第二单元 角的度量 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版四年级上册（新教材）

本讲义聚焦“角的度量”核心知识点，从线段、射线、直线的概念切入，系统梳理角的定义、度量方法、分类及画角技能，结合钟面角实例构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 该资料特色在于融入生活实例如《春》中雨丝喻线段、钟面角计算，培养数学眼光，通过典例精讲与变式训练提升推理意识和运算能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第二单元 角的度量 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、线段、射线、直线 1 二、角的认识 2 三、角的度量 2 四、角的分类 3 五、角的大小比较 3 六、用量角器画角 3 七、钟面上的角 3 考点讲练 3 考点一：线段、直线、射线 3 考点二：角 5 考点三：角的度量 7 考点四：角的分类 8 考点五：画角 10 综合训练 12 知识梳理 一、线段、射线、直线 1. 定义与特征 线段：直的，有两个端点，不能向两端延伸，可以测量出具体长度。 射线：直的，有一个端点，只能向一端无限延伸，无法测量长度。 直线：直的，没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。 2. 三者的联系 射线和线段都是直线的一部分；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上一点一旁的部分。 3. 重要结论 经过一点可以画无数条直线，也可以画无数条射线。 经过两点只能画一条直线（两点确定一条直线）。 两点之间所有连线中，线段最短。 二、角的认识 1. 角的定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。 2. 角的表示方法 角通常用符号 “∠” 来表示，读作 “角”。 例如：记作∠1，读作角一；记作∠AOB，读作角 AOB（顶点字母写在中间）。 3. 角的大小规律 角的大小与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大； 角的大小与边的长短无关，因为角的两条边是射线，可以无限延伸。 三、角的度量 1. 角的计量单位 计量角的大小常用的单位是度，用符号 “°” 表示。将半圆平均分成 180 份，每一份所对的角的大小是 1 度，记作 1°。 2. 量角器的认识 量角器是半圆形的度量工具，上面有： 中心点：量角器的圆心位置； 0 刻度线：左右各一条，分别对应内圈刻度和外圈刻度； 刻度：内圈刻度从右往左 0°\180°，外圈刻度从左往右 0°\180°。 3. 量角的步骤（两重合，一对准） 点重合：把量角器的中心点与角的顶点重合； 边重合：将量角器的 0 刻度线与角的一条边重合； 读刻度：看角的另一条边所对的刻度数，就是角的度数。 若 0 刻度线用的是内圈的，就读内圈刻度； 若 0 刻度线用的是外圈的，就读外圈刻度。 四、角的分类 按照角的度数大小，可以将角分为以下几类： 锐角：小于 90° 的角； 直角：等于 90° 的角； 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角； 平角：等于 180° 的角，角的两条边在同一条直线上； 周角：等于 360° 的角，角的一条边绕顶点旋转一周，与另一条边完全重合。 角的大小关系与换算 从小到大排列：锐角 ＜ 直角 ＜ 钝角 ＜ 平角 ＜ 周角 换算关系：1 周角 = 2 平角 = 4 直角 五、角的大小比较 度量法：用量角器分别量出两个角的度数，度数大的角就大。 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别重合，观察另一条边的位置，另一条边在外侧的角更大。 六、用量角器画角 画指定度数角的步骤： 画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0 刻度线与射线重合； 在量角器对应度数的刻度线处点一个点； 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线； 标出角的符号和度数。 七、钟面上的角 钟面是一个周角（360°），平均分成 12 个大格，每个大格对应的角度是 30°（360°÷12=30°）；每个大格又分成 5 个小格，每个小格对应 6°。 整时时刻：时针与分针的夹角 = 大格数 × 30°。 例如：3 时整，夹角是 3×30°=90°（直角）；6 时整，夹角是 6×30°=180°（平角）。 考点讲练 考点一：线段、直线、射线 【典例精讲】下面图形中，( )是直线，( )是射线，( )是线段。（填序号） 【答案】 ①⑧/⑧① ②⑦/⑦② ④ 【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的；射线只有一个端点可以向一端无限延伸；线段有两个端点，任意两点之间的一段都可以看作是一条线段；据此解答。 【详解】下面图形中，①⑧是直线，②⑦是射线，④是线段。 【变式训练】8个点最多可以连( )条线段。 【答案】28 【分析】由一个点向另外7个点可以连成7条线段，在不重复的情况下，第二个点可以连成6条线段，第三个点可以连成5条线段，第四个点可以连成4条线段，第五个点能连成3条线段，第六个点能连成2条线段，第七个点能连成1条线段，最后把条数相加即可。由此可知，把点的个数看作n，即n个点，那么最多可连线段的总条数就等于从1开始前（n－1）个连续自然数的和，代入数据进行计算即可。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（条） 【变式训练】朱自清的《春》一文中，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看，其实是把雨滴看成点，把雨看成线，说明( )。 【答案】点可以连成线 【分析】点动成线：一个点沿着固定方向持续运动，运动轨迹会形成一条线。 【详解】单个静止雨滴对应几何点，雨滴持续下落运动，无数连续运动的点轨迹汇聚成雨丝（直线），所以，朱自清的《春》一文中，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看，其实是把雨滴看成点，把雨看成线，说明点可以连成线。 【变式训练】在下面的图形中，( )是直线，( )是射线，( )是线段。（填序号） 【答案】 ② ③⑥ ①④ 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸，线段有两个端点，有限长，射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，直线、射线和线段都是直的。 【详解】②是直线，③⑥是射线，①④是线段。 考点二：角 【典例精讲】数一数，填一填。 下面的图形中，有( )条线段，( )个角，其中直角有( )个，钝角有( )个。 【答案】 0 15 1 5 【分析】线段是一条直直的线，有两个端点，图中的线只有一个端点，所以线段条数为0；角是由一个顶点引出两条直直的线所组成的图形，图中有6条射线，角的数量为：5＋4＋3＋2＋1＝15；钝角比直角大，用三角板上的直角比一比即可知有几个直角，几个钝角。 【详解】题中图形有0条线段，15个角，其中直角有1个，钝角有5个。 【变式训练】如图，图中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 【答案】 2 3 4 【分析】和三角板上最大的那个角一样大的角就是直角，锐角比直角小，钝角比直角大，以此有序地观察图中的角作答即可。 【详解】观察可发现，三角形底部有2个锐角；长方形中有4个直角；三角形顶部有1个钝角，三角形和长方形连接的地方左右各有1个由三角形底部的锐角和长方形直角拼成的钝角，共3个钝角。 【变式训练】下图中一共有( )个角。 【答案】3 【分析】从一个点引出两条射线得到的图形是角。 【详解】 如图：数一数，共有3个角。 所以图中一共有3个角。 【变式训练】数一数，图中有( )个锐角、( )个直角、( )个钝角。 【答案】 6 8 2 【分析】与三角尺上最大的角比一下，一样大的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。 【详解】 所以锐角个数为个； 所以直角个数为个； 所以钝角个数为个。 考点三：角的度量 【典例精讲】．如图中角的度数是______。 【答案】70°/70度 【分析】量角器上，角的一条边对准外圈刻度的50°，另一条边对准外圈刻度的120°，角的度数等于两条边对应刻度的差。 【详解】120°－50°＝70°，所以图中角的度数是70°。 【变式训练】下午3：00，钟面上时针与分针构成( )角；从3：00走到3：20，分针转动了( )度。 【答案】 直 120 【分析】对于第一个空，在3：00时，时针指向3，分针指向12，钟面一圈是360度，被12个数字等分，每个大格为30度，时针与分针相差3个大格，所以角度为90度，是直角。从3：00到3：20，分针走了20分钟，分针每分钟转动（360÷60）度，因此转动了120度。 【详解】每个大格：360÷12＝30（度）；在3：00时，时针与分针相差3个大格，角度：30×3＝90（度），所以是直角。 分针每分钟转动：360÷60＝6（度），从3：00到3：20，分针走了20分钟，6×20＝120（度），所以分针转动了120度。 【变式训练】钟面上10时整，时针和分针所夹的锐角是( )°；( )时整，时针和分针成直角。 【答案】 60 3或9 【分析】钟面上被分成了12个大格，每格是，在10时整，分针指向12，时针指向10，分针与时针相差2格，由此可求出钟面上的时针和分针所成的角；时针和分针成直角，即时针和分针所成的角为90°，应该是格，据此解答。 【详解】 钟面上10时整，时针和分针所夹的锐角是。 ，即时针和分针之间相差3个大格时，时针和分针成直角。 所以3时或9时整，时针和分针成直角。 【变式训练】《新闻联播》晚上7时整播出，此时钟面上时针与分针所形成的较小夹角是( )角。晚上7时半结束，从开始到结束分针旋转所形成的角是( )度。 【答案】 钝 180 【分析】晚上7时整，时针指向7，分针指向12，钟面每个大格为30°，用30°乘5计算，大于90°小于180°的是钝角，据此判断。晚上7时半结束，从7时整到7时半，分针旋转了6个大格，30°乘6计算。 【详解】30°×5＝150° 30°×6＝180° 所以，《新闻联播》晚上7时整播出，此时钟面上时针与分针所形成的较小夹角是钝角。晚上7时半结束，从开始到结束分针旋转所形成的角是180度。 考点四：角的分类 【典例精讲】如下图。 ∠2＝35°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 【答案】 90 55 125 55 【分析】如图，∠1和∠2以及∠3组成一个平角，平角是180°。∠1是直角，直角是90°。用180°减去90°，再减去∠2的度数，就是∠3的度数。∠3和∠4组成平角，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。∠4和∠5组成平角，用180°减去∠4的度数，就是∠5的度数。 【详解】180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° 180°－55°＝125° 180°－125°＝55° 所以，∠2＝35°，∠1＝90°，∠3＝55°，∠4＝125°，∠5＝55°。 【变式训练】下图中两个长方形部分重叠着，已知，( )。 【答案】150°/150度 【分析】∠2与∠3组成的大角是一个直角，即90°，90°加上∠1的度数，即可求出这3个角的度数之和。 【详解】∠2＋∠3＝90° 60°＋90°＝150° 【变式训练】“C919”是我国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机。如图是文文绘制的C919飞机的简易图。经过测量，∠1＝( )°，它是( )角，它比平角小( )°。 【答案】 140 钝 40 【分析】把量角器正中间的圆点，紧紧贴住角的顶点，量角器0刻度线与角的一条边重合，看角另一条边对准的刻度，量角器上的数字是多少，这个数字就是角的度数。小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，180°的角是平角。求这个角比平角小多少度，利用减法计算。 【详解】经过测量，∠1＝140°，90°＜140°＜180°，这个角是钝角； 180°－140°＝40°，它比平角小40°。 【变式训练】下图所示的是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝50°，求∠2的度数。 【答案】80° 【分析】将题目中的折痕展开，如图，可以得到∠3、∠1与∠2构成了一个平角，所以∠3＋∠1＋∠2＝180°，由折叠可得到，∠3＝∠1，所以∠1＋∠1＋∠2＝180°。已知∠1的度数，直接将其代入，进行计算便可求出∠2的度数。 【详解】如图： 由折叠可知，∠3＝∠1， 因为，所以， 所以， 答：∠2为80°。 考点五：画角 【典例精讲】用量角器画一个100°的角，用一副三角尺画一个15°的角。（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】用量角器画，先画射线，把量角器的中心与射线的顶点重合，0度刻度线与射线重合，在量角器上表示与已知角度数相等的刻度画与原来射线是公共顶点的射线，两射线所成的角就是与已知角相等的角。 已知一副三角板上的角的度数有90°、45°、45°和90°、60°、30°，且15°＝60°－45°，所以可以先用三角板上的60°画一个角，再以所画角的顶点为顶点，以60°角的一条边为边，再用三角板的45°角，在60°里面画一个45°的角，即画出一个15°的角；据此作图。 【详解】略 【变式训练】先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【答案】 【分析】（1）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器85°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角； （2）一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，因为60°＋90°＝150°，据此拼出即可。 【详解】略 【变式训练】图中∠1是（    ）°。在图中画一个比∠1大55°的角。 【答案】 70； 【分析】先确定量角器的读数规则，确认∠1的一条边与量角器零刻度线对齐的位置，读取另一条边对应的刻度得到∠1的度数。 利用加法计算出比∠1大55°的角的度数。按照画角的步骤，先画顶点和一条边，将量角器中心与顶点对齐、零刻度线与边对齐，找到目标度数对应的刻度标记点，连接顶点与该点画出所求角。 