1.1 认识特殊平行四边形（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦特殊平行四边形核心知识点，系统梳理菱形（一组邻边相等的平行四边形）、矩形（一个角是直角的平行四边形）、正方形（兼具邻边相等和直角的平行四边形）的定义、图形及几何表述，通过表格对比分类，结合韦恩图明确与平行四边形的关系，构建从概念到性质的学习支架。 资料以结构化设计为亮点，用表格呈现概念与对称性，韦恩图梳理关系，搭配“即学即练”“典例精析”“变式巩固”分层练习，融入多地中考模拟题。通过几何直观帮助学生建立空间观念，在推理证明（如菱形中全等三角形证明）和运算（矩形勾股定理计算）中培养数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第一章 特殊平行四边形 1.1 认识特殊平行四边形 知识点一 特殊平行四边形的分类 概念 图形 几何表述 菱形：有一组邻边相等的平行四边形 在▱ABCD中，若AB=BC， 则▱ABCD为菱形 矩形：有一个角是直角的平行四边形 在▱EFGH中，若∠EFG=90°， 则▱ABCD为矩形 正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 在▱PQRS中，若PQ=QR，且∠PQR=90° 则▱ABCD为正方形 即学即练 1．（2026·陕西渭南·二模）已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 【答案】边长 【详解】解：由菱形到正方形，几何量没有发生变化的是边长． 知识点二 特殊平行四边形与平行四边形的关系 根据定义梳理关系 借助韦恩图梳理关系 结论：特殊平行四边形具有平行四边形的一切性质（对边平行且相等、对角相等、是中心对称图形、具有不稳定性等） 即学即练 1．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【答案】A 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意． 2．（2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试（ORS联考））下列图形中，具有稳定性的是（     ） A．三角形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】A 【详解】解：具有稳定性的是三角形． 知识点三 特殊平行四边形的对称性 项目 菱形 矩形 正方形 对称轴条数 2条 2条 4条 具体图形 即学即练 1．（2026·辽宁沈阳·三模）在以下我们常见的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（     ） A．圆形 B．矩形 C．平行四边形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】解：A、圆形：既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合要求； B、矩形：既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合要求； C、平行四边形：绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形；一般的平行四边形不是轴对称图形，符合要求； D、等边三角形：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．菱形 【答案】D 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； B．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； C．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； D．菱形沿两条对角线所在直线折叠可重合，绕对角线交点旋转可与原图重合，因此既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求． 题型01 根据菱形的定义和其平行四边形的性质进行证明 ·证明等边：根据菱形的一组邻边相等，将要证明的等边放入三角形中，证明全等即可 ·平行四边形的性质：对边相等、对角相等 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1.如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ． 题型02 根据矩形的定义和其平行四边形的性质进行计算 ·平行四边形的性质：对边相等、对角相等 ·解直角三角形：勾股定理计算边长； ·借助全等三角形找等边 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，∠DAB=90°，对角线，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在矩形中∠DAB=90°，所以对角线，交于点，， ，， 在中，． 2．（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，． 在中，， ． 2．（2026·云南楚雄·二模）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，点E，F在上，且，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 4．（2022·山东济南·二模）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 题型03 根据正方形的定义和其平行四边形的性质进行计算和证明 ·平行四边形的性质：对边相等 ·运用勾股定理解直角三角形 典｜例｜精｜析 1．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在平行四边形中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：∵四边形为正方形，，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质即可求得对角线长，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∴正方形的面积为：． 题型04 特殊平行四边形与坐标 ·矩形（已知三点）：先用平行四边形的对边相等表示坐标，再根据直角条件+勾股定理求坐标。 ·菱形（已知三点）：平行四边形的对边相等+邻边相等+距离公式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，OB=BC，点A的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵点， ∴， 根据勾股定理，得． ∵OB=BC，所以平行四边形是菱形， ∴， ∴点C的横坐标为，纵坐标为1， ∴点C的坐标为． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，∠ADC=90°，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵∠ADC=90°，∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知OC=BC，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：延长交轴于点， OC=BC，∴平行四边形为菱形， 又轴，轴轴， 轴， 点的坐标为， ，， 在中，， 菱形中，， ， 即． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数表达式是___________ 【答案】 【详解】解：如图，连接、，设交点为D， ∵四边形是矩形，点B的坐标为，又， ∴矩形的中心D为的中点，则点D的坐标为， ∵直线把矩形的面积分成相等的两部分， ∴直线一定经过点， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 1.1 认识特殊平行四边形 知识点一 特殊平行四边形的分类 概念 图形 几何表述 菱形：有一组邻边相等的平行四边形 在▱ABCD中，若AB=BC， 则▱ABCD为菱形 矩形：有一个角是直角的平行四边形 在▱EFGH中，若∠EFG=90°， 则▱ABCD为矩形 正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 在▱PQRS中，若PQ=QR，且∠PQR=90° 则▱ABCD为正方形 即学即练 1．（2026·陕西渭南·二模）已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 知识点二 特殊平行四边形与平行四边形的关系 根据定义梳理关系 借助韦恩图梳理关系 结论：特殊平行四边形具有平行四边形的一切性质（对边平行且相等、对角相等、是中心对称图形、具有不稳定性等） 即学即练 1．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 2．（2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试（ORS联考））下列图形中，具有稳定性的是（     ） A．三角形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 知识点三 特殊平行四边形的对称性 项目 菱形 矩形 正方形 对称轴条数 2条 2条 4条 具体图形 即学即练 1．（2026·辽宁沈阳·三模）在以下我们常见的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（     ） A．圆形 B．矩形 C．平行四边形 D．等边三角形 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．菱形 题型01 根据菱形的定义和其平行四边形的性质进行证明 ·证明等边：根据菱形的一组邻边相等，将要证明的等边放入三角形中，证明全等即可 ·平行四边形的性质：对边相等、对角相等 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 变｜式｜巩｜固 1.如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 题型02 根据矩形的定义和其平行四边形的性质进行计算 ·平行四边形的性质：对边相等、对角相等 ·解直角三角形：勾股定理计算边长； ·借助全等三角形找等边 典｜例｜精｜析1．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，∠DAB=90°，对角线，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    2．（2026·云南楚雄·二模）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，点E，F在上，且，连接．求证：． 4．（2022·山东济南·二模）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 题型03 根据正方形的定义和其平行四边形的性质进行计算和证明 ·平行四边形的性质：对边相等 ·运用勾股定理解直角三角形 典｜例｜精｜析1．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在平行四边形中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 题型04 特殊平行四边形与坐标 ·矩形（已知三点）：先用平行四边形的对边相等表示坐标，再根据直角条件+勾股定理求坐标。 ·菱形（已知三点）：平行四边形的对边相等+邻边相等+距离公式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在x轴的正半轴上，OB=BC，点A的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，∠ADC=90°，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知OC=BC，点的坐标为，则点的坐标为______． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数表达式是___________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $