24.2.2《方差的应用》课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“方差的应用”，通过旧知回顾（方差公式、步骤、性质及练习题）搭建学习支架，衔接新知探究（灌装线质量、气温差异等实际案例），形成“复习—应用—深化”的知识脉络。 其亮点是以实际情境案例为载体，引导学生经历“观察数据波动—建立方差模型—计算分析判断”过程，培养数据观念和推理意识。通过综合平均数与方差分析稳定性，结合体育、工业等场景体现应用意识，帮助学生发展数据分析核心素养，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第二十四章 数据的分析 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 24.2 数据的离散程度 24.2.2 方差的应用 1 学习目标 1. 掌握方差的概念与计算公式，能规范完成方差运算，会结合平均数、方差综合分析实际数据，利用方差大小判断数据波动与稳定性； 2. 经历 “直观观察数据波动 — 建立方差量化模型 — 实操计算分析” 的探究过程，区分集中趋势与离散程度两类数据分析指标，构建完整数据分析思路； 3. 感受方差在工业质检、气象、体育测评等生活场景的实用价值，养成严谨运算、用数据客观说理的习惯，发展数据分析核心素养. 2 旧知回顾 方差的计算公式： S2= 计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均” 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小. 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况. 3 旧知回顾 1.某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出下表(有两个数据被遮盖)： 被遮盖的两个数据依次是( ) A.3℃，2 B.3℃，4 C.4℃，2 D.4℃，4 D 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最高气温 1℃ 2℃ -2℃ 0℃ 1℃ 4 旧知回顾 2.甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉，从它们各自分装的奶粉中随机抽取了10袋，测得它们的实际质量(单位：g)如下： 甲：401 395 408 404 410 406 400 393 392 391 乙：403 404 397 395 402 401 403 395 402 398 哪台包装机包装的奶粉质量比较稳定？ 解：甲、乙两台包装机包装的奶粉平均质量分别是 甲=400， 乙=400. 5 旧知回顾 甲：401 395 408 404 410 406 400 393 392 391 乙：403 404 397 395 402 401 403 395 402 398 它们的方差分别是 = 43.6， = 10.6. 由，乙包装机包装的奶粉质量比较稳定. 6 7 新知探究 例1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）． 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？ 8 新知探究 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如下表所示. 甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1 乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL， 7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好. 9 新知探究 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？ 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 甲==500, 乙==500. 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量. 10 新知探究 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 = 6.6， = 18.8. 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 11 新知探究 决策型问题的求解策略 决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况. 因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断. 12 新知探究 例2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？ 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/ ℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/ ℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图. 13 新知探究 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/ ℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/ ℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 气温℃ 时刻 0:00 0 5 10 15 20 25 30 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲地 乙地 14 新知探究 从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较. 15 新知探究 两地气温的平均数分别为 甲= =16， 乙= =16. 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显. 16 新知探究 两地气温的方差分别为 s2甲= = ， s2乙= = . 由s2甲＞s2乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 17 随堂演练 1. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示.哪名运动员的投篮更稳定？ 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 解：甲=×(8+6+9+6+8+10+7+7+10+9)=8, s2甲​=×[2×(8−8)2+2×(6−8)2+2×(9−8)2+2×(7−8)2+2×(10−8)2]=2. (7+8+9+8+9+8+8+10+6+7)=8, s2乙×[2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2]=1.2. 因为 s2甲s2乙，所以乙运动员投篮更稳定. 18 随堂演练 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 2. 甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示. (1)分别计算两组数据的平均数和方差. 甲， s2甲. . s2乙. 19 随堂演练 (2)哪台机床的性能比较好？ 性能比较： ∴乙机床出次品的平均数较小. ∴乙机床出次品的波动较小. 结论： 乙机床的性能较好. 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 20 随堂演练 3.甲、乙两位同学本学年每单元的测验成绩如下(单位:分) 甲:98，100，100，90，91，89， 99， 100， 100， 93 乙:98，99，94，95，92，92，98，96，99， 97 (1)他们的平均成绩分别是多少? 解: (1) 他们的平均成绩分别是 甲==96, 乙==96. 21 随堂演练 3.甲、乙两位同学本学年每单元的测验成绩如下(单位:分) 甲:98，100，100，90，91，89， 99， 100， 100， 93 乙:98，99，94，95，92，92，98，96，99， 97 (2)甲、乙的10次单元测验成绩的方差分别是多少? (2)甲、 乙的10次单元测验成绩的方差分别是 = 19.6， = 6.4. 22 随堂演练 3.甲、乙两位同学本学年每单元的测验成绩如下(单位:分) 甲:98，100，100，90，91，89， 99， 100， 100， 93 乙:98，99，94，95，92，92，98，96，99， 97 (3)这两位同学的成绩各有什么特点? (3) 两位同学的平均成绩相同； 乙的方差小于甲的方差，故乙的成绩比甲更稳定； 甲虽然成绩不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀. 23 随堂演练 3.甲、乙两位同学本学年每单元的测验成绩如下(单位:分) 甲:98，100，100，90，91，89， 99， 100， 100， 93 乙:98，99，94，95，92，92，98，96，99， 97 (4)现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么? (4) 选甲去，因为甲的成绩有6次达到98分以上，而乙只有4次. 24 课程小结 方差的应用 决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 25 第二十四章 数据的分析 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 24.2 数据的离散程度 24.2.2 方差的应用 26 $