【详解】∠1是70°； 比∠1大55°的角是70°＋55°＝125°。 【变式训练】先画一条射线AB，再以射线AB为一条边，画一个比直角大25°的角。 【答案】见详解 【分析】直角的度数等于90°。由题意得，要画一个比直角大25°的角，90°＋25°＝115°，即画一个115°的角。用量角器画角的步骤如下：先画一条射线AB，使量角器的中心和射线的端点A重合，0°刻度线和射线重合。在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【详解】90°＋25°＝115° 综合训练 1．下图是一副三角板拼成的角，∠1的度数是（    ）。 A．45° B．120° C．135° 【答案】C 【分析】一副三角板中分别有30°、60°、90°和45°的角，∠1和三角尺中45°的角组成平角，平角等于180°，用180°－45°即可求出∠1的度数。 【详解】∠1＝180°－45°＝135° ∠1的度数是135°。 2．把5厘米长的线段的两端各延长10米，得到的是一条（    ）。 A．线段 B．直线 C．射线 【答案】A 【分析】线段有2个端点，它是有限长的，两个端点间的距离就是这条线段的长度；据此解答即可。 【详解】把5厘米长的线段的两端各延长10米，得到的是一条线段。 3．图中一共有（    ）条线段。 A．4 B．5 C．6 【答案】C 【分析】数线段的规律：若直线上有n个端点，线段的总数量是从n－1依次加到1，据此解答。 【详解】图中一共有4个端点，因此总线段数是3＋2＋1＝6（条）。 图中一共有6条线段。 4．下面度量角的结果正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】量角器读数时，角的顶点与量角器的中心对齐，角的一条边与量角器的0°刻度线对齐，看0°刻度线是在内圈还是外圈，就按对应的圈数读数。角的另一条边所对的刻度，就是角的度数。 【详解】A．角是50°，选项错误； B．角是50°，选项正确； C．角是50°，选项错误； 5．下面图形中，（    ）表示射线MN。 A． B． C． 【答案】C 【分析】线段有两个端点，不能向两端延伸；直线没有端点，可以向两端无限延伸；射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，据此判断。 【详解】A．是一条直线，左右两边可无限延长不是射线。 B．是射线，但端点是N不是M，所以它不是射线MN。 C．是射线，端点是M该直线向N方向延伸符合射线MN的定义所以正确。 6．钟表的分针从1走到5，顺时针旋转了( )°，从7开始，顺时针旋转60°，正好指向( )。 【答案】 120 9 【分析】钟面上一共有12个大格，分针每走1个大格，顺时针旋转30°。从1走到5经过4个大格；从7开始顺时针旋转60°，就是走2个大格。 【详解】5－1＝4 30°×4＝120° 60°÷30°＝2 7＋2＝9 所以分针从1走到5，顺时针旋转了120°；从7开始，顺时针旋转60°，正好指向9。 7．如图： 已知，∠2＝( )。 已知，∠3＝( )。 【答案】 60 135 【分析】∠1和∠2组成一个直角，用90°－∠1＝∠2； ∠3和∠4组成一个平角，用180°－∠4＝∠3。 【详解】∠2＝90°－30°＝60° ∠3＝180°－45°＝135° 8．度量一个角，将量角器的中心点对准角的顶点，角的一条边对准刻度线后，角的另一条边对着量角器上的刻度“60”，那么这个角是( )或( )。 【答案】 60 120 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 如果角的两边与量角器上的刻度线重合时读的都是内层或者外层的数据，则这个角为：180°－60°＝120°；如果角的两边与量角器上的刻度线重合时读的数据180°是外层的数据，60°是内层的数据，则要将外层的180°写成对应的是内层数据的0°，60°－0°＝60°。 【详解】如图： 180°－60°＝120° 60°－0°＝60° 9．绷紧的琴弦可以近似看作( )，它有( )个端点；手电筒射出的光线可以近似看作( )，它有( )个端点；把线段向两端无限延长得到一条( )，它没有端点。（填“直线”“射线”或“线段”） 【答案】 线段 射线 直线 【分析】线段是指直线上两个点和它们之间的部分，有2个端点，长度可以测量，不能向两端无限延伸；射线是把线段的一端无限延长，有1个端点，长度无法测量；直线是把线段向两端无限延长，没有端点，长度无法测量 【详解】绷紧的琴弦：有两个端点，长度固定，符合线段的特征，所以近似看作线段，它有2个端点； 手电筒射出的光线：有一个端点（手电筒位置），另一端无限延长，符合射线的特征，所以近似看作射线，它有1个端点； 把线段向两端无限延长，没有端点，能无限延长，符合直线的特征，所以得到一条直线。 10．当钟面的时刻从3：20走到3：30时，分针( )时针旋转了( )度。 【答案】 顺 60 【分析】钟面上的指针，时针、分针、秒针都是按照顺时针方向旋转的。首先计算经过的时间，用走到的时间减去开始的时间，明确分针的速度，钟面一周是360°，共60个小格，求出分针每分钟走几个小格，用360°除以60，计算总角度：用每分钟旋转的度数乘经过的时间。 【详解】当钟面的时刻从3：20走到3：30时，分针顺时针旋转。 3：30－3：20＝10（分钟） 360°÷60＝6° 6°×10＝60° 也就是60度。 11．如图，图( )是直线，图( )是射线，图( )是线段。（填序号） 【答案】 ② ③⑥ ①④ 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。 【详解】根据分析，由图可知，②两端可以无限延长，是直线； ③⑥的另一端可以无限延长，是射线； ①④有两个端点，是线段； 图（②）是直线，图（③⑥）是射线，图（①④）是线段。（填序号） 12．按要求填一填。如图中有( )条直线，有( )条线段。 【答案】 2 6 【分析】直线：没有端点，可以向两端无限延伸； 线段：有两个端点，不可延伸。 【详解】 （1）图中有2条直线； （2）线段：AE、BE、AB、CE、DE、CD，共6条线段。 13．研学实践课上量角，小华用量角器量纸鸢骨架的角时，角的一条边没与0°刻度线对齐，而是与15°的刻度线对齐了，最后量出这个角是90°，这个角的实际度数( )°。 【答案】75 【分析】用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，看准内圈还是外圈，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。角的一条边没有与0刻度线对齐，而是与的刻度线对齐了，这样一个角被他量成了的角，用减才是这个角的度数。据此解决。 【详解】 14．如图，已知点B、C、D在直线AE上。图中共有____________条线段，____________条射线。 【答案】 10 10 【分析】线段是直线上两点间的部分，图中一共有5个点，每个点到另一个点之间都组成一条线段；射线是由一个端点无限延长所形成的直线，图中一共有5个点，每个点可以向左右各形成一条射线。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（条）；5×2＝10（条）。 15．钟面上3时整，时针和分针所成的角是( )度，是( )角；6时整，时针和分针所成的角是( )角。 【答案】 90 直 平 【分析】钟面为周角共360度，被平均分为12个大格，因为总角度除以大格数，所以可算出每个大格对应的角度。确定3时整时，时针和分针之间间隔的大格数，如果用大格数乘每个大格的角度，那么可得到对应夹角度数，再根据角的分类判断角的类型。确定6时整时，时针和分针之间间隔的大格数，同理计算夹角角度，再判断对应角的类型。 【详解】钟面一圈是360°，平均分成12个大格，每个大格的角度为360÷12＝30° 3时整，时针指向3、分针指向12，间隔3个大格，角度为3×30°＝90°，90°的角是直角； 6时整，时针指向6、分针指向12，间隔6个大格，角度为6×30°＝180°；180°的角是平角。 16．列队练习时，小丁原地向左转（向左转一次是一个直角），转过( )次转出一个平角，转过( )次转出一个周角。 【答案】 2 4 【分析】根据生活实际，向左转，转过一个直角，直角是90°，平角是180°的角，周角是角度为360°的角，据此计算解答。 【详解】向左转一次是一个直角，直角是90°，90°×2＝180°，90°×4＝360° 列队练习时，小丁原地向左转，转过2次转出一个平角，转过4次转出一个周角。 17．教室里的日光灯发出的光线可以近似看成______，一根绷紧的琴弦可以近似看成______，孙悟空念咒语时无限伸长的金箍棒可以近似看成______。（填“直线”“射线”或“线段”） 【答案】 射线 线段 直线 【分析】教室里的日光灯发出的光线有一个端点，并且向一端无限延伸，射线是由线段的一端无限延长所形成的直的线，只有一个端点，无法测量长度，所以教室的日光灯发出的光线可以近似的看成是射线。吉他上绷紧的琴弦有两个端点，长度是有限的，根据线段有两个端点，能测量长度；所以吉他上绷紧的琴弦可以近似的看成是线段。孙悟空念咒语时金箍棒可以向两端无限延长。直线可以向两端无限延长，且没有端点。所以孙悟空念咒语时无限伸长的金箍棒可以近似看成直线。据此解答即可。 【详解】教室里的日光灯发出的光线可以近似看成射线，一根绷紧的琴弦可以近似看成线段，孙悟空念咒语时无限伸长的金箍棒可以近似看成直线。 18．根据给定的顶点和一条边，画一个115°的角。 【答案】 【分析】把量角器的中心对准左边的顶点，量角器的0°刻度线对准题目给出的那条边，在量角器上找到外圈115°的刻度线，在这个位置轻轻点上一个点。以顶点为起点，经过刚画的点，画出一条新的射线，这就是角的另一条边。在角的内部标上符号，并写上115°。 【详解】略 19．按要求画一画。 (1)在图中画出直线AB、射线BD和线段DC。 (2)按（1）所画出的图形中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 (3)用圆规比较所画图中线段AB、BD的长短，得出线段( )更长。 【答案】(1) (2) 1 1 2 (3)AB 【分析】（1）用直尺过点A和点B，画出直线AB；用直尺从点B出发，过点D，画出射线BD；用直尺连接点D和点C，画出线段DC。 （2）锐角＜90°，180°＞钝角＞90°，直角＝90°，先用数字标出每个角，再用三角尺的直角与每个角比较，由此可知锐角、钝角和直角的数量。 （3）圆规的针尖脚固定在点B，截取线段AB的长，保持间距不变，用铅笔脚在射线BD上画弧，弧线在线段BD内则线段BD更长，在线段BD外则线段AB更长。 【详解】（1）略 （2） 由图可知，∠1是锐角，∠2是钝角，∠3和∠4是直角，所以锐角有1个，钝角有1个，直角有2个。 （3） 由图可知，弧线在线段BD外，所以线段AB更长。 20．按要求画一画。 （1）过点A、点C两点画一条直线。 （2）画出射线BC。 （3）画出线段AB。 （4）以点B为顶点，射线BC为一条边，画出一个钝角。 【答案】 【分析】（1）直线没有端点，可向两端无限延伸，过两点有且只有一条直线，所以过点A、点C画直线，就是连接两点并向两端延长。 （2）射线有一个端点，只能向一端无限延伸，所以画射线BC，要以B为端点，经过C点并向C的方向延长。 （3）线段有两个端点，长度有限，所以画线段AB，就是连接A、B两点，两端不延长。 （4）钝角是大于90°且小于180°的角，以B为顶点、射线BC为一条边，画出的角只要度数在这个范围内即可，画法不唯一。 【详解】（1）用直尺连接点A和点C，再向A、C两点的外侧无限延长，就画出了过A、C两点的直线。 （2）以点B为端点，经过点C画一条线，并向C点的方向无限延长，就画出了射线BC。 （3）用直尺连接点A和点B，两端不延长，画出的就是线段AB。 （4）以点B为顶点，以射线BC为一条边，向合适的方向画出另一条射线，使两条射线形成的夹角大于90°且小于180°，就画出了一个钝角（画法不唯一）。 21．选择合适的方法画出下面各角，并说一说它们分别是哪一种角。 105°        75° 【答案】             105°是钝角；75°是锐角 【分析】观察105°和75°的角，105°＝60°＋45°，75°＝45°＋30°，所以既可以用三角尺拼出，也可以用量角器画出。本题选择用量角器画角。 锐角：大于0°且小于90° 直角：等于90° 钝角：大于90°且小于180° 【详解】画105°角（用量角器画）： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合； 在量角器105°刻度线的地方点一个点； 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到105°的角。 因为90°＜105°＜180°，所以105°是钝角。 画75°角（用量角器画）： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合； 在量角器75°刻度线的地方点一个点； 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到75°的角。 0°＜75°＜90°，所以75°是锐角。 22．如图是两个部分重叠的长方形，如果，求的度数。 【答案】 【分析】长方形的角是直角，所以∠2＋∠3＝90°，已知∠1＋∠2＋∠3＝110°，用总和减去∠2与∠3的和就能求出∠1。 【详解】110°－90°＝20° 答：∠1的度数是20°。 23．如图，已知∠1＝18°，求∠2、∠3的度数。 【答案】 ， 【分析】根据图片可知，∠1和∠2组成平角，∠2和∠3组成平角，所以，，又已知∠1＝18°，代入即可求得∠2、∠3的度数。 【详解】，代入∠1＝18°可得： ，代入∠2＝162°可得： 答：为162°，为18°。 24．乐乐家住在A处，周末他要去超市购物，共有三条路，走哪条路最近？为什么？ 【答案】走②路最近，因为两点之间线段最短。 【分析】本题用到线段的性质，即在连接两点的线中，线段最短。通过对比三条路线的性质，可以判断出哪条路最近。 【详解】图中给出乐乐家到超市的三条路，其中线路①是曲线，线路②是连接A与超市两点的线段，线路③是折线。根据两点之间线段最短可判断线路②最近。 答：走②路最近，因为两点之间线段最短。 25．如图，单杠运动员某时刻两只大臂与单杠的夹角示意图，已知，。 （1）与的关系是什么？请说明理由。 （2）求的度数。 【答案】（1）见详解 （2）∠2＝80° 【分析】（1）根据题意，可推出； （2）三个角组成一个平角，平角的度数为180°，再根据题意给的两个式子相加列出式子，求出的大小。 【详解】（1）， 因为， ，所以； （2）由题意得： （①式）   （②式） 所以①式－②式＝ ＝ 答：的度数是。 26．如图，两张透明的长方形纸片互相重叠后，∠1与∠2相等吗？请说明理由。 【答案】相等；因为∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠3，所以∠1＝∠2 【分析】1平角＝180°，∠1与∠3组成的是平角，∠2与∠3组成的也是平角；据此解答。 