2.4一元二次方程的应用 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的实际应用，涵盖面积、动态几何、平均变化率及销售问题。通过梯子下滑（勾股定理）和利润公式回顾导入，衔接旧知，以问题串搭建学习支架。 特色在于问题驱动与模型建构，如海军基地问题用中位线构造直角三角形，培养几何直观与推理意识。销售问题列表分析数量关系，强化模型观念，提升学生应用能力，帮助教师高效突破重难点。

4 一元二次方程的应用 课题 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P51-52 教学目标 1.利用一元二次方程解决简单的面积问题和动态几何问题。 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程。 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤。 4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力。 教学重难点 重点：利用一元二次方程解决简单的面积问题和动态几何问题。 难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：同学们还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？这节课我们就来学习一元二次方程在实际问题中的应用。（教师板书课题： 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1）） 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 师生活动：安排学生小组合作，并思考下面三个问题。 （1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？ （2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？如何建立方程？ （3）方程的解是否都符合题意？ 预设：解：设梯子顶端下滑x m，底端滑动x m。 （8-x）2+（6+x）2=102。 x2-2x=0。 x1=0（舍去），x2=2。 所以，梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等。 （2）如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 预设：解：设梯子顶端下滑x m，底端滑动x m。 （12-x）2+（5+x）2=132。 x2-7x=0。 x1=0（舍去），x2=7。 所以，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等。这个距离是7 m。 教师活动：引导学生思考：怎样用一元二次方程解决实际问题？步骤是什么？ 预设：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即：审、设、列、解、验、答。 （这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。） 以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例1 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile） 解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中教师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点： （1）要求DE的长，需要如何设未知数？ 预设：一般求什么设什么，可设DE的长为x n mile。 （2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ 预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系。 （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ 预设：连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF。 （4）选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？ 预设：DF=100 n mile，DE=x n mile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）n mile。 学生活动：学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系，即： 速度等量：V军舰=2×V补给船； 时间等量：t军舰=t补给船； 三边数量关系：EF2+FD2=DE2。 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC的中位线。 ∴DF∥AB，且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC= 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile，那么 DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）n mile。 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2， 整理，得 3x2-1200x+100 000=0。 解这个方程，得 x1=200-≈118.4， x2=200+（不合题意，舍去）。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 【归纳总结】 列一元二次方程解实际问题的一般步骤： （1）审题——了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系； （2）设未知数——一般情况下求什么设什么为未知数； （3）列方程——根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程； （4）解方程——灵活运用一元二次方程的解法； （5）验根——检验一元二次方程的根是否满足题意； （6）答——作答。 在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性。 通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难。 3.学以致用，应用新知 考点1 面积问题 例1 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步。”设阔为x步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 2x+2（x+12）=864 B. x（x-12）=864 C. x+（x+12）=864 D. x（x+12）=864 答案：D 变式训练 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为15 m，篱笆长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m。 （1）若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长； （2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50 m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由。 解：（1）根据题意，得AB= m， 则·x=40， ∴x1=20，x2=4。 ∵20>15， ∴x=20舍去， ∴x=4。 答：BC的长为4 m。 （2）不能围成花圃。理由如下： 根据题意，得·x=50， 方程可化为x2-24x+150=0， ∵Δ=（-24）2-4×150=-24<0。 ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃。 考点2 数字问题 例2 如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）。如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ） A. x（x+8）=161 B. x（x+16）=161 C. （x-8）（x+8）=161 D. x（x-16）=161 答案：B 变式训练 有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1 855，则原两位数是（ ） A. 35 B. 53 C. 62 D. 35或53 答案：D 考点3 动态几何问题 例3 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBO的面积等于4 cm2，则运动时间为（ ） A. 1 s B. 4 s C. 1 s或4 s D. 1 s或 s 答案：A 变式训练 如图，在矩形ABCD中，BC=20m，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止。已知在相同时间内，若BO=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=.x2 cm。 （1）当x为何值时，AP，ND长度相等？ （2）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？ （3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 解：（1），， 时，即， 解得或（舍去）， 当为时，，长度相等； （2）当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形， 当点与点重合时， 由题意得，， 解得，（舍去）， ， 此时点与点不重合， 符合题意； 当点与点重合时， 由题意得，， 解得， 此时，不符合题意， 点与点不能重合。 综上所述，所求的值为。 （3）当点到达点时，，此时点和点还未相遇， 点只能在点的左侧， 当点在点的左侧时， 由题意得，， 解得（舍去），， 当时四边形是平行四边形； 当点在点的右侧时， 由题意得，， 解得（舍去），， 当时，四边形是平行四边形。 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决面积问题，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决数字问题。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决动态几何问题。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，要把长4 m、宽3 m的矩形花坛四周扩展相同的宽度x m，得到面积为30 m2的新矩形花坛，则x的值为（ ） A. 4.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 答案：D 2. 如图1，将一张长20 cm，宽10 cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48 cm2，则该有盖纸盒的高为（ ） 图1 图2 A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 答案：C 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157,每个支干长出的小分支数目为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 7 答案：A 4. 《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的为（ ） A. x2+（x+6.8）2=102 B. x2+（x-6.8）2=12 C. x2+102=（x+6.8）2 D. x2÷（x÷6.8）2=12 答案：A 5. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=8 cm。动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2 cm/s的速度向D移动。当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10 cm。（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）（ ） A. 2 s或4.6 s B. 1 s或4.4 s C. 4.4 s D. 2 s或4.4 s 答案：D 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.列方程解应用题的关键是什么？ 2.列方程解应用题的步骤是什么？ 3.列方程应注意的哪些问题？ 让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P54习题2.4中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 1.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 2.例题 提纲掣领，重点突出。 教后反思 大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。 鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。 反思，更进一步提升。 课题 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P52-53 教学目标 1.利用一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题。 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程。 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。 4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力。 教学重难点 重点：利用一元二次方程解决决平均变化率问题和销售问题。 难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：同学们能回忆并回答与利润相关的知识吗？（教师可以给出填空帮助学生回忆） 利润=________-进价 利润率=________ 总利润=________ 售价=标价×________ 教师追问：9折要乘90%或0.9或，那么x折呢？ 学生回答：x折要乘。 这节课，我们继续来学习一元二次方程在实际问题中的应用。（教师板书课题： 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2）） 通过回顾前面所学知识，使学生熟悉利润背景的实际问题中蕴含的数量关系，同时也是为新课的学习做准备。 2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平时每天能售出8台；而当销售价降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时采用列表的形式分析其中的数量关系。 等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5 000元。 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为_______元。 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后 解：设每台冰箱降价x元。 根据题意，得（2 900-x-2 500）=5 000。 解这个方程，得x1=x2=150。 2 900-150=2750。 所以，每台冰箱应定价为2 750元。 做一做：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 分析：学生寻找问题中的等量关系：每个台灯的销售利润×平均每天的销售数量=10 000元。 如果设每个台灯涨价x元，那么每件商品的定价应为_______元。 每个台灯的销售利润/元 每天的销售量/件 总销售利润/元 涨价前 涨价后 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：设这种台灯售价上涨x元，根据题意，得 （40+x-30）（600-10x）=10 000。 解这个方程，得x1=10，x2=40（舍）。 售价为40+x=40+10=50（元）。 应购置台灯600-10x=600-10×10=500（个）。 所以，这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个。 议一议： 教师提问：利用方程解决实际问题的关键是什么？ 学生回答：寻找等量关系。 【归纳总结】 列方程解决实际问题的关键和步骤： 关键：寻找等量关系。 步骤：（1）是整体地、系统地审清问题； （2）是把握问题中的“相等关系”； （3）是正确求解方程并检验解的合理性。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 解题思路不应拘泥于这一种，利用此方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。 此处“做一做”是在例题基础上，让学生能够利用所学知识进行自主练习，采取一讲一练的策略加强巩固学生所学内容。 3.学以致用，应用新知 考点1 平均变化率问题 例1 2023年蚌埠市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ） A. 22% B. 10% C. 20% D. 11% 答案：C 变式训练 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件。如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到_______万件。 答案：13.31 考点2 “传播”问题 例2 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1 641人参与了传播活动，则方程列为（ ） A. （n+1）2=1 641 B. （n-1）2=1 641 C. n（n+1）=1 641 D. 1+n+n2=1 641 答案：D 变式训练 春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防。如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了_______人。 答案：15 考点3 销售问题 例3 中秋节又称月亮节，团圆节等，是中华民族的传统节日，我国各地都有吃月饼的习俗。某超市以40元每盒的价格购进一批月饼，根据市场调查，售价定为每盒64元，每天可售出200盒；若售价每降低1元，则可多售出20盒，问此种月饼每盆售价降低多少元时，超市每天售出此种月饼的利润可达到5 700元？若设每盆月饼售价降低x元，则可列方程为（ ） A. （64-x）（200+20x）=5 700 B. （64-x-40）（200+20）=5 700 C. （40-x）（200+20x）=5 700 D. （64-x-40）（200+20x）=5 700 答案：D 变式训练 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场。与去年相比，今年这种水果的产量增加了1 003 kg，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%。已知去年这种水果批发销售总额为10 000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是_______元。 答案：4 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40 kg。售价每上涨1元，每天的销量将减少3 kg。如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ） A. （x-10）[40-3（x-20）]=408 B. （20+2x）（40-3x）-10×40=408 C. （20+2x）（40-3x）=408 D. （20+x-10）（40-3x）=408 答案：D 2. 两个相邻自然数的积是132.则这两个数中，较大的数是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 答案：B 3. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x个球队参加比赛，可得到 x（x-1）=15。 方程可化为x2-x-30=0。 解得x1=6，x2=-5（舍去）。 所以，应邀请6个球队参加比赛。 4. 前年生产1 t甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x。 根据题意，得5 000（1-x）2=3 000。 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775。 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％。 5. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-3。例如把（2，-5）放入其中，就会得到22+2×（-5）-3=-9，现将实数（m，-3m)放入其中，得到实数4，则m的值是多少？ 解：根据题意，得m2+2×（-3m）-3=4。 解得m1=7，m2=-1。 所以m的值是7或-1。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.解决利润问题常用的关系有： （1）利润=售价-进价。 （2）利润率=×100%＝×100%。 （3）售价=进价（1+利润率）。 （4）总利润=单个利润×销售量=总收入-总支出。 2.平均变化率问题 （1）a（1+x）2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量。 （2）a（1-x）2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量。注意1与x位置不可调换。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P54习题2.4中的T5、T6、T7、T8。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2） 1.列方程解决实际问题的关键和步骤 2.平均变化率问题 3.“传播”问题 4.销售问题 提纲掣领，重点突出。 教后反思 无论是例题还是练习题，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更便于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，帮助学生形成积极主动的求知态度。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $