25.2.3因式分解法（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过物理竖直上抛物体落回地面的情境引入，引导学生从高度为0的实际问题抽象出方程10x - 5x²=0，再通过分解因式实现降次，衔接配方法、公式法，构建解一元二次方程的方法体系。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过“一移二分三化四解”步骤和多种方法对比发展推理意识，典例涵盖提公因式、平方差、十字相乘法及实际应用，体现模型意识。学生能掌握降次思想和方法选择，教师可借助系统案例提升教学效率。

人教版(新教材) 九年级上册 25.2.3 因式分解法 第二十五章 一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s后的离地高度（单位：m）约为 10x−5x² 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设物体经过x s落回地面：这时它离地面的高度为0m，即 10x−5x²=0 将方程的左边分解因式，得 x(10−5x)=0 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道：如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0： 若ab=0，则a=0,或b=0. 反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 所以 x=0，或10−5x=0 因此，方程10−5x=0的两个根是 x1=0，x2=2. 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解方程10x−5x²=0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由10x−5x²=0到x=0，或10−5x=0的过程，不是用开平方降次：而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方 程的方法叫作因式分解法. 因式分解法 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 因式分解 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 −5x= 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x − 5x2 = 0 ① x = 0， 解方程时，二次方程是如何降为一次的？ x(10 −5x) = 0 ② 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 10x − 5x2 = 0 ① x = 0， x(10 −5x) = 0 ② 或 10 −5x= 0 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解下列方程： 解：(1)左边分解因式，得 于是 左边分解因式，得 于是 (2)移项、合并同类项，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用不同方法解方程： 配方法 公式法 解： 解： x2−7x=0. ∵ a=1,b=−7,c=0. ∴ b2−4ac = (−7)2−4×1×0=49. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用不同方法解方程： 因式分解法 解：将原方程的左边分解因式得： 解得 则 ，或 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次万程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 一元二次方程的解法选择基本思路 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法首接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 将方程的左边分解因式， 得 x(3x−17)=0， 则x=0 ，或3x−17=0， 解一元二次方程： 解： 化简方程，得 解得 ， 化简后提公因式 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： 把 看成整体 左边分解因式，得 于是 解：移项，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： 利用平方差公式因式分解 将方程的左边分解因式，得 解：移项，得 即 则 ，或 解得 , 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： (3m + 2)2 − 7(3m + 2) + 10 = 0． 解：分解因式，得 (3m + 2 − 2)(3m + 2 − 5) = 0. ∴ 3m + 2 − 2 = 0， 或 3m + 2 − 5 = 0， 解得 m1 = 0，m2 = 1. 将 (3m + 2) 看作一个整体，进行因式分解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： 把字母看作常数仍然可以解方程 x2−2mx−4n2+m2=0 解： x2−2mx+m2−4n2=0 (x−m)2−(2n)2=0 (x−m+2n) (x−m−2n)=0 x−m+2n=0或 x−m−2n=0 ∴x1= m−2n， x2= m+2n 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果方程 与方程 有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根． 解：两个方程有一个公共根是3，因此 ,解得 解方程 得 ， 解方程 得 ， ∴方程 的另一个根为0， 方程 的另一根为−3 十字相乘法 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a，b 均为常数) 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 解方程：x2 + 6x − 7 = 0. 解：因式分解得 (x + 7)(x − 1) = 0. ∴ x + 7 = 0， 或 x − 1 = 0. ∴ x1= −7， x2 = 1. · × 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用十字相乘法解下列方程： (1) x2 −5x + 6 = 0； 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0， (2) x2 + 4x − 5 = 0； 解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3. 解得 x1 = −5，x2 = 1． · × · × 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知实数m，n满足 ，则 的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．−3或5 解:设 ， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴ ，原方程可化为 ， 因式分解得 ，解得 ， ， ∵ ，∴舍去 ， 即 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程 的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 解：∵ ，因式分解得 ， ∴ ，或 ， 当 时， ，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当 时， ，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为 . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设 ，则原方程化为 ，∴ ， ∴ 或 ，解得 ， ， 当 时，则 ，即 ，∵ ，∴ ； 当 时，则 ，即 0， ∵ ， ∴ ； 综上所述，原方程的解为 ， ． 解方程： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 步骤 因式分解法 如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 − b2 = (a + b)(a − b).0 形式 将方程左边因式分解，使右边为 0 右化零，左分解；两因式，各求解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 方程 的根是__________． 解∶∵ ， ∴ 或 ， 解得 ， ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于x的一元二次方程 的一个根是10，则另一个根是______． 解：已知方程为 得 或 ， 解得 ， ， 方程的一个根是10， ∴m=10， 因此方程的另一个根为2． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某景区古莲花池内一个景观石的坐标为 且满足：m，n是一元二次方程 的两个根， ，则表示景观石位置的点 在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解： ， ， ∴ 或 ，解得 ， ， ∵ m，n是方程的两个根，且 ， ∴ ， ，即点坐标为 ， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点 在第二象限． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 定义一种新运算※，规定： ，如： ，则方程 的解为（     ） A． B．x1=0， C．x1=0， D． ， 解：根据题意得， ， ∴原方程可化为 ， ， 或 ， 解得 ， ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解：变形得 (3x − 5)(x + 5) = 0. 即 3x − 5 = 0，或 x + 5 = 0. 解得 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (3) x2 − 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 解：配方，得 x2 − 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x − 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 = 解：整理成一般形式，得 3x2 − 4x − 1 = 0. ∵ Δ = b2 − 4ac = 28 > 0， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解:(5)将方程左边分解因式,得x(x+1)=0, ∴x=0或x+1=0. ∴x1=0,x2=−1. (6)将方程左边分解因式,得 (5)x2+x=0; 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (7) 3x2＋2x＝0； (8) x2＝3x. 解:移项，得x2−3x＝0. 方程左边分解因式，得 x(x−3)＝0. 所以x＝0或x−3＝0. 得x1＝0，x2＝3. 解： 方程左边分解因式， 得 x(3x＋2)＝0. 所以x＝0或3x＋2＝0. 得 x1＝0， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (9)移项、合并同类项，得 因式分解，得 (2x＋1)(2x − 1) = 0. 解得 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x − 1 = 0. (9) (10) (10) 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知一元二次方程 有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 解：由题意将x=0代入方程得 ，因式分解得 ， 解得 ， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为0 ， ，即 ， ， 将 代入原方程得 ， 整理得 ， 提取公因式得 ，解得 ， ∴方程的另一根为 ．