【详解】根据分析可知，∠1＋∠3＝180°，则∠1＝180°－∠3； ∠2＋∠3＝180°，则∠2＝180°－∠3；所以∠1＝∠2。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 角的度量 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、线段、射线、直线 1 二、角的认识 2 三、角的度量 2 四、角的分类 3 五、角的大小比较 3 六、用量角器画角 3 七、钟面上的角 3 考点讲练 3 考点一：线段、直线、射线 3 考点二：角 4 考点三：角的度量 5 考点四：角的分类 5 考点五：画角 6 综合训练 7 知识梳理 一、线段、射线、直线 1. 定义与特征 线段：直的，有两个端点，不能向两端延伸，可以测量出具体长度。 射线：直的，有一个端点，只能向一端无限延伸，无法测量长度。 直线：直的，没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。 2. 三者的联系 射线和线段都是直线的一部分；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上一点一旁的部分。 3. 重要结论 经过一点可以画无数条直线，也可以画无数条射线。 经过两点只能画一条直线（两点确定一条直线）。 两点之间所有连线中，线段最短。 二、角的认识 1. 角的定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。 2. 角的表示方法 角通常用符号 “∠” 来表示，读作 “角”。 例如：记作∠1，读作角一；记作∠AOB，读作角 AOB（顶点字母写在中间）。 3. 角的大小规律 角的大小与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大； 角的大小与边的长短无关，因为角的两条边是射线，可以无限延伸。 三、角的度量 1. 角的计量单位 计量角的大小常用的单位是度，用符号 “°” 表示。将半圆平均分成 180 份，每一份所对的角的大小是 1 度，记作 1°。 2. 量角器的认识 量角器是半圆形的度量工具，上面有： 中心点：量角器的圆心位置； 0 刻度线：左右各一条，分别对应内圈刻度和外圈刻度； 刻度：内圈刻度从右往左 0°\180°，外圈刻度从左往右 0°\180°。 3. 量角的步骤（两重合，一对准） 点重合：把量角器的中心点与角的顶点重合； 边重合：将量角器的 0 刻度线与角的一条边重合； 读刻度：看角的另一条边所对的刻度数，就是角的度数。 若 0 刻度线用的是内圈的，就读内圈刻度； 若 0 刻度线用的是外圈的，就读外圈刻度。 四、角的分类 按照角的度数大小，可以将角分为以下几类： 锐角：小于 90° 的角； 直角：等于 90° 的角； 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角； 平角：等于 180° 的角，角的两条边在同一条直线上； 周角：等于 360° 的角，角的一条边绕顶点旋转一周，与另一条边完全重合。 角的大小关系与换算 从小到大排列：锐角 ＜ 直角 ＜ 钝角 ＜ 平角 ＜ 周角 换算关系：1 周角 = 2 平角 = 4 直角 五、角的大小比较 度量法：用量角器分别量出两个角的度数，度数大的角就大。 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别重合，观察另一条边的位置，另一条边在外侧的角更大。 六、用量角器画角 画指定度数角的步骤： 画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0 刻度线与射线重合； 在量角器对应度数的刻度线处点一个点； 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线； 标出角的符号和度数。 七、钟面上的角 钟面是一个周角（360°），平均分成 12 个大格，每个大格对应的角度是 30°（360°÷12=30°）；每个大格又分成 5 个小格，每个小格对应 6°。 整时时刻：时针与分针的夹角 = 大格数 × 30°。 例如：3 时整，夹角是 3×30°=90°（直角）；6 时整，夹角是 6×30°=180°（平角）。 考点讲练 考点一：线段、直线、射线 【典例精讲】下面图形中，( )是直线，( )是射线，( )是线段。（填序号） 【变式训练】8个点最多可以连( )条线段。 【变式训练】朱自清的《春》一文中，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看，其实是把雨滴看成点，把雨看成线，说明( )。 【变式训练】在下面的图形中，( )是直线，( )是射线，( )是线段。（填序号） 考点二：角 【典例精讲】数一数，填一填。 下面的图形中，有( )条线段，( )个角，其中直角有( )个，钝角有( )个。 【变式训练】如图，图中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 【变式训练】下图中一共有( )个角。 【变式训练】数一数，图中有( )个锐角、( )个直角、( )个钝角。 考点三：角的度量 【典例精讲】．如图中角的度数是______。 【变式训练】下午3：00，钟面上时针与分针构成( )角；从3：00走到3：20，分针转动了( )度。 【变式训练】钟面上10时整，时针和分针所夹的锐角是( )°；( )时整，时针和分针成直角。 【变式训练】《新闻联播》晚上7时整播出，此时钟面上时针与分针所形成的较小夹角是( )角。晚上7时半结束，从开始到结束分针旋转所形成的角是( )度。 考点四：角的分类 【典例精讲】如下图。 ∠2＝35°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°，∠5＝( )°。 【变式训练】下图中两个长方形部分重叠着，已知，( )。 【变式训练】“C919”是我国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机。如图是文文绘制的C919飞机的简易图。经过测量，∠1＝( )°，它是( )角，它比平角小( )°。 【变式训练】下图所示的是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝50°，求∠2的度数。 考点五：画角 【典例精讲】用量角器画一个100°的角，用一副三角尺画一个15°的角。（保留作图痕迹） 【变式训练】先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【变式训练】图中∠1是（    ）°。在图中画一个比∠1大55°的角。 【变式训练】先画一条射线AB，再以射线AB为一条边，画一个比直角大25°的角。 综合训练 1．下图是一副三角板拼成的角，∠1的度数是（    ）。 A．45° B．120° C．135° 2．把5厘米长的线段的两端各延长10米，得到的是一条（    ）。 A．线段 B．直线 C．射线 3．图中一共有（    ）条线段。 A．4 B．5 C．6 4．下面度量角的结果正确的是（    ）。 A． B． C． 5．下面图形中，（    ）表示射线MN。 A． B． C． 6．钟表的分针从1走到5，顺时针旋转了( )°，从7开始，顺时针旋转60°，正好指向( )。 7．如图： 已知，∠2＝( )。 已知，∠3＝( )。 8．度量一个角，将量角器的中心点对准角的顶点，角的一条边对准刻度线后，角的另一条边对着量角器上的刻度“60”，那么这个角是( )或( )。 9．绷紧的琴弦可以近似看作( )，它有( )个端点；手电筒射出的光线可以近似看作( )，它有( )个端点；把线段向两端无限延长得到一条( )，它没有端点。（填“直线”“射线”或“线段”） 10．当钟面的时刻从3：20走到3：30时，分针( )时针旋转了( )度。 11．如图，图( )是直线，图( )是射线，图( )是线段。（填序号） 12．按要求填一填。如图中有( )条直线，有( )条线段。 13．研学实践课上量角，小华用量角器量纸鸢骨架的角时，角的一条边没与0°刻度线对齐，而是与15°的刻度线对齐了，最后量出这个角是90°，这个角的实际度数( )°。 14．如图，已知点B、C、D在直线AE上。图中共有____________条线段，____________条射线。 15．钟面上3时整，时针和分针所成的角是( )度，是( )角；6时整，时针和分针所成的角是( )角。 16．列队练习时，小丁原地向左转（向左转一次是一个直角），转过( )次转出一个平角，转过( )次转出一个周角。 17．教室里的日光灯发出的光线可以近似看成______，一根绷紧的琴弦可以近似看成______，孙悟空念咒语时无限伸长的金箍棒可以近似看成______。（填“直线”“射线”或“线段”） 18．根据给定的顶点和一条边，画一个115°的角。 19．按要求画一画。 (1)在图中画出直线AB、射线BD和线段DC。 (2)按（1）所画出的图形中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 (3)用圆规比较所画图中线段AB、BD的长短，得出线段( )更长。 20．按要求画一画。 （1）过点A、点C两点画一条直线。 （2）画出射线BC。 （3）画出线段AB。 （4）以点B为顶点，射线BC为一条边，画出一个钝角。 21．选择合适的方法画出下面各角，并说一说它们分别是哪一种角。 105°        75° 22．如图是两个部分重叠的长方形，如果，求的度数。 23．如图，已知∠1＝18°，求∠2、∠3的度数。 24．乐乐家住在A处，周末他要去超市购物，共有三条路，走哪条路最近？为什么？ 25．如图，单杠运动员某时刻两只大臂与单杠的夹角示意图，已知，。 （1）与的关系是什么？请说明理由。 （2）求的度数。 26．如图，两张透明的长方形纸片互相重叠后，∠1与∠2相等吗？请说明理由。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $