解质因数的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）任何自然数都能分解素因数．( ) 例3．（25-26六年级上·上海·期中）把一个正整数分解素因数，如果所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，那么称这样的数为“史密斯数”，例如：，，即27是“史密斯数”；，，即166是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，_______是“史密斯数”． 变式1．（25-26六年级上·上海·期末）把154分解质因数是_____． 变式2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）分解素因数__________． 变式3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是________． 变式4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）75的素因数是____________． 变式5．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用短除法分解素因数 (1)143 (2)216 题型3：利用分解素因数找一个数的所有因数 【解题技巧】识别标志：题目给出一个数的分解素因数形式，要求“写出这个数的所有因数”或“求因数的个数”。 解题技巧：将分解素因数中所有素因数进行组合（每个素因数可取0次到最高次），得到的每一个乘积都是原数的一个因数。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个数最小的倍数是48，则这个数的素因数有____________． 例2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在1008的因数中，能被6整除的数有____________个． 例3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）请将六个数：2、3、14、15、30、42分成两组，使得两组数的乘积相等，写出所有的分组方法． 变式1．一个数的最小倍数是24，这个数的所有因数中，共有_______对数是互素的． 变式2.（25-26六年级上·上海静安·课后作业）若a=18，则a的素因数是______________，a的因数是____________________ 变式3.（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）天馨学校运动会举行跳绳比赛，取得前三名的同学恰好一个比一个大一岁，三名同学的年龄的乘积是2730，这三名同学的年龄各是多少？ 题型4 求最大公因数 【解题技巧】识别标志：题目要求“求下面各组数的最大公因数”。解题技巧：首选短除法——用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数相乘。对于较小的数也可用枚举法或分解素因数法。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲数，乙数，当为（　　）时，甲、乙的最大公因数是66． A．3 B．5 C．7 D．11 例2．（24-25六年级上·上海·期中）18和24的最大公因数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 例3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）若，，则a和b的最大公因数是__________． 例4．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最大公因数是_______________． 变式1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，则m和n的最大公因数为__________． 变式2．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲数可以写成，乙数可以写成，甲乙两数的最大公因数是30，则正整数___________． 变式3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）已知，，且、的最大公因数是，则______． 变式4．（25-26六年级上·上海·期中）两数的和是60，最大公因数是12，那么这两个数是_____． 变式5．（25-26六年级上·上海闵行·期中）已知甲数，乙数，如果甲和乙的最大公因数是20，那么_____． 题型5：求最小公倍数 【解题技巧】识别标志：题目要求“求下面各组数的最小公倍数”。解题技巧：首选短除法——用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数和最后的商相乘。注意和求最大公因数的区别：求最大公因数只乘除数，求最小公倍数要乘除数和商。 例1．（25-26六年级上·上海金山·期中）36和48的最小公倍数是______． 例2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知，，则、的最小公倍数______． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是180，其中一个正整数是36，则另一个正整数是________． 变式1．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果和的最大公因数是6．且，，那么和的最小公倍数是______． 变式2．（25-26六年级上·上海·期中）M是100以内能整除16的最小正数，N是能被32整除的最大两位数，则的值为___________． 变式3．（25-26六年级上·上海·期中）甲数，乙数，、均为素数，甲数和乙数的最大公因数是105，最小公倍数小于1200，那么______． 题型6：最大公因数的应用 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景，核心是“平均分”“裁纸”“铺地砖”“分组”等，本质是把一个整体分成若干相等且最大的部分。 解题技巧：判断出是“等分”问题后，转化为求最大公因数。先将相关数分解素因数或用短除法求最大公因数，再根据题意作答。 例1．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）长方形的地面用整块的正方形地砖恰好铺满．地面长600厘米，宽是480厘米．若想用尺寸较大的地砖来铺，地砖有、、、（单位：厘米×厘米）四种尺寸应选（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某校有36名男生和48名女生，分组进行活动，要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有___名学生． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 变式1．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）现有一张长为30厘米，宽为24厘米的长方形纸片，要把这张纸片裁成若干边长为整数、大小相同的小正方形，且没有剩余．那么小正方形的边长最大是________厘米． 变式2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）一块长1米，宽6分米的长方形木板，若把它锯成尽可能大的面积相等的正方形小木块，且没有剩余，则这块木板一共可以被锯成________个符合上述要求的正方形小木块． 变式3．（25-26六年级上·上海松江·期中）某小区内部道路如图所示，长，长，长，要在这条道路的一侧等距离安装地面照明灯，且要求两端和转弯处都必须安装，那么这条道路最少要安装多少盏地面照明灯？ 题型7：最小公倍数 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景，核心是“平均分”“裁纸”“铺地砖”“分组”等，本质是把一个整体分成若干相等且最大的部分。 解题技巧：判断出是“等分”问题后，转化为求最大公因数。先将相关数分解素因数或用短除法求最大公因数，再根据题意作答。 例1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ）． A．因为，所以能被整除 B．的因数有，，， C．两个相邻的正整数的最大公因数为 D．两个相邻的正整数的最小公倍数为 例2．（25-26六年级下·上海·阶段检测）6和8这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26六年级上·上海·期末）把自然数a与b分解质因数，得到．如果a与b的最小公倍数是2310，那么_______． 变式1．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 变式2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． (1)46和92； (2)84和210． 变式3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知，，则、的最小公倍数______． 题型8：最小公倍数的应用 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景，核心是“下次相遇”“下次重合”“下次同时发车”等，本质是多个周期在未来的共同重合时间。 解题技巧：判断出是“周期重合”问题后，转化为求最小公倍数。先将相关数求最小公倍数，再根据起始时间往后推算。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组，那么至少要选拔_____名学生参加跳舞． 例2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）一包糖果不论平均分给9人还是人，都能正好分完，这包糖果最少可能为________________块． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）有一批书平均分给6个小朋友，结果多3本，平均分给8个小朋友，也多5本，平均分给9个小朋友，还多6本，这批书最少有_____本． 变式1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成四等分，第二种刻度线将木棍分成六等分，第三种刻度线将木棍分成九等分，如果沿每条刻度线将木棍锯断，总共被锯成了________段． 变式2．（25-26六年级上·上海·期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 变式3．（25-26六年级上·上海·期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 题型9；最大公因数与最小公倍数的互求（利用“两数之积”关系） 【解题技巧】识别标志：题目已知两个数的最大公因数（或最小公倍数），要求另一个量；或者给出两数之积和其中一个量，求另一个。 解题技巧：利用核心关系式：两数之积＝最大公因数×最小公倍数。已知其中三个量，可求第四个。 例1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）甲乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，若甲数是6，则乙数是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 例2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是，求这两个正整数分别是多少？ 例3．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 变式1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）有一些小朋友排成一行，从左边第一个人开始，每隔4个人（每5个人）发一个苹果；从右边第一个人开始，每隔6个人（每7个人）发一个梨；最后发现恰有7个人既拿到了苹果，也拿到了梨．则这些小朋友最少有几人?最多有几人? 变式2．（24-25六年级上·上海·期中）为了以最佳生态环境迎接2024年中国国际进口博览会，上海各处的绿化景观提升正在加紧建设中．为了响应这一政策，某小区内一条路两边每隔4米处放一盆绿色盆栽（路的两端都有盆栽），一共放了86盆；后又改成每隔6米放一盆绿色盆栽，请问不需要移动的有几盆？ 变式3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）在宝山水产西路的一边，等距离种树（两端都种），开始每隔12米种一棵，后来改为每隔16米种一棵，发现不用改种的树共25棵，问水产西路有多长？ 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（   ）． A．4能被20整除 B．一个合数至少有三个因数 C．奇数和偶数一定互素 D．偶数都是合数 2.（2025六年级上·上海·专题练习）两个素数相乘的积是（    ） A．合数 B．偶数 C．奇数 D．仍是素数 3.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．偶数都是合数，奇数都是素数 B．整数可以分为正整数和负整数两类 C．互素的两个数没有公因数 D．能被6整除的数一定能被3整除 4.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）将1170分解素因数：_____________． 5．（25-26六年级上·上海·阶段检测）阅读以下材料并回答问题： 要写出一个整数的因数，我们可以用试除的方法一个个试算出来，也可以按照规律一对一对地写出来．但对于数字较大的合数，这样求因数既费时，又容易漏掉．有没有更好的办法呢？有人提出，可以先将合数分解素因数，然后把每个素因数的个数加1，连乘起来的乘积就是这个合数的所有因数的个数． 例如，，的素因数有1个2，1个3，1个5，那么30的因数个数为个． 用材料中提到的方法，回答下列问题∶ (1)，则的因数个数为_____个． (2)（为互不相同的素数），则的因数个数为_____个． (3)求出2160的所有因数个数． 6.（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个正整数的最大公因数是6，它们的积是216，则这两个正整数是______． 7.（25-26六年级上·上海·阶段检测）一块长方形木板，长为18分米，宽为12分米，锯成若干相同的正方形木板，要求正方形的面积最大，并且木板没有剩余，锯成的正方形木板边长是多少分米？可锯几块？ 8.（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）长方形的操场，长100米，宽60米，在四角和四周种上树苗，并使相邻两棵树苗间的距离都相等，问：最远应每隔多少米种一棵？一共需要树苗多少棵？ 9.（25-26六年级上·上海·期中）在长千米的公路的一边等距离种树（两端都种），开始每隔9米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 10.（25-26六年级上·上海·阶段检测）为美化市容市貌，市政府决定对某地区进行整改，有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是45米，现在要改成相距都是60米，且起点那根电线杆不动． (1)从起点开始到第一根不需移动的电线杆之间的距离是多少米? (2)从第一根电线杆之间的距离有1800米除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆还有多少根? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点02 素因数分解与最大公因数、最小公倍数 小学视角 初中展望 小学阶段初步认识了奇数、偶数，接下来要学习素数、合数，分解素因数等；核心素养侧重数感与初步的分类思想。 进入初中后，分解素因数是整式因式分解的“前奏”，最大公因数对应“公因式”，最小公倍数对应“公分母”。这些概念将贯穿整个代数学习，尤其是分式的通分、约分、分式加减运算，都需要熟练运用这部分知识。 衔接引导 本讲是在第1讲“因数与倍数”基础上的自然延伸。你已经知道了如何找一个数的因数，那么问题来了：是不是所有数的因数都一样“重要”？ 有些因数还能继续分解，有些则“拆无可拆”——这些“拆不动”的因数，就是素数（质数）。本讲的核心任务有两项：第一，学会判断一个数是素数还是合数；第二，掌握用短除法把一个合数分解成素因数乘积的形式。短除法是这一讲的关键技能，也是后续求最大公因数、最小公倍数的工具，务必熟练掌握。 考点阐释 一、素数（质数）与合数 1.素数（质数） ：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做素数（也叫做质数）。例如：2、3、5、7、11、13…… 2.合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如：4、6、8、9、10、12…… 3.特别重要：1既不是素数，也不是合数。正整数按因数个数分类，可分为三类：1、素数、合数。 4.最小素数：最小的素数是2，它也是素数中唯一的偶数。最小的合数是4。 5.素数表（20以内） ：2、3、5、7、11、13、17、19（共8个）。100以内素数表是后续学习的常用工具，建议熟记。 二、素因数与分解素因数 1.素因数（质因数） ：如果一个素数是某个合数的因数，那么就说这个素数是这个合数的素因数。例如：30＝2×3×5，其中2、3、5都是30的素因数。 2.分解素因数（分解质因数） ：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。例如：30＝2×3×5。 3.唯一性：任何一个合数分解素因数的结果是唯一的（不计素因数的排列顺序）。这是分解素因数最重要的性质之一。 4.书写格式：把要分解的合数写在等号的左边，素因数连乘的形式写在等号的右边。如30＝2×3×5，不能写成2×3×5＝30（那是乘法运算，不是分解素因数）。 三、分解素因数的方法（短除法——关键技能） 方法总结 短除法是分解素因数最常用、最可靠的方法。步骤如下： ① 把要分解的数写在短除号“∟”里面。 ② 用能整除这个合数的最小素数（通常从2开始）去除它。 ③ 把除得的商写在下面。 ④ 继续用素数去除商，一直除到商是素数为止。 ⑤ 把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 示例：用短除法将90分解素因数． 易错提醒：短除法过程中，每一步都要用素数去除（2、3、5、7、11…），不能直接用合数去除。除到商为素数时立即停止。 4、 公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数（Maximum Common Divisor，简写为M.C.D或gcd）。 互质：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。例如：8和9互质。 方法总结 求最大公因数的方法： 枚举法（适用于较小的数）：分别列出两个数的所有因数，找出公因数中最大的。 分解素因数法：分别分解素因数，公有的素因数的乘积即为最大公因数。 短除法（最常用）：用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数相乘。 5、 公因数与最大公因数 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数（Least Common Multiple，简写为L.C.M或lcm）。 方法总结 求最小公倍数的方法： 枚举法（适用于较小的数）：分别列出两个数的倍数，找出公倍数中最小的。 分解素因数法：分别分解素因数，公有的素因数取最高次幂相乘。 短除法（最常用）：用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数和最后的商相乘。 题型1 素数、合数的判断与分类 【解题技巧】识别标志：题目给出若干个数，要求“判断哪些是素数”“哪些是合数”或“按要求分类”。 解题技巧：逐个数写出它的所有因数，因数只有1和它本身的是素数；除了1和它本身还有别的因数的是合数；1两者都不是。 例1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）下列正整数中，属于合数的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】质数与合数 【分析】此题考查了合数， 合数是大于1且除了1和它本身外还有其他因数的正整数，据此求解即可． 【详解】解：A．根据合数的定义，合数是大于1的正整数，1不满足该条件，∴不是合数． B．因数只有1和2，是质数，∴不是合数． C．因数只有1和3，是质数，∴不是合数． D．因数有1、2、4，共3个因数，∴是合数． 故选：D． 例2．（25-26六年级上·上海·开学考试）下列各组数，既是合数又是互素的数是（    ）． A．9和16 B．12和24 C．11和24 D．15和21 【答案】A 【知识点】质数与合数 【分析】本题主要考查了互素数的定义，“两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素”，根据互为素数的意义求解即可． 需要找出两个数都是合数且互素的选项，合数是指大于1的非质数，互素是指最大公约数为1，据此求解即可． 【详解】解：A、9和16都是合数，且只有公因数1， ∴9和16既是合数又是互素，符合题意； B、∵， ∴12和24都是合数，但有公因数， ∴12和24不互素，不符合题意； C、11是质数，不是合数，不符合题意； D、， ∴15和21都是合数，但有公因数， ∴15和21不互素，不符合题意； 故选：A 例3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下面各数中，与6互素的合数是（     ） A．5 B．10 C．21 D．25 【答案】D 【知识点】质数与合数 【分析】根据合数指除了1和自身外还有其他因数的正整数，互素指两个数的最大公因数为1，求解即可 【详解】解： 的质因数得 ∵选项A中5是质数，不是合数，∴排除A ∵选项B中 ，10和6有公因数2，不互素，∴排除B ∵选项C中 ，21和6有公因数3，不互素，∴排除C ∵选项D中 ，25是合数，且25和6只有公因数1，满足与6互素， ∴D符合要求 变式1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列数中，既是合数又是奇数的是（    ） A．3 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【知识点】质数与合数、 奇数与偶数的认识 【分析】此题主要考查合数与奇数的意义，合数指在大于1的整数中，除了1和它本身以外还能被其他正整数整除的数．在整数中，不能被2整除的数叫做奇数． 根据合数与奇数的意义逐项分析即可． 【详解】A．3是奇数，不是合数； B．9是奇数，且，有因数3，是合数； C．12是偶数，不是奇数； D．17是质数，不是合数． 故选B． 变式2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各对数①1和3、②5和6、③3和51，互素的是__________．（填序号） 【答案】①② 【知识点】质数与合数 【分析】本题考查了质数的概念，理解互素的概念是解题的关键． 根据互素，就是互为质数，两个数之间除了1之外没有更多的公约数，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①1和3的公约数只有1，互素； ②5和6的公约数只有1，互素； ③3和51的公约数有1和3，不互素． 故答案为：①②． 变式3.（25-26六年级上·上海·阶段检测）把下列数按要求填入下图． 1，2，9，24，29，31，91 【答案】如图所示： 【知识点】质数与合数 【分析】一个数的因数只有和它本身两个的数是素数；除了和它本身以外，还有其他因数的数是合数；根据素数和合数的定义，把各数分别填入对应的图中即可．注意：既不是素数也不是合数． 【详解】解：既不是素数也不是合数， 的因数有和，故是素数， 的因数有、、，故是合数， 的因数有、、、、、、、，故是合数， 的因数有、，故是素数， 的因数有、，故是素数， 的因数有、、、，故是合数． 变式4.（25-26六年级上·上海·阶段检测）最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和为_____． 【答案】6 【知识点】质数与合数 【分析】本题考查了自然数、素数、合数，熟练掌握相关知识是解题关键．根据最小的自然数是0、最小的素数是2和最小的合数是4解答即可得． 【详解】解：∵最小的自然数是0，最小的素数是2，最小的合数是4， ∴最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和为， 故答案为：6． 变式5.（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（） A．因为，所以3.6能被1.2整除 B．16的因数有2，4，8，16 C．自然数和负整数统称为整数 D．一个素数和一个合数一定互素 【答案】C 【知识点】质数与合数、数的整除 【分析】本题考查整数、整除、因数和互素等概念．选项A涉及整除，但整除要求被除数和除数均为整数；选项B列举16的因数不全；选项C涉及整数的定义；选项D涉及素数与合数互素的情况，需举反例判断． 【详解】解：∵整除只适用于整数，3.6和1.2不是整数，∴A错误； ∵16的因数有1，2，4，8，16，选项缺少1，∴B错误； ∵整数包括自然数（正整数和0）、负整数，所以“自然数和负整数统称为整数”正确，∴C正确； ∵素数和合数不一定互素，如素数2和合数4的最大公约数为2≠1，∴D错误． ∴正确的是C． 故选：C． 题型2 分解素因数（短除法） 【解题技巧】识别标志：题目明确要求“把下列各数分解素因数”或“用短除法分解素因数”。 解题技巧：严格按照短除法五步法操作——从最小素数开始依次试除，直到商为素数为止，最后把所有除数和最后的商连乘起来。 例1．（25-26六年级上·上海普陀·期中）下列算式中，能正确表示把60分解质因数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查分解质因数关键是掌握分解质因数的方法：把一个合数写成几个质数的连乘积形式．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ；选项A为等式反向，非标准表示；选项B中10可分解为，非质数；选项D包含1，1非质数，故错误． 故选：C． 例2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）任何自然数都能分解素因数．( ) 【答案】× 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查了分解素因数．判断自然数是否都能分解素因数，需考虑自然数的定义及素因数分解的条件． 【详解】解：1既不是素数也不是合数，无法分解为素因数的乘积； 0也无法分解为素因数，因为任何素数相乘均不为0． 故命题“任何自然数都能分解素因数”是错误的． 故答案为：×． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）把一个正整数分解素因数，如果所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，那么称这样的数为“史密斯数”，例如：，，即27是“史密斯数”；，，即166是“史密斯数”．那么，在4、32、58、65、94中，_______是“史密斯数”． 【答案】4，58,94 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查分解素因数，根据史密斯数的定义，对每个数分解素因数，计算素因数的数字和与原数的数字和，比较是否相等即可． 【详解】解：对于4，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等； 对于32，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，不相等； 对于58，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等； 对于65，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，不相等； 对于94，分解素因数为，素因数数字和，原数数字和，相等． 因此，史密斯数有4，58,94． 故答案为：4，58,94． 变式1．（25-26六年级上·上海·期末）把154分解质因数是_____． 【答案】 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查分解质因数，分解质因数要求所有因数都是质数，而1不是质数，由此即可判断． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）分解素因数__________． 【答案】 【知识点】分解质因数 【分析】此题主要考查合数分解素因数的方法，用52最小的素因数去除，一直除到商是素数为止． 2的倍数的特点，尾数为；3的倍数的特点，所有数位上的数之和为3的倍数；5的倍数的特点，尾数为． 【详解】分解过程：，， ∵13是素数， ∴． 故答案为：． 变式3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是________． 【答案】 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查了新定义运算；根据运算定义，需分别求出合数40和36的素因数，再找出不是其素因数的最小素数，最后求和． 【详解】解：40的素因数分解为 ，素因数为2和5，不是其素因数的最小素数是3，故 ． 36的素因数分解为 ，素因数为2和3，不是其素因数的最小素数是5，故 ． 因此，． 故答案为：． 变式4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）75的素因数是____________． 【答案】3,5 【知识点】分解质因数 【分析】本题主要考查了求一个数的素因数，先求出75的所有因数，再找到这些因数中的素因数即可得到答案． 【详解】解： 所以75的因数有1，3，5，15，25，75， 所以75的素因数有3和5， 故答案为：3，5． 变式5．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用短除法分解素因数 (1)143 (2)216 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查了用短除法分解素因数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用短除法分解素因数，则，即可作答． （2）先运用短除法分解素因数，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴； （2）解：依题意， ∴． 题型3：利用分解素因数找一个数的所有因数 【解题技巧】识别标志：题目给出一个数的分解素因数形式，要求“写出这个数的所有因数”或“求因数的个数”。 解题技巧：将分解素因数中所有素因数进行组合（每个素因数可取0次到最高次），得到的每一个乘积都是原数的一个因数。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个数最小的倍数是48，则这个数的素因数有____________． 【答案】2和3 【知识点】质数与合数、分解质因数、因数和倍数的求法 【分析】本题考查倍数的基本性质（一个数最小的倍数是它本身）和素因数（质因数）的分解，涉及素因数分解知识点，运用了概念应用法．解题关键是先根据“最小倍数是本身”确定这个数，再对其分解素因数；易错点是混淆“素因数”与“因数”的概念，或分解素因数时遗漏重复的素因数． 第一步，根据“一个数最小的倍数是它本身”，可知这个数是48． 第二步，对48进行素因数分解，从最小的素数2开始除：，，，，3是素数，所以． 第三步，筛选出其中的素因数，即2和3． 【详解】一个数最小的倍数是它本身，所以这个数是48． 将48分解素因数：，所以它的素因数有2和3． 故答案为：2和3． 例2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在1008的因数中，能被6整除的数有____________个． 【答案】16 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查了数的整除的特征、求因数个数的方法与排列组合知识的综合应用。先把分解质因数是：，要使正因数能被6整除，即同时被2和3整除，即可得出能被6整除的数；据此解答即可． 【详解】 ∴能被6整除的数为6， 12， 18， 24， 36， 42， 48， 72， 84， 126， 144， 168， 252， 336， 504， 1008；共(个) 答：能被整除的有个． 故答案为：16． 例3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）请将六个数：2、3、14、15、30、42分成两组，使得两组数的乘积相等，写出所有的分组方法． 【答案】 第一种分组方法：，，，，，； 第二种分组方法：，，，，，． 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查分解质因数． 分解质因数，将质因数平均分为两组即可． 【详解】解：，，，，，， 因数共有个，每组个， 因数共有个，每组个， 因数共有个，每组个， 因数共有个，每组个， ∴共有以下两种分组方法： 第一种分组方法：，，，，，； 第二种分组方法：，，，，，． 变式1．一个数的最小倍数是24，这个数的所有因数中，共有_______对数是互素的． 【答案】10 【知识点】质数与合数、因数和倍数的求法 【分析】本题考查了倍数，互素的定义，互素是指两个数的最大公因数是1，先确定这个数，再找出它的所有因数，再依次判断每两个因数组成的数对是否互素，注意数对不重复计算，即可作答． 【详解】解：∵一个数的最小倍数是24， ∴这个数就是24， 则24的所有因数分别是， 互素的数对有和2，1和3，1和4，1和6，1和8，1和12，1和24，2和3，3和4，3和8，一共有10对数是互素的， 故答案为：10 变式2.（25-26六年级上·上海静安·课后作业）若a=18，则a的素因数是______________，a的因数是____________________ 【答案】 2，3，3 1，18，2，9，3，6 【知识点】分解质因数、因数和倍数的求法 【分析】因为a=18，所以直接根据素因数及因数得概念可得答案． 【详解】根据“素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素因数都是这个合数的素因数。因数：整数a能被整数b整除，b就叫做a的因数”可知：18的素因数有：2,3,3；因数有：1,2,3,6,9,18． 故答案为：素因数有：2,3,3；因数有：1,2,3,6,9,18． 【点睛】本题主要考查求一个数的素因数及因数，掌握相关概念是解题的关键． 变式3.（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）天馨学校运动会举行跳绳比赛，取得前三名的同学恰好一个比一个大一岁，三名同学的年龄的乘积是2730，这三名同学的年龄各是多少？ 【答案】这三名同学的年龄各是13岁、14岁、15岁 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查的是分解质因数的应用，先把2730分解质因数，再进一步解答即可． 【详解】解： 答：这三名同学的年龄各是13岁、14岁、15岁． 题型4 求最大公因数 【解题技巧】识别标志：题目要求“求下面各组数的最大公因数”。解题技巧：首选短除法——用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数相乘。对于较小的数也可用枚举法或分解素因数法。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲数，乙数，当为（　　）时，甲、乙的最大公因数是66． A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了求两个数的最大公因数的方法．求两个数的最大公因数，可以利用分解质因数的方法，把这两个数分解质因数，公有质因数的连乘积就是它们的最大公因数；由此解答． 【详解】解：甲数，乙数， ，且5与7互质， 所以当为11时，甲、乙的最大公因数是66． 故选：D． 例2．（24-25六年级上·上海·期中）18和24的最大公因数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数，通过列举18和24的因数，找出它们的最大公因数即可． 【详解】解：因为18的因数有1、2、3、6、9、18； 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24． 所以公因数有1、2、3、6，最大公因数为6． 故选：C． 例3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）若，，则a和b的最大公因数是__________． 【答案】6 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】两个数的最大公因数是两个数公有质因数的连乘积，本题中a和b已分解为质因数相乘的形式，找出公有质因数，计算它们的乘积即可得到结果． 【详解】解：已知，， ∴a和b的公有质因数为和， ∴a和b的最大公因数为 ． 例4．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最大公因数是_______________． 【答案】 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查整数的乘法，最大公因数，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】 解：由图可知，，， 则正整数的最大公因数是， 故答案为：． 变式1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，则m和n的最大公因数为__________． 【答案】18 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了公因数和最大公因数的问题，熟练掌握公因数的概念是解题的关键．通过质因数分解，找出m和n的公共质因数，并取每个质因数的最小指数相乘，得到最大公因数． 【详解】解：∵，， 公共质因数为2和3， 因此，最大公因数为． 故答案为：18． 变式2．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲数可以写成，乙数可以写成，甲乙两数的最大公因数是30，则正整数___________． 【答案】5 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查的是最大公因数的含义，甲数和乙数的最大公因数为30，30的质因数分解为．甲数的质因数包括2、3和a的质因数，乙数的质因数包括2、3、7和a的质因数．最大公因数取共有质因数的最小次幂，因此共有质因数包括2、3和a中的质因数．由于，而最大公因数为30，故a必须提供质因数5，且a不能有其他质因数，否则最大公因数会大于30．因此． 【详解】解：甲数为，乙数为．最大公因数为30，即． 甲数和乙数共有质因数2和3，还需质因数5，且5必须来自a． 若a有其他质因数，则最大公因数会大于30， 因此． 验证：当时，甲数，乙数， 90和210的最大公因数为，符合条件． 故答案为：5． 变式3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）已知，，且、的最大公因数是，则______． 【答案】90 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了公因数；根据最大公因数的定义，由和的质因数分解，它们的最大公因数应包含公有的质因数，且指数取最小，结合已知最大公因数为，可求出的值，进而求出的值． 【详解】解：由，，得和的最大公因数为． 已知最大公因数为，故，解得． 因此． 故答案为：． 变式4．（25-26六年级上·上海·期中）两数的和是60，最大公因数是12，那么这两个数是_____． 【答案】12和48或24和36 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数，熟练掌握最大公因数是解题关键．先求出这两个互质因数的和是5，再分两种情况：①若这两个数独有的因数是1和4，②这两个数独有的因数是2和3，分别乘以最大公因数即可得． 【详解】解：因为两数的和是60，最大公因数是12，且， 所以这两个互质的因数的和是5． 若这两个互质的因数是1和4， 则这两个数分别是，； 若这两个互质的因数是2和3， 则这两个数分别是，； 综上，这两个数是12和48或24和36， 故答案为：12和48或24和36． 变式5．（25-26六年级上·上海闵行·期中）已知甲数，乙数，如果甲和乙的最大公因数是20，那么_____． 【答案】5 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查最大公因数，根据题意，得到两数的最大公因数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，甲乙两数的最大公因数为， 故； 故答案为：5． 题型5：求最小公倍数 【解题技巧】识别标志：题目要求“求下面各组数的最小公倍数”。解题技巧：首选短除法——用公有的素因数连续去除，直到商互质为止，把所有除数和最后的商相乘。注意和求最大公因数的区别：求最大公因数只乘除数，求最小公倍数要乘除数和商。 例1．（25-26六年级上·上海金山·期中）36和48的最小公倍数是______． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了求最小公倍数． 先分解质因数，再求最小公倍数即可． 【详解】解：，， 则最小公倍数是． 故答案为：． 例2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知，，则、的最小公倍数______． 【答案】420 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了求两个数的最小公倍数，求两个数的最小公倍数，需要取它们所有质因数的最高次幂相乘，由此计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴、的最小公倍数， 故答案为：． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是180，其中一个正整数是36，则另一个正整数是________． 【答案】30 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了最大公因数和最小公倍数，有理数的乘法运算，熟练掌握最大公因数和最小公倍数的求法，有理数的乘法运算法则是解题的关键． 用最小公倍数除以两个数的最大公因数，得到两个独有因数的积6，由，再列举各种情况，即可得出答案． 【详解】解：，则30是两个数独有质因数的积， 因为， 所以①，，②，，③，，④，． 所以这两个正整数为6和30或12和90或18和60或30和36， 因为其中一个正整数是36， 所以另一个正整数是30， 故答案为：30． 变式1．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果和的最大公因数是6．且，，那么和的最小公倍数是______． 【答案】90 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最小公因数和最小公倍数，确定m的值是解题的关键． 根据最大公因数求出m的值，再求最小公倍数即可． 【详解】解：∵A和B的最大公因数是6，且，， ∴最大公因数为，解得：． ∴， ∴最小公倍数为． 故答案为90． 变式2．（25-26六年级上·上海·期中）M是100以内能整除16的最小正数，N是能被32整除的最大两位数，则的值为___________． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数、数的整除 【分析】本题主要考查倍数与因数，根据题意，得到M是16的最小正因数，N是32的最大两位数倍数，计算差值即可． 【详解】解：16的正因数有1、2、4、8、16，其中最小正数为1，故； 32的两位数倍数有32、64、96，其中最大为96，故； 因此． 故答案为：． 变式3．（25-26六年级上·上海·期中）甲数，乙数，、均为素数，甲数和乙数的最大公因数是105，最小公倍数小于1200，那么______． 【答案】 3或5/5或3 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查最大公因数，最小公倍数的计算，理解并掌握最大公因数，最小公倍数的计算是关键． 根据最大公因数为105，可得；再根据最小公倍数小于1200，且B为素数，排除的情况，即可求解． 【详解】解：甲数，乙数，最大公因数为， ∵，甲数中含3和7，不含5， ∴A必须为5，甲数为， ∵乙数含3、5、7，最大公因数为， ∴B不能为2（否则公因数含2，最大公因数变为210）， ∵最小公倍数小于1200，B为素数， ∴若，乙数，最小公倍数； 若，乙数，最小公倍数； 若，乙数，最小公倍数，不符合条件； ∴或． 故答案为：或 题型6：最大公因数的应用 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景，核心是“平均分”“裁纸”“铺地砖”“分组”等，本质是把一个整体分成若干相等且最大的部分。 解题技巧：判断出是“等分”问题后，转化为求最大公因数。先将相关数分解素因数或用短除法求最大公因数，再根据题意作答。 例1．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）长方形的地面用整块的正方形地砖恰好铺满．地面长600厘米，宽是480厘米．若想用尺寸较大的地砖来铺，地砖有、、、（单位：厘米×厘米）四种尺寸应选（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了公因数和最大公因数，关键是找到符合要求的公因数．小明家装修新房，准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选的正方形地砖． 【详解】解：∵准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是最大的，即客厅的地面长和宽的公因数， ∵边长为30，40，60的都是客厅地面长和宽的公因数，其中最大的是60， ∴符合要求的是选的正方形地砖， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 例2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某校有36名男生和48名女生，分组进行活动，要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有___名学生． 【答案】7 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查最大公因数的应用，正确掌握最大公因数的求法是解题的关键． 要使每个组内男生人数和女生人数分别相同，那么分组数就是男生人数和女生人数的公因数，要求每个组内至少有几个学生，就是求分组数最大时，每个组内学生的人数，所以分组数就是男生人数和女生人数的最大公因数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 和48的最大公因数为， ， 所以要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有7个学生． 故答案为：7． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 【答案】8 【知识点】植树问题、公因数与最大公因数 【分析】 本题考查了植树问题，即植树棵数间隔数，间隔数间隔总长间隔距离．根据题意先计算相邻路灯的距离是200和150的最大公因数，然后分别求出和段的路灯数量，相加之后减去B点重复的一盏即可． 【详解】解：，， 200和150的最大公因数是：， ， ， 最少安需要（盏）， 故答案为：8． 变式1．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）现有一张长为30厘米，宽为24厘米的长方形纸片，要把这张纸片裁成若干边长为整数、大小相同的小正方形，且没有剩余．那么小正方形的边长最大是________厘米． 【答案】6 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题考查最大公因数的实际应用，求出和的最大公因数，即为小正方形的边长． 【详解】解：把和分解质因数： ， ， 和的最大公因数是； ∴裁成的小正方形的边长最大是厘米． 故答案为：． 变式2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）一块长1米，宽6分米的长方形木板，若把它锯成尽可能大的面积相等的正方形小木块，且没有剩余，则这块木板一共可以被锯成________个符合上述要求的正方形小木块． 【答案】 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数的实际应用，灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题．将单位统一为分米，求长和宽的最大公约数作为正方形边长，再计算沿长和宽方向可锯出的正方形个数，相乘即可． 【详解】解：长方形木板长1米分米，宽6分米． 和6的最大公约数是2， 正方形边长为2分米． 沿长边可切割出（个）正方形，沿宽边可切割出（个）正方形， 总共可锯出（个）正方形． 故答案为：． 变式3．（25-26六年级上·上海松江·期中）某小区内部道路如图所示，长，长，长，要在这条道路的一侧等距离安装地面照明灯，且要求两端和转弯处都必须安装，那么这条道路最少要安装多少盏地面照明灯？ 【答案】这条道路最少要安装21盏地面照明灯． 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数的应用，根据题意确定最大公因数是解题的关键．先确定最大公因数，然后再求路灯的数量即可解答． 【详解】解：∵， ∴最大公因数是． ，， ． 答：这条道路最少要安装21盏地面照明灯． 题型7：最小公倍数 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景，核心是“平均分”“裁纸”“铺地砖”“分组”等，本质是把一个整体分成若干相等且最大的部分。 解题技巧：判断出是“等分”问题后，转化为求最大公因数。先将相关数分解素因数或用短除法求最大公因数，再根据题意作答。 例1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ）． A．因为，所以能被整除 B．的因数有，，， C．两个相邻的正整数的最大公因数为 D．两个相邻的正整数的最小公倍数为 【答案】C 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数、质数与合数、因数和倍数的求法、数的整除 【详解】A选项，整除的意义是如果整数除以非零整数，商为整数且没有余数，我们就说整除，因为和都是小数，故A选项不符合题意； B选项，的因数为，，，，，故B选项不符合题意； C选项，因为两个相邻的正整数一定互质，所以它们的最大公因数为，故C选项符合题意； D选项，因为两个相邻的正整数互质，它们的最小公倍数是两个数的乘积，故D选项不符合题意． 例2．（25-26六年级下·上海·阶段检测）6和8这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】求出6和8的最大公因数和最小公倍数，再求对应的比即可得到答案． 【详解】解： 则6和8的最大公因数为2，最小公倍数为， 所以6和8这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是 ． 例3．（25-26六年级上·上海·期末）把自然数a与b分解质因数，得到．如果a与b的最小公倍数是2310，那么_______． 【答案】11 【知识点】 公倍数与最小公倍数、质数与合数 【分析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：最小公倍数是这两个数所有质因数的最高次幂的乘积．根据求两个数的最小公倍数的方法可得a和b的最小公倍数是，由题意得：，解答即可． 【详解】解：∵， ∴a和b的最小公倍数是， ， ． 故答案为：11． 变式1．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 【答案】或 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】此题考查的是最大公因数和最小公倍数，解题关键是最小公倍数除以最大公因数得到两个数的独有质因数的乘积． 首先要知道最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数和独有质因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数得到两个数的独有质因数的乘积，从而求出结论． 【详解】解：，而， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，不合题意， 综上所述：甲乙两数的和为42或78． 故答案为：42或78． 变式2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． (1)46和92； (2)84和210． 【答案】(1)46和92的最大公因数 ，最小公倍数 (2)84和210的最大公因数 ，最小公倍数 ． 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了求最大公因数和最小公倍数，掌握两个数的公有质因数乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数是解题关键． （1）利用短除法，找到两个数的公有质因数与每个数独有质因数即可求解； （2）利用短除法，找到两个数的公有质因数与每个数独有质因数即可求解． 【详解】（1）解： 46和92的最大公因数是 46和92的最小公倍数是 （2）解： 84和210的最大公因数是 84和210的最小公倍数是 变式3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知，，则、的最小公倍数______． 【答案】420 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了求两个数的最小公倍数，求两个数的最小公倍数，需要取它们所有质因数的最高次幂相乘，由此计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴、的最小公倍数， 故答案为：． 题型8：最小公倍数的应用 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景，核心是“下次相遇”“下次重合”“下次同时发车”等，本质是多个周期在未来的共同重合时间。 解题技巧：判断出是“周期重合”问题后，转化为求最小公倍数。先将相关数求最小公倍数，再根据起始时间往后推算。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组，那么至少要选拔_____名学生参加跳舞． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了最小公倍数，找到最小公倍数是解题的关键．除了领舞的1人外，其他人既能平均分成4组又能平均分成6组，那么这些人即为4和6的倍数，所以求出4和6的最小公倍数，再加上1即为这个舞蹈的总人数，据此列式求解即可． 【详解】解：4和6的最小公倍数为12， ， 故答案为：． 例2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）一包糖果不论平均分给9人还是人，都能正好分完，这包糖果最少可能为________________块． 【答案】 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题主要考查了最小公倍数的应用，确定两个数的最小公倍数是解题的关键．求9和的最小公倍数即可． 【详解】解∶由题意，这包糖果的个数的最小值为9和的最小公倍数． ，， ． 这包糖果至少块． 故答案为∶． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）有一批书平均分给6个小朋友，结果多3本，平均分给8个小朋友，也多5本，平均分给9个小朋友，还多6本，这批书最少有_____本． 【答案】69 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了最小公倍数，熟练掌握最小公倍数的应用是解题关键．先通过观察余数，发现书的本数加上3后恰好能被6、8、9整除，则求6、8、9的最小公倍数，然后减去3即可得这批书最少的本数． 【详解】解：由题意可知，书的本数加上3后恰好能被6、8、9整除， ∵6、8、9的最小公倍数是， ∴这批书最少有（本）， 故答案为：69． 变式1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成四等分，第二种刻度线将木棍分成六等分，第三种刻度线将木棍分成九等分，如果沿每条刻度线将木棍锯断，总共被锯成了________段． 【答案】14 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】先计算4，6，9的最小公倍数36，设木棍长为36，计算出每种等分的长度，计算出重复的条数，确定实际锯次数，加上1即为段数． 本题考查了最小公倍数，平均分，熟练掌握．最小公倍数是解题的关键． 【详解】解：由4，6，9的最小公倍数36，设木棍长为36，四等分时每段长为9，六等分时每段长为6，九等分时每段长为4， 又9，6的最小公倍数为18，此时重复的刻度线有条； 9，4的最小公倍数为36，此时重复的刻度线有条； 6，4的最小公倍数为12，此时重复的刻度线有条； 实际锯条数为条； 锯成了（段） 故答案为：14． 变式2．（25-26六年级上·上海·期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 【答案】男生5人，女生3人 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查最小公倍数的应用． 要使拔除的杂草正好被全部运走，那么男生拔草的捆数和女生运草的捆数应该相等，也就是找到6和10的最小公倍数，然后根据最小公倍数分别计算出男生和女生的人数． 【详解】解：6和10的最小公倍数为， 男生人数：（人） 女生人数：（人） 答：每一小组至少需要男生5人、女生3人． 变式3．（25-26六年级上·上海·期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 【答案】540分钟； 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了最小公倍数的应用，解题的关键是求出每台服务器的周期并计算它们的最小公倍数． 先求出每台服务器的周期，再求这些周期的最小公倍数即可解答． 【详解】解：根据题意，每台服务器的周期为： 服务器A：（分钟） 服务器B：（分钟） 服务器C：（分钟） 最小公倍数为（分钟） 540分钟 小时 从凌晨开始，经过小时后是 答：至少经过540分钟3台服务器会再次同时开始数据同步，此时是09时00分． 题型9；最大公因数与最小公倍数的互求（利用“两数之积”关系） 【解题技巧】识别标志：题目已知两个数的最大公因数（或最小公倍数），要求另一个量；或者给出两数之积和其中一个量，求另一个。 解题技巧：利用核心关系式：两数之积＝最大公因数×最小公倍数。已知其中三个量，可求第四个。 例1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）甲乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，若甲数是6，则乙数是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了公因数与公倍数；利用两数乘积等于最大公因数与最小公倍数的乘积的性质，直接计算乙数． 【详解】解：甲乙最大公因数最小公倍数， 给定最大公因数，最小公倍数，甲， 乙， 即乙， 乙． 因此乙数为． 故选：B． 例2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】4和或8和 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查最大公约数，最小公倍数，掌握相关知识是解决问题的关键．两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是，而含有质因数，说明两个正整数都有公因数，而只有一个正整数含有这个因数，据此进行组合计算即可． 【详解】解：，； ∴这两个数都含有因数4，其中一个含有质因数3， ∵两个正整数最大公约数是4， ∴这两个数可以是4和； ∵，， ∴这两个数也可以是8和． 综上所述：这两个数是4和或8和． 例3．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 【答案】15，3150 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了有理数的乘法、最大公因数及最小公倍数，熟练掌握短除法是解题的关键．根据短除法即可得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴150、210、315的最大公约数为，最小公倍数为． 变式1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）有一些小朋友排成一行，从左边第一个人开始，每隔4个人（每5个人）发一个苹果；从右边第一个人开始，每隔6个人（每7个人）发一个梨；最后发现恰有7个人既拿到了苹果，也拿到了梨．则这些小朋友最少有几人?最多有几人? 【答案】最少为人，最多有269人． 【知识点】 公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了约数与倍数，本题许多同学都感到为难，这里介绍一个“巧"办法:“固定中间，调整两边”用它分析起来较简便． 这里的每隔4人，意思应该是中间隔着四个人发一个，既1，6，11，16...这样发，同样，每隔6人即按照1，8，15...这样发，所以每隔的人数是5的倍数，又是7的倍数的人同时拿到两种水果，加上两端的人数，利用间隔求得共有人数，再调整两边的人数求得最后结果 【详解】解：∵有一些小朋友排成一行，从左边第一个人开始，每隔4个人（每5个人）发一个苹果；从右边第一个人开始，每隔6个人（每7个人）发一个梨；最后发现恰有7个人既拿到了苹果， ∴， 最少人的情况是，左边第一个人拿到了苹果，也拿到了梨，右边第一个人拿到了苹果，也拿到了梨， 因此共：（人）； ∴此时小朋友最少为人， 最多的情况： 先让人拿到两种水果，并且在这一行中，两端的两人都拿到了两种水果， 因此共：（人）； 然后从两端去掉最少的人就可以了要满足左方第一个是苹果，那么左方最少去掉5人，要满足右方第一个拿到梨，那么右方最少去掉7人； ∴最多有（人）； ∴这些小朋友最多有269人． 变式2．（24-25六年级上·上海·期中）为了以最佳生态环境迎接2024年中国国际进口博览会，上海各处的绿化景观提升正在加紧建设中．为了响应这一政策，某小区内一条路两边每隔4米处放一盆绿色盆栽（路的两端都有盆栽），一共放了86盆；后又改成每隔6米放一盆绿色盆栽，请问不需要移动的有几盆？ 【答案】不需要移动的有30盆 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了最小公倍数的应用，熟练掌握最小公倍数的应用是解题的关键。根据4和6的最小公倍数是12得出结论即可. 【详解】解：（盆）， ， （米）， 4和6的最小公倍数是12， （盆）， （盆）， （盆）， 答：不需要移动的有30盆． 变式3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）在宝山水产西路的一边，等距离种树（两端都种），开始每隔12米种一棵，后来改为每隔16米种一棵，发现不用改种的树共25棵，问水产西路有多长？ 【答案】水产西路有1152米 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题主要考查了最小公倍数的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先求出12和16的最小公倍数，再根据不用改种的树共25棵，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵12和16的最小公倍数是， ∴（米）， 答：水产西路有1152米． 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（   ）． A．4能被20整除 B．一个合数至少有三个因数 C．奇数和偶数一定互素 D．偶数都是合数 【答案】B 【知识点】互质数的认识、质数与合数、数的整除 【分析】本题考查整除、因数、素数与合数的概念，熟练掌握相关知识是关键． 根据整除、合数、互素的概念逐一判断各选项． 【详解】解：A、不是整数， 故A错误； B、合数是指除了1和它本身外还有其他因数的自然数， 因此至少有三个因数，故 B正确； C、举例与，有公因数和，因此与不互素，故C错误； D、2是偶数，但只有两个因数，1和2本身，因此2是素数不是合数，故D错误． 故选：B． 2.（2025六年级上·上海·专题练习）两个素数相乘的积是（    ） A．合数 B．偶数 C．奇数 D．仍是素数 【答案】A 【知识点】质数与合数 【分析】本题考查了素数和合数，根据素数和合数的定义进行解答即可，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：两个素数相乘的积是合数， 故选：． 3.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．偶数都是合数，奇数都是素数 B．整数可以分为正整数和负整数两类 C．互素的两个数没有公因数 D．能被6整除的数一定能被3整除 【答案】D 【知识点】 奇数与偶数的认识、质数与合数、数的整除 【分析】本题主要考查数的分类、互素及整除性质等概念，需逐一分析选项的正确性． 【详解】解：A，错误．2是偶数但属于素数，而非合数；奇数如9、15等是合数，并非所有奇数都是素数； B，错误．整数包括正整数、负整数和零，而选项未包含零，分类不完整； C，错误．互素指两数的最大公因数为1，即仅有公因数1，而非没有公因数； D，正确．6是3的倍数，若某数能被6整除，则必能被3整除． 故选：D． 4.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）将1170分解素因数：_____________． 【答案】 【知识点】分解质因数 【分析】本题考查将一个合数分解素因数，分解素因数是将一个合数表示为几个素数相乘的形式． 从最小的素数开始试除，即可求解． 【详解】解：从最小的素数开始试除，，，，， 13是素数，因此． 故答案为：． 5．（25-26六年级上·上海·阶段检测）阅读以下材料并回答问题： 要写出一个整数的因数，我们可以用试除的方法一个个试算出来，也可以按照规律一对一对地写出来．但对于数字较大的合数，这样求因数既费时，又容易漏掉．有没有更好的办法呢？有人提出，可以先将合数分解素因数，然后把每个素因数的个数加1，连乘起来的乘积就是这个合数的所有因数的个数． 例如，，的素因数有1个2，1个3，1个5，那么30的因数个数为个． 用材料中提到的方法，回答下列问题∶ (1)，则的因数个数为_____个． (2)（为互不相同的素数），则的因数个数为_____个． (3)求出2160的所有因数个数． 【答案】(1)12 (2)48 (3)2160的因数个数为40个 【知识点】分解质因数、因数和倍数的求法 【分析】本题考查根据合数分解素因数来求因数个数的方法，解题关键是掌握素因数（又称质因数）是指一个数可以分解成的质数因数． （1）根据材料提供的方法，把合数的每个素因数的个数加1，连乘起来即可求解； （2）根据材料提供的方法，把合数的每个素因数的个数加1，连乘起来即可求解； （3）先将合数2160分解素因数，然后把每个素因数的个数加1，连乘起来即可求解． 【详解】（1）解：M的因数个数为（个）； 故答案为：12； （2）解：N的因数个数为（个）； 故答案为：48； （3）解：， 其因数个数为（个）， 答：2160的所有因数个数为40个． 6.（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个正整数的最大公因数是6，它们的积是216，则这两个正整数是______． 【答案】6，36或者18，12 【知识点】分解质因数、公因数与最大公因数 【分析】本题考查了分解质因数，最大公因数，倍数，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意可知，两个数都是6的倍数，将216分解质因数后，再分组成两个6的倍数相乘，即可得出答案． 【详解】解：，， 由这两个正整数的最大公因数是6，那么这两个数都是6的倍数，那么这两个数都含有2，3两个因数， 或者 那么这两个正整数为6，36或者18，12． 7.（25-26六年级上·上海·阶段检测）一块长方形木板，长为18分米，宽为12分米，锯成若干相同的正方形木板，要求正方形的面积最大，并且木板没有剩余，锯成的正方形木板边长是多少分米？可锯几块？ 【答案】锯成的正方形木板边长是6分米，可锯6块 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】先求出18和12的最大公因数，然后列式求解即可． 【详解】解：18和12的最大公因数是， ∴正方形木板边长是6分米      （块）     答：正方形木板边长是6分米，可锯6块． 8.（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）长方形的操场，长100米，宽60米，在四角和四周种上树苗，并使相邻两棵树苗间的距离都相等，问：最远应每隔多少米种一棵？一共需要树苗多少棵？ 【答案】间隔20米；种16棵 【知识点】公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了最大公因数的应用，每相邻两颗树之间的最大距离为100和60的最大公因数，求出100和60的最大公因数，然后列式即可求出需要的树苗数． 【详解】解：，， 所以100和60的最大公因数为， 所以最远应每隔20米种一棵， 一共需要树苗棵数为（棵）； 答：最远应每隔20米种一棵，一共需要树苗16棵． 9.（25-26六年级上·上海·期中）在长千米的公路的一边等距离种树（两端都种），开始每隔9米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 【答案】76 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】该题考查了最小公倍数问题，不用改种的树是那些在开始和后来间隔下都种在相同位置的树，即位置是9和12的公倍数的树．9和12的最小公倍数是36．公路长千米，即2700米．计算从0到2700之间36的倍数的个数，包括两端． 【详解】解：∵9和12的最小公倍数是36， 又∵第一棵树在0米处，最后一棵树在2700米处， ∴， ， 答：不用改种的树有76棵． 10.（25-26六年级上·上海·阶段检测）为美化市容市貌，市政府决定对某地区进行整改，有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是45米，现在要改成相距都是60米，且起点那根电线杆不动． (1)从起点开始到第一根不需移动的电线杆之间的距离是多少米? (2)从第一根电线杆之间的距离有1800米除第一根电线杆外，不需移动位置的电线杆还有多少根? 【答案】(1)从起点开始到第一根不需要动的电线杆之间的距离是180米 (2)除第一根电线杆外，不需要移动的电线杆还有10根 【知识点】 公倍数与最小公倍数 【分析】本题考查了公倍数的应用； （1）即求和的最小公倍数，先把和进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；由此解答即可； （2）用除以和的最小公倍数，求出它们的商后即可求解． 【详解】（1）解：，， 所以和的最小公倍数是． 答：从起点开始到第一根不需要动的电线杆之间的距离是180米； （2）（根）． 答：除第一根电线杆外，不需要移动的电线杆还有10根。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $